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1、学科网（北京）股份有限公司1/17解析几何定时训练一解析几何定时训练一一、单选题（本大题共 9 小题，共 45.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知圆C经过点P(1,0)，且与直线x=1相切，则其圆心到直线x y+3=0距离的最小值为()A.3B.2C.3D.22.若双曲线C:x2a2y2b2=1(a 0,b 0)的离心率为3，则直线x=ba与两条渐近线围成的三角形的面积为()A.4 2B.4C.2 2D.23.点P在双曲线x2a2y2b2=1(a 0,b 0)上，F1、F2是双曲线的两个焦点，F1PF2=90，且 F1PF2的三条边长满足2 PF1=PF2+F1F2，则
2、此双曲线的离心率是()A.2B.3C.2D.54.已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左右焦点，点M是过原点O且倾斜角为60的直线l与椭圆C的一个交点，且MF1?+MF2?=MF1?MF2?，则椭圆C的离心率为()A.12B.2 3C.3 1D.325.直线l与两直线y=1和x y 7=0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为M(1,1)，则直线l的斜率为()A.32B.23C.32D.236.已知直线l1:mx+y 1=0，l2:(4m 3)x+my 1=0，若l1/l2，则实数m的值为()A.3B.1C.1或3D.0或137.若点P(a,3)到直线4x 3y+1=
3、0的距离为4，且满足不等式2x+y 3 0，则点P的横坐标是()A.7或 3B.7C.3D.7或38.过点M(2,a)，N(a,4)的直线的斜率为12，则|MN|=()A.10B.180C.6 3D.6 59.若直线l：y=kx 3与直线x+y 3=0的交点位于第二象限，则直线l的倾斜角的取值范围是()A.(2,34B.2,34)C.(3,34)D.(2,34)2/17二、多选题（本大题共 1 小题，共 5.0 分。在每小题有多项符合题目要求）10.设动直线l:mx y 2m+3=0(mR)交圆C:x 42+y 52=12于A，B两点(点C为圆心)，则下列说法正确的有()A.直线l过定点(2,
4、3)B.当|AB|取得最小值时，m=1C.当ACB最小时，其余弦值为14D.AB?AC?的最大值为24三、填空题（本大题共 2 小题，共 10.0 分）11.在平面直角坐标系xOy中，点A 3,3，B 1,1，若直线x y m=0上存在点P使得PA=3PB，则实数m的取值范围是12.若直线(2t 3)x+y+6=0不经过第一象限，则t的取值范围为四、解答题（本大题共 8 小题，共 96.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）13.(本小题12.0分)椭圆x2a2+y2b2=1(a b 0)的左右焦点分别为F1，F2，其中F2(2,0)，O为原点，椭圆上任意一点到F1，F2距离之和为2
5、 3(1)求椭圆的标准方程及离心率；(2)过点P(0,2)斜率为2的直线l交椭圆于A、B两点，求 OAB的面积14.(本小题12.0分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a b 0)的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且椭圆E截抛物线的准线得到的弦长为3(1)求椭圆E的标准方程;(2)设两条不同的直线m与直线l交于E的右焦点F，且互相垂直，直线l交椭圆E于点A，B，直线m交椭圆E于点C，D，探究：A、B、C、D四个点是否可以在同一个圆上?若可以，请求出所有这样的直线m与直线l;否则请说明理由15.(本小题12.0分)已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a b 0)的左焦点为F13,0，抛
6、物线C2：x2=2py(p 0)，学科网（北京）股份有限公司3/17C1与C2交于点A(2,1)(1)求C1与C2的方程；(2)动直线l与C1交于不同两点M，N，与C2交于不同两点P，Q，且A l，记AM，AN的斜率分别为是k1，k2，满足k1k2=12，记线段PQ的中点R的纵坐标为t，求t的取值范围16.(本小题12.0分)已知双曲线C的方程为x2a2y2b2=1，离心率为2，右顶点为(2,0)(1)求双曲线C的标准方程；(2)过E(0,1)的直线l与双曲线C的一支交于M、N两点，求EM?EN?的取值范围17.(本小题12.0分)已知椭圆C1的中心在原点，离心率为45，焦点在x轴上且长轴长为
