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1、关于一阶可分离变量型微分方程现在学习的是第1页，共27页一、可分离变量的微分方程dxxfdyyg)()( 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程. .5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 解法解法设设函函数数)(yg和和)(xf是是连连续续的的, dxxfdyyg)()(设设函函数数)(yG和和)(xF是是依依次次为为)(yg和和)(xf的的原原函函数数,CxFyG )()(为微分方程的通解为微分方程的通解.分离变量法分离变量法现在学习的是第2页，共27页例例1 1 求解微分方程求解微分方程.122的通解的通解及及xxydxdyxydxdy 解解分离变量分离变量,2xdxyd
2、y 两端积分两端积分,2 xdxydy12lnCxy .2为所求通解为所求通解xcey 例题又又,12xxdxydy 两端积分两端积分,12 xxdxydyCxyln)1ln(21ln2 .12为所求通解为所求通解xcy 现在学习的是第3页，共27页.0)()(2通通解解求求方方程程例例 xdyxygydxxyf,xyu 令令,ydxxdydu 则则, 0)()( xydxduxugydxuf, 0)()()( duugdxxuuguf, 0)()()( duugufuugxdx.)()()(|lnCduugufuugx 通解为通解为解解现在学习的是第4页，共27页例例 3 3 衰衰变变问问题
3、题:衰衰变变速速度度与与未未衰衰变变原原子子含含量量M成成正正比比,已已知知00MMt ,求求衰衰变变过过程程中中铀铀含含量量)(tM随随时时间间t变变化化的的规规律律.解解,dtdM衰变速度衰变速度由题设条件由题设条件)0(衰衰变变系系数数 MdtdMdtMdM , dtMdM00MMt 代入代入,lnlnctM ,tceM 即即00ceM 得得,C teMM 0衰变规律衰变规律现在学习的是第5页，共27页）（求求积积成成正正比比，比比例例常常数数和和未未掌掌握握新新技技术术人人数数之之数数化化率率与与已已掌掌握握新新技技术术人人连连续续可可微微变变量量），其其变变视视为为（将将已已掌掌握握
4、新新技技术术的的人人数数为为任任意意时时刻刻，在在该该人人群群的的总总人人数数为为新新技技术术的的人人进进行行的的，设设术术是是通通过过其其中中已已掌掌握握在在某某一一个个群群中中推推广广新新技技例例97).(, 0)()(4txktxtxtN )()(xNkxtx 解解：00 xxt dtxNkxdx)(kNtkNtCeNCex 100 xNxC 代代入入初初始始条条件件，得得kNtkNtexxNeNxx000 现在学习的是第6页，共27页例例 4 有高为有高为1米的半球形容器米的半球形容器, 水从它的底部小孔流水从它的底部小孔流出出, 小孔横截面积为小孔横截面积为1平方厘米平方厘米(如图如
5、图). 开始时容器内盛开始时容器内盛满了水满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水水面与孔口中心间的距离面与孔口中心间的距离)随时间随时间t的变化规律的变化规律.解解由力学知识得由力学知识得,水从孔口流出水从孔口流出的流量为的流量为,262. 0ghSdtdVQ 流量系数流量系数孔口截面面积孔口截面面积重力加速度重力加速度现在学习的是第7页，共27页cm100horhdhh )1(,262. 0dtghdV 设在微小的时间间隔设在微小的时间间隔,ttt 水面的高度由水面的高度由h降至降至 ,hh ,2dhrdV 则则,200)100(100222
6、hhhr )2(,)200(2dhhhdV 比较比较(1)和和(2)得得:dhhh)200(2 ,262. 0dtgh 1 S,cm2现在学习的是第8页，共27页dhhh)200(2 ,262. 0dtgh 即为未知函数的微分方程即为未知函数的微分方程.可分离变量可分离变量,)200(262. 03dhhhgdt ,)523400(262. 053Chhgt ,100|0 th,101514262. 05 gC).310107(265. 45335hhgt 所求规律为所求规律为现在学习的是第9页，共27页思考题思考题, 02cos2cos yxyxdxdy, 02sin2sin2 yxdxdy
