第5讲最值问题（解析版）.docx-淘文阁

资源描述

《第5讲最值问题（解析版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第5讲最值问题（解析版）.docx（18页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、第5讲最值问题一、考情分析与解析几何有关的范围、最值问题，高考中屡屡皆是，面对此类题目，往往无从下手。考查最值问题，不仅对圆锥曲线的基本性质的考查，而二更是涉及到对其他章节知识的考查。它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识，紧紧抓住圆锥曲线的定义进行转化,充分展现数形结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用.二、经验分享.圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性,质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时常

2、从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出取值范围；利用基本不等式求出取值范围；利用函数的值域的求法，确定取值范围1 .解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5.)利用求函数,的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取

3、值范围.【知识拓展】1.若椭圆方程为 + = 1(。0),半焦距为以，焦点6(c,0)，6(g0),设 a b过6的直线/的倾斜角为交椭圆于A、B两点，则有：卜用=-明二一-.；|阴二-2* .a-ccosaa + ccosaa -c cos a解：（1）设（c, 0）,由条件知，,=邛，得c=4又三=哗,所以4=2, b2=a2c2=. 。（J N当LLr轴时不合题意,r2故设/： y=kx2y P（x, yi）, Q（m，”）.将丫=履一2 代入7+）?=, 得（I +4乒）/一 6履 + 12=0.当 /= 16（4标-3）0,口”3rli 86243r-r4/F+ “43即卜0寸，

4、xi. 2=一本币.从而|PQI=& +内一刈=4。又点。到立线PQ的距离t/= rpTpj .所以4。/3。的面积Saopq=2PQ|= 4K+1 ,/ 4/4设、4尼-3 = /,则 /0, Sopq = 2_|_4= 4-7因为/+1%，当且仅当f=2,即左=4时等号成立，且满足/0.-东-2.M4、MB为抛物线的切线，A、B分别为切所以当aOP。的面积最大时，/的方程为尸格一2或产（四）求解函数值域得范围例4,已知抛物线C：），2=工，加为x轴负半轴上的动点,点，则加石的最小值为IA.一一 4【答案】CB- 4D.消去x整理/一“一m=0,【解析】设切线M4的方程为X 二）+6代

5、入抛物线方程,因为直线与抛物线相切，所以=r+4m=0,故二一二.所以方程），2-）一7 = 0为 4222）尸一）+：二（一；）2 =0，解得丁二（.所以点4、B的坐标分别为（：,：）、在方程X = + 7中，令），=0,可得工=7 = 一匚，所以点的坐标为（一匚,0）.所以 44MAMB =白，/心，一/=卜/一步4,所以当金日时，加.血取得最小值.故选C.16【变式训练1】已知椭圆E：二+二=1（。方0）经过点P（一百,1），椭圆E的一个焦点为（0,0）. cr ”2（I）求椭圆E的方程；（2）若直线/过点M（0,J5）且与椭圆E交于A，8两点，求|A8|的最大值.【解析】（I）依

6、题意，设椭圆8的左，右焦点分别为（6,。），F,瓜0）.则 I 尸片 I +1 PF2 |= 4 = 2a ,所以。=2, c = 6，b = l,所以椭圆3的方程为工+），2=. 4 （2）当宜线/的斜率存在时，设/：），=去+ 0, A（$,y）, 8（七,必）y = kx + 2由，由，r2 .得（1 + 4/）/+8后代+ 4 = 0.+V2 =14 ,由二（8）2 4x4（1 + 4公） 0得4公 1.,8贬k4 组由+占=7 %占二；力得21 + 4 公1+4公 1 A止 E（= 2卜（廿 + b 设/ = !r，则0vr, 1 + 4K2所以| A81= 2V-6r+r + l

7、= 2,-6-卷）2+| 人0）的左、右焦点分别为月、F,其焦距为2c,点。（。,一）在 a b2椭圆的内部，点P是椭圆。上的动点，且|。6| + |。|,2b2 3ac ,即2c,2+3牝-2。2 vO ,2a 22e2+3e-20,解得0e.2口用+ |尸。|=2一|尸乙| 十 |。|,又因为|尸。|一|26区|。鸟|,且I。8|二与，要3c13|PI + |PQI4| 匹鸟胆成立,即 2a|P6| + |PQ 区 2 +,4x2c, 2a 一 ,所以椭圆离心率的取值范围是（一,一）.1313 2四、迁移应用41 .在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y = x + * （）上的一个动点，则

