《2022年北大附中高考数学专题复习函数与方程 .docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年北大附中高考数学专题复习函数与方程 .docx（30页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品_精品资料_学科：数学教学内容：函数与方程考点梳理一、考试内容集合、子集、交集、并集、补集.|ax+b|cc0 型不等式.一元二次不等式.映射、函数.分数指数幂与根式.函数的单调性,函数的奇偶性.反函数,互为反函数的函数图像间的关系.指数函数.对数,对数的性质和运算法就.对数函数,换底公式.简洁的指数方程和对数方程.二、考试要求1. 懂得集合、子集、交集、并集、补集的概念.明白空集和全集的意义.明白属于、包含、相等关系的意义.能把握有关的术语和符号,能正确的表示一些较简洁的集合.2. 懂得 |ax+b|cc0 型不等式的概念,并把握它们的解法.明白二次函数、一元二次不等式及一元二次方程三者
2、之间的关系,把握一元二次不等式的解法.3. 明白映射的概念,在此基础上懂得函数及其有关的概念,把握互为反函数的函数图像间的关系.4. 懂得函数的单调性和奇偶性的概念,并能判定一些简洁函数的单调性和奇偶性.能利用函数的奇偶性来描画函数的图像.5. 懂得分数指数幂、根式的概念,把握分数指数幂的运算法就.6. 懂得对数的概念,把握对数的性质.7. 把握指数函数、 对数函数的概念及其图像和性质,并会解简洁的指数方程和对数方程.三、考点简析1. 函数及相关学问关系表可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 集合1作用位置“集合” 是数学争论的基本对象之一.学习集合的概念, 有助于懂得事物的规
3、律关系和对应关系,加深对数学的抽象特点的懂得,也能提高使用数学语言的才能.高考试题中, 对集合从两个方面进行考查： 一方面是考查对集合概念的熟悉和懂得水平,主要表现在对集合的识别和表达上.如对集合中涉及的特定字母和符号,元素与集合间的关系,集合与集合间的比较,另一方面,就是考查同学对集合学问的应用水平,如求方程组、不等式组及联立条件组的解集,以及设计、使用集合解决问题等.2重点与难点重点是集合的概念和表示法及交、并、补集的运算.难点是集合运算的综合运用,特殊是带有参数的不等式解集的争论.3有关子集的几个等价关系 A B=AAB. A B=BAB. ABC uAC uB . A CuB =CuA
4、B. CuA B=IAB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4交、并集运算的性质 A A=A ,A =, A B=B A . A A=A ,A =A ,A B=B A . Cu A B= CuA CuB, Cu A B= C uA CuB .5有限子集的个数：设集合A 的元素个数是 n,就 A 有 2n 个子集, 2n 1 个非空子集.3. 函数的性质1函数的概念：定义域、值域、对应法就、反函数、复合函数、分段函数.2函数的性质：单调性、奇偶性、有界性、极最值性、对称性、周期性等.3函数对称性与周期性的几个结论：设函数 y=fx 的定义域为 R,且满意条件 fa+x=fb x,就
5、函数 y=fx 的图像关于直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线 x=ab 对称. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义在 R 上的函数 y=fx 对定义域内任意 x 有 fx+a=fx b,就 y=fx 是以 T=a+b为周期的函数.定义在 R 上的函数 y=fx 对定义域内任意 x 满意条件 fx=2b f2a x,就 y=fx 关于点 a,b对称.假设 y=fx 既关于直线 x=a 对称,又关于 x=b a b对称,就y=fx 肯定是周期函数,且 T=2|a b|是它的一个周期.假设 y=fx 既关于直线 x=a 对称, 又关于点 b,c中心对称, 就 y
6、=fx 肯定是周期函数, 且 T=4|a b|是它的一个周期.4函数的奇偶性与单调性：奇函数与偶函数的定义域关于原点对称,图像分别关于原点与y 轴对称.任意定义在R 上的函数 fx 都可以惟一的表示成一个奇函数与一个偶函数的和.即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx=f xf 2xf xf x+2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设奇函数 fx 在区间 a,b0 ab上单调递增减 ,就 fx 在区间 b,a上也是单调递增减 .假设偶函数 fx 在区间 a,b0 afb ,就 ab;函数 fx 在 R 上单调递减,假设fafb ,就 a0 时, fx 在区间 p,
7、q 上的最大值 M ,最小值 m,令 x 0=1p+q .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设bp,就 fp=m,fq=M;2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 pbx 0,就 f2ab=m,fq=M;2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 x 0bbq ,就 fp=M,f 2ab=m;2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 q,就 fp=M,fq=m .2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3二次方程的实根分布条件：二次方程 fx=0 的两根中一根比 r 大,另一根比 r 小afr0; 0二次方程 fx=
8、0 的两根都大于 rbr2 aaf r 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二次方程 fx=0 在区间 p,q 内有两根 0pbq 2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_af q0af p0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二次方程 fx=0 在区间 p,q 内只有一根fp fq0 ,或f p0检验或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_af q0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f q0检验.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_af p0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二次方程 fx=0 的一根
9、小于 p,另一根大于 qpqaf0af0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4二次不等式的转化策略：二次不等式 fx 0 的解集是： , , + a0 且 f =f =0.当 a0 时, f | +2a2a|;当 a0 时, f f | +2abb|0 时,二次不等式fx0在p,q 上恒成立b2a f pppb 2ab 2aq或或0f 0b2a f qq0 fx0 恒成立a0a或 0cb0.0fx0 时,函数图像过点 1, 1,0, 0,且在第一象限内随x 增加,图像上升.当 n1 时,在 R 上是增函数.当0a1 时,在 0,+ 上是增函数.当0a1时,在 0,+ 上是减函数.
