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1、因式分解知识导航)要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.要点二、提公因式法把多项式活&+活8 +次分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式加，另一个因 式是g+8+O,即阳仪+活小+“？=羽g +b+c),而g+8+o正好是加以+阳8+布 除以机所得的商, 这种因式分解的方法叫提公因式法.要点三、公式法一一平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：a2-b2=(a+b)(a-b)要点四、公式法一一完全平方公式两个数的平方和加上(减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(差)的平方.即 cr
2、+ lab + b1 = (a + b)2, a2 -2ab + b1 =(tz-Z?)2.形如。2+2次7 + ，a2-2ab + b2的式子叫做完全平方式.电典题精练类型一、因式分解的概念例题1是因式分解的是()D. 3x2 - 6xy + 3a: = 3x(x- 2y)(1)以下各式从左边到右边的变形中,A. 3ab(a + Z?) = 3a2 b + 3ab2C. Y 祈=( + 2b)( 2b)(2)如果以下式子是因式分解的结果, 4x2y(x2 一3) + 7 ； 3m(m2 -4)；(2)如果以下式子是因式分解的结果, 4x2y(x2 一3) + 7 ； 3m(m2 -4)；请判
3、断以下式子形式是否正确，如果错误，请说明理由.(1 Y(a + 2)( 2加；(y + 1)2Kx-1)2-引； x x + x(x+l) x-2 ； -y(尤+ 3)(一1 + 3)2 ； (x + y)(x2 +)2)(x4 + )(x + y). 2 J举一反三：【变式】以下由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？请说明理由.(1) ax + y)= + ay ； x2 +2xy + y2 -1 = x(x + 2y) + (y + l)(y-l)；(1Cl HI a、2(2) 9(/z-产-4(m + n)2(4) (3片5片)2+(5/3)2(6) 8。 4/ 4(3) cix 4
4、 6/(% + 2)(% 2) ；(4) cib = ci b ；(5) cr + 2 H-22a1类型二、提公因式法分解因式例题2(1)多项式6dy2 一 3/y2 +12%2y3的公因式是.(2)多项式 一24犬 y3 z4(4 一 匕)3 + 20x3 丁 2 Z?( 一刀？十 8%5 y4 76( 一 切公因式是.(3)观察以下各式：2 + b和。+ /?；5M(a-9)和 + ;3( +。)和 /?;f 一)，和f+y , 其中有公因式的是.举一反三：【变式1(1)多项式3/6肛+ 3的公因式是； (2)多项式16根28加的公因式是(3)多项式 Mb + c-a)- yS + c-a
5、)-(a-c)的公因式是；(4)多项式2(x-3) + x(3-x)的公因式是；【变式2】因式分解：(1) 6必c 四片分+12/,(2) 6/+15/124(3) 4x(/+ f)_ / _(4) 2( _ 1)2 _ 4q(p _ 1)(5) (5a 2/?)(2m + 3)(2a 7b)(2m + 3)(6) 2(% + y) + 6(x + y)2 -4(x + y)3类型二、公式法一一平方差公式例题31 .以下各式能用平方差公式分解因式的有()x2+y2； x2 - y2； (3)- x2 - y2；-x2+y2；-x2+2xy - y2.A. 1个B. 2个C.3个D.4个2.因式
6、分解：(1)(工-1-9(3) -4(a-6)2+16(q + Z?)2(5) 9犬24肛+ 16)，(7) (c2 -a2 -h2)2 -4a2b2举一反三：【变式1】分解因式：(1) 25- m2；(2)16【变式 2】(1) 25( + 329(。一bp；(3) -x3 *y + xy3 ；【变式3】分解因式：(1) x?+2；(2) a? b cib ；8-(x+ 2)2+16(1)2.(2)(2x-3-4/(4) 436xV；(3) x5-16x；(4)(6z-1) + Z72(1-6z)类型三、公式法一一完全平方公式例题4分解因式：(1) jC +14x + 49；(2) 9%2-
