高考数学复习第26讲平面向量范围与最值问题（解析版）.pdf-淘文阁

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1、第 26讲平面向量范围与最值问题【典型例题】例1.已知正方形 A 88 的边长为 1,当每个 4 =1,2,3,4,5,6)取遍 1时，14 A B+4 BC+4 co+4 0 4+4 A C+&B 0的最小值和最大值分别是()A.0,/5 B.0,275 C.1,#D.1,2#)【解析】解：正方形ABC 的边长为1,可得A8 +A O =AC,BD=A D-A B,AB AD=0,14 AB+4 BC+4 CD+&DA+&A C +4 BD|A B +A D-A B-A D +A B +A D +A D-A B l I(4 4 +4 +(4 4 +4 +4)A。|=/(4

2、-4+4-4)+(-4+4+4),由于4(i=l,2,3,4,5,6)取遍 1,可得4 4+4 4 =0,%-4+4 +4=0,可取小=人印，=z i=1&=1,4=1,可得所求最小值为0；由4-4 +4-4，4 4 +4 +4,的最大值为4,可取%=1,24=1,4=4=1,4=1,4=1,可得所求最大值为2逐.故选：B.例 2.已知在 AABC 中，|4B+4C|=|BC|=2,且|AC|=1,则函数/(f)=|f A8 +(l-t)4C|的最小值为()A.-B.C.D.G223【解析】解：AABC 中，AB+AC=BC=2,且|AC|=1,ZBAC=-,AB=43,22)f2(t)=t

3、2A B+(,-t)2.AC=3产+(1_)：=4r-2r +l=4(r -)2+-,即函数/(/)引tAB+(1 T)AC|的最小值为.故选：B.例3.如图，在平面四边形AB C D中，A B L B C,A D V C D,Z B A D =2Q ,A B=A D=.若点E 为边C D上的动点，则AE-8 E的最大值为()【解析】解：由题可知，A C和3。互相垂直平分，如图所示，分别以皮)、A C所在的直线为x和y轴建立如图所示的平面直角坐标系,_ 3直线8 的方程为y|=*x,即y =JI r +|,2设点E的坐标为(见6 m+当，2/.AE.BE=(m,6m+2).(m 一)=fn(m

4、-)+(6m +2)(G？+)=4w2+30m +3,2 2开口向匕对称轴为机=-之叵，8.当加=0时，AE-BE取得最大值，为3.故选：D.例4.如图，在AABC中，。是3C的中点，E、f是A上的两个三等分点，BA.CA=4,BF.CF=-,则BE.CE的值是（）7 3A.4 B.8 C.-D.-8 4【解析】解：。是5C的中点，E,尸是上的两个三等分点，.BF=BD+DF,CF=-BD+DF,BA=BD+3DF,CA=-BD+3DF,2 2.BF.CF=DF-BD=-l,2 2BA.CA=9DF-BD=4,DF；：，BD28 8又.BE=BD+2DF,CE=-BD+2DF,2

5、-2 7.BE.CE=4。尸-BD=-,故选：C.A例5.已知C,。是半径为1的圆。上的动点，线段他是圆。的直径，则A C B。的取值范围是（A.-2,-B.-2,0 C.-4,-D.T ,0 2 2贝h a n a=,a=2c o s2 a ,b =2c o s -(p ,b t a n a 2 2A r f i -0 +(p ,2 2一.A C.BDu yl a1+从 s in(，+e)-a 的最大值是:l a2+Z72-a,最小值是：-l a2+b2-a,最大值为：yj cr+b2-a=y1(2 co s2a)2+(2c o s a s in a)2-2c o s2a=2c o