8、点P到直线x+广。的距离的最小 x值是.44【解析】【解法一】：由），= X + -（X0）,得），=1-7， Xx44设斜率为一 1的直线与曲线y = x + * 0）切于（鹏,天+ 一）, x%由1一：二一1,解得%=血（%（）.不所以曲线y = x + 3（x 0）上，点P（&,3夜）到直线x+ y = 0的距离最小， xI拒+ 3 4最小值为产 = 4,72(A【解法二】：由题意可设点P的坐标为xx + (x0),则点尸到直线x+y = O的距离X)x2x2x2当且仅当/=夜等号成立,所以点P到直线x+ y = 0的距离的最小值为4.2.在矩形A4CO中，AB = , 40 = 2

9、,动点P在以点。为圆心且与8。相切的圆上.若AP = AAB + juADt则/1 +的最大值为()A. 3B. 2/C.逐D. 2【答案】AP(x,y),由等面积法可得圆的半径为【解析】如图建立直角坐标系,则 A(0,l), 8(0,0), 0(2,1),4所以圆的方程为(x-2)2 + y2=g,所以而= (x,)，-l), AB = (0,-1),而= (2,0),由 AP 二尤 AB + 4。，得，“ ，所以 4 + / = y + l,y 1= A2xX设z = / y + 1,即5 y + 1 z = 0,x点P(x,y)在圆上，所以圆心到直线1-y + l-z = 0的距离小于半

10、径,所以生即,解得1WzW3,所以z的最大值为3,即4 + 的最大值为3,选A.3. 一条光线从点（-2,-3）射出，经y轴反射后与圆（x + 3）2+（y-2）2 = l相切，则反射光线所在直线的斜率为（）【答案】D【解析】（-2,-3）关于），轴对称点的坐标为（2,-3）,设反射光线所在直线为），+ 3 =攵（工一2）,即hr-23=0,则d3y2-23| 印,，公+ 1|5Z+5|=JF7T,解得左=-3或-3. 344.将离心率为q的双曲线G的实半轴长。和虚半轴长匕3。/力同时增加 ?（0（）个单位长度，得到离心率为弓的双曲线G，则（）A.对任意的。，/九 e e2B.当时，ee2：当

11、 av/?时，et e2C.对任意的 a,，e, e2D.当时，e, e2【答案】D【解析】由题意,=产=J+(g)2 ,J(a + m)2 +(b + m)21 b + m.%=Jl + (厂a+mV a+m.b b + m m(b-a) . 丁 _=-由于m0, a：a a + m a(a + tn)所以当时，0-l, 0竺1 aa + m所以当a1, 如里 aa + m所以q / .所以当。时，e 0, b0,b b +tn ,b、?力 + m、2，-，(-) (广，a a + maa + mae2.21+)，2=1上的点，则P,。两点间的最大距离是()【答案】D【解析】由题意,=产=J

12、+(g)2 ,J(a + m)2 +(b + m)21 b + m.%=Jl + (厂a+mV a+m.b b + m m(b-a) . 丁 _=-由于m0, a：a a + m a(a + tn)所以当时，0-l, 0竺1 aa + m所以当a1, 如里 aa + m所以q / .所以当。时，e 0, b0,b b +tn ,b、?力 + m、2，-，(-) (广，a a + maa + mae2.21+)，2=1上的点，则P,。两点间的最大距离是()A. 5j2 B. V46+V2 C. 7 + V2D. 6V2【答案】D 【解析】由题意可设Q(Ji6cosa,sina),圆的圆心坐标为C

13、(0,6),圆心到。的距离为| CQ |= 7(V10cos)2+(sin-6)2 = 50-9(sin +1)2 W 廊=5及，当且仅当 sina =一1时取等号，所以|PQ|心冯。1皿+ = 5正+ 0 = 6打，所以P,Q两点间的最大距离是6a.x2 v26.12018全国卷川】己知斜率为A的直线/与椭圆C：一+乙=1交于A, 8两点，线段AB的中点为 43(根 0).(1)证明:k 一一； 2设尸为C的右焦点，P为C上一点，且再+百+方=0.证明：|可|, FP, |万|成等差数歹U, 并求该数列的公差.2222【解析】设4(2)，B(x2,y2)f则%与=1,今+上=1.两式相减