7、12x + 4；(3) cT + ci + ；(4) c/bcib +1.4162举一反三：【变式1】分解因式：(1) 9(。+/?)? 12(。+ Z?) + 4 ；(2) c厂 + 2q(Z? + c) + S +；(3) 10。a?25；(4) (x + y)? + 4(x + y)(x-y) + 4(x-y)2.【变式2】分解因式：(1) 4(x + q) + 12(x + cz)(x + b) + 9(x +.(2) 4(% + 4(% y2) + (x y)2.2 .将以下各式分解因式:(2) 14?+3x-27（1） 6y+19y + 15；举一反三：【变式 1】(1) x2-6
8、x + S；(2) x2+10x-24；(3) 15a23 + 8 ；(4) -5x+6xy + 8y2；【变式 2】分解因式：(1) 3*+l4x；(2) -3-4x + 4x2；(3) 62+31x-105；类型五、因式分解应用例题6 a+b= 4, ab = 2,求多项式 4a2b+4ab24a4b 的值。举一反三：【变式1a, b, c为aABC的三条边长，且b2+2ab=c2+2ac,试判断AABC的形状.【变式2】右ab=2, a - b= - 1,那么代数式a2b - ab2的值寺于.【变式3假设m - n=3, mn= - 2,那么2m2n - 2mn2+l的值为电课堂巩固）一
9、.选择题1.以下各式从左到右的变化中属于因式分解的是（）.A. jtt - 4n2 =(m+2)(加一2)C. m2 3m4 = m(m3)42 .多项式2/盯15y2的一个因式为(A. 2x-5y B. x-3y3 .以下多项式能分解因式的是()A. x1 + y2 B. 12_y2B. (m+l)(/n-l) = m2 -1D. m2 -4帆一5 =(加一2-9)C. x + 3yD. x-5yC. + 2xy JD._ xy +)广4 .将机2 ( 2)+加(2 。)分解因式，正确的选项是()A. (。一2)(苏一加)B. /n(-2)(m+l)C.D. m(2-)(m-l).以下四个选
10、项中，哪一个为多项式8%21CU + 2的因式？()A. 2x-2B. 2x+2C. 4x+lD. 4x+2.假设(x-3)(x + 5)是 Y+px + q 的因式，那么 p 为()A.-15B.-2C.8D.2. 9(一力2+12(2一。2)+ 4伍+与2因式分解的结果是()A. (5一份2 b. (5q + /?)2 C. (3a - 2b)(3a + 2b) D. (5a-2b)2.以下多项式中能用平方差公式分解的有()一片2；2工2 4y?；X?4y (一()；144矿+121Z?；勿厂+2一.A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个二.填空题5 .分解因式：x2-4(x-1)
11、=.6 .把/ +3x + c分解因式得：x2 +3x + c = (x+l)(x+2),那么 c 的值为.7 .假设 f_y2=,化简(+y浮2(X_曰划2=.假设 + 3x 3 = 0, 2/ + 6x? 6x =.3.分解因式：6Z3 4a2b + 4ab2 =.14 .把多项式_ax _ 2a分解因式.15 .当x = 10, y = 9时，代数式 y2的值是.16 .把fy22y_l分解因式结果正确的选项是三,解答题(3) ma2 - 1 Sma-40m.17 .分解因式： 4x(x 12(x y)3 ；(2) 9z2 24tz/? +16Z?2 ；18 .将以下各式分解因式：（3）
12、 10-3x-x2（1），一”56；（2） Jiox + i6；.己知。+ /? = 10, ab = 6 ,求：（1）/+人？的值；（2）3b一22）2+）3 的值.19 .请你说明:当n为自然数时，（n+7）2 一（n - 5） 2能被24整除.20 .把+；/ =（%+y乂%2 一孙+毛2）称为立方和公式,%3_,3 =（%一丁乂%2+孙+丁2 据此，试将以下各式因式分解.： d+8；（2） 27浮1.(3) -X? 4y2 + 4xy ；(4)+ 4x2 + xy3 ；(5) (x? - 2x) + 2(x? 2x) +1 ；类型四、十字相乘法例题 51 .分解因式：(1)+ 7x +10 ；(2)r一2x 8；