《2022年北大附中高考数学专题复习导数与微分经点答疑.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年北大附中高考数学专题复习导数与微分经点答疑.docx（19页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载学科：数学教学内容：导数与微分经点答疑（二）2函数 f（x）的不行导点有哪些类型？（1）函数 f（ x）在不连续点不行导如,符号函数sgnx,在 x0 点不连续,在x0 点不行导（2）函数 f（ x）在连续点不行导有以下几种类型：左、右可导,但左、右导数不相等；例如,函数 f（x） |x|,在点 x0 左、右可导,但左、右导数不相等左、右两侧至少有一侧不行导；例如, 函数fxxsin1 xx0 ,右导数f00x0 . ylim x0sin1不存在,即右不行导.lim x0 x x左导数f0lim x000存在,即左可导.
2、x左、右导数至少有一个是无限大例如,f x 3x 在x 0时,3右导数 f 0 x lim0 x x x lim0 x 123 ;3左导数 f 0 x lim0 x x x lim0 x 123 .3函数 fx在点 x 可导,是否函数 fx 在点 x 的某邻域内每一点都可导？不肯定 , 函数 f x 在点 x 0 可导是一个局部概念 , 它在点 x 0 的邻域内不肯定可导 .例如 , 函数 f x x 2 当 x 为有理数时 ,在点 0 可导,（当然在点 0 连续）,事实上0 当 x 为无理数时 .名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - -
3、 - - - - f0lim x 0fxf0lim x 0优秀学习资料x2欢迎下载当x 为有理数时.,fxlim x 0lim x 00xx0xlim x 000当x 为无理数时x明显,函数f（x）在任意点x 0 都不连续,即除点0 外,函数 f（x）在任意点都不行导由此可见,一个函数可能仅仅在一点可导4什么是导函数？导数与导函数有什么区分与联系？怎样求导函数？假如函数 f（x）在开区间（ a,b）内每一点都可导,称函数f（x）在开区间（ a,b）内可导,并称函数 f（x）是（a,b）内的可导函数 假如函数 f（x）在闭区间 a,b内可导, 且 f a与 f b 都存在,称函数 f（x）在闭区
4、间 a,b上可导,此时称 f（x）为闭区间 a,b上的可导函数假如函数 f（x）在区间 I 可导,此时对每一个点 xI,都有惟一一个导数 f x 与之对应,这样依据函数的定义,在 I 上定义了一个新的函数,称为函数 f（x）在 I 上的导函数,记 作 f x , y 或 dy . 即dxf x x f xf x lim x 0 x , x I留意到,前面介绍的函数 f（x）在点 x 处的导数是一个值,这里给出的导函数是一个函数,这是二者的根本区分函数 f（x）在点 x 0 I 的导数 f x 0 与函数 f（x）在 I 上的导函数 f x 0 的关系是：导数 f x 0 等于导函数 f x 在
5、点 x 处的函数值,即f x 0 f x | x x 0 .而前面导数的记号 y | x x 0 正是利用这种关系来表 示的 .有时, 在导函数与导数不至于发生混淆的情形下,导函数简称导数例如,求某一函数的导数,而没有特殊指明是某一点的导数,这时实际上是求导函数的从导函数的结构我们可以看出,导函数的结构从形式上就是函数 f（x）在任一点 x 处的导数因此要求函数 f（x）在区间 I 上的导函数,只需要求出 f（x）在 I 上任一点 x 处的导数即可,而要求 f（x）在点 x 处的导数,只需把极限 lim f x x f x 求出来即可x 0 x例 1 求函数 yx 的导数思路启发 在此题中,实
6、际上是求函数 yf（ x）的导函数的,只须把函数 f（x）在任一点 x 处的导数求出来即可名师归纳总结 规范解法 f（x） x, 第 2 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载f（x x） x x, x 0, yf（x x） f（x）x xx xyx1.lim x01.1.xxylim x0yx即x.1x3的导数求函数y例 2思路启发这里是求导函数的,可先求出x 处的导数,再把x 换成 x 即为所求规范解法任取x0R,x0 .x2,fx0x3,fx0xx0x3,0yx0x3x332 x 03x0x0xxy| xx0li
