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1、暑假练习05立体几何（二）一、单选题.1. 下列命题正确的是（）没有公共点的两条直线是平行直线A. 互相垂直的两条直线是相交直线既不平行又不相交的两条直线是异面直线B. 不在同一平面内的两条直线是异面直线如图，正方体ABCD_ABCD1中，直线AC和BG所成角的大小为（A. 120B. 90C. 60D. 30已知直线。,方和平面值，下列说法正确的是（）A. 若 a / b，b H a ,贝 J a IlaB.若 a 1/ b，bua，贝 UaC.若 a H b，bua，aua,则 alia D.若 a H a , 贝 II b2. 下列命题中正确的个数为（）存在与两条异面直线都平行的平面；
2、过空间一点，一定能作一个平面与两条异面直线都平行；若ABC在平面a外，它的三条边所在的直线分别交a于P, Q, 则P, Q, R三点共线； 若三条直线s b, c互相平行且分别交直线/于A, B, C三点，则这四条直 线共面；空间中不共面的五个点一定能确定10个平面.A. 1B. 2C. 3D. 4故四边形ABGF为平行四边形，所以AF/BG， 又BGI/EC、, : AFIIEC、,同理 AE/IFC、，且 AF = EC】=AE = FC】=EF =也,所以过A, e，G三点的平面截正四棱柱ABCD-QD.所得的截面为菱形 AEC】F, 所以该菱形AECiF的面积为2xJlx（扼）2=0,
3、故选D.6. 【答案】A【解析】取的中点H,则BH/Cfi,BH=Cfi,从而四边形BCfiH为平行四边 形， 所以BC、 HG.易知EHIIGF, EH = GF，则四边形EGFH为平行四边形， 从而GH u平面EFG - 又BCq平面EFG，所以BCJI平面EFG 易知BF/ED, BF=ED,则四边形BFDE为平行四边形,从而80与E歹相交, 所以直线与平面EFG相交，故选A.7.【答案】C【解析】如图，过o作DE/CX交BC于E，连接必，BDII峪,切）二平面AACC，Au平面AACC，所以8D 平面 MCiC 同理庞平面心G。，又 BDCDE=D, 皿QEu平面BDE，所以平面也平面
4、AA.QC，所以MwDE，（肱不与O重合，否则没有平面BDM），故选C4i d B【答案】A【解析】原图中AD_LDF9 AB_LBE,所以折起后AH_LFH, AHLEH, FHHEH=H,又FHu平面EFH, EHu平面EFH,所以AH1AEFH所在平面.故A正确，B 错误；由上知，ZHGA ，故D错误；2由原图知W与旧尸不垂直，故C错误，故选A.8. 【答案】B【解析】由题意高h = Mr,则SA = SB = g = AB,s-oab = o-sab , 艮 x V3rx rx2r = x-x3r2 xd，食卒得d =，3 223 43故选B二、多选题.9. 【答案】ABC【解析】对于
5、A,直线AG U平面AEG。，ADU平面ADDlAl, 0仁直线AC， 则易得直线AG与AR为异面直线，故A正确；对于B,因为AGAC，AC(Z平面ACDr ACu平面ACR,所以AG平面ACD,故B正确；对于C,连接时，因为正方体ABCD-ABCR中，AC 1 BD.AC 1 DDBDpiD = D ,所以AC1平面BDQ,所以BD 1 AC ,故C正确；对于D,三棱锥D, - ADC的体积VD_ADC=-x-x2x2x2 = -，故D错误，3 23故选ABC.11 .【答案】AD【解析】由题知，所给六面体由两个同底面的正四面体组成，将题图2的平面展开图还原为直观图后如下图所示，其中A,C,
6、F,H四点重合.GA(C,F,H)对于A：取旧的中点以，连接AM,BM ,则AM IDE, BM IDE-又.渤。8肱=肱，-.DE平面ABM ,又.AB u平面ABM , :.ABA.DE,故A正确;对于B：由图可知，CD与E/7分别为正三角形AQE的边A), AE ,其所成的角 为 60。,故B错误； 对于C：连接破，过点G作GO1平面ADE， 则垂足。在血上，且MGM顼，om=am专.GO =GM2_OM*岑,.该六面体的体积V = 2V ArnG-AED.该六面体的体积V = 2V ArnG-AED= 2xkL2x2x 吏 xXLXI,3 2233故C错误;对于D：.该六面体的各棱长相
