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1、3.3 抛物线3.3.1 抛物线及其标准方程 1.1.掌握抛物线的定义及标准方程掌握抛物线的定义及标准方程.（重点）（重点）2.2.能求简单抛物线的方程能求简单抛物线的方程.（重点（重点、难点）、难点）我们知道，二次函数我们知道，二次函数 的图象是一条抛物线，而的图象是一条抛物线，而且研究过它的顶点坐标、对称轴等问题且研究过它的顶点坐标、对称轴等问题.那么，抛物线到底有怎样的几何那么，抛物线到底有怎样的几何性质？它还有哪些几何性质？性质？它还有哪些几何性质？抛物线的定义抛物线的定义思考：思考：如图，点如图，点F 是定点，是定点，l 是不经过点是不经过点F 的定直线的定直线.H是是l 上任意一点
2、，经上任意一点，经过点过点H 作作MHl，线段，线段FH 的垂直平分线的垂直平分线m 交交MH 于点于点M.拖动点拖动点H，观察，观察点点M 的轨迹的轨迹.你能发现点你能发现点M 满足的几何条件吗？满足的几何条件吗？抛物线的定义抛物线的定义:在平面内，与一个定点在平面内，与一个定点F 和一条定直线和一条定直线l(l不经过点不经过点F)距离相等距离相等的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做抛物线抛物线.点点F叫做叫做抛物线的焦点，抛物线的焦点，直线直线l 叫做叫做抛物线的准抛物线的准线线.根据抛物线的几何特征，以过点根据抛物线的几何特征，以过点F且垂直于直线且垂直于直线 l 的直线为的直线为x轴轴，垂足垂
3、足为为K.以以FK 的中点的中点O 为坐标原点建立直角坐标系为坐标原点建立直角坐标系xOy.抛物线的标准方程抛物线的标准方程 设设M（x，y）是抛物线上任意一点，是抛物线上任意一点，点点M到到l的距离为的距离为d由抛物线的定义，抛物线就是点由抛物线的定义，抛物线就是点的集合的集合 .设设 ，那么点那么点F的坐标为的坐标为准线准线 l 的方程为的方程为 .因为因为 ，从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标都满足方程从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标都满足方程，同时，同时以方程以方程的解为坐标的点都在抛物线上，这样我们把方程的解为坐标的点都在抛物线上，这样我们把方程叫做叫做抛物线的抛物
4、线的标准方程标准方程.所以所以所将上式两边平方并化简，得所将上式两边平方并化简，得 若抛物线的开口分别朝左、朝上、朝下，你能根据上述办法求出它的若抛物线的开口分别朝左、朝上、朝下，你能根据上述办法求出它的标准方程吗？标准方程吗？思考：思考：抛物线的标准方程还有哪些不同形式抛物线的标准方程还有哪些不同形式?图形图形焦点位置焦点位置标准方程标准方程焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程四种抛物线及其它们的标准方程四种抛物线及其它们的标准方程x轴的负半轴上轴的负半轴上y轴的正半轴上轴的正半轴上y轴的负半轴上轴的负半轴上x轴的轴的正正半轴上半轴上如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？如何判断抛物线的焦点位置，
5、开口方向？(1)(1)若一次项的变量为若一次项的变量为x(或或y)，则焦点就在，则焦点就在x 轴轴(或或y 轴轴)上；上；(2)(2)一次项的系数的正负决定了开口方向一次项的系数的正负决定了开口方向即：焦点与一次项变量有关；正负决定开口方向！即：焦点与一次项变量有关；正负决定开口方向！1 1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程求下列抛物线的焦点坐标和准线方程(1)(2)(1)(2)(3)(4)(3)(4)2.2.根据下列条件写出抛物线的标准方程根据下列条件写出抛物线的标准方程(1)(1)焦点是焦点是 ；(2)(2)准线方程是准线方程是 ；(3)(3)焦点到准线的距离是焦点到准线的距离是2.2.3
6、 3已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的点轴上，抛物线上的点M(m，2)到焦点的距离为到焦点的距离为4，则则m_.4 4设抛物线设抛物线 上一点上一点P 到到y 轴的距离是轴的距离是4 4，则点，则点P 到该抛物线焦点的到该抛物线焦点的距离是距离是()()A.12 A.12 B.4 B.4 C.6 C.6 D.8D.8C C5 5求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P(2 2，4)4)的抛物线的的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标标准方程及其对应的准线、焦点坐标解：解：由已知设抛物线的标准方程是由已
7、知设抛物线的标准方程是 或或 ，把把 代入得代入得 或或 ，故所求的抛物线的标准方程是故所求的抛物线的标准方程是 或或 .当抛物线方程是当抛物线方程是 时，焦点坐标是时，焦点坐标是 ，准线方程是，准线方程是 .当抛物线方程是当抛物线方程是 时，焦点坐标是时，焦点坐标是 ，准线方程是，准线方程是x2.2.6 6已知动圆已知动圆M 经过点经过点A(3，0)，且与直线且与直线l：x3相切，求动圆圆心相切，求动圆圆心M的的轨迹方程轨迹方程解析：解析：设动点设动点M(x，y)，设圆设圆M与直线与直线l：x3 3的切点为的切点为N，则则|MA|MN|，即动点，即动点M到定点到定点A和定直线和定直线l：x3 3的距离相等，的距离相等，所以点所以点M 的轨迹是以的轨迹是以A(3(3，0)0)为焦点，以直线为焦点，以直线l：x3 3为准线的为准线的抛物线抛物线，所以所以 p6.6.所以圆心所以圆心M的轨迹方程是的轨迹方程是y21212x.1.1.平面内与一个定点平面内与一个定点F的距离和一条定直线的距离和一条定直线l(l不经过不经过点点F)F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.2.2.抛物线的标准方程有四种：抛物线的标准方程有四种：y2=2px(p0),y2=-2px(p0)，x2=2py(p0),x2=-2py(p0).