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1、概率论与数理统计复习资料一、复习提纲注：以下是考试的参考内容，不作为实际考试范围，仅作为复习参考之用。考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解”的内容一般不考。1、 会事件关系的运算，了解概率的古典定义2、 能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义3、 掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式4、 能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。5、 理解随机变量的概念，掌握离散性随机变量分布率的性质及求法,掌握(01)分布、二项分布、泊松分布的分布律。6、 理解分布函数的概念及性质，理解并掌握连续型随机变量的概
2、率密度及性质。7、 掌握指数分布(参数)、均匀分布、正态分布8、 会求特殊的一维随机变量函数分布的分布律或概率密度。9、 会求分布中的待定参数。会求区间的概率.10、 会求边缘分布律、边缘密度函数，会判别随机变量的独立性。11、 掌握二维连续型随机变量未知参数的计算,落在区域概率的计算。12、 理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，掌握二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，掌握二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。13、 会求二维离散型随机变量函数的分布率.14、 掌握数学期望和方差的定义及性质,会熟练地求随机变量及其函数的数学期望
3、和方差。会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。15、 较熟练地求协方差与相关系数.16、 会用独立正态随机变量线性组合性质解题。17、 理解总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，样本均值与样本方差及样本矩概念，掌握c2分布(及性质)、t分布、F分布及其分位点概念。18、 理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数。19、 掌握极大似然估计法，无偏性与有效性的判断方法。20、 会求单正态总体均值与方差的置信区间。21、 会求单正态总体均值的假设检验。二、各章知识要点第一章 随机事件与概率1事件的关系 2运算规则 （1） （2）（3） （4）3概
4、率满足的三条公理及性质：（1） （2）（3）对互不相容的事件，有 （可以取）(可列可加性)性质:（4） （5） （6），若，则，（7），因此, P(AB),P(A),P(B),P(AB)这四个概率只要知道三个,剩下一个就能够求出来.特别的若A与B互不相容, 则P(AB)=P(A) +P(B)；若A与B独立, 则P(AB)=P(A) +P(B)-P(A)P(B)= ；（8）4古典概型：基本事件有限且等可能5条件概率（1） 定义：若，则,条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。（2） 乘法公式：若为完备事件组，则有（3） 全概率公式： （4） Bayes公式： 7事件的独立性： 独立
5、 （注意独立性的应用,求相互独立的多个事件的和的概率）第二章随机变量与概率分布1 离散随机变量：取有限或可列个值，满足（1），（2）=1 （3）对任意，2 连续随机变量：具有概率密度函数，满足（1）；（2）；（3）对任意，3 几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差0-1分布，或二项式分布，Poisson分布均匀分布，指数分布正态分布4 分布函数 ，具有以下性质 （1）；（2）单调不减；（3）右连续； （4），特别； （5）对离散随机变量，； （6）对连续随机变量，为连续函数，且在连续点上，分布函数是一个普通的函数，它表示随机变量落入区间（ ，x内的概率5 正态分布的概率计算 以记标
6、准正态分布的分布函数，则有 （1）；（2）；（3）若，则 ； （4）以记标准正态分布的上侧分位数，则正态分布的概率密度具有如下性质：1 的图形是关于对称的；2 当时，为最大值；3 以轴为渐近线。6 随机变量的函数 随机变量是随机变量的函数，若的分布函数或密度函数知道，则如何求出的分布函数或密度函数。（1）是离散型随机变量已知的分布列为，显然，的取值只可能是，若互不相等，则的分布列如下：，若有某些相等，则应将对应的相加作为的概率。（2）连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则，若不单调，先求分布函数，再求导。第三章 多维随机变量1、二维随机变量的基本概念（1）二维离散型随机变量联合概率
7、分布及边缘分布如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y）时，则称为离散型随机量。理解：（X=x,Y=y）（X=xY=y）设=（X，Y）的所有可能取值为，且事件=的概率为pij,称 为=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示： YXy1y2yjpix1p11p12p1jp1x2p21p22p2jp2xipi1pipjp1p2pj1这里pij具有下面两个性质：（1）pij0（i,j=1,2,）；（2）对于随机向量（X，Y），称其分量X（或Y）的分布为（X，Y）的关于X（或Y）的边缘分布。上表中的最后一列（或行）给出了X为离散型，
8、并且其联合分布律为，则X的边缘分布为 ；Y的边缘分布为 。（2）二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布联合概率密度f(x,y)具有下面两个性质：（1） f(x,y)0;（2）一般来说，当（X，Y）为连续型随机向量，并且其联合分布密度为f(x,y)，则X和Y的边缘分布密度为注意：联合概率分布边缘分布，同时注意计算方法(3) （4）常见的二维分布均匀分布设随机向量（X，Y）的分布密度函数为其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）U（D）。正态分布 记为（X，Y）N（由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，反推则错。即XN（5）二维随机
9、向量联合分布函数及其性质设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：（1）（2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即当x2x1时，有F（x2,y）F(x1,y);当y2y1时，有F(x,y2) F(x,y1);（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即（4）2、随机变量的独立性（1）一般型随机变量 F(X,Y)=FX(x)FY(y)（2）离散型随机变量 例35：二维随机向量（X，Y）共有六个取正概率