7、等，.其内切球的球心必在公共面4况上, 又.AC也为正三角形， .点0即为该六面体内切球的球心，且该球与GM相切， 过点。作ONLGM，则O7V就是内切球的半径.26 V|在RtM珈中，.GO.OM = GMON, 5 = = * =岑,.该内切球的表面积为4“x2=您，故D正确, 27故选AD.12. 【答案】BC【解析】对于A,当点G与点*重合时，RG即人占，易知AB / AB ,且仙与A尸不垂直，故A不正确；对于B,连接AD,因为e，F分别为BC，CG的中点，EF / BC、,而正方体中易知BCJI所以EF / AD,连接77%,则a，e， F， G四点共面，当G是棱的中点时,由GF与平
8、行且相等，与A平行且相等，得G尸与A“平行且相等，从而GFD.A,是平行四边形，所以Afi / FD,平面AEFQ , 平面AEFD、,所以AG平面AEFQ ,即AG平面AEF，故B正确；对于C,当G是棱8且的中点时，取BC的中点H，连接GH，AH,由GH, EF都与BC平行得GH EF，所以或其补角为异面直线G与EF所成的角，（注意异面直线所成角的范围）易得 AG = ，GH = y/2，所以cosZAGH =地竺上也=毛斗=画,2&GGH 2x75x7210所以异面直线AG与 时所成角的余弦值为匝，故c正确；10对于D,当G是棱B月的中点时，连接CG，假设点C与点G到平面A时的距离 相等，
9、即平面A将CG平分，贝【J平面AEP必过CG的中点，设CG交欣于点M，易知以不是CG的中点，则假设不成立，故D错误, 故选BC.三、填空题.13. 【答案】【解析】由中位线定理，易知MQHBD, ME/IBC，QE/CD , NP/BD -对于，由公理4易得MQ/NP,所以m，N，P，Q四点共面，故正确；对于，根据等角定理，得ZQME = /CBD ,故正确；对于，由等角定理，知ZQME = ZCBD , ZQEM = ZBCD ,所以BCDsMEQ , 故正确；由三角形的中位线定理及公理4知MQ/BD,MQ = BD,NP/BD,NP =、BD， 所以牌且MQ = NP,所以四边形MNPQ为
10、平行四边形，故不正确， 故答案为.14. 【答案】平行【解析】如图，取位）的中点F，连接EF, DF .E为BC的中点，.F为ABC。的中位线，2G 为 GQ 的中点，A DfillCD 且 0G = Lc），2G 为 GQ 的中点，A DfillCD 且 0G = Lc），则 EF/DC，-i-F = -DC. EFI ID,G 且 EF = D、G ,.四边形EFDQ为平行四边形，:DF/EG,而D、Fu平面BDQB, 跚仁平面BDDE ,二 EG平面 BDDB.15. 【答案】I （或0.5）2【解析】设B】F=x,因为ABiL平面GZ）F, DFu平面GDF,所以ABxLDF.由已知可
11、得A0 =y2，设RtZXAA占斜边Mi上的高为如则DE=-h.又= 2xV2 X = X2所以=习1,3在 RtADB.E 中，B、E =在RtADB.F中，由面积相等得平x *=务解得日,四、解答题.16. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由题意得CO.M e平面BDJ又 M eAC.OeAC , AGCu 平面 ACCg ,所以G，O,Mc平面ACCq ,由基本事实3可得，点C】,O,M在平面BDq和平面ACC/的交线上, 所以C,O,M三点共线.（2）连接 EE 耳8、CQ,因为E、尸分别为AB、AA的中点，所以EF/A.B ,又正方体 ABCD-ABCiD，
