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1、 第7讲 直线与曲线的最值问题1（2019浙江高三月考）如图，已知是抛物线上一点，直线，的斜率互为相反数，与抛物线分别交于，两点，且均在点的下方（1）证明：直线的斜率为定值；（2）求面积的最大值【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】（1）证明：因为是抛物线上一点，所以，得，所以抛物线方程为，设直线的方程为，由，得，所以，所以，因为直线，的斜率互为相反数，所以直线的方程为，同理可得，所以，所以直线的斜率为定值，（2）解：由（1）设直线的方程为，由，得，因为直线与抛物线有两个交点，所以，得，所以，点到直线的距离为，所以的面积为，令，则，所以，令，则，令，得或（舍去），当时，当时，所以在递增，在上
2、递减，所以当时，取最大值，即，所以的面积的最大值为，此时直线为2（2020全国高三课时练习（理）已知抛物线和的焦点分别为，点且为坐标原点）（1）求抛物线的方程；（2）过点的直线交的下半部分于点，交的左半部分于点，求面积的最小值【答案】（1）；（2）8.【解析】（1）F1（1，0），p=2，抛物线C2的方程为x2=4y；（2）设过点O的直线为y=kx，联立得（kx）2=4x，求得M（，），联立得N（4k，4k2）（k0），从而，点P到直线MN的距离，进而=，令，有SPMN=2（t-2）（t+1），当t=-2时k=-1，取得最小值即当过原点直线为y=-x，PMN面积的面积取得最小值83（2020河
3、北枣强中学高三月考）如图，过抛物线的焦点的直线交于两点，且（1）求抛物线的标准方程；（2）是上的两动点，的纵坐之和为1，的垂直平分线交轴于点，求的面积的最小值.【答案】（1）；（2）3【解析】（1）由题意得，设直线方程为由得，,由题意设是方程两根，所以,所以,抛物线的标准方程为.（2）设，因为在的垂直平分线上，所以.得, 所以即所以又因为, ,故于是由（1）得因此当时有最小值3.4（2020浙江高三其他）如图，点.是抛物线上一点，且在点的右上方.在轴上取一点，使得.射线交抛物线于点，抛物线在两点，处切线交于点.（1）若，求点的坐标； （2）记面积为，面积为，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）如图，过做轴于，过做于，由，可作，则，所以，作等腰，则，所以，于是可设，则，所以，解得或（由题意易知不满足题意），所以；（2）设的倾斜角为，的倾斜角为， 由题意，易知：，由， ，所以，所以直线、的斜率都存在，设为，则，即，则，即，即；设，则，则，整理得：，设：，代入，得，则，所以，即，因为抛物线在两点，处切线交于点，设在点处的切线方程为，即，联立，消去，得，所以切线方程为同理切线方程为，由，得，即，由，则，设：，即，由解得，所以，即，到直线的距离为，到直线的距离为，所以，记，因为，所以则，所以当时，所以函数单调递增；当时，所以函数单调递减；所以，即的最大值为.