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1、 从一条直线出发的两个半从一条直线出发的两个半一一、二面角的定义二面角的定义 平面所组成的图形叫做二面角平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做这条直线叫做二面角的棱二面角的棱。这两个半平面叫做这两个半平面叫做二面角的面二面角的面。二面角二面角的平面角必须满足二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内角的两边分别在两个面内注意：二面角的范围：lOAB二二、二面角平面角的定义二面角平面角的定义 在二面角在二面角-l-的棱的棱l上任取一点上任取一点O，以点，以点O为垂足，在半平面为垂足，在半平面和和内分别
2、作垂直于棱内分别作垂直于棱l的射线的射线OAOA、OBOB则则AOBAOB叫做二面角叫做二面角 的平面角。的平面角。二面角1、传统法、传统法pABpABOABp定义法定义法三垂线定理法三垂线定理法垂面法垂面法三三、二面角的求法二面角的求法传统法求二面角传统法求二面角步骤：步骤：二面角的平面角的作法：二面角的平面角的作法：二面角作图作图 证证明明 计算计算l将将二二面面角角转转化化为为二二面面角角的的两两个个面面的的方方向向向向量量（在在二二面面角角的的面面内内且且垂垂直直于于二二面面角角的的棱棱）的的夹夹角角。如如图图，设设二二面面角角 的的大大小小为为 ，其中其中DCBA方向向量法：方向向量
3、法：2、向量法求二面角、向量法求二面角二面角ll法向量法法向量法二面角注意：注意：注意：注意：求出了两法向量的夹角后，应结合图形与题意判断求出了两法向量的夹角后，应结合图形与题意判断求出的是二面角的大小还是它的补角的大小，从而确定二求出的是二面角的大小还是它的补角的大小，从而确定二面角的大小。面角的大小。法向量法求二面角的法向量法求二面角的步骤：步骤：1.1.建立适当空间直角坐标系，写出相关点的坐标建立适当空间直角坐标系，写出相关点的坐标2.2.求出二面角两个半平面的法向量求出二面角两个半平面的法向量3.3.求出两个法向量的夹角求出两个法向量的夹角4.4.判断二面角的平面角与两个法向量夹角的关
4、判断二面角的平面角与两个法向量夹角的关 系，是相等还是互补系，是相等还是互补例例1.如图，已知正四面体A-BCD（各条棱都相等）求二面角C-AB-D的余弦值大小ABC解：解：MOABPC过过O点作点作OEAB于E点，连连PEO为为 AC 中点中点，ABC=90在RtPOE中，OE ，PO 所求的二面角所求的二面角P-AB-C 的正切值为的正切值为例例2如如图图，三三棱棱锥锥P-ABC的的顶顶点点P在在底底面面ABC上上的的射射影影是是底底面面RtABC斜斜边边AC的的中中点点O，若若PB=AB=1，BC=，求求二二面面角角P-AB-C的正切值的正切值。由三垂线定理可知ABPE PEO就就是二面
5、角是二面角P-AB-C 的平面角的平面角在在RtPBE中中，BE ，PB=1，PEE解：解：EOP二面角OEBC且且 OE BC=C1BACA1B1例3 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均为a，D为CC1中点，求：平面A1BD与平面ABC所成二面角的大小。分析：面ABD与面ABC在图中只有一个公共点，由公理保证，它们必有一条经过点的公共直线，即二面角的棱。思路：延长A1D，AC，交于E点，连结BE，则BE是面A1BD与面ABC所成二面角的棱。易证BE 面A1B，可知A1BA是所求二面角的平面角，从而得出二面角的大小是45。EF过C点作CF 于点连接则CFD就是二面角的平面角。CF=C
6、D则CFD=45 解法1（传统法）C1BACA1B1解法2（向量法）设平面C1BACA1B1O注意注意:法向量法的关键就是建立适当的空间直角坐标系，法向量法的关键就是建立适当的空间直角坐标系，以便较容易得到关键点的坐标，从而实现计算的优化。以便较容易得到关键点的坐标，从而实现计算的优化。例例4 （2010陕西卷）如图，在四棱锥陕西卷）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是矩形，侧棱是矩形，侧棱PA 底面底面ABCD，BC=E、F分别是分别是AD和和PC的中点，求平面的中点，求平面BEF与与平面平面BAP所成锐二面角的大小。所成锐二面角的大小。DBCAP P设平面解：解：F FE
7、E 练练 习习二面角正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P是AD的中点,求二面角ABD1P的大小.DACBD1A1C1B1P解法1（传统法）DACBD1A1C1B1FEP过P点作PE AD1于于E点，过点，过E点作点作EF BD1于于F点，连结点，连结EF。AB 面面AA1D1D AB PE PE ABD1由三垂线定理可知由三垂线定理可知BD1 PF PFE就是二面角A-BD1-P的平面角积变换DACBD1A1C1B1P解法2（法向量法）设平面设平面小小结结二面角1.求二面角有两种方法：传统法、向量法。两种方法千秋求二面角有两种方法：传统法、向量法。两种方法千秋2.传传统统法法求求二二面
8、面角角的的一一般般步步骤骤是是：一一作作（找找），二二证证，三三计计算算。作作（找找）出出所所求求的的角角是是计计算算的的基基础础。二二面面角角的的平平面面角角多多采采用用定定义义法法或或线线面面垂垂直直法法等等方方法法来来寻寻找找.最最后后，一一般般通通过解三角形求出角的大小。过解三角形求出角的大小。3.向量法的关键就是建立适当的空间直角坐标系，以便较容向量法的关键就是建立适当的空间直角坐标系，以便较容易得到关键点的坐标，从而实现计算的优化。易得到关键点的坐标，从而实现计算的优化。二面角课后课后作业作业1.如图所示，第1题 2.如图，在三棱锥ABCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD，BDCD1，另一个侧面是正三角形，求二面角BACD余弦值的大小.ACMBDN