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1、-_概率论与数理统计概率论与数理统计复习提要复习提要 第一章随机事件与概率1事件的关系 ABABAABBABA 2运算规则 （1） BAABABBA （2）)()( )()(BCACABCBACBA（3）)()( )()()(CBCACABBCACCBA（4）BAABBABA 3概率满足的三条公理及性质：)(AP（1） （2）1)(0AP1)(P（3）对互不相容的事件，有 （可以取）nAAA,21 nkknkkAPAP11)()(n（4） （5） 0)(P)(1)(APAP（6），若，则，)()()(ABPAPBAPBA )()()(APBPABP)()(BPAP（7）)()()()(ABPB
2、PAPBAP（8）)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP4古典概型：基本事件有限且等可能 5几何概率 6条件概率（1）定义：若，则0)(BP)()()|(BPABPBAP（2）乘法公式：)|()()(BAPBPABP若为完备事件组，则有nBBB,210)(iBP（3）全概率公式： niiiBAPBPAP1)|()()(（4）Bayes 公式： niiikk k BAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|(-_7事件的独立性： 独立 （注意独立性的应用）BA ,)()()(BPAPABP第二章 随机变量与概率分布1 离散随机变量：取有限或可列个值
3、，满足（1）， （2）iipxXP)(0ip=1 iip（3）对任意，RD DxiiipDXP:)(2 连续随机变量：具有概率密度函数，满足（1）；)(xf1)( , 0)( -dxxfxf（2）；（3）对任意，badxxfbXaP)()(Ra0)( aXP3 几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布), 1 (pB，pXP ) 1(pqXP1)0(ppq二项式分布),(pnB，nkqpCkXPknkk n, 2 , 1 , 0,)(npnpqPoisson 分布)(P, 2 , 1 , 0,!)(kkekXPk几何分布)(pG, 2 , 1 ,)(1kpqkXPk p12p
4、q均匀分布),(baU，bxaabxf ,1)(2ba 12)(2ab 指数分布)(E0 ,)(xexfx121 正态分布),(2N222)(21)(x exf24 分布函数 ，具有以下性质)()(xXPxF（1）；（2）单调非降；（3）右连续；1)( , 0)(FF（4），特别；)()()(aFbFbXaP)(1)(aFaXP（5）对离散随机变量，； xxiiipxF:)(（6）对连续随机变量，为连续函数，且在连续点上，xdttfxF)()()(xf-_)()(xfxF5 正态分布的概率计算 以记标准正态分布的分布函数，则有)(x) 1 , 0(N（1）；（2）；（3）若，则5 . 0)0(
5、)(1)(xx),(2NX；)()(xxF（4）以记标准正态分布的上侧分位数，则u) 1 , 0(N)(1)(uuXP6 随机变量的函数 )(XgY （1）离散时，求的值，将相同的概率相加；Y（2）连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则X)(xgX，若不单调，先求分布函数，再求导。|)( |)()(11ygygfyfXY第四章 随机变量的数字特征 1期望(1) 离散时 ， ；iiipxXE)(iiipxgXgE)()(2) 连续时，；dxxxfXE)()(dxxfxgXgE)()()(3) 二维时，jiijjipyxgYXgE,),(),(dydxyxfyxgYXgE ),(),(
6、),(4)；（5）；CCE)()()(XCECXE（6）；)()()(YEXEYXE（7）独立时，YX,)()()(YEXEXYE2方差（1）方差，标准差；222)()()()(EXXEXEXEXD)()(XDX （2）；)()( , 0)(XDCXDCD（3）；)()(2XDCCXD（4）独立时，YX,)()()(YDXDYXD3协方差（1）；)()()()()(),(YEXEXYEYEYXEXEYXCov-_（2）；),(),( ),(),(YXabCovbYaXCovXYCovYXCov（3）；),(),(),(2121YXCovYXCovYXXCov（4）时，称不相关，独立不相关，反之
7、不成立，但正态时等价；0),(YXCovYX,（5）),(2)()()(YXCovYDXDYXD4相关系数 ；有，)()(),( YXYXCovXY1|XY1)( ,1|baXYPbaXY5 阶原点矩， 阶中心矩k)(k kXEkk kXEXE)(第五章 大数定律与中心极限定理1Chebyshev 不等式 或2)(| )(|XDXEXP2)(1| )(|XDXEXP2大数定律 3中心极限定理 （1）设随机变量独立同分布，则nXXX,212)( ,)(iiXDXE， 或 或，) ,(21nnNXnii 近似) ,(121nNXnnii 近似)0,1(1NnnXnii近似 （2）设是次独立重复试验