14、，并由二为=攵得%i玉+ 江&山=().xt -x243由题设知会殳=1,习士& 二加，于是 =-二. 224z31由题设得()加一，故一-.22(2)由题意得尸(1,0),设尸(知必)，则(七一 L %)+(X - 1，X)+ *2 - 1，2)=(，)由(1)及题设得忍=3-( + W)= L % =-(y + 丁2)= -2根0 33 3又点P在。上，所以加二一，从而21,一一)，|FP|=-.422于是 | 再 |=Ja-l)2 + y； =2同理|方上2三.2 1所以|E4| + | /8|=4-(x,+x2) = 3.故2|所1=1雨| + |而I，BPIE4I，FP, |序|成

15、等差数列.设该数列的公差为d,则21d |二| 而 | 一 | 必 |二 J | % - , 1= ： J（X +一 4内乙将7 = 2代入得人=一1.471所以/的方程为），二一工+：,代入C的方程，并整理得7f14x+： = 0.故玉+羽=2,玉工2二-，代入解得Id =上”.-2828F；匚I、12蛤办 11vt 八3VT t、 3V2T所以该数列的公差为或28287.设椭圆=+ = = 1（。0）的左焦点为尸，上顶点为B.已知椭圆的离心率为乂一，点A的坐标为 a- b-3S,0）, K|FB|-|AB|=65/2.（1）求椭圆的方程；（2）设直线/：），=丘（攵0）与椭圆在第一象限的

16、交点为2，且/与直线A8交于点Q.若四二包ZsinNA。为原点），求女的值.PQ 4e2 5【解析】设椭圆的焦距为2c,由己知知二=,又由/=/+/,可得2 = 3. a2 9由己知可得，|/词=，|人叫=&，由|尸印|人同二6夜，可得。 =6 ,从而4 = 3, b = 2 .22所以，椭圆的方程为三+汇=1. 94（2）设点P的坐标为（x，y），点。的坐标为（工2，。）由已知有乂%。，故|PQ|sinNAOQ =%一%.又因为|42| 二公一，而NO4B =工，故|八。| = &必 sin ZOAB4由喘J =可得5y=9），2.6k由方程组V 2 消去处可得/+ = 1,/9K+494

17、易知宜线48的方程为了+ -2 =（）,由方程组 =八消去X，可得先=冲由5y=9），2，可得5伏+ 1） = 3内再7，两边平方，整理得56公50& + 11=0,解得=；，或啜.所以,欠的值为;或. 228.平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：二+二= 1（。/（）的离心率为也，左、右焦点分别是、 a b2F2.以片为圆心以3为半径的圆与以乙为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆。上.（I）求椭圆。的方程； 22（H）设椭圆E：工 +二 =1, P为椭圆。上任意一点，过点尸的直线），= + /交椭圆E于A3两 46r 4/r点，射线。交椭圆于点Q.（i）求的值；（ii）求aAB。面积的最大

18、值.【解析】（I）由题意知2。= 4,则。=2, X- = , a2-c2=b a 2可得。=1,所以椭圆。的方程为三+），2 = 1 . 4 22（H）由（I）知椭圆E的方程为+ 上 = 1. 164 设尸（%, No= % ,由题意知Q（一无，一。）,因为红+城=1，又0支+上咆迂=1,即甚+靖=1, 41644 4所以;1 = 2,即欧1 = 2. OP(ii)设 A(X1,y),3*2，)，2)，将y代入椭圆E的方程，可得(1 + 4k2 可 2 + 可侬 + 4m 2-16 = 0,由(),可得加2)7?nnr=二2内一令77 = 7,将y = %x+m代入椭圆。的方程，1 + 4

19、K可得(1 + 42)x2 + Skmx + 4/n2 - 4 = 0 ,由A2O 可得 m2力0）,半焦距为c,焦点6（-。,0）,鸟（。,0）,设过玛的直线/的倾斜角为 cr ba ,交椭圆于A、B两点，则有：|明| = /，忸周=-；爪 -2aLa+ccosaac cos aa -c cos a同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为|A8| =2ab222 2a -c sin a（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距）2ab结论：椭圆过焦点弦长公式：22a -c cos alab2（焦点在x轴上）22 2 a -c sin a（焦点在y轴上）2.过椭圆二十a= l（a10）左焦点的焦点弦为,

