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1、62函数的极值教材要点教材要点要点极值点与极植1极大值点与极大值如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何不为x0的一点处的函数值_x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的_，其函数值f(x0)为函数的_都小于都小于极大极大值值点点极大极大值值2极小值点与极小值如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何不为x0的一点处的函数值_x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的_，其函数值f(x0)为函数的_都大于都大于极小极小值值点点极小极小值值3极值的判断方法如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是_，f(x0)是
2、_；如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是_，f(x0)是_极大极大值值点点极大极大值值极小极小值值点点极小极小值值基基础础自自测测1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)若函数f(x)在(a，b)内有极值，则f(x)在(a，b)内一定不单调()(2)导数为零的点一定是极值点()(3)函数的极大值一定大于极小值()(4)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合()2(多选题)下图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象，则下列命题中正确的是()A3是函数yf(x)的极值点B1是函数yf(x)的最小值点Cyf(x)在x0处切线的斜率小于零D
3、yf(x)在区间(3，1)上单调递增答案：AD3函数y(x21)31的极值点是()A极大值点x1 B极大值点x0C极小值点x0 D极小值点x1答案：C解析：y6x(x21)20有三个根，x11，x20，x31，由解y0得x0；由解y0得x0得0 x4.由y0得x4所以函数yx36x2m在(，0)和(4，)上单调递减，在(0，4)上单调递增所以函数yx36x2m在x4处取得极大值所以43642m13.题型一求函数的极值(点)例1(1)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函
4、数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)答案：(1)D解析：(2)函数的定义域为R.f(x)x22x3(x1)(x3)令f(x)0，得x11，x23.由此可知当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表所示：x(，1)1(1，3)3(3，)f(x)00f(x)极大值极小值f(x)x44x35；解析：因为f(x)x44x35，所以f(x)4x312x24x2(x3)令f(x)4x2(x3)0，得x10，x23.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0，3)3(3，)f(x)00
5、f(x)不是极值极小值故当x3时函数取得极小值，且f(3)22，无极大值x(0，e)e(e，)f(x)0f(x)极大值跟踪训练1(1)(多选题)已知函数f(x)的定义域为R且导函数为f(x)，如图是函数yxf(x)的图象，则下列说法正确的是()A函数f(x)的增区间是(2，0)，(2，)B函数f(x)的增区间是(，2)，(2，)Cx2是函数的极小值点Dx2是函数的极小值点(2)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为()A1 B2e3C5e3 D1答案：(1)BD(2)A题型二与参数有关的极值问题角度1已知函数极值求参数例2设函数f(x)ax3bx2cx，在x1和
6、x1处有极值，且f(1)1，求a，b，c的值，并求出相应的极值根据x1列表分析f(x)的符号，f(x)的单调性和极值点x(，1)1(1，1)1(1，)f(x)00f(x)极大值1极小值1由上表可以看出，当x1时，函数有极大值，且f(1)1；当x1时，函数有极小值，且f(1)1.方法归纳已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性(，1)解析：f(x)x22xa由题意知，方程x22xa0有两个不同的实数根，
7、所以44a0，解得a1.解析：由题意知方程x22xa0有一正一负两个根，设为x1，x2，则x1x2a0，故实数a的取值范围是(，0)方法归纳(1)已知函数极值点的个数求参数取值范围的一般思路：求导后分离参数，转化为直线与曲线的交点问题(2)对于函数无极值的问题，往往转化为f(x)0或f(x)0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立跟踪训练2(1)已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，则a_，b_(2)若函数f(x)x2a ln x在区间(1，)上存在极小值，则实数a的取值范围为_29a2方法归纳求解析式中含有参数的函数极值，有时需要用分类讨论法才能解决问题讨论的依
8、据有两种：一是看参数是否对f(x)的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看f(x)在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论跟踪训练3设f(x)x ln xax2(2a1)x，aR.(1)令g(x)f(x)，求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x1处取得极大值，求实数a的取值范围易错辨析对函数取极值的充要条件把握不准致误例5已知函数f(x)x3ax2bxa2(a，bR)在x1处取得极值10，则f(2)的值为_18【易错警示】出错原因纠错心得一般地，若f(x0)0，且f(x)在xx0两侧符号相反，则函数f(x)在xx0处存在极值；若f(x)在xx0两侧符号相同，则
9、函数f(x)在xx0处不存在极值因此，在根据极值条件求参数的值的问题中，应按照函数在这一点处取得极值所对应的条件进行检验，检验每一组解对应的函数在该点处是否能取得极值，从而进行取舍课课堂十分堂十分钟钟1设函数f(x)xex1，则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点答案：D解析：f(x)exxexex(x1)令f(x)0，得x1，易知x1是函数f(x)的极小值点，故选D.2已知函数f(x)2ln xax在x1处取得极值，则实数a()A2 B2C0 D1答案：A3已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A1a2 B3a6Ca6 Da2答案：C解析：f(x)3x22ax(a6)由题意知3x22ax(a6)0有两个不相等的实数根所以4a243(a6)0解得a6.故选C.4函数yxex在其极值点处的切线方程为_