《2022年指数函数知识点总结教案 2.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年指数函数知识点总结教案 2.docx（17页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品_精品资料_指数函数学问点总结*（一）指数与指数幂的运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 根式的概念：一般的,假如x na ,那么x 叫做a 的 n 次方根,其中n 1,且n N可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n负数没有偶次方根. 0 的任何次方根都是0,记作00 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a当 n 是奇数时, nn2. 分数指数幂a,当n 是偶数时,n an| a |aa0aa0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正数的分数指数幂的意义,规定：mm11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a nnam a0
2、, m,nN* , n1) , an amn a ma n0, m,nN * ,n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0 的正分数指数幂等于0, 0 的负分数指数幂没有意义3. 实数指数幂的运算性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_rs（ 1） ar a ra r sa0, r, sR ar sarsa0,r , sR .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_. （ 2）r（ 3） aba aa0, r , sR 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：可编辑
3、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般的,函数 yax a0,且a1 叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：指数函数的底数的取值范畴,底数不能是负数、零和1 2、指数函数的图象和性质a10a1（ 0a0（ x0 个单位 , 就得到函数 y ax+b 的图像 ; 把函数 y ax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的图像向右平移b（ b0 个单位 , 就得到函数 y ax-b 的图像.把函数y ax 的图像向上平移 b（ b0 个单位, 就得到函数 y ax+b 的图像 ; 把函数 y ax 的图像向下平移 b（
4、 b0 个单位 , 就得到函数 yaxb 的图像（左加右减,上加下减）（ 2）对称变换：函数yax 的图像与函数的图像关于 x 轴对称.函数 y -a-x 的图像与轴对称 .y a-x 的图像关于y 轴对称.函数 y -ax 的图像与函数 y ax函数 y ax 的图像关于原点对称.函数ya|x| 的图像关于 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例:为了得到函数y93x5 的图象,可以把函数xy3 的图象（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A向左平移9 个单位长度,再向上平移5 个单位长度B向右平移9 个单位长度,再向下平移5 个单位长度C向左平移2 个单位长度,
5、再向上平移5 个单位长度D向右平移2 个单位长度,再向下平移5 个单位长度可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx2分析：留意先将函数y93x5 转化为 t3x 25 ,再利用图象的平移规律进行判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x解： y93535 ,把函数 y3 的图象向左平移 2 个单位长度, 再向上平移 5 个单位可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_长度,可得到函数y93x5 的图象,应选（ C）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评注：用
6、函数图象解决问题是中学数学的重要方法,利用其直观性实现数形结合解题,所以要熟识基本函数的图象,并把握图象的变化规律,比如：平移、伸缩、对称等比较两个有理数指数幂的大小：（ 1）比较幂的大小常用方法：比差（商）法.函数单调性法.中间值法：要比较A 与 B 的大小,先找一个中间值 C,在比较 A 与 C, B 与 C 的大小,由不等式的传递性得到A 与 B 的大小.（ 2）用指数函数单调性比较大小,基本步骤：确定所要考察的指数函数.依据底数情形指出已确定的指数函数的单调性.比较指数的大小,利用指数函数单调性得出同底数幂的大小关系.（ 3）常用技巧：对于底数相同、指数不同的两个幂的大小比较,可利用指
7、数函数单调性判定.对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可利用指数函数图像变化规律来判定.对于底数不同指数也不同的两个幂的大小比较,就应通过中间量来比较.对于 3 个或以上的数的大小比较,就应先依据值的大小（特殊是与0、1 的大小）进行分组,在比较各组数的大小即可 .（ 4）异底指数比较大小的五种技巧：化同底：由于化为同底后即可应用指数函数单调性解决,所以能化同底的尽可能化.商比法：不同底但可以化为同指数的两数比较大小,用商比法即可,这时要留意分母的正负. 例: 比较以下两数大小： 1.1 -0.2 和 1.3 -0.1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_取中间值：不同底也
8、不同指数宜先与中间值0、1 比较大小,在间接得解.估算法：大致估算数值.图解法：借助图像例： 比较以下各组数的大小：（1）如,比较与.（ 2）如,比较与.（3） 如,且,比较 a 与 b.（4） 如,且,比较 a 与 b 解：（1） 由,故又,故从而（2） 由,因,故又,故从而（ 3）应有因如,就又,故,这样又因,故从而,这与已知冲突（ 4）应有因如,就又,故,这样有又因, 且,故从而,这与已知冲突小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解例：曲线分别是指数函数,和的图象 , 就与 1 的大小关系是 .分 析 : 第一可以 依据指数 函数单调性, 确定,在轴右侧 令可编辑资料 -