8、中发生的次数，则对任意，有mnApAP)(x或理解为若，则)(limxxnpqnpmP n),(pnBX),(npqnpNX 近似第六章 样本及抽样分布 1总体、样本 （1）简单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的求法） ； （2）样本数字特征：样本均值（，） ； niiXnX11)(XEnXD2 )(样本方差（）样本标准差 niiXXnS122)(1122)(SE niiXXnS12)(11-_样本阶原点矩，样本阶中心矩k nik ikXn11k nik ikXXn1)(12统计量：样本的函数且不包含任何未知数 3三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义）（1）分布 ，
9、其中独立同分布于2)(222 22 12nXXXnnXXX,21标准正态分布，若且独立，则；) 1 , 0(N)( ),(22 12nYnX)(212nnYX（2） 分布 ，其中且独立；t)(/ntnYXt )( ),1 , 0(2nYNX（3）分布 ，其中且独立，有下面F),(/21 21nnFnYnXF )(),(22 12nYnX的性质 ),(1),( ),(11221112nnFnnFnnFF4正态总体的抽样分布（1）； （2）；)/,(2nNX)()(1122 2nXnii （3）且与独立； （4）；) 1() 1(2 22 nSnX) 1(/ntnSXt（5），)2()()(21
10、212121nntnnnn SYXt 2) 1() 1(212 222 112 nnSnSnS（6）) 1, 1(/212 22 22 12 1nnFSSF第七章 参数估计 1矩估计： （1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计 2极大似然估计： （1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏导数为 0，解出极大似然估计（如无解回到（1）直接求最大值，一般为 min或ixmax）ix3估计量的评选原则(1)无偏性：若，则为无偏； (2) 有效性：两个无偏估计中方差小的有效；)(E4参数的区间估计（正态）-_参数条件
11、估计函数置信区间已知2nxu/2nux未知2nsxt/) 1(2nsntx2未知22 2) 1( sn ) 1() 1(,) 1() 1(2212222 nsn nsn复习资料复习资料 1、填空题（填空题（15 分）分） 题型一：概率分布的考察题型一：概率分布的考察 【相关公式相关公式】 （P379）分布分布参数参数分布律或概率密度分布律或概率密度数学期望数学期望 （E）方差（方差（D）（01）分）分 布布01p1(1),0,1kkP Xkppkp(1)pp二项分布二项分布1 01n p (1),0,1,kn knP Xkppkkn np(1)npp负二项分布负二项分布1 01r p 1(1)
12、1,1,rk rkP Xkpprkr r r p2(1)rp p几何分布几何分布01p1(1)1,2,kPXkppk 1 p21p p超几何分布超几何分布, () ()N M a MN nN ,max0,min ,MNMknkP XkNkknNMkn M 为整数nM N11nMMNn NNN泊松分布泊松分布0! 0,1,2,ke P Xkk k 均匀分布均匀分布ab1,axbba2ab2() 12ba-_( )f x 0,其他【相关例题相关例题】1、设，则求 a，b 的值。( , )XU a b:()2E X 1( )3D Z 21( , ),()2,(),3 ()12,2123 1,3.XU
13、 a b E XD Xabbaabab:解：根据性质：解得：2、已知,则求 n，p 的值。( , ),()0.5,()0.45Xb n p E XD X:0.5,(1)0.450.1.npnppp解：由题意得：解得：题型二：正态总体均值与方差的区间估计题型二：正态总体均值与方差的区间估计 【相关公式相关公式】 （P163）2/2,1-/X nXzn 为已知由枢轴量，得到的一个置信水平为的置信区间：【相关例题相关例题】 1、 （样本容量已知）1225( ,0.81),5,0.99XNXXXX已知总体 为样本且则的置信度的置信区间为： /20.0250.9550.18 1.964.6472,5.3
14、5285Xzzn解：代入公式得：2、 （样本容量未知） 123( ,1),0.9510.88,18.92.nXNXXXX:已知为样本容量若关于的置信度的置信区间，求样本容量-_2227.847.843.9224.XzXzznnnnn解：由题意知：样本长度为，则有：代入数据，得：题型三：方差的性质题型三：方差的性质 【相关公式相关公式】 （P103） 21( )0,2()(),()()3,()()( )D CCD CXC D XD XCD XCX YD XYD XD Y为常数。，为常数。相互独立【相关例题相关例题】 1、12121212(2,4),(0,9),(2).XXXUXNXXD XX:已