12、所以 DC/AB,所以 EF/D.C , 因为两平行直线可确定一个平面，所以E, C, D, F四点共面.17. 【答案】（1）证明见解析；（2） 巨.7【解析】（1）证明：在如签。中，.ZABC = 120。，AB = BC = 2, .BD = 1，AC = 20.。是AC的中点，.AD = CD = 0 BD1AC,在三棱锥P-BCD中，取P0的中点H，连接尸H，.0、尸分别是棱CD、PZ）的中点，FHIIOD， FH =、OD，连接 GH,EF ,2.E、G满足 BE = -BD，G = -BC 944EG/CD，EG = CD = OD，42/. EG/FH , EG = FH ,四
13、边形FHGE是平行四边形，:.EFIIGH,/ EF（Z 平面 POG，GHu 平面 POG,.EF平面 POG.（2）翻折前bdlac 翻折后，bdad9 bdcd, adcd = d,:.BDA.平面 PCD，.POu平面PCD，.BDLPO,.,PC = PD = CD，0是中点，/. POA.CD, CDCBD=D, /. PO1 平面BCD,:.HG与平面BCD的所成角为NHGO,EF/GH, :. EF与平面BCD的所成角等于GH与平面BCD的所成角，.HO =、PO =GH = EF = DF+ DE。=巨,244.sin ZHGO = 巨 -7【答案】（1）证明见解析；（2）
14、42【解析】（1）在四棱锥P-ABCD中，PDJ_底面ABCD，BCu平面ABCD则PD上BC，在 uABCD 中,CD = AB = 2, 8C = AD = 1,而 BD = g，即有 BC2+BD2 =4 = CD2则有BDVBC， 因为 PDnBD = D，PD,BDu 平面 PHD，所以BC平面PBD-(2)由(1)可得 BC上 PB，PD上 BD，因 PD = BD = 则 PB =P +BD2 =屈V3,2Smc=：BCPB = *，Swcd=、BC BD =令D到平面PHC的距离为h,由J= j,即Ac尾Sg.皿得华=争西，解得服季,因为ADBC，BCu平面PBC，AD平面PB
15、C，于是得AD平面PBC， 所以A到平面PBC的距离等于D到平面PBC的距离亚23. 如图，在正四棱柱ABCD-AQD.中，=2AO = 2,点e为棱B片的中点,过A，E，G三点的平面截正四棱柱ABCQ-A4GD所得的截面面积为（）A. 2B. 22C. 2a/3D.用如图，已知四棱柱ABCD-AC的底面为平行四边形，E, F, G分别为棱M，cg，G0的中点，则下列各选项正确的是（）直线8G与平面EFG平行，直线与平面EFG相交A. 直线BG与平面EFG相交，直线与平面EFG平行直线BC】、8D都与平面EFG平行B. 直线BC都与平面EFG相交在三棱台ABC-ABC中，点D在人占上，且M 胞
16、，点M是三角形AiCi 内（含边界）的一个动点，且有平面平面A/CC,则动点m的轨迹是（ ）A.三角形人占弓边界的一部分B. 一个点C.线段的一部分D.圆的一部分4. 如图，正方形ABCD中，E, E分别是BC, CO的中点，G是的中点，现在沿*E, AF及欧把这个正方形折成一个空间图形，使8, C,。三点重合， 重合后的点记为H,那么，在这个空间图形中必有()ABHEA. AH_LAEFH所在平面C. HF AAEF所在平面A. AH_LAEFH所在平面C. HF AAEF所在平面B. AG1AEFH所在平面D. HGLGAEF所在平面已知圆锥的顶点为点S,底面圆心为点。，高是底面半径,的乃
17、倍，点A,3是底面圆周上的两点，若SAB是等边二角形，则。到平面SAB的距商为()B.D. *3二、多选题.5. 如图，已知正方体ABCDfB的棱长为2,则下列四个结论正确的是A.直线AG与A0为异面直线B. 4G平面ACRBD. 1 ACD.三棱锥n - ADC的体积为113香囊，又名香袋、花囊，是我国古代常见的一种民间刺绣工艺品，香囊形状 多样，如图1所示的六面体就是其中一种，己知该六面体的所有棱长均为2,其 平面展开图如图2所示，则下列说法正确的是（）A. ABIDEB.直线CD与直线EF所成的角为45。C.该六面体的体积为XI3D.该六面体内切球的表面积是等6. 已知正方体ABCD-A
