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1、二面角一一、二面角的定义二面角的定义从从空空间间一一直直线线出出发发的的两两个个半半平平面面所所组组成成的的图图形形叫做二面角。叫做二面角。二面角二面角二面角的平面角二面角的平面角角角 的平面角的平面角 一一个个平平面面垂垂直直于于二二面面角角的的棱棱，并并与与两两半半平平面面分分别别相相交交于于射射线线PA、PB垂足为垂足为P，则则APB叫做二面叫做二面ABP二面角二面角二二、二面角的求法、二面角的求法1 1、直接法、直接法：定义法定义法:a以二面角的棱以二面角的棱a上任意一点上任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于为端点，在两个面内分别作垂直于a 的两条射线的两条射线OA,OB，则则AO
2、B就是此二面角的平面角就是此二面角的平面角。OAB在一个平面在一个平面 内选一点内选一点A A向另一平面向另一平面 作垂线作垂线ABAB，垂足为垂足为B B，再过点再过点B B向棱向棱a a作垂线作垂线BOBO，垂足为垂足为O O，连结连结AOAO，则则AOBAOB就就是二面角的平面角。是二面角的平面角。ABO垂面法垂面法:a过二面角内一点过二面角内一点A A作作AB AB 于于B B，作，作AC AC 于于C C，面，面ABCABC交棱交棱a a于点于点O O，则则BOCBOC就是二面角的平面角。就是二面角的平面角。ABCO三垂线定理法三垂线定理法:a二面角的求法ABCOcos()=MN三角
3、形ABC在平面N内的射影为BCO 三角形ABC的面积为S，三角形BCO的面积为S射面积法例例1.在棱长为在棱长为a的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1中，中，求求（1）平面平面C1BD与平面与平面ABCD所成角的大小；所成角的大小；（2）二面角二面角AB1D1C的大小。的大小。例题分析例题分析A1AC1BCB1D1DPO例例2.如如图图，已已知知P是是二二面面角角-AB-棱棱上上一一点点，过过P分分 别别 在在、内内 引引 射射 线线PM、PN，且且MPN=60 BPM=BPN=45，求此二面角的度数。求此二面角的度数。ABPMNCDO解解：在PB上取不同于P 的一点O，在内过O作OCAB
4、交PM于C，在内作ODAB交PN于D，连CD，可得COD是二面角-AB-的平面角设PO=a，BPM=BPN=45CO=a，DO=a，PC a，PD a又MPN=60 CD=PC aCOD=90因此，二面角的度数为因此，二面角的度数为90aOPC二面角例例3如如图图P为为二二面面角角内内一一点点，PA,PB,且且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。求这二面角的度数。过过PA、PB的平面的平面PAB与与 棱棱 交于交于O点点PA PA PB PB 平面PABAOB为二面角的平面角又PA=5，PB=8，AB=7由余弦定理得由余弦定理得P=60 AOB=120 这二面角的度数为这二面角的度
5、数为120解：解：ABPO二面角OABPC取取AB 的中点为的中点为E，连连PE，OEO为为 AC 中点中点，ABC=90OEBC且且 OE BC在RtPOE中，OE ，PO 所求的二面角所求的二面角P-AB-C 的正切值为的正切值为例例4如如图图，三三棱棱锥锥P-ABC的的顶顶点点P在在底底面面ABC上上的的射射影影是是底底面面RtABC斜斜边边AC的的中中点点O，若若PB=AB=1，BC=，求二面角求二面角P-AB-C的正切值的正切值。PEO为二面角为二面角P-AB-C 的平面角的平面角在在RtPBE中中，BE ，PB=1，PEOEAB，因此因此 PEABE解：解：EOP二面角例5 已知：
6、RtABC中，AB=AC=a，AD是斜边BC上的高，以AD为折痕使BDC成直角。求证：平面ABD平面BDC，平面ACD平面BDC BAC=60。证明：证明：在图在图乙中乙中ADBD，ADDC，AD平面平面BDC，平面平面ABD 平面平面BDC，在图在图甲中甲中AB=AC=a，BAC=90。在图在图乙中乙中ABC是等边三角形是等边三角形 BAC=60。平面平面ACD 平面平面BDC。又又AD 平面平面ABD，AD 平面平面ACD，BD=DC=BC/2=2/2DBACADBC(甲图）（乙图）例6、如图，设E为正方体的边CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成角的余弦值。AB1E在底面
7、A1B1C1D1上的射影为A1B1C1，故这两个平面所成二面角的余弦值为 ABCDA1B1C1D1EMABCA1B1C1例7：在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=900，AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC成300角，求二面角BB1CA的正弦值 NQ分析：易知，平面ABC与平面BCC1B1垂直故可由面面垂直的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂线。h=1/32，解：由直三棱柱性质得平面ABC 平面BCC1B1，过A作AN 平面BCC1B1，垂足为N，则AN 平面BCC1B1，（AN即为我们要找的垂线）在平面BCB1内过N作NQ棱B1C，垂足为Q，连QA，则NQA即为二面角的平面角。
8、AB1在 平 面 ABC内 的 射 影 为 AB，CAAB，CAB1A，AB=BB1=1，得AB1=。直线B1C与平 面 ABC成 300角，B1CB=300，B1C=2，RtB1AC中，由勾股定理得AC=，AQ=1。在RtBAC中，AB=1，AC=，得AN=。sinAQN=。即二面角BB1CA的正弦值为 。1、如如图图，AB是是圆圆的的直直径径，PA垂垂直直圆圆所所在在的的平平面面，C是是圆圆上上任任一一点点，则二面角则二面角P-BC-A的平面角为的平面角为:A.ABP B.ACP C.都不是都不是 练练 习习2、已已知知P为为二二面面角角 内内一一点点，且且P到到两两个个半半平平面面的的距
9、距离离都都等等于于P到到棱棱的的距距离离的的一一半半，则则这这个个二二面角的度数是多少？面角的度数是多少？pABOABCP60二面角二二、二面角的平面角二面角的平面角一一、二面角的定义二面角的定义 从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角1、定义、定义2、求二面角的平面角方法、求二面角的平面角方法点点P在棱上在棱上点点P在一个半平面上在一个半平面上点点P在二面角内在二面角内ABP小小结结ABppABpABO定义法定义法三垂线定理法三垂线定理法垂面法垂面法二面角几点说明几点说明：定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶
10、点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。此法得出的平面角在任作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法。三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足。此法一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法。垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂
11、线，因为这一点不好选垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选择，所以此法一般不用择，所以此法一般不用。以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。间接法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面积公间接法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式,这种方法虽然避免这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用了找平面角，但计算较繁，所以不常用。二面角的求法ABCDAB=AD，BC=CD已知三个侧面的顶角,求相邻两个侧面所成的角注意一些全等三角形或相似三角形如下图：是正方形，是平面外一点，且，求二面角的大小。