6、s c r-2c o s2 a 1、2 1=-2(COS CL)H ，2 2当。=工时，取最大值3 2最小值是：-J a?+是4 二-2c o s a 2c o s 2 o =-2(c o s a +,2 2当a =0时，取最小值T；故所求范围为：-4,1.故选：C.例 6.已知向量a,b满足：|。|=2,向量b与夹角为也，则力的取值范围是3【解析】解：不妨设b=(x,0)(x.0),=0,OA=a,OB=h 9 a b=BA.响量b 与a-b 夹角为丝,3.-.ZAOB=0G(O,).(2 呜)哼步 s in(20+令 w-l,1.在钻中，由正弦定理可得：二 _ =1 二句

7、=_ 1-s in；s in(2；_)|Z|=s in(-0),|a -丘速 s in 6=拉-2 a.b+b,3 3 3/.ab=2+-sin2(-0)sin2O3 3 34 47r=c o s 26 c o s(2，)+2=CS 2。+J,in 2。)+24A/3.1、口 46 c 46、=-s m(29+)+2e 2-,2+-.3 6 3 3a.b的取值范围是2-怨,2+手.故答案为：2-券,2+怨.例 7.己知A A 8 C 是边长为2 的等边三角形，M 为A A 8 C 内部或边界上任意一点，则+M C)的最大值为【解析】解：建立平面直角坐标系，如图所示,M f iC 中，A(0,6

8、),B(-1,O),C(1,O),设则一啜A 10 领卜GyX +1 ；A/3ry 11也M A =(-x,V3-y)，M B =(-l-x,-y),M C=(1；M 5 +MC =(2X,2y)；MA.(MB+M O =2 x2+2 y2-2 6 y =2f x2+y-与?-1；由图形知，当x =0，y=,+取得最小值-；2 2当*=1,y =OB寸，M A.(M B+M C)取得最大值 2；a.,最大值为2,最小值为一.2故答案为：2,2【同步练习】一.选择题1.在平面直角坐标系中，己知点4-1,0)、8(2,0),E、尸是y 轴上的两个动点，且|尸|=2,贝 I 4E.8 F的最小值

9、为()A.-2 B.0 C.-3 D.-4【解析】解：设点 E Q y),点尸(0,y+2),y c R,则 AE=(l,y),3F=(-2,y+2),/.AEBF=1.(-2)+y(y+2)=y2+2y-2=(y+l)2-3；当y=-l时，A石.3尸的最小值为一3,故选：C.2.设。，b,0为平面向量，|。|=M|=2,若(2c a)(c-A)=0,则的最大值是()+V35A.+B.2-C9-D.4【解析】解：=耐=2,/.cos=1 i=-,即得 v。，b=J1 1 1 1 axb 2 3设 c=(羽y),a=(2,0),则 E=(l,6),因为(2c-a)(-走)2=3,向量c

10、,的终点的轨迹是以(1,日)为圆心，弓为半径的圆.设 z=c l =(x,y)-(l,/3)=x+x/3yt当直线x+6 y-z =0与圆相切时，z取得最大值或最小值，1 +x/3-z _此时有-,解得z J +x/j或g-G，2 2 2 2?.c b的最大值为*+6 .2故选：B.3.设为平面向量，|。|=|切=2,若(2c-)-)=(),则。山的最大值为()9 17A.2 B.-C.D.54 4【解析】解：根据题意不妨设方=(2,0),a=(2cosa,2sina aG0,2zr,c=(x,y),则c 6 =2x,.求c 。的最大值，即求x的最大值,2 c-a =(2x-2cos a,2

11、 y-2 sin a)，c-b =(x-2,y),(2C-d)(C-b)=0,(2x-2cosa)(y-2)+(2y-2sin a)y=0,/.y2-y sin a+x2-x(cosa+2)+2 cos a =0关于 y 的方程有解，.=(sina)2-4 x2+4x(cosa 4-2)-8cosa.0,令f=cosa(-啜)1),则-4 M+2)+/+8 L,0,r+2-5-4f-i f+2+-5-4,2 2令 jn=?(啜桁 3),则 +2+后 =-(租-2)7 .2 8当利=2 时，,+2+x/J,2 817 7 c 17/.A,:.C=2天,一，8 4 .C l 的最大值为：4故选：C