7、10.过双曲线C2:x2a2y2b2=1(a 0,b 0)的右焦点F2作垂直于x轴的直线交双曲线C2于M，N两点(1)求椭圆C1的标准方程;(2)若双曲线C2与椭圆C1有公共的焦点，且以MN为直径的圆恰好过双曲线的左顶点A，求双曲线C2的标准方程18.(本小题12.0分)已知双曲线C：x2a2y2b2=1(a 0,b 0)的两条渐近线方程为y=3x，直线l交C于A，B两点(1)若线段AB的中点为(1,3)，求l的方程；(2)若以线段AB为直径的圆过坐标原点O，且O到l的距离为62，求C的方程19.(本小题12.0分)4/17已知 ABC的顶点A(4,2)，AB边上的中线CM所在直线方程为x y
8、 3=0，AC边上的高BH所在直线方程为x+2y 2=0.求(1)顶点C的坐标;(2)求点B到直线AC的距离20.(本小题12.0分)已知直线l1:y=2x，l2:y=2x，过点M 2,0的直线l分别与直线l1，l2交于A,B，其中点A在第三象限，点B在第二象限，点N 1,0；(1)若 NAB的面积为16，求直线l的方程；(2)直线AN交于l2点P，直线BN交l1于点Q，若l、PQ直线的斜率均存在，分别设为k1,k2，判断k1k2是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由学科网（北京）股份有限公司5/17解析几何定时训练一解析几何定时训练一答案答案1.【答案】D【解析】【分析】本题
9、考查了直线与抛物线位置关系及其应用，涉及抛物线的定义、抛物线的标准方程、点到直线的距离、与圆相关的轨迹问题等，属中档题【解答】解：依题意，设圆C的圆心C(x,y)，动点C到点P的距离等于到直线x=1的距离，根据抛物线的定义可得圆心C的轨迹方程为y2=4x，设圆心C到直线x y+3=0距离为d，d=|xy+3|2=|14y2y+3|2=|y24y+12|4 2=|(y2)2+8|4 2，当y=2时，dmin=22.【答案】C【解析】【分析】本题考查了双曲线中的面积问题，涉及双曲线的渐近线、离心率等知识，属基础题【解答】解：因为双曲线C:x2a2y2b2=1(a 0,b 0)的离心率为3，所以a2
10、+b2a=3，所以ba=2，所以渐近线的方程为y=2x，所以直线x=ba即直线x=2，与两条渐近线的交点坐标为(2,2)，所以直线x=ba与两条渐近线围成的三角形的面积为12 4 2=2 23.【答案】D【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，属于中档题设点P在双曲线的右支上，则PF1 PF2=2a，F1F2=2c，结合已知条件可得PF1=2c 2a，PF2=2c 4a，代入PF12+PF22=4c2可得关于a、c的齐次方程，转化为关于e的二次方程即可求解【解答】解：设点P在双曲线的右支上，则PF1 PF2=2a，F1F2=2c，因为2 PF1=PF2+F1F2，所以PF1=2c 2a
11、，PF2=2c 4a，6/17因为F1PF2=90，所以 F1PF2是直角三角形，所以PF12+PF22=F1F22=4c2所以2c 2a2+2c 4a2=4c2，即c2 6ac+5a2=0，所以e2 6e+5=0，解得：e=5或e=1(舍)，所以此双曲线的离心率是5，故选：D4.【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆的离心率的求法，向量的垂直，属于中档题利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到OM=12F1F2=c，从而得MF1，MF2，进而可得结果【解答】解：将MF1?+MF2?=MF1?MF2?两边平方，得MF1?MF2?=0，即MF1 MF2，所以，OM=12F1F2=c，又MO
12、F2=60，所以MF2=c，MF1=3c，所以2a=3c+c，所以e=ca=3 1故选 C5.【答案】D【解析】【分析】此题考查学生根据两直线方程求两直线的交点坐标，灵活运用中点坐标公式化简求值，考查学生计算能力及逻辑推理能力，属于中档题设出直线l的斜率为k，又直线l过M点，写出直线l的方程，然后分别联立直线l与已知的两方程，分别表示出A和B的坐标，根据中点坐标公式表示出M的横坐标，让表示的横坐标等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值即为直线的斜率学科网（北京）股份有限公司7/17【解答】解：设直线l的斜率为k，又直线l过M(1,1)，则直线l的方程为y+1=k(x 1)，联立直线