10、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6.对数运算常用公式1a log a N =N2log aM+log aN=log aMN3log aM log aN=log a MN4log aM n=nlog a|M|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_p5log aM =1log a|M|p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6log ap M n =nlog a|M|p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7log bM=log a M log a b可编辑
11、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8 log an b1log |a| bn1n log b| a |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9log ab logbc=log ac四、思想方法1. 求函数解析式的方法：配方法与代入法.2. 求值域的常用方法：观看法,函数单调性法,求逆函数法,别离法, 配方法, 换元法, 判别式法,不等式法等.3. 函数与方程思想函数思想,即先构造函数,把给定问题转化对帮助函数的性质争论,得出所需的结论.方程思想,就是把对数学问题的熟悉,归纳为对方程和方程组的熟悉.可编辑资料 - - - 欢迎下载
12、精品_精品资料_对于函数思想,应深刻懂得一般函数y=fx 、 yf1 x的性质单调性、奇偶性、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_周期性、最值和图像变换.娴熟把握基本初等函数的性质,是应用函数思想解题的基础.函数方程思想常同数形结合、等价转化思想相互融合后才能充分发挥其详细解题的成效.【例题解析】例 1 1已知集合A=x|x 2 ax+a2 19=0 ,集合 B=x|log 2x 2 5x+8=1 ,集合可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C=x|mx 2 2 x8=1,m 0, |m| 1 满意 A B, A C=,求实数 a 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精
13、品_精品资料_2已知集合 P=x|x 2 5x+4 0,Q=x|x 2 2bx+b+2 0 满意 PQ,求实数 b 的取值范围.解 1由条件即可得 B=2 , 3 , C= 4,2 ,由 A B, A C=,可知 3A , 2A .将 x=3 代入集合 A 的条件得：a2 3a 10=0 a= 2 或 a=5当 a= 2 时, A=x|x 2+2x 15=0= 5,3, 符合已知条件.当 a=5 时,A=x|x 2 5x+6=0=2 , 3 ,不符合条件“ A C” =,故舍去.综上得： a= 2.2明显 P=x|1 x4 ,记fx=x 2 2bx+b+2假设 Q 为空集,就由 0 得： 4b
14、2 4b+20 1b2 .假设 Q 不是空集,就应满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 0f 10b 2b20b30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 402b142即7b1801b418可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解之得： 2 b7综上得： 1g17=9,gx g20=36 gx 的最大值为 36,最小值为 9.3由 f0=0 ,及 f0=f4=0 ,知 f0 在 0,10 上至少有两个解.而在 1000, 1000 上有 200 个周期,至少有 400 个解.又 f1000=0所以最少有 401 个解.且这 401 个解的和为 200.注
15、题中 2可依据函数图像的对称性、函数的周期性,通过作图得到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx=x12 2x22 2x16,17x17,20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般的：当 x 3, 2 时, 4 x 2,7 fx=f4 x=x 2 2当 x 3,7,fx=x 22故当 x 3+10k,7+10k,x 10k 3,7 fx= x 10k 22k z fx= x 10k 22x 3+10k,7+10k, k Z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3设 a 是正数, ax+y=2x 0,y 0,记 y+3x 1Ma 的表达式.2Ma 的最小
16、值.1 x 2 的最大值是 Ma ,试求：2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解将代数式 y+3x 1 x2 表示为一个字母, 由 ax+y=2 解出 y 后代入消元, 建立关于 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的二次函数,逐步进行分类求Ma .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1设 Sx=y+3x 1 x 2,将 y=2 ax 代入消去 y,得：2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sx=2 ax+3x 1 x 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= 1 x 2+3 ax+22= 1 x 3 a 2+2 y 0 2
17、ax 01 3 a2+2x 02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而 a0 0 x 2a下面分三种情形求Ma2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i 当 03 a0,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0a3时a 23a20解得0a1 或 2a0 即a0时,a 23a20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得： 1 a 2,这时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Ma=S2=2 aa22+3aa1 2 22 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_26= a 2 + aiii 当 3 a 0.即 a 3 时Ma=S0=
18、2综上所述得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 32a220a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_M a=2a 21 3226aa221a2 2a3a3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2下面分情形探讨Ma 的最小值.当 0a1 或 2a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 1a 2 时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2Ma= 2a61+= 2aa3 29 +22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1 a 211 12a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1当=a1 时, Ma 取小值,即2