12、.4.记已知向量，b,c 满足|a|=l,|匕|=2,a9b=0,c=2 a+0(4,4.0,h,ah且 4+/=1,则当加2 -c 取最小值时，|c|=()A.迈 B.述 C.1 D.好5 3 2【解析】解:如图，设 OA=a,OB=，则 a=(1,0)石=(0,2),I,.0,4+=1,源见 1 .又 c=/la+pib,/.cd=(Aa+b-A ba=A；cb=(Aa+h 一九b)b=4-4 4 .,4由 4=4 4/1，得 4=.5,ch=42,xxU 1-.44 42,0,Z 令/(=4领兑144-4 2,0 2 解得 n m=-2,4x+y=l +2 x =1.-m m m2.

13、3 ,r7 -x+y e 1).故选：B.6 .已知平面向量a,b,c 满足|a|=l,出|=2,|c|=3,且。_ 1_ 匕，则I a +-c|的取值范围是()A.3-/5 ,3 +6 B.(3,6)C.(3,3 +D.3-6，6)【解析】解：不妨以向量4，b的方向分别作为x,y 轴建立平面直角坐标系，则。=(1,0),=(0,2),因为|c|=3,所以设c =(3 c o s(9,3 s i n。)，6 G 0,2 泪,所以。+。一右=(1 +3 cos2 +3 s i n0),所以|。+一。|=J(1+3C O S0)2 +(2 +3 s i n J)2 =J 2(6 s i n 夕 +

14、3 c o s 夕 +7),设/(e)=6 s i n e+3 c o s 6 +7,。0,2 幻，则/(。)=36s i n(9 +e)+7 ,其中 t a n e=ge(0,弓)，所以。(0,看)，所以 s i n(6 +0)-1,1，故f 7-3 后,7 +3，所以|a +b c|e j 2(7 3 石)，5 2(7 +3 4),即|d +b-c 曰 3-石，3 +石.故选：A.7 .已知O为A 4 8 C 的外心，A为锐角且s i n 4 =2，A O =a A B +0 A C ,则a +的最大值为()A.-B.-C.-D.-3 2 3 4【解析】解：如图所示，以8c边所在直线为x

15、轴，BC边的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系(。为边的中点).由外接圆的性质可得Z B O D =Z.COD=ABAC.由A为锐角且s i n A =述，3不妨设外接圆的半径R =3 .则。4 =O 3 =O C =3.c o s Z C O D =-=c o s A =-，O C 3;.OD=1,D C =IOC2-O D2=2 7 2 .，8(-2 0,0),C(2夜，0),0(0,1),A(m,n),则A A B C外接圆的方程为：x2+(y-l)2=9.(*)A O =a A B +PA C,(-m ,1 -n)=a-2 2 t n ,-n)+)5(2/2 -w ,-ri)-m =?)

16、+/3(2,p 2 7 7?)l n =-an -(in,.a +夕#1时，否则C O =cCB,由图可知是不可能的.可化为2夜(-a)m =-a+J 3-1n =-a+p 代入可得意篙+窃尸以化为 18(a +0=9 +3 2的，利用基本不等式可得18(a +),9 +3 2(3 12)2,化为 8(a +4 -1 8 3 +)+9.0,解得a +6 1或a +.2.又a +v l,故a +1.可应舍去.3.a +,则a +Z?的最大值为3 ,故选：D.8.正三角形舫 C 内一点M 满足C M=，wC4+CB,ZMC4=4 5 ,则%的值为（）nA.A/3-1 B.73+1 C.D

17、.2 2，2.A-E n-i _ _ _,/口 CM CA=mCA+nCACB【解析】解：如图，设正二角形的边长为。，由。0=%。4+（加得：2CM.CB=mCA.CB+nCB，u。_,“。、1 /2,73 72 V2+V6cos 15=cos（60 45）=-1-=-；2 2 2 2 4=ma2+邑西。矶=则+而I 4 I 2&n石、机+一.2得 2 二2.万南一瓦 I4 29.已知共面向量 ,b,c 满足|a|=3,6+c =2a,且|6|=|6-c|.若对每一个确定的向量6,记Ib-S lQ e R）的最小值4时“，则当6 变化时，4 成“的最大值为（）4A.-B.2 C.4 D.