21、围.2020北京石景山一模】如图，已知线段A8上有一动点。（。异于A，B），线段CD_LAB,且满足CZ）2=4AZBD（/l是大于0且不等于1的常数），则点C的运动轨迹为（）A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分【答案】B【解析】以线段A3所在的直线为工轴，以线段A3的垂直平分线为）轴，建立直角坐标系，设C*,），）是运动轨迹上任一点，且|/W|=2。，则4一。,0）, 5（。,0）.所以|。|2二/，A | |= A（x + a）（a-x） = -/lx2 + Aa2,所以 V =+痴2,即尤/+,2 二,即1 2二+ 二 =1且x工土。，所以点。的运动轨

22、迹为椭圆的一部分，故选B.a1 Aa2x2 v2【变式训练1】【2020陕西延安二模】己知，鸟为双曲线靛一齐=1（。0，人（）的左、右焦点，过匕的直线/与圆/ +），2=/相切于点用，且|MK|=3|M|,则双曲线的离心率为（） A.V2B. 2C. 3D. G【答案】D【解析】设（c,0）,6（c,0）,由过6的直线/与圆/ + 相切，可得圆心到直线/的距离 = ，过尸2向直线/作垂线，垂足为N,在直角三角形ON居中，可得|OQ|=2a, |OM|二， IQF21= 2b ,即有MF2 = 3MFi = 3a ,由 OM 为三角形MFR的中线，可得（21OM |）2 + （|）2 =

23、2（| MF |2 +1 MF212）,即 4及+4（?2 = 2（/+9/）,即有）+从=5。2,再根据a2+b2= c2得到双曲线的离心率为x/3 .故选D.【变式训练2】【2020福建龙岩毕业班质检】已知抛物线C：），2=4x的焦点为产，准线为/, P是/上一点，直线Pb与抛物线。交于M , N两点，若方=3或，贝iJ|MN|二（）A “R16n 8V3A. 1 OB. oC. L).33【答案】C【解析】如图所示，当点P位于第二象限时，过点M作于点AT ,轴于点。，由抛物线的定义可得IDFRMWIDF MF 1=MF,由平行线的性质结合相似三角形的性质可得：匕了A二匕焉=%，据此有：|

24、Dr | |MP | 2cosZDFM=il = ,所以NZM = 60，则&m=tan60 =百，直线MN的方程为：y =瓜x -1)，代入抛物线方程丁 = 43得犷- 10/+3 = 0 .结合焦点弦公式可得：|MN|=x+ +=号+ 2 二号.结合对称性可知，当点P位于第三象限时仍然有|MN|=号.故选C.【变式训练3】2018-2020学年河北定州市高二上学期期中】过双曲线/-看=1的右支上一点户,分别向圆G： (x+4)2+V=4和圆G ： *-4)2 +2 = 1作切线,切点分别为，/7,则|尸加一|呐|2的最小值为()A. 10 B. 13 C. 16 D. 19【答案】B【

25、解析】由题可知,1 PM2-PN2=( PC. I2 -4)-(1 PC2 |2 7),因此PM2-PN2=PC 2-PC2-3=(1 PC,|-|PC2|) = 2(| PC) | + | PC21)-32|0,021-3 =13. 故选B.(-)利用根的判别式或韦达定理或参数建立不等关系求范围例2.12()18河南八市下学期第一次测评】已知抛物线G : 9 = 4x与圆：丁十 / 一2工二o,直线y =依一改与G交于A，B两点,与。2交于用，N两点，且A，M位于x轴的上方，则丽？而=.【答案】1【解析】圆G的方程化为（xT）2 + V = i，直线y =丘一女过抛物线焦点尸。,0）,

26、结合抛物线定义，可得丽.而=|人必|桥|=|4用一1|区尸|一1|=工人4，由V-无7f 得网2一（2公+ 4次 + %2=0,所以y =4x即 AMNB=-22【变式训练I】【2018福建龙岩三月质检】已知椭圆C：二十二=1（。人0）的左、右焦点分别为 cr b”（-c,0）和6（c,0）,离心率是:，直线/过点P（0,c）交椭圆于A，4两点，当直线/过点8时.，耳A3的周长为8.（I）求椭圆C的标准方程：I pa I（2）当直线/绕点P运动时，试求的取值范围.I 【解析】（1）因为MAB的周长为|A6l + |8/ + |ABR4| + |A0| + |3KI + |B|=4a = 8,所

