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1、求函数值域（或求函数最值）2021/8/8 星期日1l求函数值域方法很多，常用配方法、换求函数值域方法很多，常用配方法、换元法、判别式法、不等式法、反函数法、元法、判别式法、不等式法、反函数法、图像法（数形结合法）、函数的单调性图像法（数形结合法）、函数的单调性法以及均值不等式法等。这些方法分别法以及均值不等式法等。这些方法分别具有极强的针对性，每一种方法又不是具有极强的针对性，每一种方法又不是万能的。要顺利解答求函数值域的问题，万能的。要顺利解答求函数值域的问题，必须熟练掌握各种技能技巧，根据特点必须熟练掌握各种技能技巧，根据特点选择求值域的方法，下面就常见问题进选择求值域的方法，下面就常见
2、问题进行总结。行总结。2021/8/8 星期日2例例1 1 求函数求函数如图，如图，y-3/4,3/2.y-3/4,3/2.分析：本题是求二次函数在区间上的分析：本题是求二次函数在区间上的值域问题，值域问题，可用配方法或图像法求解。可用配方法或图像法求解。oxy-113/2-3/41/22021/8/8 星期日3例2 求函数分析：函数是分式函数且都含有二次项，可用判分析：函数是分式函数且都含有二次项，可用判别式和单调性法求解。别式和单调性法求解。解法1：由函数知定义域为R,则变形可得：(2y-1)x2-(2y-1)x+(3y1)=0.当2y-1=0即y=1/2时，代入方程左边1/23-10,故
3、1/2.当2y-10,即y 1/2时，因xR,必有=(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1)0得3/10y1/2,综上所得，原函数的值域为y3/10,1/2.2021/8/8 星期日4解法2：（函数的单调性法）是增函数，u取最小值时，y也取最小值。原函数的值域为yy3/10,13/10,12 2）2021/8/8 星期日5例3 求函数 的反函数的定义域.分析：函数分析：函数f(x)f(x)的反函数的定义域就是原函数的的反函数的定义域就是原函数的 值域，可用不等式法求解，可用不等式法求解。解：变形可得反函数的定义域为(-1,1)。2021/8/8 星期日6例例4 4 求下列函数的值域：求下列函
4、数的值域：(1)y=6x2-2x3,(0 x3);(2)若正数a、b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围（99年高考题）。分析：均值不等式可以解决诸多特殊条件的函数值域问题，变形恰当，柳暗花明。(1)解：原函数可变形为：当且仅当x/2=3-x时，即x=2时取等号。故在0 x0,u0,故故y=logy=log1/21/2u u的定义域为（的定义域为（0 0，22上的减函数，即原函数值域的上的减函数，即原函数值域的为为y y-1,+)-1,+)。分析：本题求值域看似简单，其实有其技巧性，变形分析：本题求值域看似简单，其实有其技巧性，变形适当事半功倍。适当事半功倍。(1)可用配方法或判别式法求解可
5、用配方法或判别式法求解;（2）可用单调有界性解之。可用单调有界性解之。解法解法1 1：不难看出：不难看出y0,y0,且可得定义域为且可得定义域为3x5,3x5,原函原函数变形为：数变形为：例例7 7 求下列函数的求下列函数的值域值域：（1 1）y=x-3+5-x;(2)y=x-3-5-y=x-3+5-x;(2)y=x-3-5-x.x.2021/8/8 星期日13由由x3,5x3,5知，知，-x-x2 2+8x-15 0,1,+8x-15 0,1,即当即当x=4x=4时，时，y ymaxmax=2=2，当，当x=3x=3或或5 5时，时，y yminmin=2,=2,故原函数的值域为故原函数的值
6、域为22，22。解法解法2 2：(判别式法判别式法).两边平方移项得两边平方移项得:y:y2 2-2=2(x-3)(5-x),-2=2(x-3)(5-x),再平方整理得再平方整理得4x4x2 2-32x+y-32x+y4 4-4y-4y2 2+64=0+64=0且且y y2 2-20,y-20,y看成常数看成常数,方程有实方程有实根的条件是根的条件是 =16 =162 2-4(y-4(y4 4-4y-4y2 2+64)=-4y+64)=-4y2 2(y(y2 2-4)0,-4)0,注注意到意到y0y0得得y y2 2-40-40即即0y40y4而而y y2 2-20-20即有即有2y2,y2,