15、知，两变量，且相互独立求1221212(2,4),(0,9)()1(2)()4 ()4 936123XUXbaD XXD XD X :解：题型四：题型四：2t分布、分布的定义【相关公式相关公式】 （P140、P138） 21232222 122221(0,1),( ),/ .2,(0,1),.nnXYnX YXtY n nttt nXXXXNXXXnn:设且相互独立，则称随机变量服从自由度为的分布，记为设 是来自总体的样本则称统计量服从自由度为的分布记为【相关例题相关例题】1、2(0,1),(4),/XXYX YY n:若且相互独立？(4)/XtY n:答：2、30 2 12330 1,0,1
16、 ,? i iXXXXNX:若变量 服从则-_30 221(30). i iX:答：题型五：互不相容问题题型五：互不相容问题 【相关公式相关公式】 （P4）,ABAB 若则称事件与事件是互不相容的。【相关例题相关例题】1、( )0.6, ,().P AA BP AB若互不相容求,()( ()()( )0.6A B ABP ABP A SBP AABP A 解：互不相容2、选择题（选择题（15 分）分） 题型一：方差的性质题型一：方差的性质 【相关公式相关公式】 （见上，略）（见上，略） 【相关例题相关例题】 （见上，略）（见上，略） 题型二：考察统计量定义（不能含有未知量）题型二：考察统计量定
17、义（不能含有未知量） 题型三：考察概率密度函数的性质（见下，略）题型三：考察概率密度函数的性质（见下，略） 题型四：和、乘、除以及条件概率密度（见下，略）题型四：和、乘、除以及条件概率密度（见下，略） 题型五：对区间估计的理解（题型五：对区间估计的理解（P161） 题型六：正态分布和的分布题型六：正态分布和的分布 【相关公式相关公式】 （P105） 【相关例题相关例题】 (0,2),(3,9), ?XNYNXY若则(03,29)(3,11).NN答：题型七：概率密度函数的应用题型七：概率密度函数的应用 【相关例题相关例题】2 ,01xx设( )Xf x0,其他已知,P XaP Xaa则求。-_
18、2 01 12 12|02 02 2aP XaP XaP Xaaxdxxaa解：由题意，得：即有：又3、解答题（解答题（70 分）分） 题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。 【相关公式相关公式】 全概率公式： n1122SP()=|()|()()(|)( )=( )(|) ( )(|).innESAEBAP A BP BP A BP BP A BP BP ABP B AP AP AP A B P BP A B P B12设实验的样本空间为，为的事件，B，B， ，B为的划分，且0, 则有：P 其中有：。特别地：当n 2时，有：贝叶斯公式
19、： i100(1,2, ),()(|) ()(|)( )(|) ()= ()(|) ( )(|)( )(|) ( )(|) ( )iii iniijESAEAP BinP B AP A B P BP BAP AP A B P BP ABP A B P BP B AP AP A B P BP A B P B12n设实验的样本空间为。为的事件, B，B， ，B为S的一个划分，且P， 则有：特别地：当n 2时，有：【相关例题相关例题】 1、P19 例 5 某电子设备制造厂设用的元件是有三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：元件制造厂次品率提供原件的份额10.020.1520.010.80
20、30.030.05设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区分标志。 问： （1）在仓库中随机取一只元件，求它的次品率；-_（2）在仓库中随机抽取一只元件，为分析此次品出自何厂，需求出此次品有三家工厂生产 的概率分别是多少，试求这些概率。 （见下） 11223311 121=(1,2,3).1( )( |) ()(|) ()(|) ()0.02 0.150.01 0.800.03 0.050.0125(2)(|) ()0.02 0.15(|)0.24( )0.0125(|ABiiBP AP AB P BP A B P BP A B P BP A B P BP BAP AP BA解：设取到一
21、只次品，在厂取到产品且、B2、B3是S的一个划分。则由全概率公式有：由贝叶斯公式有：2233 3(|) ()0.01 0.80)0.64( )0.0125 (|) ()0.03 0.05(|)0.12( )0.0125P A B P B P A P A B P BP BAP A答：综上可得，次品出自二厂的可能性较大。2、袋中装有 m 枚正品硬币，n 枚次品硬币（次品硬币两面均有国徽） ，在袋中任意取一枚， 将他掷 r 次，已知每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？ =B=rP|,1=, ( ), (|), (|)1.2 1 ()(|) ( )2|.1( )(|) ( )(|) ( )
