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1、第二十一一章“二二次根式式”简介介本章内容容“二次根根式”是数数学课程程标准中中“数与代代数”领域的的重要内内容。从从数学学课程标标准看看，关于于数的内内容，第第三学段段主要学学习有理理数和实实数。对对于有理理数和实实数，本本套教课课书主要要分三章章编写，分分别是77年级上上册第11章“有理数数”，7年年级下册册第100章“实数”和本章章“二次根根式”。本章章是在第第10章章的基础础上继续续研究有有关实数数的内容容。在第100章“实数”中，学学生学习习了一些些有关实实数的概概念和运运算，所所学概念念主要有有平方根根、算术术平方根根、立方方根以及及无理数数和实数数的概念念；关于于运算，主主要是利
2、利用平方方运算和和立方运运算求某某些数的的平方根根和立方方根，并并对有理理数的运运算性质质和运算算法则在在实数的的运算中中仍然成成立这一一点有所所体验。本章是在在第100章的基基础上，进进一步研研究二次次根式的的概念和和运算。在本章章中，学学生将学学习二次次根式的的概念、性质、运算法法则和化化简的方方法，通通过对二二次根式式的概念念和性质质的学习习，学生生将对实实数的概概念有更更深刻的的认识，通通过对二二次根式式的加、减、乘乘、除运运算的学学习，学学生将对对实数的的简单四四则运算算有进一一步的了了解。学学习本章章的关键键是理解解二次根根式的概概念和性性质，它它们是学学习二次次根式的的化简与与运
3、算的的依据，重重点是二二次根式式的化简简和运算算，难点点是正确确理二次根式式的性质质和运算算法则的的合理性性。 本章内容容与已学学 “实数”“整式式”“勾股股定理”等内容容联系紧紧密，同同时也是是以后将将要学习习的“解直角角三角形形”“一元元二次方方程”和“二次函函数”等内容容的重要要基础，并并为学习习高中数数学中不不等式、函数以以及解析析几何等等的大部部分知识识作好准准备。本章教学学时间约约需9课课时，具具体分配配如下（仅仅供参考考）：2111 二次次根式 约2课课时2122 二次次根式的的乘除 约2课课时2133 二次次根式的的加减 约3课课时数学活动动 小结 约22课时一、教科科书内容容
4、与课程程学习目目标（一）本本章知识识结构框框图（二）教教科书内内容本章内容容分为三三节，第第一节主主要学习习二次根根式的概概念和性性质，本本节既是是第100章相关关内容的的发展，同同时又是是后面两两节内容容的基础础，因此此本节起起承上启启下的作作用；第第二节是是二次根根式的乘乘除运算算，主要要研究二二次根式式的乘除除运算法法则和二二次根式式的化简简；第三三节是二二次根式式的加减减，主要要研究二二次根式式的加减减运算法法则和进进一步完完善二次次根式的的化简。在第211.1节节 “二次根根式”中，教教科书首首先给出出四个实实际问题题，这些些实际问问题的背背景是学学生比较较熟悉的的，其中中包含的的数
5、学关关系也是是比较简简单的，前前三个是是几何问问题，分分别是已已知直角角三角形形的两条条直角边边求斜边边的长、已知正正方形的的面积求求边长和和已知圆圆的面积积求半径径，最后后一个实实际问题题是物理理方面的的，涉及及到的数数学关系系是，要要求用hh表示tt。解决决这四个个问题需需要利用用已学的的平方根根和算术术平方根根的知识识，这四四个问题题的答案案，在结结果的表表达式上上有共同同的特点点，即都都是用算算术平方方根的形形式表示示出来的的，这样样教科书书就从实实际问题题出发，通通过分析析所得答答案的表表达式的的共同特特点引出出二次根根式的概概念。在在二次根根式的概概念中，重重要的一一点是理理解被开