13、l与y=1，得到y+1=kx ky=1，解得x=k+2k，所以A(k+2k,1)；联立直线l与x y 7=0，得到y+1=kx kx y 7=0，解得x=6k1k，y=6k11k，所以B(6k1k,6k11k)，又线段AB的中点M(1,1)，所以k+2k+6k1k=2，解得k=23故选：D6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了两条直线平行的判定，属于基础题利用两条直线相互平行的条件即可得出【解答】解：由题意得m2 4m 3 1=0，解得：m=3或m=1，当m=3时，直线l1的方程为：3x+y 1=0，直线l2的方程为：9x+3y 1=0，两直线平行，当m=1时，直线l1的方程为：x+y
14、1=0，直线l2的方程为：x+y 1=0，是同一条直线，不符合题意故m=3故选 A7.【答案】B【解析】【分析】本题考查点到直线距离，是基础题【解答】由于点P(a,3)满足不等式2x+y 3 0，则2a+3 3 0，a 0因为点P(a,3)到直线4x 3y+1=0的距离为4，8/17所以|4a9+1|5=4，解得a=7或a=3(舍去)故选 B8.【答案】D【解析】【分析】本题考查了两点确定直线的斜率以及两点间的距离公式，属于基础题由直线MN的斜率求a=10，然后由两点间距离公式求|MN|【解答】解：过点M(2,a)，N(a,4)的直线的斜率k=4aa+2=12，解得a=10，|MN|=(a+2
15、)2+(4 a)2=(10+2)2+(4 10)2=6 5故选 D9.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了求两直线交点，考查直线的倾斜角和斜率的问题，属于基础题；由y=kx 3x+y 3=0得x=3+3k+1y=3k 3k+1.由交点在第二象限建立不等式解出k的值即可得解【解答】解：由y=kx 3x+y 3=0，得x=3+3k+1y=3k 3k+1因交点位于第二象限，所以3+3k+1 0，解得k 1，所以直线l的倾斜角的取值范围是(2,34)，故选 D学科网（北京）股份有限公司9/1710.【答案】AD【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，直线过定点问题，属于中档题对各选项逐一判定正
16、误，即可得到答案【解答】解：选项 A，由l:mx y 2m+3=0(m R)整理得m(x 2)y+3=0(m R)，当x 2=0,y+3=0,即x=2,y=3时，不论m为何值时，m(x 2)y+3=0(m R)都成立，所以直线l过定点(2,3)，故 A 正确;选项 B，设直线l过的定点M(2,3)，将定点代入圆C:(2 4)2+(3 5)2=8 0，学科网（北京）股份有限公司11/17x1+x2=2413，x1x2=913，AB=1+22x1 x2=5(x1+x2)2 4x1x2=5 6 313，又点O到直线AB的距离d=21+22=25，SOAB=12 d AB=12255 6 313=6
17、313，即 OAB的面积为6 313【解析】本题考查椭圆方程的标准方程及其几何性质，直线与椭圆的位置关系的综合应用，点到直线的距离及三角形面积公式，属于中档题(1)由椭圆的定义及焦点坐标，可知c=2，a=3，b2=a2 c2=1，即可得椭圆的标准方程和离心率;(2)设直线l的方程为y=2x+2，代入椭圆方程整理得13x2+24x+9=0，根据弦长公式得：|AB|=1+22x1 x2=5 6 313，点O到直线AB的距离d=21+22=25，SAOB=12|AB|d，即可求解14.【答案】解：(1)抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x=1，设c=a2 b2，由已知得c=1，2b2
18、a=3，解得a=2，b=3，则椭圆E的标准方程为x24+y23=1(2)因为两条不同的直线m与l直线均过椭圆的右焦点(1,0)，且互相垂直，由题意可知当斜率均存在且不为0时，可设直线l为y=k(x 1)，直线m为y=1k(x 1)，其中k 0，A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)，将直线l的方程代入椭圆方程x24+y23=1得，(3+4k2)x2 8k2x+(4k2 12)=0，所以x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4k2123+4k2，若A、B、C、D四个点可以在同一个圆上，则FA FB=FC FD，所以1+k2|1 x1|1+k2|1 x2|=1+1