19、|=2,=60,且 C=-；d+fbQ e R）,则 I c I+|c-a|的最小值为（）A.V il B.4【解析】解：由题意可知，把看作(2,0),C.2 也D.9GT=6 0，则t h可表示为BO,点、B在直线y=J i x 上,设 C(-l,0),0(3,0),1 ,“c a+t b，t G R ,23/J c|=B C,c a=a+t b i2:c-a BD ,则|c|+|c-|的最小值可转化为在直线y=3 x取点使得 BO+BC 最小，作点C 关于y=也X的对称点C,则 3 +8 C最小值即可求出DC，设 C(x,y)，解得2则 C +3)”日一)、后,故|C|+1 C-。I

20、的最小值为屈.11.已知A、B、C、。是单位圆O:f +y2=l 上的相异的四个点，且 A、3 关于原点对称，则 A C-8 的取值范围是()A.(Y,g B.-4,1)C.(-4,D.-4,7 2)【解析】解：如图所示，因为A、B、C、。是单位圆0:/+丁=1上的相异的四个点，且A、B关于原点对称，当点A与点方重合，点5与点C重合时，A C-B =|A C|S D|c o s l 8 00=-4,由于A、B、C、。是相异的四个点，所以A C-B O T；当点E,D,F三点分别为C,A,O的投影点，则 8尸=尸，EF”R,所以 A C 8 Z)=B )E =2 F D !D F(1-)F)-

21、，2当且仅当B D H O C且O F=D E时取等号.综上所述，AC 8。的取值范围是(-4,，.故选：A.12.边长为2的正三角形A B C内(包括三边)有点P,PB.PC=,则A尸的范围是()A.2,4 B.,4 C.3-石，2 D.,3-石2 2【解析】解：以B C中点O为原点，所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系,A(0,石)，C(1,O),设P的坐标为(x,y)，PB=(-x,-y),PC=(l-x,-y),PB.PC=x2-1+/=1,设乙4。尸=夕，则一鹰/尸，尸(及sin。，Jocose),A P =(/2s in ,V5 c o s-百)，又 A 8 =(T,_所以 A

22、 P.A 8 =-&s i n 0-J CO S Q+3,-4 领切，,当夕=分时，A P.A B 最大,AP.AB=(-J i)x(?立-M)-&而述+3 =3 一百；8 8当g=时，ARAB最小，AP.AB=(-丘)乂地-5-屈X 而+瓜+3 =；8 8 2所以A P.A B 的范围是匕叵，3-7 5 .2故选：D.二.填空题13.如图，在直角梯形A88 中，A D Y A B,AB/DC,A D =D C =,A B=2,动点尸在以点C 为圆心,且与直线5 相切的圆上或圆内移动，设/:彳人力+“4 以大以仁/?),则2+取值范围是【解析】解：以A为坐标原点，AB,AD所在直线为x

23、轴、y 轴，建立平面直角坐标系如图所示.则 A(0,0),0(0,1),C(l,l),8(2,0)宜线处的方程为5+；=1,化简得x+2y 2=0,.点C到 3 D的距离=尸 =,V5 5可得以点C 为圆心，且与直线班相切的圆方程为U-1)2+(-1)2=g -设尸(x,y),则 A P =(x,y),A D =(0,1),AB=(2,0),AP =A A D +4 A 8(4 R),.(%,y)=2(0,l)+(2,0)=(2,2),可得x=2且 y=2,P的坐标为(2/z,2).尸在圆内或圆匕，-(2/-1)2+(4 -1)2,g，设 4 +=，0 -/J=t A ,代入上式化简