22、2rrrAA BmnP AP AP B AP B Amnmn m P ABP B A P AmnP A BmnP BP B A P AP B A P A mnmn解：设所抛掷的硬币是正品，抛掷次都得到国徽，本题即求得：即有：3、设根据以往记录的数据分析，某船只运输的某种物品损坏的情况共有三种：损坏 2%（这一事件记为 A1） ，损坏 10%（这一事件记为 A2） ，损坏 90%（这一事件记为 A3） ， 且知 P（A1）=0.8，P（A2）=0.15，P（A3）=0.05.现在从已经运输的物品中随机取 3 件， 发现这三件都是好的（这一事件记为 B） ，123(|), (|), (|)()P
23、A B P AB P AB试求这里物品件数很多，取出一件后不影响取后一件是否为好品的概率。（见下）-_333 12312311223333311 1(|)0.98 , (|)0.9 , (|)0.1()0.8, ()0.15, ()0.05( )(|) ()(|) ()(|) ()0.980.80.90.150.10.05 0.8624 (|) ()0.983 0.8(|)0( )0.8624P B AP B AP B AP AP AP AP BP B A P AP B A P AP B A P AP B A P AP A BP B 解：由题意可知：23.8731(|)0.1268(|)0.0
24、001P ABP AB4、将 A、B、C 三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为 ，而输出其他字母的概 率都是（1-）/2.今将字母串 AAAA、BBBB、CCCC 之一输入信道，输入 AAAA、BBBB、CCCC 的概率分别为 p1、p2、p3（p1+p2+p3=1） ，已知输出为 ABCA。问 输入 AAAA 的概率是多少？（设信道传输各字母的工作是相互独立的。 ） 223333 12322 1223 1=AAAA=CCCC=ABCA|.()(|) ( )(|) ( )(|) ( ) 111()()()222 1()()(|) ( )2(|)11()()()()22ABBBBBCDP
25、A DP DP D A P AP D B P BP D C P CppppP ADP D A P AP A DP DP Dp 解：设输入为，= 输入为，输入为，输出为，依题意求3 231111123111()2111(31)1()()(1)222ppppp apppppp 题型二：题型二：1、求概率密度、分布函数；、求概率密度、分布函数；2、正态分布、正态分布 1、求概率密度求概率密度 【相关公式相关公式】已知分布函数求概率密度在连续点求导；已知概率密度 f(x)求分布函数抓住公式：，且对于任意实数，有：( )1f x dx。2 1221 1()()( )xP xXxF xF xf x dxx
26、【相关例题相关例题】 （1）设随机变量 X 的分布函数为：0,1x FX（X）= ln ,1xxe-_1,xe1 5(2)(03)(2)2P XPXPX求、2 ( ).xfx求概率密度（见下）(1) (2)(2)ln2 (03)(3)(0)1 01555(2)( )(2)ln224 1(2)()XXXXXP XP X PXFFPXFFdFXdxx 解：1,1xex( )xfx0,其他（2），是确定常数 A。2( )()1Af xxx 20 0+1-1+(arctan arctan 11AdxxAxxA 解：由相关性质得：解得：（3）,036xx设随机变量 X 具有概率密度 f(x)= ，求 X
27、 的分布函数。2,342xx0,其他 解：0，x0,030 6xxdxx2 ,0312xx3622,3403xxxx2 32,344xxx 1,4x ( )F x -_2、正态分布正态分布(高斯分布高斯分布) 【相关公式相关公式】（1）公式其中：22()21( )()2x f xex , 为常数，则称X服从参数为的正态分布。（2）若2=(0,1).xX NZN，则（3）相关概率运算公式：1221 12();()();( )1().XxxP XxPxxxxXP xXxPxx 【相关例题相关例题】 1、 （P58 27）某地区 18 岁女青年的血压（收缩压：以 mmHg 计）服从 N（110,12
28、2） ，在 该地任选一名 18 岁女青年，测量她的血压 X，求：（1）105, 100120;P XPX（2）确定最小的,0.05xP Xx使2(1)(110,12 )110105 1105105()1(0.42)1 0.66280.3372;121212 100 110110120 110101010100120()()2 () 10.5934121212121212 110110(2) 111212XNXP XPXPXPXxP XxP XxP :解：min1101()0.0512 110()0.95(1.65)12 1101.65129.812 129.8xxxxx :即有：2、由某机器生