19、k2|1 x3|1+1k2|1 x4|，所以k2(1 x1)(x2 1)=(1 x3)(x4 1)，所以k2 x1x2+(x1+x2)1=x3x4+(x3+12/17x4)1，x1x2+(x1+x2)1=4k2123+4k2+8k23+4k2 1=93+4k2，同理 x3x4+(x3+x4)1=9k23k2+4，所以k293+4k2=9k23k2+4，则3+4k2=3k2+4，所以k=1，此时存在这样的直线m与直线l，其方程为y=x 1和y=x+1当直线l的斜率为0或斜率不存在时，A，B，C，D显然不在同一个圆上综上，存在这样的直线m与直线l，其方程为y=x 1和y=x+1【解析】本题考查了直
20、线与椭圆的位置关系，涉及抛物线以及圆的相关知识，属困难题15.【答案】解：因为椭圆的左焦点为F1(3,0)，所以右焦点F2(3,0)由椭圆的定义，2a=|AF1|+|AF2|=(2+3)2+1+(2 3)2+1=2 6，因此a=6.又半焦距c=3，所以b2=a2 c2=(6)2(3)2=3，所以C1的方程为x26+y23=1把(2,1)代入x2=2py，得2p=4，所以C2的方程为x2=4y(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2)若直线l的斜率不存在，则N(x1,y1)由k1k2=y11x12y11x12=12，得2 2y12=x1 22又x126+y123=1，可得2y12=6 x12，代
21、入()式，可得x1=2所以直线l的方程为x=2.可见，直线l过点A(2,1)这与A l矛盾，因此，直线l的斜率必存在设l：y=kx+m.由于A l，故2k+m 1 0由x26+y23=1y=kx+m消去y，整理得1+2k2x2+4kmx+2m2 6=0由判别式1=8 6k2+3 m2 0，得m2 6k2+3，因此x1+x2=4km1+2k2，x1x2=2m261+2k2()，学科网（北京）股份有限公司13/17由题意，k1k2=kx1+m1x12kx2+m1x22=k2x1x2+k(m1)(x1+x2)+(m1)2x1x22(x1+x2)+4=12所以2k2x1x2+2k m 1x1+x2+2
22、 m 12=x1x2 2 x1+x2+4，即2k2 1 x1x2+2k m 1+2 x1+x2+2 m 12 4=0把()代入上式并整理得2k+11 2k m=0因为2k+m 1 0，所以k=12.因此，直线l的方程为y=12x+m由()可得m2 6k2+3=6 122+3=92，即32 m 0，得m 14所以m的取值范围是14 m 32，且m 2设P x3,y3，Q x4,y4，R x0,t则由x3+x4=2，可得x0=x3+x42=1，所以R 1,t.代入y=12x+m，得t=12+m因为14 m 3 22，且m 2，所以14 t 0 x1+x2=2k1k2x1x2=51k2 0，解得1
23、k254因此EM?EN?=(x1,y1 1)(x2,y2 1)=x1x2+kx1 kx2=(k2+1)x1 x2=5 k2+1k21=5(1+2k21)，0 k2 1 8，故EM?EN?=5(1+2k21)45，故EM?EN?的取值范围是(45,+)【解析】本题考查双曲线的几何性质及直线与双曲线的位置关系，考查学生的运算能力，属于较难题(1)依题意可得关于a，b，c的等式，求出a2、b2，从而求出双曲线方程；(2)设直线l的方程为y=kx+1，联立直线与双曲线方程，可得关于k的不等式组，即可求出k2的范围，根据向量数量积的坐标表示得到EM?EN?，即可求出EM?EN?的范围；17.【答案】解：
24、(1)设椭圆C1的标准方程为x2a12+y2b12=1(a1 b1 0)，根据题意得2a1=10，则a1=5又e1=c1a1=45，c1=4，b1=3，椭圆C1的标准方程为x225+y29=1(2)设双曲线的右焦点F2(c,0)，将x=c代入双曲线方程，得y=b2a，|MN|=2b2a以MN为直径的圆恰好过双曲线的左顶点A，且AF2=a+c，a+c=b2a，即a2+ac=b2=c2 a2，整理得2a2+ac c2=0，即有e2 e 2=0又e 1，e=2又双曲线C2与椭圆C1有公共的焦点，c=4，a2=4，b2=12，双曲线C2的标准方程为x24y212=1学科网（北京）股份有限公司15/17
25、【解析】本题考查圆锥曲线的综合问题，着重考查椭圆和双曲线标准方程和几何性质，待定系数法求圆锥曲线的方程，属于中档题1设椭圆C1的标准方程为x2a12+y2b12=1(a1 b1 0)，根据椭圆的几何性质列出方程即可求出各个系数，从而得出椭圆C1的标准方程；2设双曲线的右焦点F2(c,0)，将x=c代入双曲线方程求得MN，又以MN为直径的圆恰好过双曲线的左顶点A，且AF2=a+c，从而建立等式求出离心率，最后即得双曲线C2的标准方程18.【答案】解：(1)因为渐近线方程为y=3x，所以ba=3，即a=13b，所以双曲线方程可化为3x y=b，易知直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，代入双曲
