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1、(一一)二面角二面角1.1.半平面的定义半平面的定义 一个平面内的一条直线将这个平面分成两部分,其中每一部分都叫半平面.从从一一条条直直线线出出发发的的两两个个半半平平面面所所组组成成的的图图形形叫叫做做二二面面角角,这这条条直直线线叫叫做做二二面面角角的棱的棱,这两个半平面叫做二面角的面这两个半平面叫做二面角的面.一一、二面角的定义二面角的定义二面角二面角2、二面角的表示方法、二面角的表示方法AB 二面角二面角 AB l二面角二面角 l 二面角二面角CAB DABCDABCEFD二面角二面角CAB E1、定义、定义二面角二二、二面角的平面角二面角的平面角ABP l1、定义、定义二面角的平面角

2、必须满足二面角的平面角必须满足：3）角的两边都要垂直于二面角的棱角的两边都要垂直于二面角的棱 1）角的顶点在棱上角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内角的两边分别在两个面内二面角的平面角的范围二面角的平面角的范围:0,180 二面角的大小用它的平面角的大小来度量二面角的大小用它的平面角的大小来度量 以二面角的棱上任意一点为端点以二面角的棱上任意一点为端点,在两在两个面内分别作垂直于棱的两条射线个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两这两条射线所成的角叫做条射线所成的角叫做二面角二面角的的平面角平面角A1B1 P1 注意注意:(与顶点位置无关与顶点位置无关)APB=A1P1B12、作二面角的平面

3、角的常用方法、作二面角的平面角的常用方法、点、点P在棱上在棱上、点、点P在一个半平面上在一个半平面上、点、点P在二面角内在二面角内pABABpABOp定义法定义法三垂线定理法三垂线定理法垂面法垂面法二面角 ABP M N C DO解解：在在PB上取不同于上取不同于P 的一点的一点O，在在 内过内过O作作OCAB交交PM 于于C，在在 内作内作ODAB交交PN于于D，连结连结CD，可得：可得：设设PO=a，BPM=BPN=45CO=a，DO=a，PC a，PD a又又MPN=60 CD=PC aCOD=90因此，二面角的度数为因此，二面角的度数为90例例1.如图如图,已知已知P是二面角是二面角

4、棱上一点，过棱上一点，过 P 分别在分别在、内引内引射线射线PM、PN，且且MPN=600，BPM=BPN=450，求此二面角的度数。求此二面角的度数。COD是二面角是二面角 的平面角的平面角一一“作作”二二“证证”三三“计算计算”3 3、讲解例题、讲解例题：已知正三角形已知正三角形ABCABC，PAPA面面ABCABC，且，且PA=AB=aPA=AB=a，求二面角求二面角A-PC-BA-PC-B的大小。的大小。PABC1.定义法定义法：D过过A作作ADPC于于D，E过过D作作DEPC于于D，交，交PB于于E，连结连结AE，则则ADE就是此二面角的平面角就是此二面角的平面角。二面角的求法1.定

5、义法定义法：则则BDE就是此二面角的平面角就是此二面角的平面角。连结连结BE，已知正三角形已知正三角形ABCABC，PAPA面面ABCABC，且，且PA=AB=aPA=AB=a，求二面角求二面角A-PC-BA-PC-B的大小的大小。PABC过过B作作BDPC于于D，D过过D作作DEPC于于D，交，交AC于于E，E二面角的求法已知正三角形已知正三角形ABCABC，PAPA面面ABCABC，且，且PA=AB=aPA=AB=a，求二面角求二面角A-PC-BA-PC-B的大小。的大小。PABC2.三垂线定理法三垂线定理法：D过过B作作BDPC于于D，则则BDE就是此二面角的平面角就是此二面角的平面角。

6、连结连结DE，过过B作作BEAC于于E，E二面角的求法PA面面ABC，面面PAC面面ABC，BE面面PAC，EDPC，ABC为正为正，BE=在在RtPAC中，中，E为为AC中点，中点，则则DE=tg BDE=BDE=arctg已知正三角形已知正三角形ABCABC，PAPA面面ABCABC，且，且PA=AB=aPA=AB=a，求二面角求二面角A-PC-BA-PC-B的大小。的大小。PABC2.三垂线定理法三垂线定理法：连结连结AD，则则ADO就是此二面角的平面角就是此二面角的平面角。D过过O作作ODPC于于D，O过过A作作AO面面BPC于于O，F连结连结PO并延长交并延长交BC于于F，二面角的求