24、整理得5万-(8 f-2)4 +4/-4 f+|0.若要上述不等式有实数解，9贝 “=(8 f-2)2-4 x5 x(4 r 4 f+m.0,化简得“-3/+2 0,解得喇2,即掇!R +2,；./1+取值范围是1,2.故答案为：1,21 4.在直角梯形/I fiCD中，AB1.AD,AB/DC,A D =D C =,AB=2,动点P在以点C为圆心，且与7直线如相切的圆上或圆内移动，设4/=2 4。+4 8(4砌，则8+；力最大值是【解析】解：以A为坐标原点，AB,所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系如图所示.则 A(0,0),3(2,0),C(l,l),D(0,l),则直线B D的方

25、程为x+2y-2=0,则点C(l,l)到直线B D的距离为“上浮=,V5 V5可得以点C 为圆心，且与直线3。相切的圆方程为(x-l)?+(y-l)2=g 设尸(x,y),则 A 户=(x,y),A D =(0,1),AB=(2,0),)LAP =A A D +e R),(x,y)=2(0,1)+必(2,0)=(2 ,2),可得x=2且 y=2,P的坐标为(2,/l).P在圆内或圆上，(2/z I)2+(A -1)2 1-1+,设 2+=f,得=f 代入上式化简整理得5 A,2-(St-2)2+4/2-4/+|0,若要上述不等式在/I e U-乎，1+(上有实数解,Q对于函数 g(x)=5 4

26、 2-(8 r-2)2+4 r2 一力+丁,0，979=(8 r-2)2-4 x5 x(4?-4 r +-).0解得掇）2,A2+-A =A2+-A(t-=A2-A.2+-A t=-A2+-At=-(A.2-a)2 2 2 2 2 2 2 5=5(Z,2 7、，+4 9 广2，2 10 4 0T7 7 r 7 7、人-1 G-，10 10 5故当/i =Nf 时，无+2%取得最大值竺“，又掇力2,10 2 4 0.-.2=-7,1=2 时，分+7,4 取得最大值4丝Q.5 2 10故答案为：.101 5.已知 AA8C 中，AB=2.AC=l,当 2x+y=/0)时，恒成立，则 AA8C

27、的面积最大值为_L【解析】解:不等式 xAB+y g.3f,2 2 1两边平方可得，x2AB+y2 AC+2xyAB.AC.t2,由 AB=2,AC=1 2x+y=t,可得4x2+y2+4孙(2cosA-V).O,由判别式 16y2(2cosA-1)2-1 6/0，即为 cos A(cos A-1)0，可得c o sA.O,即A的最大值为工,2当 cos A=0 时，|xAB+yAC=+y1.(2x+y),则 AABC 的面积为 S=-AB.AC.sin A=x 2 x 1 =1 ；22在直角三角形M C中，取3 C的中点O,连接P。,则尸3+PC =2PO,则 PA(PB+PC)=2PA.P

28、D，当A,P,O三点共线时，PA.PD(1,述)，设M(x,0),N(x+2,0),2 2 2.八A/i 3 G 3 G.D M (x 1,),D N (x+1,-)“八彳 r i 2 i 27 2 23.D M -D N=X -14-=r +,4 402DM ON取得最小值二.4.当 x=0 时,1 7.设正A 48c的边长为1,r 为任意的实数，则I AB+/ACI的最小值为.【解析】解：.正A4BC的功长为1,f 为任意的实数，.*JAB+zAC|2=AB-+r2AC-+2/AB.AC=l+r2+2zxlxlxcos60=r24-r+l,当f 时，/+f+1取到最小值-，2 4.|

29、48+f4 C|的最小值为2故答案为：B.218.已知向量d,匕满足|a|=3,|切=4,则|a+b|+|a-A|的取值范围为【解析】解：设向量&,的夹角为6,a+b+a-b=yl(a+b)2+a-b)2,=Ja2+/+2ab+la2+b2-2ab=125+24cos(9+x/25-24cos61,令 y=j25+24cos。+J25-24cos6./=50+2j252-2 42 cos20，6e0,7t.-.COS260,1,BP/e 64,100,y e 8,10,故答案为：8,10.19.已知向量a=(3,4),向量b 满足|。-切=3,贝 U|b|的取值范围是.【解析】解:设方=(%)