6、开方数是是非负数数的要求求，教科科书结合合例题对对此进行行了较详详细的分分析。接接下去，教教科书依依次探讨讨了关于于二次根根式的结结论：是是一个非非负数、。对于于“是非负负数”，教科科书是利利用算术术平方根根的概念念得到的的；对于于，教科科书则采采用由特特殊到一一般的方方法归纳纳得出的的。在研研究这个个结论时时，教科科书首先先设置“探究”栏目，要要求学生生利用算算术平方方根的概概念进行行几个具具体的计计算，并并对运算算过程和和运算结结果进行行进一步步的分析析，最后后归纳给给出这条条结论；对于结结论，教教科书同同样采用用了让学学生通过过具体计计算，分分析运算算过程和和运算结结果，最最后归纳纳得出
7、一一般结论论的方法法进行研研究。第第一节的的内容是是学习后后两节内内容的直直接基础础。对于二次次根式的的运算，教教科书首首先研究究了乘除除运算，这这是211.2节节“二次根根式的乘乘除”的内容容。本节节中，除除了学习习二次根根式的乘乘除运算算法则外外，还研研究了二二次根式式的化简简。对于于二次根根式的乘乘除运算算，教科科书首先先研究了了二次根根式的乘乘法运算算，二次次根式的的乘法法法则是利利用由特特殊到一一般的方方法归纳纳给出的的。教科科书先设设置一个个“探究”栏目，在在“探究”栏目中中包含两两个不同同层次的的探究问问题。第第一步是是让学生生通过计计算发现现规律，第第二步是是让学生生对发现现的
8、规律律进行验验证，因因此第一一步中的的被开方方数都是是完全平平方数，这这样有助助于学生生发现规规律，第第二步中中的被开开方数不不是完全全平方数数，要求求用计算算器进行行验算，以以确认规规律是否否正确。这样，学学生通过过“探究”栏目的的活动，就就可以发发现与之间的的关系，从从而得到到二次根根式乘法法的运算算法则，运运用运算算法则就就可以进进行二次次根式的的乘法运运算。如如果将二二次根式式的乘法法法则反反过来看看，就可可以得到到积的算算术平方方根的性性质，利利用这条条性质可可以化简简二次根根式，这这样教科科书就给给出了一一种化简简二次根根式的方方法。对对于二次次根式的的除法运运算，类类似于乘乘法运
9、算算，教科科书也采采用了由由特殊到到一般的的方法，通通过归纳纳得出二二次根式式除法的的运算法法则，继继而得到到商的算算术平方方根的性性质，利利用这条条性质也也可以化化简二次次根式，这这样教科科书又给给出一种种化简二二次根式式的方法法。本节节最后，教教科书结结合本章章例题，给给出了最最简二次次根式的的概念，明明确了化化简二次次根式的的方向，这这为下一一节学习习二次根根式的加加减运算算作好铺铺垫。第21.3节是是“二次根根式的加加减”，本小小节的主主要内容容是二次次根式的的加减运运算和二二次根式式的加、减、乘乘、除混混合运算算，本小小节的基基础是学学生已经经掌握了了把一个个二次根根式化简简成最简简
10、二次根根式的方方法。学学习二次次根式的的运算是是研究数数学的需需要，也也是实际际的需要要。本节节开始，教教科书结结合一个个实际问问题引出出二次根根式的加加法运算算，使学学生感到到研究二二次根式式的加减减运算是是实际的的需要。这个实实际问题题是要在在一块长长方形木木板上截截出两块块面积不不同的正正方形木木板，当当然解决决这个实实际问题题的方法法可能不不同，教教科书采采用的是是先求出出两个正正方形的的边长的的和，再再将这个个和与长长方形的的长进行行比较的的方法，利利用这种种方法会会遇到求求二次根根式的和和的问题题，这样样教科书书就从实实际问题题出发引引出了二二次根式式的加法法运算的的问题。之后，教