7、法已知正三角形已知正三角形ABCABC，PAPA面面ABCABC，且，且PA=AB=aPA=AB=a，求二面角求二面角A-PC-BA-PC-B的大小的大小。3.射影面积法射影面积法：则则 POC就是就是PAC在面在面PBC上上的射影的射影。PABCO过过A作作AO面面BPC于于O，二面角的求法F连结连结PO并延长交并延长交BC于于F，连结连结OC，已知正三角形已知正三角形ABCABC，PAPA面面ABCABC，且，且PA=AB=aPA=AB=a，求二面角求二面角A-PC-BA-PC-B的大小。的大小。PABC3射影面积法射影面积法：则则PDC就是就是PBC在面在面PAC内的内的射影。射影。过过

8、B作作BDAC于于D，D连结连结PD，二面角的求法几点说明几点说明：定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。此法得出的平面角在任作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法。三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足。此法一个面作垂线，再由垂足向棱作垂

9、线，连结这个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法。垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选择，所以此法一般不用择，所以此法一般不用。以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。间接法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面积公间接法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式,这

10、种方法虽然避免这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用了找平面角，但计算较繁，所以不常用。二面角的求法 ABC D 例例2.A为为二二面面角角 CD 的的棱棱CD上上一一点点，AB在在平平面面 内内且且与与棱棱CD成成45角角，又又AB与与平平面面 成成30，求求二二面角面角 CD 的大小。的大小。CO解：作解：作BC于于C，连结连结AC 过过C作作CO CD于于O，连结连结OB由三垂线定理可得：由三垂线定理可得：BO CDBOC是二面角是二面角 的平面角的平面角则则所求二面角的大小为所求二面角的大小为45设设AO=a 在在Rt AOB中，中，BO=a,AB=a 在在Rt ACB中，

11、中，BAC=30,AB=a,BC=a 在在Rt BCO中，中，sin BOC=解：解：ABP lO二面角例例 3 如如 图图 P 为为 二二 面面 角角 内内 一一 点点，PA,PB,且且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。求这二面角的度数。设过设过PA、PB 的平面的平面PAB 与棱与棱l 交于交于O 点点PA PA l PB PB l l 平面平面PAB AOB为二面角为二面角 的平面角的平面角又又PA=5，PB=8，AB=7由余弦定理得由余弦定理得P=60 AOB=120 所求二面角的度数为所求二面角的度数为120 如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，求二面

12、角求二面角 的正切值。的正切值。例：例：如图，正方体如图，正方体 中，棱长中，棱长为为 ，求面求面 和面和面 所成二面角的大小。所成二面角的大小。变题变题1：如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中点，求平面 与面与面 所成二面角的正切值。所成二面角的正切值。变变题题2：投影 如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中点，求平面 与面与面 所成二面角的正切值。所成二面角的正切值。变变题题2：如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中点，求平面 与面与面 所成二面角的正切值。所成二

13、面角的正切值。变变题题2：如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中点，求平面 与面与面 所成二面角的正切值。所成二面角的正切值。变变题题2：如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中点，求平面 与面与面 所成二面角的正切值。所成二面角的正切值。变变题题2：如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中点，求平面 与面与面 所成二面角的正切值。所成二面角的正切值。变变题题2：如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中点，求平面 与面与面 所成二面角

14、的正切值。所成二面角的正切值。变变题题2：如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中点，求平面 与面与面 所成二面角的正切值。所成二面角的正切值。变变题题2：如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中点，求平面 与面与面 所成二面角的正切值。所成二面角的正切值。变变题题2：如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中点，求平面 与面与面 所成二面角的正切值。所成二面角的正切值。变变题题2：如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中点，求平面 与面

15、与面 所成二面角的正切值。所成二面角的正切值。变变题题2：如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中点，求平面 与面与面 所成二面角的正切值。所成二面角的正切值。变变题题2：如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中点，求平面 与面与面 所成二面角的正切值。所成二面角的正切值。变变题题2：如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中点，求平面 与面与面 所成二面角的正切值。所成二面角的正切值。变变题题2：如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中