9、- - 欢迎下载精品_精品资料_, 对应的函数值由小到大依次为, 故应选.小结 : 这种类型题目是比较典型的数形结合的题目, 第1 题是由数到形的转化 , 第2 题就是由图到数的翻译 , 它的主要目的是提高同学识图, 用图的意识 .例：将以下各数从小到大排列起来.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 -1311213252 - 15 -1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ ）3,（3）2 ,32 ,（5）2,（5）3,（2）0,（6- 2）3,（）3,（3）3 . 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_与指数函数相关的定义域值域问题：（ 1）求由指数函
10、数构成的复合函数的定义域时,可能涉及解指数不等式（即未知数在指数上的不等式） 解指数不等式的基本方法是把不等式两边化为同底数幂的形式,利用函数单调性去幂的形式.（ 2）求定义域方法：y afx的定义域与函数 y=fx 的定义域相同. y=fa x 的定义域与函数 y=fx 的定义域不肯定相同, 求其定定义域时,应通过复合函数定义由fx 的定义域与 gx=a x 的值域的等价性,建立关于x 的不等式,利用指数函数相关性质求解.（ 3）求值域方法：x求 yafx 的值域时,先求函数y=fx 的值域,再依据指数函数单调性确定函数y afx的值域. 求 y=fa 的值域时,可用换元法求解,但换元后应留
11、意引入新变量的取值范畴.（ 4）几种基本形式的的定义域与值域问题：形如 y afx的函数的定义域就是y=fx 的定义域.形如 y afx的函数的值域,应当先求出fx 的值域,再由单调性求出值域,如a 范畴不确定,就需对a论进行争论.x2形如求 y=fa x的值域,要先求出u=ax 的值域,再结合 y=fu 确定出值域 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 求函数 y16的定义域和值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x解：由题意可得16 0 ,即 62 1 , x2 0 ,故 x 2 , 函数f x的定义域是,2 可
12、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x22令 t6 x,就 y1t ,又x 2 , x2 0 06x2 1 ,即 0t 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 0 1t1 ,即 0 y1 , 函数的值域是0,1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评注：利用指数函数的单调性求值域时,要留意定义域对它的影响x+1x练习 1：已知 -1 x 2, 求函数 fx=3+2 3-9 的最大值和最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1解：设 t=3 , 由于
13、 -1 x2,所以t39 ,且 fx=gt=-t-32+12,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故当 t=3 即 x=1 时, fx取最大值 12.当 t=9 即 x=2 时 fx取最小值 -24 .练习 2：已知函数（且）（ 1）求的最小值.（ 2）如,求的取值范畴解：（ 1）,当即时,有最小值为（2）,解得当时,.当时,例： 已知,求函数的值域解 ： 由得, 即, 解 之 得, 于 是,即,故所求函数的值域为指数型复合函数单调性：判定形如 y=afx（ a0 且 a 不等于 1）的函数单调性方法： 1、利用单调性定义,取值- 作差- 变形 - 定号.可编辑资料 - - - 欢
14、迎下载精品_精品资料_2、利用复合函数单调性： 令 u=fx,xm,n, 复合的两个函数 y=au 与 u=fx的单调性假如相同, 就复可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_合后的函数 y= afx 在m, n上是增函数.如两者单调性相反,就其在定义域上是减函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：争论函数f x 1 x252 x的单调性,并求其值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： 求函数 yx 2 3
15、x132的单调区间 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析这是复合函数求单调区间的问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可设 yu1,u x 2-3x+2 ,其中 y3u1为减函数3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 u x -3x+2 的减区间就是原函数的增区间 即减减增 2u x -3x+2 的增区间就是原函数的减区间 即减、增减 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设 yu1,u 32x -3x+2,y关于 u 递减,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x - ,
16、3 时, u 为减函数, y 关于 x 为增函数.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x3, + 时, u 为增函数, y 关于 x 为减函数 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例: 求函数 y122 x4x 的单调区间 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_指数函数综合应用： 与奇偶性结合exa例：设 a0, fx ） =x是定义在 R 上的偶函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ae
17、（ 1）求 a 的值. （ 2）证明 fx在（ 0,）上是增函数 .a 2 xa1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习：如函数f x2 x1为奇函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 确定 a 的值.（ 2）求函数 fx的定义域.（ 3）求函数 fx的值域.（ 4）争论 fx单调性 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习：已知函数f x2a2 x1aR ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）求证：对任何aR,f x 为增函数. （ 2）如f x 为奇函数时,求a 的值.可编辑