10、的点，它们是：（1，-1），（2，-1），（2，0），2，2），（3，1），（3，2），并且（X，Y）取得它们的概率相同，则（X，Y）的联合分布及边缘分布为 YX-1012p1100020300pj1因,所以X、Y不独立（3）连续型随机变量f(x,y)=fX(x)fY(y)联合分布边缘分布f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：可分离变量正概率密度区间为矩形例37：f(x,y)=（4）二维正态分布独立等价于=0（5）随机变量函数的独立性若X与Y独立，h,g为连续函数，则：h（X）和g（Y）独立。例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。3、简单函数的分布(重点离散性)离散型
11、：连续型 两个独立的正态分布的和仍为正态分布N（）。有限个相互独立的正态分布的线性组合仍为正态分布。2、随机变量的独立性例317：设（X，Y）的联合分布密度为（1） 求C；（2） 求X，Y的边缘分布；（3） 讨论X与Y的独立性；（4） 计算P（X+Y1）。第四章 随机变量的数字特征1期望(1) 离散时 ， ；一般情况下，求离散函数的期望的步骤：（1）求函数的分布律；（2）求期望(2) 连续时，；连续时，求的期望，就拿与给定随机变量的概率密度相乘，再在整个实数轴或二维平面内积分。(4)数学期望的性质（1） E(C)=C（2） E(CX)=CE(X)（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，（4）
12、 E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。2方差（1）方差，标准差；(2)方差的性质（1） D(C)=0；E(C)=C（2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X)（3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b（4） D(X)=E(X2)-E2(X)（5） D(X+Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。 D(XY)=D(X)+D(Y) 2E(X-E(X)(Y-E(Y协方差)，无条件成立。E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。类似的，n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正
13、态分布。， 3协方差（1）；（2）；（3）；（4）时，称不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；（5）4相关系数 ；有， 与相关系数有关的几个重要结论（i） 若随机变量X与Y相互独立，则；反之不真。（ii） 若（X，Y）N（），则X与Y相互独立的充要条件是，即X和Y不相关。（iii） 以下五个命题是等价的：；cov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).5 阶原点矩， 阶中心矩数理统计的基本概念 第一节 基本概念1、总体、个体和样本（1）总体与样本总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体
14、（或母体）；而把总体中的每一个单元称为样品（或个体）。在以后的讨论中，我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。例如单正态总体X，用来表示我们把从总体中抽取的部分样品称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。为了使抽取的样本很好地反映总体地信息，最常用的方法是“简单随机抽样”：（1）代表性。即每一样品Xi与总体X同分布；（2）独立性。即样品抽取互相间不影响。此时的样本是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。注意：在泛指任一次抽取的结果时，表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，表示n个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两
15、重性。（2）样本函数与统计量设为总体的一个样本，称（）为样本函数，其中为一个连续函数。如果中不包含任何未知参数，则称（）为一个统计量。2、统计量（1）常用统计量样本均值样本方差（与概率论中的方差定义不同）样本标准差样本k阶原点矩样本k阶中心矩 （二阶中心矩与概率论中的方差定义相同）（2）统计量的期望和方差，,其中，为二阶中心矩。3、三个抽样分布（2、t、F分布）（1）2分布设n个随机变量相互独立，且服从标准正态分布，它们的平方和我们称随机变量W服从自由度为n的分布，记为W(n)，所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。（2）t分布设X，Y是两个相互独立的随机变量
16、，且函数我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为Tt(n)。（3）F分布设，且X与Y独立，我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为Ff(n1, n2).正态分布，4、正态总体下统计量的分布和性质注意一个定理：与独立。（1）正态分布设为来自正态总体的一个样本，则样本函数（2）t-分布设为来自正态总体的一个样本，则样本函数其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。（3）分布设为来自正态总体的一个样本，则样本函数其中表示自由度为n-1的分布。（4）F分布 设为来自正态总体的一个样本，而为来自正态总体的一个样本，则样本函数其中 表示第一自由度为，第二自由度为的F分
17、布。第七章 参数估计1矩估计：（1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计2极大似然估计：（1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏导数为0，解出极大似然估计（如无解回到（1）直接求最大值，一般为min或max）3估计量的评选原则(1)无偏性：若，则为无偏； (2) 有效性：两个无偏估计中方差小的有效；4参数的区间估计（正态）参数条件估计函数置信区间已知未知未知第八章：正态总体均值的假设检验【相关公式】一、Z-检验设1, n为取自正态总体N(,2)的一个子样，2=为已知常数，检验H0：=0 (0已知)(这里视H1
18、: 0)选用统计量Z= N(0,1) (8.1)对给定的水平由=，查表得临界值 ，确定出拒绝域为C=，其中z为(8.1)的观察值二、T-检验在实际应用中，2往往并不知道，我们自然想到用2的无偏估计代替它，便得到t-检验法。1,，n为取自总体N(, 2)的子样，需检验，H0：=0 H1: 0选用统计量 (8.3) 由给定的水平，由 =查表定出临界值，进而确定出拒绝域为C=【相关例题】1。某批矿砂的5 个样品中的镍含量，经测定（%）3.25 3.27 3.24 3.26 3.24设测定值总体服从正态分布，但参数均未知，问在=0.01下能否接受假设，这批矿砂的镍含量的均值为3.25.例2 某区进行数学统考，初二年级平均成绩为75.6分，标准差为7.4分，从该区某中学中抽取50位初二学生，测得平均数学统考成绩为78分，试问该中学初二的数学成绩与全区数学成绩有无显著差异？12