30、,a-b =(3-x,4-y),/|a-h|=3,*-J(3-x)+(4-y)2=3,化为。3)2+(y 4)2=9.圆心。(3,4),半径r=3.A|OC|=V32+42=5.访|=Jd+y 2 的取值范围是5-3,5+3 ,即2,8.故答案为：2,8.20.已知向量满足|b|=l,a2 a b +l=O,则b-(2a+8)的取值范围是 _ _ _ _ _ _ _ _.3【解析】解：I l l a2-a+1 =0,3则 -5|a|/?|c o s +1=0 又|b|=1,c o s G-1,1,则 3。2一10|+3,0,即如 a|3,3Q 3则 b-(2 a+b)=2 a b+b

31、2=-+-ci2,又拍 a I 3.b-(2 a+b)E -J ,3故答案为：2,7.321.已知向量a,匕满足|a-b|=2且喷必21,则|a+b|的取值范围是 2,2后.【解析】解：a-b=2,|a|2-2 a-b+hi=4 ,.ai1+b2=4 +2 a-b,X a+h=y a|2+2 a-b+h=j4+4a/,Q h-b 1,4+4 a-b 8,二.2效 J|a+6|2 0,即|a+8|的取值范围是 2,2及；令 OA=a,OB=b,他中点为 M,4 0 中点为 N ,则|3a+Z H3 OA+OB 2 OA+OA+OB=2 OA+OM=4 ON ,又|a+6|=|O A

32、+O B|=21。例|e 2,2/2,：.OM G ,y 2 ,又 ON=OM+MV,.当 OM 与 MN 共线时，拒+LX2=&+，“3 4 2；I3a+匕|_ =4x(血+g)=4 夜+2.第 2 小问另解：3a+b|=|2(a+b)+(a-b)a+b +a-b=2 a+b -2 4夜 +2.故答案为：2,2&；4立+2.2 2.已知向量，人满足|-2b|=|a+3 b|=2,则花-8 的取值范围是.3 2 =?+一【解析】解:令m=a-2b,n=a+3b，反解可得5b=-55m+n5由已知|tn|=|n|=2,令已=(2cos a,2sin a),n=(2cos ,2 sin/?),所r

33、-r以pi .,=4 7 W +-A1 7=(-8c osa+-2 cos/?o,-8s in.tz+2 si.n po),所以|一人 F=(cosa+*|cos/7)2+(sin a +sin/7)2,=|+|cos(a 一 4)，cos(a )e T ,1,所以亲切2 4,所以领 j a-b|2.故答案为：2 2.52 3.已知向量a,b,满足|a|=l,a 与b 的夹角为生，若对一切实数*,|w +2切|a+8|恒成立，贝力切3的取值范围为.【解析】解：a-b=b i/=1,m +261|a+b|恒成立,x2+(2x-)b+3bl-1.0恒成立，即+2|b|x +3仍-g 1

34、T o 恒成立,.4|次-4(3闻 2一闻 _ 1),0,解得|切.1或|口,，-工(:舍)，2故答案为：1，+0 0).2 4.已知平面向量a、b、e 满足|a|=4,b=3,|c|=2,b-c=3,则(a-6 产伍c-(a-6)(a-c)f 最大值为.【解析】解：设。4=a,OB=,OC=c,a-力与a C所成夹角为。，则(a-6)2(a-c)2-(a-b)-(a-c)f=|AC一|AB2 AC|2 cos20=|AB I 4 C sin2 0=AB|2|AC|2 sin2 NCAB=4蹬.，因为人 c=6cos(b,c=3,cos b,c=g 所以b,c 的夹角为60。，设 B(3,0

