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1、第8讲因式分解因式分解的概念因式分解公式法1因式分解一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项 式分解因式.要点诠释：(1)因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体， 而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.(2)要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.(3)因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒 等变形，而整式乘法是一种运算.【例题精选】例1 (龙岗区校级期中)下列各式，从左到右的变形是因式分解的是()A. a (x+y) ax+ayB. 2x2 - xx (2x - 1)C. /+4x+
2、4=x (x+4) +4D. x2 - 9= (x+9) (x - 9)例2 (2022秋遂宁期末)下列各式从左到右的变形是分解因式的是(B. 2a (b+c) =2ab+2acD. x2+x=x2 (1+)A. Icr - b2= (+b) (-/?) +/C. x3 - 2x1+x=x (x - 1) 2【随堂练习】1 .(2022秋长白县期末)下列从左边到右边的变形，是正确的因式分解的是()A. (x+1) (x - 1)- 1B.x2 - 4y2= (x+4y) (x- 4y)C. x2 - 6x+9 (x - 3) 2D.x2 - 2x+l =x (x - 2)+12 .(2022秋
3、淮滨县期末)下列从左到右的运算是因式分解的是()A. 4a2 - 4q+1 4a(6/ - 1) +1B.(x - y) (x+y) =/ -C. /+= (x+y) 2 - 2xyD.(xy) 2 - 1= (xy+l)(刈-1)3 .(2022秋张店区期末)下列等式从左到右变形中，属于因式分解的是()A. a (x+y) =ax+ayB. /-2x+l=x (x - 2) +1C. (x+1) (x - 1) =/- 1D. x2 - 1 = (x+1) (x - 1)2.提公因式法多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.要点诠释：(1)公因式必须是每一项中都含有的
4、因式.(2)公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.(3)公因式的确定分为数字系数和字母两部分：公因式的系数是各项系数 的最大公约数.字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.把多项式用由方+也分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式 m,另一个因式是(a + b+c),即加。+用b+w=/w-(a+b+c),而(a+b+c)正好是，以+力b+mc除以加所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法.要点诠释：(1)提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律,即u +二 m - (a +6 + c).(2)用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.(
5、3)当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“一”号，使括号内的 第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.(4)用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和 为零，则提取公因式后，该项变为：“ + 1”或“一1”，不要把该项漏 掉，或认为是0而出现错误.【例题精选】例1 (2022秋内乡县期末)把式子2x (-2) -y (2-)分解因式，结果是()A. (q-2) (2x+y)B. (2-q) (2x+y)C. (a-2) (2x-y)D. (2 - a) (2x - y)例2 (亳州二模)下列多项式中，能用提公因式法因式分解的是()A. X2,- yB. x2 -C
6、. /+)?D. x2 - xy+y1【随堂练习】L (2022秋兴城市期末)多项式2L?-35x分解因式的结果是()A. x (21x- 35) B. 7 (3?-5%)C. 7x2 (3 - )D. 7x (3x- 5)2. (2022秋渝中区期末)计算9992+999的结果是()A. 999999B. 999000C. 99999D. 999003 .(浦城县二模)因式分解2/y-8y=4 .(涪城区模拟)因式分解：6/2- ah=.3公式法一、公式法一一平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：CT=（ + /?）（/7）要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式
7、分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边 是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母。和匕的广泛意义，。、6可以是字母，也可以 是单项式或多项式.二、公式法一一完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方.即 a1+ lab + h2= （a + Z?）2, a2 - lab + b2 = （a .a2+2ab + b2, a2-2ab + b2的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或
8、减）这两数之积的2倍.右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母和人的广泛意义，、Z?可以是字母，也可以 是单项式或多项式.【例题精选】例1 （2022秋新宾县期末）下列因式分解正确的是（）A. %2- 9= (x+9) (x - 9)B. 9/ - 4y2= (9x+4y) (9x - 4y)9 1 1 2C x2 - x+=(乂工)D. - x2 - 4xy - 4)2= - (x+2y) 2例2 （铁西区二模）因式分解：（龙+2） 2-9=【随堂练习】1 . （2022秋浦东新区期末）下列各多项式中，能用平方差
9、公式分解因式是（）A. -B. 7+9C. - x2 - 4D. x2 - 2y2 .（泰兴市一模）因式分解：81-/?=.3 .（云南模拟）分解因式：f-6x+9=.3分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑 分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式 分解一一分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有:方法分类分组方法特点分组分解法四项二项、二项按字母分组按系数分组符合公式的两项分组三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式六项三项、三项
10、二项、二项、二项各组之间有公因式三项、二项、一项可化为二次三项式【例题精选】例1 （安仁县期中）将下列各式分解因式(1) x3 - 4xy2(2) - 3x1+6xy -(3) 3 (a - h)之+6 (b - a)(4) 1 - j?-2xy - y2例2 （碑林区校级二模）因式分解：%2-2x+2y=【随堂练习】1 .（大庆）分解因式：cPb+ab1 - a - b=.2 .（潜山市期末）分解因式：? - 1+y2 - 2xj=3 .（2022秋襄汾县期末）把/ -+2丁- 1分解因式结果正确的是（）A. (x+y+1) (x -y-1)C. (x+y - 1) (x+y+1)B. (x
11、+y - 1) (x - y+1)D. (x-y+1) (x+y+1)4.(合肥期中)下列分解因式错误的是()A. 15ci2+5a=5a(3+1)B, - x2 - y2= - (x+y) (x - y)C. x+x+ay+y= (q+1) (x+y)D. a - be - ab+ac= (a - b) (a+c)综合练习1.选择题（共3小题）1 .多项式以-3分解因式的结果是(B. x (2 - x) (2+x)A. x (4 - x2)C. x (x - 2) (x+2)D. x (2 - x) 22 .下列代数式中，能用完全平方公式进行因式分解的是()A. x2 - 1B. x+xy+
12、y2C. x2 - 2x+lD. x2+2x3 .下列等式从左到石的变形，属于因式分解的是()A.，+2x+i=x (x+2) +1B. (x - 1) (x+3) =x2+2x - 3C. /+4= (x+2) 2二.填空题(共3小题)4 .分解因式 4/- (y-2)2=.5 .分解因式：m2-/=.6 .a与b互为相反数，则a3-i-2a2b+ab2=三.解答题(共3小题)7 .分解因式：(1) x2- 9y；(2) - 77i2+4m - 4.8 .分解因式:x2 - 4y2+4 - 4x9 .分解因式：(1) (。-/?) (x - y) - (/?-)(x+y)(2) 5m (2x - y) 2 - 5mn2