29、产的螺栓的长度（cm）服从参数的正态分布，规定长10.05,0.06度在范围内为合格品，求一螺栓为不合格的概率。10.050.12 （见下）-_ .9.93 10.0510.0510.17 10.0510.05( )( 22)2 (2) 10.95440.060.060.060.06 ( )1( )1 0.95440.0456AP AXXP APPP AP A 解：设一螺栓合格，本题求题型三：二维随机变量的题型题型三：二维随机变量的题型 【相关公式相关公式】 +1( , )=( , )1-2( , )( )( )3(1):()( )( )()1(2):( )( )( )(3):( )XYxyX
30、YXYXYXYY Xf x y dxdyf x y dx dyf x yfxfyZXYfffzy fy dyfx fzx dxzZXYfzfx fdxxxYZfzX 、二维随机变量的求法：、联合概率密度求法:、随机变量的函数分布：( )()XYx fx fxz dx【注意点】讨论x, y取值范围。【相关例题相关例题】 1、 （P84 3）设随机变量（X,Y）的概率密度为：(6),02,24kxyxy( , )f x y 0,其他(1).(2)X1,Y3.(3)X1.5.(4)4.kPPP XY确定常数求求求（见下）yx0442y=4-x-_ 2 2 042441(6)6|1021202221
31、8 311326208841.5127(3)6208324412(4)62083xkxy dx dykxxydyky dyxy dx dyxy dx dyyxy dx dy 解：解得: k=由题意即求：由题意即求：由题意即求(如图)：2、 （P86 18）设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在区间（0,1）上服从均匀分布， Y 的概率密度为：21,02y ey( )Yfy 0,其他 12XY.XYP求和的联合概率密度.求X解：由题意的：的概率密度如下：1,0x1 XfX 0,其他22221 21( , ),01,02 ( , )0,(2)111112|00022221yyyyxf x
32、 yexyf x yyedy dxeddxedxxxe 其他由题意, 即求：-_3、 （P87 25）设随机变量 X，Y 相互独立，且具有相同的分布，它们的概率密度均为1,1xex( )f x 0，其他 求 Z=X+Y 的概率密度。1122( , )( )()00 1(2).(2)1xx z X YXYzzfx yfx fzx dxeedxzedxezx 解：4、 （P87 26）设随机变量 X,Y 相互独立，它们的概率密度为,0xex( )f x 0，其他 求 Z=Y/X 的概率密度。00(1) 20000,0.0( )()( )()( )()1. 10( )0.xzxxzxzxXZx Yf
33、 Zfx fX x fY zx dxx fX x fY zx dxXxe edxxe edxxedx zxf ZZ 解：由题意知:当时，当时,综上所述，的概率密度为：21,0 1z z ( )Zfz 0,0z 题型四：最大似然估计的求解题型四：最大似然估计的求解 【相关公式相关公式】-_ (1)( )0ln ( )0220ln0(1,2,3, )iiddLLdd iiLLik当只有一个变量的时候，有：或；当未知变量有的时候，有：或 【相关例题相关例题】 1、设概率密度为：,01xex( )f x 0,其他求的最大似然估计. 1111( )expln ( )ln( )1( )0=.nn xn i
34、 iini ini inLexlLnxdnlxd dldx解：令，即有：2、 （P174 8）123,nXXXX设, 是来自概率密度为：1,01xx( ; )f x0,其他的总体的样本， 未知，求 的最大似然估计。-_1 111111( )( )ln ( )ln1 lnln ( )lnln ( )=0= lnnn n i iini ini ini iLxxlLnxdnlxddld nx 解：令，得：题型五：正态总体均值的假设检验、正态总体方差的假设检验题型五：正态总体均值的假设检验、正态总体方差的假设检验 【相关公式相关公式】 000 /202 2 2 02 2 12 01/ (2)(1)/(
35、1)/ 21(1)1:(1)XZnXtt nsnXttnsnHnSnnSn :1、正态总体均值的假设检验标准差已知（Z检验法）：标准差未知（t 检验法）:拒绝域为：、正态总体方差的假设检验当为真时，有：拒绝域为【相关例题相关例题】 1、 （P218 3）某批矿砂的 5 个样品中的镍含量，经测定（%） 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24 设测定值总体服从正态分布，但参数均未知，问在 =0.01 下能否接受假设，这批矿砂的 镍含量的均值为 3.25.-_0120=0.013.25:3.253.252=0.013-3.2523.250.3442/0.013/5 :(1)0.005(4)