7、,2sin2sin2 dxxydy2cot2csclnyy 为所求通解为所求通解. 求解微分方程求解微分方程.2cos2cosyxyxdxdy ky2 为方程解。为方程解。 kyCx2,2cos2 2cot2csclnyy ,2cos2Cx 也是解也是解.现在学习的是第10页，共27页一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、0tansectansec22 xdyyydxx； 2 2、0)()( dyeedxeeyyxxyx； 3 3、0)1(32 xdxdyy. .二、二、 求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、xdxy
8、ydyxsincossincos , ,40 xy； 2 2、0sin)1(cos ydyeydxx, ,40 xy. .练练 习习 题题现在学习的是第11页，共27页三、质量三、质量克克为为1的质点受外力作用作直线运动的质点受外力作用作直线运动, ,这外力这外力和时间成正比和时间成正比, ,和质点运动的速度成反比和质点运动的速度成反比. .在在10 t秒时秒时, ,速度等于速度等于秒秒厘厘米米/50, ,外力为外力为2/4秒秒厘米厘米克克 , ,问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少? ?四、 小船从河边四、 小船从河边处处点点 0出发驶向对岸出发驶向对
9、岸( (两岸为平行直线两岸为平行直线).).设设a船速为船速为, ,船行方向始终与河岸垂直船行方向始终与河岸垂直, ,设河宽设河宽h为为, ,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比的乘积成正比( (比例比例k系系数数为为).).求小船的航行路求小船的航行路线线 . .现在学习的是第12页，共27页练习题答案练习题答案一一、1 1、Cyx tantan； 2 2、Ceeyx )1)(1(； 3 3、Cxy 433)1(4. .二二、1 1、xycoscos2 ； 2 2、yexcos221 . .三三、3 .269 v厘厘米米/ /秒秒. .四四
10、、取取 0 0 为为原原点点, ,河河岸岸朝朝顺顺水水方方向向为为轴轴x, ,轴轴y指指向向对对 岸岸, ,则则所所求求航航线线为为)312(32yyhakx . .现在学习的是第13页，共27页1 1、齐次方程、齐次方程 P230P230)(xyfdxdy 形如形如的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程. .2.解法解法,xyu 作变量代换作变量代换,xuy 即即代入原式代入原式,dxduxudxdy ),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分离变量的方程可分离变量的方程1.1.定义定义,0)(时时当当 uuf xdxuufdu)(得得可化为分离变量的微分方程-齐次方程齐
11、次方程现在学习的是第14页，共27页例例 1 1 求解微分方程求解微分方程. 0cos)cos( dyxyxdxxyyx，令令xyu ，则则udxxdudy , 0)(cos)cos( xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu ,lnsinCxu .lnsinCxxy 微分方程的解为微分方程的解为解解现在学习的是第15页，共27页2222yxyxxyydxdy ,1222 xyxyxyxy,xyu 令令,udxxdudy 则则,1222uuuuuxu .2222xyydyyxyxdx 例例 2 2 求解微分方程求解微分方程解解,lnlnln21)2ln(23)1ln(Cxuuu .)2
12、(123Cxuuu 微分方程的解为微分方程的解为.)2()(32xyCyxy ,1122)121(21xdxduuuuu 现在学习的是第16页，共27页例例 3 3 抛物线的光学性质抛物线的光学性质实例实例: : 车灯的反射镜面车灯的反射镜面-旋转抛物面旋转抛物面解解轴轴设设旋旋转转轴轴 ox如图如图),0 , 0(光光源源在在)(:xyyL 为上任一点，为上任一点，设设),(yxM,yMT 斜斜率率为为为为切切线线,1,yMN 斜斜率率为为为为法法线线, RMTOMAxyoMTNRLA入射角余角入射角余角=反射角余角反射角余角由夹角正切公式由夹角正切公式RMTyyxyxyyOMA tan11