26、线方程可得(3 k)x 2kmx (m+b)=0，则3 k 0，且=4km+4(3 k)(m+b)0，则k 3，(3 k)b+3m 0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，因为线段AB的中点为(1,3)，所以x1+x2=2km3k2=2 (1)=2，且 k+m=3，解得k=1，m=2，符合条件，所以直线l的方程为y=x+2；(2)当直线l斜率不存在时，根据对称性知，AOB为等腰直角三角形，不妨设A(62,62)，代入3x y=b，可得b=3，所以C的方程为x y23=1；当直线l的斜率存在时，由(1)可知x1+x2=2km3k2，x1x2=m2+b23k2，由以线段AB为直径的圆过坐标原点O
27、，所以OA OB，即OA?OB?=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k)x1x2+km(x1+x2)+m=0，则(1+k2)(m2+b2)+2k2m2+m2(3k2)3k2=2m2(1+k2)b23k2=0，所以2m=(1+k)b，因为O到直线l的距离d=|m|1+k2=b2=62，所以b=3，则C的方程为x y23=1；综上：双曲线C的方程为x y23=116/17【解析】本题考查直线与双曲线的综合，涉及双曲线性质，根与系数的关系的应用，分类讨论思想，属于较难题(1)由渐近线方程可得ba=3，化双曲线方程为3x y=b，设直线方程为y=kx+m，代入双曲线方程
28、，应用韦达定理，结合AB中点坐标得到关于k、m的方程组解之即可；(2)分类讨论直线l斜率不存在和存在两种情况，斜率不存在时，可得 AOB为等腰直角三角形，不妨设A(62,62)，代入3x y=b，解出b即可；斜率存在时，由条件可得OA?OB?=0，利用根与系数的关系即可得到k、m的关系式，再由点O到直线l的距离，解出b即可19.【答案】解：(1)设C(m,n)，AB边上的中线CM所在直线方程为x y 3=0，AC边上的高BH所在直线方程为x+2y 2=0m n 3=0n2m4(12)=1解得m=3n=0 C(3,0)(2)设B(a,b)，则AB边上的中点为a+42,2+b2，于是有a+2b 2
29、=0a+422+b2 3=0解得a=103b=23，所以B103,23直线AC的方程为y=2(x 3)，即2x y 6=0，点B到直线AC的距离d=2103+23622+12=4 515【解析】本题考查直线方程交点求法以及点到直线的距离公式(1)设C(m,n)，然后可得m n 3=0n2m4(12)=1，解方程组即可；(2)设B(a,b)，可得a+2b 2=0a+422+b2 3=0，求出B点坐标，然后由点到直线的距离公式即可求解20.【答案】解：(1)当直线l的斜率不存在时，方程为x=2，则A(2,4)，B(2,4)，NAB的面积为12 3 8=12，不符合题意；故设直线l的方程为y=k(x
30、+2)，显然k 2，与直线l1:y=2x，l2:y=2x，分别联立，可得A，B的纵坐标分别为4k2k，4kk+2，学科网（北京）股份有限公司17/17 NAB的面积为16，12 3|4kk+24k2k|=16，解得k=4，直线l的方程为4x y+8=0;(2)由(1)可得A(2k12k1,4k12k1)，B(2k12+k1,4k12+k1)，又N(1,0)，设P(a,2a)，Q(b,2b)，由A，N，P共线，可得2a1a=4k13k12，解得a=2k15k12，即有P(2k15k12,4k15k12)，由B，N，Q共线，可得2bb1=4k13k12，解得b=2k15k1+2，即有Q(2k15k
31、1+2,4k15k1+2)，则k2=4k15k1+24k15k122k15k1+22k15k12=5k1，即有k1k2为定值15【解析】本题考查直线方程的求法，考查直线交点问题注意联立方程，考查三点共线的条件：斜率相等，以及斜率公式的运用，同时考查定值问题，属于较难题(1)当直线l的斜率不存在时不符合题意，故设直线l方程为y=k(x+2)，与直线l1:y=2x，l2:y=2x，分别联立，可得A,B的纵坐标，再由 NAB的面积为16，解方程可得k，进而得到所求直线方程；(2)求得A，B的坐标，设P(a,2a)，Q(b,2b)，运用三点共线的条件：斜率相等，求得a，b，再由斜率公式，化简整理，计算即可得到所求定值