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1、第六讲因式分解第 第 6 6 讲因式分解 1 1因式分解-把一个多项式变成几个整式的积的形式； 化和为积 可运用因式分解与整式乘法的互逆关系检验因式分解的正确性；因式分解的首要方法 提公因式法 提公因式法分解因式的关键：1、确定最高公因式； 各项系数的最大公约数与相同因式的最低次幂之积 2、提出公因式后另一因式的确定；（用原多项式的每一项分别除以公因式）3、常用变形公式：- -= -) ( ) () ( ) () (为奇数为偶数m b am b aa bmmm 基本公式及其特征1、平方差公式：适合分解的多项式：（1）只有两项；（2）符号相反；（3）两项均能写成整体的平方。口诀要领：系数能平方，
2、指数要成双，减号在中心2、完全平方公式：多项式特征：（1）三项；（2）平方项同号；（3）交叉项是两平方项底数积的 2 倍 口诀要领：首平方，尾平方，积的二倍加（减）在中心十字相乘：1、 q px x + +2型的二次三项式因式分解：方法的特征是 拆分常数项， （其中 p a b = + ， q ab = ）2、对于二次项系数不是 1 的二次三项式：它的特征是 拆两头，凑中间 c bx ax + +2) )( ( ) (2 2 1 1 2 1 1 2 2 122 1c x a c x a c c x c a c a x a a + + = + + + = 分解因式的原则与步骤：首先提取公因式，然
3、后考虑用公式，十字相乘试一试，几种方法反复试，结果要是连乘式- 因式分解的意义与方法 下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（）A 、 2 ) 1 ( 22- - = - - x x x xB 、2 2) )( ( b a b a b a - = - +C 、 ) 3 )( 3 ( 92- + = - x x x D 、 )11 ( 1xx x - = -分解因式：（1）ab ab b a + -2 25 （2）3 2 2 3 2 212 8 2 m n m n m n - - + mc mb ma + + ) ( c b a m + +2 22 b ab a + +2) ( b a+2
4、22 b ab a + -2) ( b a-2 2b a -) )( ( b a b a - +ab x b a x + + + ) (2) )( ( b x a x + +（3）2 2) ( ) ( x y y y x x - - - （4）14) (2+ - +-b ab a（5）24 12( ) 9( ) x y x y + - + - （6）( )2224 1 x x - +分解因式：、210 9 x x - +、22 8 x y xy y - -、2 25 13 6 x xy y + -方法点睛：因式分解要彻底，主要把握公式的结构特征 - 因式分解的应用1、假如 3 = - y x
5、， 4 = xy ，那么2 2_3 2 3x xy yx xy y- -=+ -； 2、若21( 2) 94x k x + - + 是一个完全平方式，则 _ k = ； 3、计算：3.46 14.7 0.54 14.7 29.4 _ + - = ；4、点 P （ b a+ ， 5 - ）与点 Q （ 1 ， b a- 3 ）关于原点对称，则关于 x 的二次三项式222bax x - - 可以分解为； 5、（13 凉山）已知 (2 21)(3 7) (3 7)( 13) x x x x - - - - - 可分解为 (3 )( ) x a x b + + ，其中 a 、b 为整数，则 _ a b
6、 + = ； 1、（13 实外半期）对于随意整数 m ，2(4 5) 9 m+ - 都能（ ）A 、被 8 整除B 、被 m 整除C 、被 1 m- 整除 D 、被 2 1 m- 整除 2、（烟台）如图：有三种卡片，其中边长为 a 的正方形卡片 1 张，边长分别为 a 、 b 的卡片6 张，边长为 b 的正方形卡片 9 张，用这 16 张卡片拼成 一个正方形，则这个正方形的边长是； 3、在日常生活中如取款、上网等都须要密码。有一种用因式分解法产生的密码，便利记忆。原理是：如对于多项式4 4y x - ，因式分解的结果是 ) )( ( y x y x + - ) (2 2y x + ，若取9 =
7、 x ， 9 = y 时，则各个因式的值是 0 = - y x ， 18 = + y x ， ) (2 2y x + =162，于是就可以把018162作为一个六位数的密码。对于多项式2 34 xy x - ，取 10 = x ， 10 = y 时，上述方法产生的密码是 ；（写出一个即可）。baaabb- 创新题型、思维拓展1、已知 a 、 b 都是正整数，且 122 2+ = b a 那么数对（ a ， b ）为 ； 2、若3 22 10 15 x x mx - + - 能被 5 x- 整除，则 m = ；3、假如多项式 1 42+ x 加上一个单项式以后，将成为一个整式的完全平方式，那么加