13、1tan现在学习的是第17页，共27页，令令xyu ,112uudxduxu 得得分离变量分离变量,1)1(22xdxuuudu ，令令221tu ,)1(xdxtttdt 积分得积分得,ln1lnxCt , 112 xCu即即, 022 yyxyy得微分方程得微分方程. 1)(2 yxyxy即即平方化简得平方化简得,2222xCxCu )2(22CxCy 抛物线抛物线轴轴的的旋旋转转抛抛物物面面方方程程为为所所求求旋旋转转轴轴为为 ox).2(222CxCzy 现在学习的是第18页，共27页2 2、可化为齐次的方程、可化为齐次的方程的的微微分分方方程程形形如如)(111cybxacbyaxf
14、dxdy 为齐次方程为齐次方程. .,01时时当当 cc，令令kYyhXx ,（其中（其中h和和k是待定的常数）是待定的常数）dYdydXdx ,否则为非齐次方程否则为非齐次方程. .)(11111ckbhaYbXacbkahbYaXfdXdY 2.解法解法1.1.定义定义 , 0, 0:111ckbhacbkah令令, 0)1(11 baba(2)有唯一一组解有唯一一组解(h,k).(1)(2) ，代代回回kyYhxX,求通解现在学习的是第19页，共27页,11 bbaa令令),)(1cbyaxcbyaxfdxdy 方方程程可可化化为为,byaxz 令令，则则dxdybadxdz ).()(
15、11czczfadxdzb , 0 b若若可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程., 0, 01 ab若若),(1adxdzbdxdy )()(11cczfadxdzb 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.,01时时当当 b,byaxz 令令可分离变量可分离变量., 0)2( 求通解,代回z=ax+by现在学习的是第20页，共27页.314的的通通解解求求例例 yxyxdxdy解解, 021111 , 0301khkh方程组方程组, 2, 1 kh. 2, 1 YyXx令令,YXYXdXdY 代入原方程得代入原方程得，令令XYu ,11uudXduXu 分离变量、积分得分离变量、积分得
16、,)12(22cuuX ,222CXXYY 即即代代回回，将将2, 1 yYxX得原方程的通解得原方程的通解,)1()2)(1(2)2(22Cxyxy 方程变为方程变为现在学习的是第21页，共27页.0)()(. 1通通解解求求方方程程 xdyxygydxxyf,xyu 令令,ydxxdydu 则则, 0)()( xydxduxugydxuf, 0)()()( duugdxxuuguf, 0)()()( duugufuugxdx.)()()(|lnCduugufuugx 通解为通解为解解利用变量代换求微分方程的解利用变量代换求微分方程的解现在学习的是第22页，共27页.)(. 22的的通通解解
17、求求yxdxdy 解解, uyx 令令1 dxdudxdy代入原方程代入原方程21udxdy ,arctanCxu 解解得得得得代代回回, yxu ,)arctan(Cxyx 原方程的通解为原方程的通解为.)tan(xCxy 现在学习的是第23页，共27页思考题思考题方程方程 )()()(2022xxydttyttyx 是否为齐次方程是否为齐次方程?思考题解答思考题解答方程两边同时对方程两边同时对 求导求导:x,222yxyyxy ,22yyxyx ,12xyxyy 原方程原方程是是齐次方程齐次方程.现在学习的是第24页，共27页一、一、 求下列齐次方程的通解求下列齐次方程的通解: : 1 1
18、、0)(22 xydydxyx； 2 2、0)1(2)21( dyyxedxeyxyx. .二、二、 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解求下列齐次方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、1, 02)3(022 xyxydxdyxy； 2 2、,0)2()2(2222 dyxxyydxyxyx 11 xy . .三、化下列方程为齐次方程三、化下列方程为齐次方程, ,并求出通解并求出通解: : 1 1、31 yxyxy； 2 2、0)642()352( dyyxdxyx. .练练 习习 题题现在学习的是第25页，共27页练习题答案练习题答案一、一、1 1、)ln2(22cxxy ； 2 2、cyexyx 2. .二、二、1 1、322yxy ； 2 2、yxyx 22. .三、三、1 1、Cyxxy )2()1ln(2112arctan22； 2 2、Cxyxy 2)32)(34(. .现在学习的是第26页，共27页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第27页，共27页