11、教科书结结合这个个例子，研研究了二二次根式式加减运运算的法法则，明明确了二二次根式式的加减减首先是是化简，在在化简之之后就是是类似于于整式的的加减运运算了。整式加加减无非非是去括括号与合合并同类类项，二二次根式式在化简简之后也也是如此此，合并并被开方方数相同同的二次次根式（合合并同类类二次根根式）实实际上相相当于合合并同类类项，合合并的依依据是分分配律，关关于这一一点，在在第100章“实数”中已经经有所涉涉及，教教科书也也在边空空给出说说明。在在分别学学习了二二次根式式的加、减、乘乘、除运运算的基基础上，就就可以研研究它们们的混合合运算了了。教科科书以例例题的方方式介绍绍了二次次根式的的加、减
12、减、乘、除混合合运算的的例子，突突出了二二次根式式与整式式之间的的关系，体体现了整整式的运运算性质质、公式式和法则则与二次次根式相相关内容容的一致致性。（三）课课程学习习目标对于本章章内容，教教学中应应达到以以下几方方面要求求：1. 理理解二次次根式的的概念，了了解被开开方数必必须是非非负数的的理由；2. 了了解最简简二次根根式的概概念；3. 理理解并掌掌握下列列结论：（1）是是非负数数；（22）；（3）；4. 掌掌握二次次根式的的加、减减、乘、除运算算法则，会会用它们们进行有有关实数数的简单单四则运运算；5. 了了解代数数式的概概念，进进一步体体会代数数式在表表示数量量关系方方面的作作用。二
13、、本章章编写特特点（一）注注意加强强知识间间的纵向向联系本章内容容属于“数与代代数”这个领领域，对对于实数数的内容容，本套套教科书书主要分分为两章章学习，分分别是七七年级下下册的第第10章章“实数”和本章章“二次根根式”。在“实数”一章中中，主要要研究了了平方根根、立方方根的概概念和求求法，实实数的有有关概念念和运算算，学生生对数的的认识已已经由有有理数的的范围扩扩大到实实数范围围，并对对实数的的运算性性质和运运算法则则有了初初步的感感受，这这些就为为本章的的学习打打下基础础。因此此，本章章编写时时充分注注意与已已有经验验的联系系，在“实数”一章的的基础上上进行编编写。例例如，对对于二次次根式
14、的的加减运运算，在在“实数”一章中中，学生生在体验验“有理数数的运算算律和运运算法则则在实数数的范围围内仍然然成立”的过程程中有所所接触，本本章就在在此基础础上利用用分配律律给出了了加减法法的运算算法则，使使学生进进一步体体会运算算律在数数的扩充充过程中中的一致致性。本章内容容与第115章“整式”有着密密切的联联系。由由于数式式通性，当当将二次次根式中中的实数数看成字字母时，二二次根式式的运算算实际上上就是整整式的运运算，因因此整式式的运算算法则和和公式在在二次根根式的运运算中继继续使用用，因此此本章编编写时，强强调了与与整式相相关内容容的联系系。例如如，教科科书在介介绍二次次根式的的混合运运
15、算时，强强调了利利用多项项式的乘乘法法则则和乘法法公式进进行运算算，突出出了二次次根式运运算的本本质，这这样的编编写方式式加强了了知识之之间的相相互联系系，有助助于使学学生的学学习形成成正迁移移。（二）加加强与实实际的联联系研究二次次根式的的概念和和运算既既是数学学内在的的需要，也也是实际际的需要要，因此此本章编编写时，注注意加强强与实际际的联系系。例如如，二次次根式概概念的引引入是结结合四个个实际问问题展开开的，二二次根式式加法运运算是结结合实际际中裁截截板材引引出的，另另外本章章也有较较多的应应用本章章内容解解决实际际问题的的例题和和习题，如如计算钢钢材问题题、确定定纸张规规格问题题、电视
16、视塔的传传播半径径问题等等。加强强二次根根式与实实际的联联系，将将一些重重要的概概念和运运算紧密密结合实实际生活活展开，使使学生在在解决实实际问题题的过程程中认识识二次根根式的有有关概念念和运算算，这样样的一种种编写方方式有助助于学生生理解二二次根式式的本质质，调动动学生学学习数学学的积极极性（三）加加大学生生探索空空间，体体现由特特殊到一一般的认认识过程程由于本章章内容与与以前所所学的实实数内容容有较多多联系，在在思考问问题的方方法上与与整式的的内容又又有很多多相通之之处，因因此对于于一些重重要结论论，编写写时注意意了让学学生通过过观察、思考、讨论等等探究活活动归纳纳得出结结论的过过程。例例