16、点，求平面 与面与面 所成二面角的正切值。所成二面角的正切值。变变题题2：如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中点，求平面 与面与面 所成二面角的正切值。所成二面角的正切值。变变题题2：如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中点，求平面 与面与面 所成二面角的正切值。所成二面角的正切值。变变题题2：如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中点，求平面 与面与面 所成二面角的正切值。所成二面角的正切值。变变题题2：如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的

17、中点，求平面的中点，求平面 与面与面 所成二面角的正切值。所成二面角的正切值。变变题题2：投影 如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中点，求平面 与面与面 所成二面角的正切值。所成二面角的正切值。变变题题2：三三垂线垂线PC练习练习1：如图，在平面角为如图，在平面角为 的二面角的二面角 内有一内有一点点P，P到到 的距离分别为的距离分别为PC=2cm PD=3cm则垂足的连线则垂足的连线CD=，P到棱到棱 的距离的距离为为FD练习练习2：在直角坐标系中，设在直角坐标系中，设A 、B 沿沿 轴把直角坐标平面折成大小为轴把直角坐标平面折成大小为 的二面的二

18、面角后，角后，则则 的值为的值为练习练习2：在直角坐标系中，设在直角坐标系中，设A 、B 沿沿 轴把直角坐标平面折成大小为轴把直角坐标平面折成大小为 的二面的二面角后，角后，则则 的值为的值为练习练习2：在直角坐标系中，设在直角坐标系中，设A 、B 沿沿 轴把直角坐标平面折成大小为轴把直角坐标平面折成大小为 的二面的二面角后，角后，则则 的值为的值为练习练习2：在直角坐标系中，设在直角坐标系中，设A 、B 沿沿 轴把直角坐标平面折成大小为轴把直角坐标平面折成大小为 的二面的二面角后，角后，则则 的值为的值为练习练习2：在直角坐标系中，设在直角坐标系中，设A 、B 沿沿 轴把直角坐标平面折成大小

19、为轴把直角坐标平面折成大小为 的二面的二面角后，角后，则则 的值为的值为练习练习2：在直角坐标系中，设在直角坐标系中，设A 、B 沿沿 轴把直角坐标平面折成大小为轴把直角坐标平面折成大小为 的二面的二面角后，角后，则则 的值为的值为三、课堂练习三、课堂练习：1 1、已知正方形、已知正方形ABCDABCD中，中，E E为为ABAB中点，沿中点，沿DEDE、ECEC把正方形折成把正方形折成 四面体，此时四面体，此时A A、B B重合为点重合为点P P，求面求面PCDPCD与面与面ECDECD所成的二所成的二 面角的大小。面角的大小。ECDP(A,B)EABCD二面角的求法1、如如图图，AB是是圆圆

20、的的直直径径，PA垂垂直直圆圆所所在在的的平平面面，C是是圆圆上上任任一一点点，则二面角则二面角P-BC-A的平面角为的平面角为:A.ABP B.ACP C.都不是都不是 练练 习习2、已已知知P为为二二面面角角 内内一一点点，且且P到到两两个个半半平平面面的的距距离离都都等等于于P到到棱棱的的距距离离的的一一半半，则则这这个个二二面角的度数是多少？面角的度数是多少？pABOABCP60课后课后小结小结1、先作出二面角的平面角，再求值、先作出二面角的平面角，再求值棱上棱上一点一点面上一点面上一点空间一点空间一点2、公式法、公式法（二面角的大小）二面角的大小）直接直接法法简接法简接法 如图，正方

21、体如图，正方体 中，其边中，其边长为长为 ，E为为 的中点、的中点、F为为 的中点，求的中点，求平面平面EFB与面与面ABCD所成二面角的正切值。所成二面角的正切值。变变题题3：课后思题课后思题1：已已知知RtABC在在平平面面 内内，斜斜边边AB在在30的的二二面面角角-AB-的棱的棱上上,若若AC=5，BC=12,求点求点C 到平面到平面 的距离的距离CO。AC BOD2：在在平平面面四四边边形形ABCD中中，AB=BC=2,AD=CD=,B=120；将将三三角角形形ABC沿沿四四边边形形ABCD的的对对角角线线AC折折起起来来，使使DB=，求求ABC所所在在平平面面与与ADC所所在在平平面所成二面角的平面角的度数。面所成二面角的平面角的度数。ABC BDO ODC BOB