18、QD,的棱长为2,g分别为BC，CG的中点，G是棱8/上的一点，则（）A.直线Afi始终与直线AF垂直B.存在点G，使得直线AG与平面a时平行C.当G是棱的中点时，直线A&与欣所成角的余弦值为画10D. 当G是棱8月的中点时，点C与点G到平面A窗的距离相等三、填空题.7. 如图，在四面体 ABCZ）中，M , N，P，Q，E 分别是 &B，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中正确的序号是N，P，。四点共面；ZQME = ZCBD ;左BCDAMEQ ;四边 形为梯形.8. 正方体ABCD-AQD,中，E, G分别是BC, GQ的中点，如图，则EG与 平面BDDE的位置关系是如图，在直三棱
19、柱ABC-ABC中，侧棱长为2, AC=8C=L 46=90。,。是A曲的中点/是BB】上的动点,ABi, DF交于点E,要使A&_L平面GDF, 则线段3成的长为四、解答题.9. 如图，在正方体ABCD-AQD,中，对角线A/与平面8Z）G交于点O, AC与BD交于点M, E为AB的中点，FJAA的中点.求证：(1) CP 0, M三点共线；(2) E, C, DP 四点共面.E B如图所示，图（1）中的ABC中，NABC = 120。，AB = BC = 2,。是AC 的中点，现将位）沿如）折起，使点A到达点P的位置，且满足PC = PD，得 到如图（2）所示的三棱锥p_BCD，点。、F分
20、别是棱CD、PZ）的中点，E、G 分别在棱必、时上，满足BE = -BD BG = -BC.44（1）求证：EF平面POG；（2）求直线丘尸与平面8CD所成角的正弦值图(1)图(2)10. 如图，在四棱锥PABCD中，底面A8CZ)为平行四边形，AB = 2AD = 2,PD = BD = gAD，且 PDA.底面(1) 证明：BC1平面尸3Z)；(2) 求A到平面PBC的距离.BBC答案与解析一、单选题.1. 【答案】C【解析】对A：没有公共点的两条直线可以平行，也可以是异面直线，故A错 误；对B：互相垂直的两条直线可以相交直线，也可以是异面直线，故B错误；对C：既不平行又不相交的两条直线是
21、异面直线，故C正确；对D：不在同一任意一个平面内的两条直线是异面直线，故D错误，故选C.2. 【答案】C【解析】解：连接AG，A.B,1A在正方体 abcd_abCiD 中，M /cc且所以四边形mg。为平行四边形，.AC/AG，.匕48是异面直线AC与8C所成角（或所成角的补角）,AB = BC = AG , 60,异面直线AC与8G所成角的大小是60。，故选C.3. 【答案】C【解析】对A：若all , b H a ,则a / a或aua ,故A错误；对B：若a H b，bua，则a或aua ,故B错误；对 C：若allb，bua，aKa，贝a/a ,故 C 正确; 对D：若a/a, b%
22、 ,贝！J a,b可以平行，可以相交，也可以是异面直线，故D错误，故选C.4. 【答案】C【解析】对于，可取不在两条异面直线上的点P,过P分别作与两条异面直线 平行的两条相交直线，可得一个平面与两条异面直线都平行，故正确；对于，若空间一点在两条异面直线中的一条上，则不能作一个平面与两条异面 直线都平行，故错误；对于，因为P，Q, R三点既在平面A8C上，又在平面a上，所以这三点必在平面ABC与a的交线上，即P, Q, R三点共线，所以正确;对于，因为al lb，所以。与力确定一个平面a，而/上有人、8两点在该平面上，所以lua，即。、b、/三线共面于a；同理。、/三线也共面，不妨设此平面为人而。和Q有两条公共的直线。、I,所以。与K重合，故这些直线共面，所以正 确；对于，不妨设其中四点共面，则它们最多只能确定7个平面，所以错误，故正确的个数为3个，故选C.5. 【答案】D【解析】取DQ的中点尸，CG的中点G，连接AF,FC】,BG,FG,EF ,因为该几何体为正四棱柱，AB/CD/FG,AB = CD = FG,