27、以。=2, 又e = = !，所以c = l,所以=/一。2 =3,a 2r2 V2所以椭圆C的标准方程为L +上=1.43（2）设A，3两点坐标分别为区方），（乙，%），当直线A3与轴重合，A点与上顶点重合时，义=然 =2 +6，I 邛当直线AB与）轴重合，A点与下顶点重合时， = j = 2-V3,111 .当直线斜率为0时，4二加二匕当直线A3斜率存在且不为。时.，不妨设直线A8方程为），=收- 1 ,y = kx-l由Id /,得（3 + 422）/一8一8 二 0，+ - = 1则有 +x2 = 8则有 +x2 = 88kT，3 + 4公PA= X,PB,则=一4为，代入得% - A

28、%1=8&3 + 4公83+ 4公所以一 X8工4后_3 +必；(1-团2 (l-M ( 8k 8公1 Z1 3、 1=(! + 7) ,2 4二 2即(1-，)-，解得2 8/1 二一以一/,由由y = bx b2y_x+h ，得直线/、交点Q纵坐标）b =2bb-在宜线y = -x + b,），= 一4一从中分别令）=（）,得到与x轴的交点RS,。），E（tM）,II 2h22所以s对.求导得S= 斐券3,8e（l,y）,S-l）33当）时,函数单调递减:当（一,+8）时，函数单调递增;22332Z?3 2x（ J 27所以当匕=一时 S最小值为； = - 7 - = -2b-1_X22【

29、变式训练3】已知椭圆C：=1（。 0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+ + 1 =0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆的方程.（2）设P为椭圆上一点，若过点M（2,O）的直线/与椭圆E相交于不同的两点S和7,且满足os + ar = top（o为坐标原点），求实数t的取值范围.【分析】（1）由题意可得圆的方程为（x-c）2 + y2 = a2，圆心到直线x + y +1 =（）的距离d = %/ y2根据椭圆C: r +=1（。 0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,b=c,。二岳=血。代入*式得 = c = l,

30、即可得到所求椭圆方程；（II）由题意知直线L的斜率存在,设直线L方程为y = k（x-2），设（%, %），将直线方程代入椭圆方程得：（1 + 2Y卜2 _弘2工+ 8公一 2 = 0,根据 = 64/-4（1 + 242财公2）=-16公+80得到/ b 0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,b=c,a = y/2b = a/2c 代入*式得 b =c =1a =垃b =及故所求椭圆方程为f+y? = l.（II）由题意知直线L的斜率存在,设直线L方程为y = Z*-2）,设p（%,），o）将直线方程代入椭圆方程得：（1 + 2公卜2 一8/工+诙2 -2 = o = 64/

31、 -4（1 + 222）（8攵2 -2）=-16&2 +80设5（司,），1）,丁（,乃）则玉+工2 =设5（司,），1）,丁（,乃）则玉+工2 =8T2当k=0时，直线1的方程为y=0,此时t=0, OS+ OT = tOP成立，故尸0符合题意.当/工0时842 tXr X +-1 + 2 小4400 = +、2=左(+%24)=21 i rv.18/1 一 4k一 /7E)。丁E将上式代入椭圆方程得:32k&16k2r( + 2k2)2 t + 2k2)2整理得：产二空1 + 2A、 1 、由女-一知()厂4 2所以小(一2,2)【点评】确定椭圆方程需要两个独立条件，从题中挖掘关于a、b.

32、 c的等量关系；直线和椭圆的位置关系问题，往往要善于利用韦达定理设而不求，利用点P在椭圆上和向量式得，= /(%),进而求函数值域.(三)利用基本不等式求范围例3.1202()陕西榆林二模】已知抛物线C:y2=4x的焦点为b，N(9,乃)是抛物线。上的两个动点，若玉+w+2 = 2|MV|,则/MFN的最大值为【答案】-3【解析】由已知+w+2 = 21MN|, W|MF| + |F|=2|A/|,因为cosNMEV| Mb+1 NF F -1 MN2MFNF-(|MF|2 +|?/F|2)-|MF|NF| ,4212MFNF2,当且仅当| MF |二|N|时等号成立，所以NMFN的最大值为王.3【变式训练1】已知点A(0, -2),椭圆区+务=1伍60)的离心率为坐尸是椭圆E的右焦点，直线 4b的斜率为手，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线/与E相交于P,。两点，当。尸。的面积最大时，求/的方程.

展开阅读全文

第5讲 最值问题（解析版）.docx

第5讲最值问题（解析版）.docx