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1、第二节可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程 第十二章第十二章 二二、一阶线性微分方程、一阶线性微分方程 一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程 一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.类型类型1求解法：求解法：变量分离变量分离可以验证可以验证:(1.3)式式为微分方程为微分方程(1.1)的的(隐式隐式)通通解解.事实上，事实上，的解，则它必满足的解，则它必满足(1.3);反之，若反之，若是由是由(1.3)确定的隐函数，即确定的隐函数，即则由则由隐函数求导法，隐函数求导法，得得注注 若题目只需求通解，则不必讨论若题目只需求通解，则不必
2、讨论例例1 求微分方程求微分方程解解分离变量分离变量两端积分两端积分C例例2 求微分方程求微分方程解解为所求通解为所求通解.二、一阶线性微分方程二、一阶线性微分方程类型类型2 上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.例如例如 一阶线性微分方程一阶线性微分方程齐次线性方程的通解为：齐次线性方程的通解为：1 齐次线性方程：齐次线性方程：求求解法解法:分离变量：分离变量：1.常数变易法常数变易法2 非齐次线性方程：非齐次线性方程：作变换作变换可分离变量方程可分离变量方程积分得积分得一阶非齐次线性微分方程一阶非齐次线性微分方程(4.1)的通解为的通解为:2.常数变易公式
3、常数变易公式1 常数变易法的实质常数变易法的实质:注注未知函数的变量代换未知函数的变量代换法，通过变量代换将法，通过变量代换将原方程化为可分离变原方程化为可分离变量的方程量的方程.2 在在常数变易公式常数变易公式(2.3)中，应将积分中，应将积分3 特解公式特解公式4 (2.1)的的解的结构解的结构非齐次线性方非齐次线性方程程(2.1)的特的特解解对应齐次线性方对应齐次线性方程程(2.2)的通解的通解解解例例5通解：通解：例例6解解关于关于y非线性非线性关于关于x为线性方程为线性方程通解：通解：1 分离变量分离变量;2两端积分两端积分-隐式通解；隐式通解；内容小结内容小结1.可分离变量方程的求解可分离变量方程的求解步骤步骤:3根据定解条件定常数根据定解条件定常数.2.一阶线性方程一阶线性方程方法方法1 先解齐次线性方程先解齐次线性方程,再用常数变易法；再用常数变易法；方法方法2 用常数变易（通解）公式用常数变易（通解）公式例例6-2分析分析 由于所给关系式是未知函数的二重积分，由于所给关系式是未知函数的二重积分，积分化为二次积分，而积分限为的积分化为二次积分，而积分限为的函数函数由二重积分的被积函数及积分域，将二重由二重积分的被积函数及积分域，将二重故通过求导可得出相应的微分方程故通过求导可得出相应的微分方程.备用题备用题解解例例6-5解解PQ得得