35、),C(l,6)，则|BC|=j32+22-2 x 3 x 2 x g =g ,所以S OBC=；x 3 x 2 x sin 60。=孚，设O 到 BC的距离为h,则 3。=530此=述，所以力=女包，2 Ai/zic 2 7因为|a|=4,所以点A 落在以点O 为圆心，以4 为半径的圆上，所以A 到 8 c 的距离最大值为4+6=4+巫，7所以%叱的最大值为3近(4+当尊)=2五+苧，所以(a-6)2(a-c)2 (a-0).(a-c)2 的最大值为 4Q币+孚尸=(4疗 +3y/3)2=139+24后.故答案为：139+2 4 ey2 5.已知平面向量，b,c 满足|切=2|=1,|

36、c|=V2,(c-4).(c-4)=0,贝 U12 a-口的取值范围是,【解析】解：2 a-b 4 a*1 2+b2-4a.b=2-4 a ,(。一 4。)4人)=0,/.c2-4。(+人)+16。=0,1 +8ab=2c(a+),，2c a+b=2&.Ja?+2ab+/当且仅当(+5)/c 时取等号.8 8 2 a-b t=2-4a.b&,.xx!|2a b-.2 2故答案为：走，.2 22 6.已知共面向量a,b,c满足|=3，h+c=2 a，且|=|b-c|,若对每一个确定的向量b，记15T di(teR)的最小值为4,而，则当匕变化时，d,而的最大值为.【解析】解：设OA=a,OB=b

37、,OC=c,以08 ,O C为邻边作平行四边形OBOC，山题意可知0 0 =2 0 4,。4=3,b A b-c,;.OB=BC,AB=-O B，2过 B 作 BE，OZ),则|匕-S|(f e R)的最小值为dmin=BE,2,、nr 3m2 川+9-+9设。3=加，ZAOB=a ,则 cosc=-=-,2 x 2 x 3 6m小6帆2 一 (即L+9)2 J-(-m2-15)2+144B E=0 8 si n a-m-=-2,6/n 6故答案为：2.D0B27.在边长为1的等边三角形ABC中，。为线段8 c上的动点，/汨，4 8且交4 8于点,D E/A 8且交A C于点、F ,贝I J

38、I 2B E +D尸|的值为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.【解析】解：设8E =x,xe(0,g),因为A A 8 C为边长为1的等边三角形，D E L A B,所以 Z B D E=30,B D =2 x,DE=石x,D C =-2 x,因为。尸/A B,所以A F C为边长为l-2x的等边三角形，D EV D F,，2,，2所以 Q B E+D F，=4 BE +4 BE -D F +DF =4x2+4x(1-2x)xc o sO 0+(l-2x)2=1 ,所以 I 2 B E+O F|=1；(DE +DF)(DA+DC)=(DE +DF)-DA+(DE +DF)DC=

39、(DE+DF)(DE+D A)+(DE +DF)-D C2 2=D E+D E ,E A+D F D E +D F E A+D E ,D C +D F ,D C =D E +D F E A+D E D C +D F ,D C1 o o=3x2+(1-2 x)x(1-x)c o sO +-f ixx(1-2 x)x c o s 150 +(1-2x)2 x c o s6 0 =1 O x2-x +，2 21 Q 71所以当x=二时.，(O E+。/)D 4+OC)有最小值为 .40 16 0故答案为：i；4.16 028.如图，矩形/W C 中，A B =3,A D=4,M ,N分别为线段8C,CD上的点，且满足一二+下=1,C M-C N2若4 c =x 4 M+)，4 N,则x+y的最小值为.【解析】解：【解法一】由题意建立平面直角坐标系，如图所示；设点 M(3,a),N(b,4),且 0 v a v 4,0b 0,满足题意，4 1 2 2 5，x+y的最小值2.【解法二】由题意建立平面直角坐标系，如图所示:设点 M(3,a),N g,4),且0 v a v 4,0 Z?3,取得最大值.则?+的取值范围为 0,3.

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