8、上的单 项式是 。4、（12 育才变式）已知2 2174 04a b a b + - + + = ，则 _ba = ； 5、（13 南通）已知 2 2 x m n = + + 和 2 x m n = + 时，多项式24 6 x x + + 的值相等，且2 0 m n - + ，则当 3( 1) x m n = + + 时，多项式24 6 x x + + 的值等于 ；6、若 x 、 y 、 z 满意 9 , 52+ = + = + z y xy y x ，则 = + + z y x 3 2 。 1、在学习中,小明发觉:、2 23 1 9 1 1 8 - = - = ；、2 25 1 25 1 2
9、4 3 8 - = - = = ； 、2 211 1 121 1 120 15 8 - = - = = ；于是小明猜想:当 n 为随意正奇数时，21 n - 的值肯定是 8 的倍数,你认为小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由。已知如图：现有 a a 、 b b 的正方形纸片和 b a 的矩形纸片若干块，试选用这些纸片（每种纸片至少用一次）在下面的虚线方框中拼成一个矩形（每两个纸片间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必需保留拼图的痕迹），使拼出的矩形面积为2 22 5 2 b ab a + + ，并标出此矩形的长和宽。1、已知 y x, 满意 y x y x + = + + 2452 2，求代数式y
10、 xxy+的值； aababb 2、已知 a 、 b 、 c 是 ABC D 的三条边长。若 a 、 b 、 c 满意2 215 4 24a b a b c + + = + - - ，试推断 ABC D 的形态，并说明理由。 （青羊区调研）阅读材料：把形如2ax bx c + + 的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法，配方法的基本形式是完全平方式的逆写。即：2 2 2) ( 2 b a b ab a = + 例如：2 2 2 21 3 12 4 2 4 ( 2)4 4 2x x x x x x - + = - + + = - +234x 。一个二次三项式有不同的配方形式：2(
11、 1) x- + 3 、2( 2) x- + 2x 、21( 2)2x- +234x 是22 4 x x - + 的三种不同形式的配方（即余项分别是常数项、一次项、二次项-见横线上的部分）。请依据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出24 9 x x - + 三种不同形式的配方； （2）将2 2a ab b + + 配方（至少两种形式）（3）已知2 2 23 2 4 0 a b c ab b c + + - - - + = ，求 a b c + + 的值； 望子成龙学校家庭作业（6）姓名作业等级第一部分：1、多项式 ax ax 22- 与多项式 x x 22- 的公因式是 ； 2、已
12、知 6 = + y x ， 4 = xy ，则 = +2 2xy y x； 3、已知 122- +ax x 能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数 a 的个数为（）A 、 3 个B 、 4 个C 、 6 个D 、 8 个 4、对随意自然数 n ，代数式2 2( 7) ( 5) n n + - - 的值肯定能被（ ）整除 A 、 6 B 、 24 C 、 4D 、 8其次部分：5、分解因式：、 2 22- x、214mm + - 、2 23 10 m mn n + -、22 3 xy xy x - - 6、对于形如2 22 x ax a + + 这样的二次三项式，可以用公式法将它分
13、解成2( ) x a + 的形式。但对于二次三项式2 22 3 x ax a + - ，就不能干脆运用公式了。此时，我们可以在二次三项式2 22 3 x ax a + - 中先加上一项2a ，使它与22 x ax + 的和成为一个完全平方式，再减去2a ，整个式子的值不变，于是有：2 2 2 2 2 22 3 ( 2 ) 3 x ax a x ax a a a + - = + + - - 2 2( ) (2 )( 3 )( )x a ax a x a= + -= + - 这种方法称为配方法。（1）用配方法分解因式：26 8 a a - +（2）若 5 a b + = ， 6 ab= ，求4 4a b + 的值