36、4.6061, 4.6061(4.6061,)0.34424.6061=0.01H xHxxSXtSn ttnttH :00解：在显著性水平下检验问题：检验统计量，=3. 25, n=5。代入数据，得观察值：=拒绝域为即：接受在3.25.的情况下可以接受假设，这批矿砂的镍含量均值为2、 （P220 12）某种导线，要求电阻的标准差不得超过 0.005，尽在一批导线中取样品 9 根，测得 s=0.007，设总体为正态分布，参数值均未知，问在显著水平 =0.05 下能否认 为这批导线的标准差显著偏大？01222222 10.050=0.05 0.0050.0050.007,9,0.005(1)8
37、0.00715.680.005 :(1)(8)15.50715.6815.507=0.05HHsnnStnH 解：在显著水平下检验问题： ：检验统计量：代入数据，得观察值:拒绝域为拒绝在显著性水平下能认为这批导线的标准差显著性偏大。模拟试题一一、填空题（每空 3 分，共 45 分）1、已知 P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|) = 0.85, 则 P(A|) = P( AB) = AB2、设事件 A 与 B 独立，A 与 B 都不发生的概率为，A 发生且 B 不发生的概率与 B1 9发生且 A 不发生的概率相等，则 A 发生的概率为： ；3、一间宿舍内住有 6 个同学
38、，求他们之中恰好有 4 个人的生日在同一个月份的概率：-_；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ；4、已知随机变量 X 的密度函数为：, 则常数 A= , ,0 ( )1/4,02 0,2xAex xx x 分布函数F(x)= , 概率 ； 0.51PX5、设随机变量 X B(2，p)、Y B(1，p)，若，则 p = 15/9P X ，若 X 与 Y 独立，则 Z=max(X,Y)的分布律： ；6、设且 X 与 Y 相互独立，则 D(2X-3Y)= , (200,0.01),(4),XBYPCOV(2X-3Y, X)= ；7、设是总体的简单随机样本，则当 时，125,XXX(0,1)XNk
39、；12222 345() (3)k XXYt XXX 8、设总体为未知参数，为其样本，(0, )0XU12,nXXX为样本均值，则的矩估计量为： 。11ni iXXn9、设样本来自正态总体，计算得样本观察值，求参129,XXX( ,1.44)N a10x 数a的置信度为 95%的置信区间： ；二、计算题（35 分）1、(12 分)设连续型随机变量 X 的密度函数为：1,02( )2 0,xxx 其它求：1）；2）的密度函数；3）；|21| 2PX 2YX( )Yy(21)EX 2、(12 分)设随机变量(X,Y)的密度函数为-_1/4,|,02,( , )0,yxxx y 与与1）求边缘密度函
40、数；( ),( )XYxy2）问 X 与 Y 是否独立？是否相关？3）计算 Z = X + Y 的密度函数；( )Zz3、 （11 分）设总体 X 的概率密度函数为：1,0( ),0 00x exx x X1,X2,Xn是取自总体 X 的简单随机样本。1）求参数的极大似然估计量；2）验证估计量是否是参数的无偏估计量。三、应用题（20 分）1、 （10 分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是 3/10，1/5，1/10 和 2/5。如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是 1/4，1/3，1/2。现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的
41、可能性最大？2 （10 分）环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过 0.5，假定有害物质含量 X 服从正态分布。现在取 5 份水样，测定该有害物质含量，得如下数据：0.530，0.542，0.510，0.495，0.515能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定()？0.05附表：-_模拟试题二一、填空题(45 分，每空 3 分)1设 则 ( )0.5,(|)0.6,()0.1,P AP B AP AB( )P B ()P AB 2设三事件相互独立，且，若，则, ,A B C( )( )( )P AP BP C37()64P ABC。( )P A 3设一批产品有 12 件，其中 2 件次品，10 件正品，现从这批产品中任取 3 件，若用表示取出的 3 件产品中的次品件数，则的分布律为 。XX4设连续型随机变量的分布函数为X( )arctan( ),F xABxxR则 ，的密度函数 。( ,)A