17、如，对对于二次次根式的的乘法法法则，教教科书首首先让学学生利用用二次根根式的概概念和性性质进行行几个具具体的计计算，其其中有两两个二次次根式相相乘的问问题，也也有积的的算术平平方根的的问题，学学生通过过具体计计算，并并观察所所得结果果发现二二次根式式相乘与与积的算算术平方方根之间间的关系系，并利利用发现现的规律律进行计计算，然然后利用用计算器器进行验验证，最最后归纳纳得出二二次根式式的乘法法运算法法则，这这个过程程实际上上让学生生通过探探究活动动经历了了一个由由特殊到到一般的的认识过过程；同同样，二二次根式式的除法法运算法法则也是是采用通通过学生生的探索索活动，由由特殊到到一般地地归纳得得出结
18、论论的方法法。这样样，根据据本章内内容的特特点，本本章编写写时尽可可能多地地给学生生留出探探索交流流的空间间，通过过这样的的探究活活动发展展学生的的思维能能力，有有效改变变学生的的学习方方式，掌掌握认识识事物的的一般规规律三、几个个值得关关注的问问题（一）适适当加强强练习，为为后续学学习打好好基础本章内容容属于“数与代代数”领域中中较基础础的内容容，尤其其是二次次根式的的加、减减、乘、除运算算是后续续学习解解直角三三角形、一元二二次方程程和二次次函数的的重要基基础，例例如在“锐角三三角函数数”一章中中，会遇遇到很多多实际问问题，在在解决实实际问题题的过程程中，要要遇到将将二次根根式化成成最简二
19、二次根式式以及二二次根式式的加减减运算，在在“一元二二次方程程”中，利利用公式式法解方方程时，会会用到二二次根式式的性质质，在“二次函函数”一章中中，判断断二次函函数的图图象与xx轴是否否有交点点时，会会遇到根根的判别别式中被被开方数数小于00的情形形，这里里需要深深刻理解解二次根根式的意意义。因因此二次次根式的的有关概概念和运运算是学学好这些些后续内内容的重重要基础础，而熟熟练掌握握二次根根式的概概念和运运算需要要一定的的训练。这样，教教学中可可以适当当增加练练习，使使学生较较好地理理解二次次根式的的意义，较较好地掌掌握二次次根式的的性质和和运算，为为后续的的学习打打下良好好的基础础，也为为
20、学习高高中数学学中不等等式、函函数以及及解析几几何等的的大部分分知识作作好准备备。另外，本本章内容容与“整式”“勾股股定理”等联系系紧密，在在加强练练习的过过程中，要要注意强强调知识识之间的的相互联联系，进进一步加加深对整整式和勾勾股定理理等内容容的理解解，使学学生养成成以联系系和发展展的观点点学习数数学的习习惯（二）引引导学生生理解数数学的本本质本章的重重点是让让学生理理解二次次根式的的概念，并并会熟练练运用法法则进行行运算。本章编编写时，注注重说明明性质和和法则成成立的合合理性，突突出了它它们的数数学本质质。例如如，教科科书在介介绍二次次根式的的性质时时，首先先让学生生通过探探究活动动，对
21、这这条性质质有所感感受，然然后再从从算术平平方根的的意义出出发，结结合具体体例子对对这条性性质进行行分析，最最后由特特殊到一一般地得得到这条条性质，这这样就可可以使学学生对这这条性质质的数学学实质有有了较深深刻的认认识。另另外，对对于概念念，本章章编写时时遵循淡淡化概念念名词，突突出概念念实质的的原则。例如，本本章在介介绍二次次根式的的乘除运运算时，没有给出分母有理化的概念，而是结合具体例子说明了分母有理化的要求，再如，对于二次根式的加减运算，教科书回避了同类二次根式的概念，突出强调了运算时先将二次根式化成最简二次根式再进行合并的方法。这样处理内容的目的是使学生将学习的重点放在理解数学的本质上来。因此，教学中注意体会教科书的编写意图，培养学生的数学能力。