7、2.2y2,y2,2.2021/8/8 星期日14(2)(2)解：由解：由y=x-3-5-xy=x-3-5-x得得定义定义域为域为x3,5.x3,5.y=x-3y=x-3在在33，55上是单调增函数，上是单调增函数，y=-5-xy=-5-x在在3,53,5上也是单调增函数。上也是单调增函数。y=x-3-5-x y=x-3-5-x在在33，55上是增函数，上是增函数，当当x=3x=3时，时，y yminmin=-2,=-2,当当x=5x=5时，时，y ymaxmax=2,=2,故原函数的值域为故原函数的值域为y-2,2.y-2,2.2021/8/8 星期日15例例8 8 已知圆已知圆C C：x
8、x2 2-4x+y-4x+y2 2+1=0+1=0上任意一点上任意一点P P（x,y),x,y),求求 的最大值与最小值。的最大值与最小值。分析：分析：即求圆上的点即求圆上的点P(x,y)P(x,y)到原点到原点(0,0)(0,0)的斜率的最值，可利用的斜率的最值，可利用数形结合法数形结合法求解。求解。xyoPC解解：圆：圆C C方程为方程为 (x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=3=3，的最的最值即求圆上的点值即求圆上的点P P到原点的斜率的最值。到原点的斜率的最值。设设y=kx,y=kx,如图，显然，当直线如图，显然，当直线y=kxy=kx与圆与圆C C相切时相切时k k有最值，容易得
9、出其最大与最小有最值，容易得出其最大与最小值分别为值分别为33，-3.-3.2021/8/8 星期日16例例9 9 已知圆已知圆C C：x x2 2+y+y2 2-4x+6y+11=0,-4x+6y+11=0,求求x+y+4x+y+4的最值。的最值。分析：本题可转化采用圆的参数方程表达，利用三分析：本题可转化采用圆的参数方程表达，利用三角函数的有界性解决或在二元二次方程的约束条件角函数的有界性解决或在二元二次方程的约束条件下，求下，求x+y+4x+y+4的线性规划。的线性规划。解法解法1 1：条件可化为：条件可化为(x-2)(x-2)2 2+(y+3)+(y+3)2 2=2=2把此圆化为参数方
10、程把此圆化为参数方程(x+y+4)(x+y+4)maxmax=5 =5 (x+y+4)(x+y+4)minmin=1=12021/8/8 星期日17解法解法2 2（线性规划线性规划）x,yx,y是圆是圆C C:(x-2):(x-2)2 2+(y+3)+(y+3)2 2=2=2上的点，设上的点，设x+y+4=z,x+y+4=z,则则y=-x+(z-4),z-4y=-x+(z-4),z-4可看作为直线可看作为直线L:x+y+4-z=0L:x+y+4-z=0在在y y轴上的截距，作直线轴上的截距，作直线y=-xy=-x并平移，当直线并平移，当直线L:x+y+4-z=0L:x+y+4-z=0和圆和圆C
11、 C相切时，相切时，z-4z-4有最大值和最小值。有最大值和最小值。(x+y+4)(x+y+4)maxmax=5 =5 (x+y+4)(x+y+4)minmin=1=1xyoC(2,-3)y=-x2021/8/8 星期日18例例10 10 求函数求函数 的值域。的值域。分析：利用三角函数的有界性较数形结合分析：利用三角函数的有界性较数形结合为点为点(2,0)与点与点(cosx,-sinx)连线的斜率的过程要简连线的斜率的过程要简单。单。解：将原函数化为解：将原函数化为sinx+ycosx=2ysinx+ycosx=2y2021/8/8 星期日19例例11 11 求函数求函数y=xy=x2 2-
12、2x+10+x-2x+10+x2 2+6x+13+6x+13的值域。的值域。分析：本题求函数的分析：本题求函数的值域值域可用解析几何与数形结合法解可用解析几何与数形结合法解之。之。A1(1,-3)yA(1,3)B(-3,2)xoP将上式可看成为将上式可看成为x x轴上点轴上点P(x,0)P(x,0)与与A(1,3),BA(1,3),B(-3,2)(-3,2)的距离之和。即在的距离之和。即在x x轴上求作轴上求作一点一点P P与两定点与两定点A,BA,B的距离之和的最的距离之和的最值，利用解析几何的方法可求其最值，利用解析几何的方法可求其最小值。小值。如图，可求如图，可求A关于关于x轴对称点轴对称点A A1 1(1,-3)(1,-3)连连结结A A1 1B B交交x x轴轴y y于于P,P,则则P(x,0)P(x,0)为所求，为所求，可证明可证明解：函数变形为解：函数变形为y=(x-1)y=(x-1)2 2+(0-3)+(0-3)2 2+(x+3)+(x+3)2 2+(0-2)+(0-2)2 2.所以原函数值域的为所以原函数值域的为y41,+).y41,+).2021/8/8 星期日202021/8/8 星期日21