19、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5Ma M 2=2当 a 3 时, Ma=2经过比较上述各类中Ma 的最小者,可得 Ma 的最小值是 2.注解题体会的积存, 有利于解题思路的挖掘, 对参数 a 的分类, 完全依据二次函数顶可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点的横坐标 3 a 是否在定义域区间0 ,2 内,这样就引出三种状态,找出解题的方案.a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4已知函数 fx=x1 p2p232 pZ 在0,+ 上是增函数,且在其定义域上是偶函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
20、_精品资料_1求 p 的值,并写出相应的函数fx 的解析式.2对于 1中求得的函数 fx ,设函数 gx= qffx+2q 1fx+1 ,问是否存在实数 qq0. fx 在 0,+ 上是增函数, 1 p2+p+ 3 022解得： 1p3, 而 p Z p=0,1,23当 p=0 或 2 时,有 fx=x 2 不是偶函数,故 p=1 ,此时 ,fx=x 2.2利用函数单调性的定义进行探究求解. fx=x 2 gx= qx 4+2q1x 2+1假设存在实数 qq0 ,使得 gx 满意题设条件.设x 1x 2,就gx1 gx 24124 2q 1x 22= qx 1 +2q 1x+qx 22可编辑资
21、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=x 1+x 2 x 2 x 1 qx 12+x2 2q 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 x 1,x2 , 4 ,易知 x1 +x20,要使 gx 在 , 4 上是递减函数,就应有qx12+x 22 2q 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_恒成立 x132 ,而 q0 q x 221 +x 2 32q从而要使 q x 12+x 2 22q 1 恒成立,就必有2q 1 32q1即q30假设 x 1,x2 4, ,易知 x 1+x 2 x 2 x10恒成立 4x 10, 4x 20 x12+x 2232 ,而 q32
22、q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1要使 q x2+x 2122q 1 恒成立,就必有 2q 1 32q,即q30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综合以上两方面,得q= 130可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故存在实数 q=1 ,使得 gx在 , 4 上是减函数,且在 4,0上是增函数.30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注本例是一道综合性较强的题目.对于第2小题,仍可以从复合函数性质方面来考虑,就有如下解法：设 t=x 2,由 gx 在 ,4 上是减函数, 在 4,0上是增函数, 而 t=x 2 在16 ,+ 和0,16 上都是
23、增函数,得ht= qt2+2q 1t+1 在 0, 16上是增函数,在16, + 上是减函数,从而可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2q1 2q1=16 q=30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5设 函 数 fx 定 义 域 为 R , 当 x0时 , fx1 , 且 对 任 意 x,y R , 有fx+y=fx fy .1证明： f0=1;2证明： fx 在 R 上是增函数.3设集合 A=x,y|fx2 fy 20 时,fx1 .就设 x=0,y=1得：f0+1=f0 f1 ,即 f1=f0 f1 f11 f0=1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精
24、品资料_2证明 fx 在 R 上是增函数,即证明当x 1x 2 时,有 fx 1fx 2.对 x 1,x2R,x 10 fx 2=fx 1+x 2 x 1=fx 1 fx 2 x 1中有 fx 2 x 11故要证明 fx 2fx 1,只要证明 fx 10 即可.事实上,当 x10 时, fx 110当 x 1=0 时, fx 1=10当 x 11 0fx 10 fx 2=fx 1 fx 2 x1fx 1 ,故命题得证.3解 A ：fx 2+y2f1 ,就由单调性知 x2+y 20 ,得 f x=1f x,证得 fx0 恒成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -
25、- 欢迎下载精品_精品资料_且 f x2 f x1 =fx2f x1=fx2x11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ fx 2fx 1例 6已知二次函数fx=ax 2+bx+c和一次函数gx= bx ,其中a、 b、 c满意abc,a+b+c=0a,b,c R.1求证：两函数的图像交于不同的两点A 、B .2求线段 AB 在 x 轴上的投影 A 1B1 的长度的取值范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解y1证：由y =4b 2 4acax2bx bxc 消去 y,得 ax2+2bx+c=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=4 a c2 4ac=4
26、a2+ac+c2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=4a+c 2+23 c2 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c此证法不够自然 abc a, c 不同时为 02 0,即两函数的图像交于不同的两点.2设方程 ax22bx+c=0 的两根为 x1 和 x 2,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1+x 2=2bc,x1x 2=aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|A1B1|2= x 1 x 22= x 1+x 22 4x1x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=2b 2a4c4b 24ac=aa 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4a=c 24 ac a 2=4c 2+ac+1a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=4c + 1 2+ 3 a24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ abc, a+b+c=0 , a0,c0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求证：