18、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） 设x1x2, 就f x1f x222 x21212x2x1 12x 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故对任何 aR, f （ x）为增函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） QxR ,又f x 为奇函数,f 00得到 a10 .即 a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：（求参数范畴）已知函数gxax22ax1ba0) 在区间2,3上有最小值1 和最大值 4,设可编辑资料 - - - 欢迎下载
19、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xg x.x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 求 a、b 值.（ 2）如不等式f 2x k 2x0在 区间- 1,1上有解,求实数 k 取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例函数 ya2 xx2a1a0且a1在区间 1,1 上有最大值 14,就 a 的值是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2xx2分析：令tax 可将问题转
20、化成二次函数的最值问题,需留意换元后t 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令ta ,就 t0 ,函数 ya2a1 可化为 yt12 ,其对称轴为 t1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a1 时, x1,1, 1 ax a ,即 1 t a 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 ta 时,ymaxa1a2214,解得aa3 或 a5 （舍去）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当
21、 0a1 时, x1,1 ,a ax 1 ,即aa t 1 ,a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ t1 时,aymax211214 ,解得 a a1 或 a 31 （舍去）.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a 的值是 3 或 1 3评注：利用指数函数的单调性求最值时留意一些方法的运用,比如：换元法,整体代入等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：设f x4 x4 x2,那么和式f 1 1001f 2 1001f 3 1001f 10001001 的值等于什么？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_
22、精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：已知x, yR,3x3y3 x3x , 判定xy的符号 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：（指数方程）解方程10x11x12x365x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2xx练习：解方程3x 232 x80 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：原方程可化为93 80390 ,令 t3 t0 ,上述方程可化为29t80t90 ,解得可编
23、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t9 或 t1 （舍去）, 3 x99 , x2 ,经检验原方程的解是x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解,要留意验根x一、挑选题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21. 函数 f （ x）=a-1在 R 上是减函数,就 a 的取值范畴是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A、 a1B、 a2C、 a2D、1 a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
24、12. 以下函数式中,满意fx+1=fx的是 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11x-xA、x+1B、x+C、 2D 、2243. 以下 fx=1+aA、奇函数x 2 aBx 是（、偶函数）C、非奇非偶函数D、既奇且偶函数2 x4函数 y=x211是（）A、奇函数B、偶函数C、既奇又偶函数D、非奇非偶函数5函数 y=21x1的值域是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A、（ -,1）B、（ -, 0）（ 0, +） C、（ -1 , +）D、（-, -1 ）（0, +）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 以下函数中,值域为R+的是（）可编辑资
25、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1A、y=5 2 xB、y=11-x1 xC、y=132D、y=12x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x7. 已知 0a1,b0 与函数 y=3,y=2,y=2,y=10的图像依次交于 A、B、C、D四点,就这四点从上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_到下的排列次序是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. 函数 y=3 23x 2 的单调递减区间是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12如 f5 2x-1 =x-2,就 f125=9答案 1 、D. 2、D. 3、B. 4、A.5、D. 6、B.
26、7、 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_918.-,00,11,+ 9 （ ）3, 3 10 D、C、B、A11（ 0, +） 12 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、解答题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13、已知关于 x 的方程 2a 2 x2 7a x1 +3=0 有一个根是 2,求 a 的值和方程其余的根 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解: 2a2 7a+3=0,a= 12或 a=3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11a=时