7、m x0ylim x03x23x 0xx23x2.00x用x代x0 即得函数yx3 的导数为x33x2.5.导数的几何意义是什么？它有哪些物理意义？名师归纳总结 由引例 2,我们知道,如函数f（x）在点x 可导,就曲线yf（x）在点Px0f,x0的第 3 页,共 11 页切线存在,且切线的斜率k 就是函数 f（x）在点x 处的导数 0fx0,即kfx0.故函数 yf（x）在点x 处的导数的几何意义是：fx0表示曲线 yf（x）在点x0f,x0处切线的斜率,即tanfx0因此,如函数f（x）在点x 处可导,就曲线yf（ x）在点Px0,y0y0fx0处的切线方程是：yy0fx0xx 0法线方程是
8、yy0f1xx0fx00.x0导数的物理意义,依据函数f（x）的物理意义不同而不同如如当函数f（ x）表示质点作变速直线运动的路程时（x 表示时间）,其导数fx表示质点在时刻x 的瞬时速度；当- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料x欢迎下载f（x）表函数 f（x）表示质点的速度函数时,其导数f表示质点的瞬时加速度；当函数示电量函数时（x 表示时间）,其导数 f x 表示时刻 x 的瞬时电流强度等等例 1 求曲线 y x 3在点（ 1,1）处的切线方程与法线方程思路启发依据导数的几何意义,只要求出函数yx3在点 x1 处的导数即为该曲线在点（ 1
9、,1）处的切线斜率,再利用直线的点斜式方程即可求出切线与法线方程规范解法依据导数的几何意义可x1知,所求切线的斜率为k1y|x1.由于yx33x2,因此k1y|3x2|x13.于是所求的切线方程为y13（ x1）,即 3xy20所求法线的斜率为 k 2 1.3从而所求的法线方程为 y 1 1 x 1 , 即 x 3 y 4 .03例 2 求曲线 y x 3上哪些点的切线平行于 直线 y 3 x 3 .思路启发 依据导数的几何意义,求曲线 yf（x）上切线平行于已知直线的点,也即是求函数 yf（x）在哪些点的导数与已知直线的斜率相等因此,只要找出函数 yf（ x）与已知直线的斜率相等的点即可规范
10、解法已知直线y3x3的斜率k3,函数yx3 的导数y3x2.设3x23,得x1,当x1时,y1；x1时,y1.故所求的点是（1,1）和（ 1, 1）点评解决此题的关键是能正确懂得并把握导数的几何意义6函数的可导性与连续性的关系是什么？设函数yfx在点x可导,即lim x0 yfx x由具有极限的函数与无穷小量的关系我们知道,存在一个当使得yfxfyx成立.x.xx.0xyx从而于是lim x0lim x0fx即函数 yf（ x）在点 x 处连续因此我们有：x0 时的无穷小量 ,名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀
11、学习资料 欢迎下载如函数 yf（ x）在点 x 可导,就函数y f（x）在点 x 必连续反之,不肯定成立,即如函数 yf （x）在点 x 处连续,但它在点 x 不肯定可导x x 0 ,例 函数 f xx x 0 .规范解法 如图 3-3, f（x）在点 x0 连续,事实上：f（ 0） 0lim f x lim x 0 f 0 , 即在点 x 0 右连续 .x 0 x 0lim x 0fxlim x 0x0f0,即在点x0左连续.故 f（ x）在点 x 0 连续但是, f（x）在点 x 0 不行导（见 1 中的例 2）由上面的争论可知,函数 f（x）在点 x 连续是函数 f（x）在点 x 可导的
12、必要条件,但非充分条件即函数 f（x）在点 x 处可导必连续,连续不肯定是可导,不连续肯定不行导7如函数 f（ x）与 g（ x）在点 x 都不行导,它们的和 H（x） f（x）+g（x）与积G（x） f（x）g（x）在点 x 是否也不行导？不肯定例如,函数 f（x） |x|与 g（x） |x|在 x0 都不行导, 但是,它们的和与积 H（ x）f（x）+g（x）0 与 G x f x g x x 2在 x0 却都可导8求哪些函数个别点的导数或左、右导数应用导数的定义？（1）函数在个别点的函数值单独定义的,其余点的函数值用统一解析式定义的（函数在个别点连续） 例如,函数fxxcos1当x0,1
13、0,x0当x0.在点 x 0 的导数要应用导数的定义（2）求分段函数在分段点的导数例如,函数名师归纳总结 fxe1x0,gxx1xxx01,0,第 5 页,共 11 页x2xx,0x;01x0,.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载求函数 f（x）在点 x0 的左、右导数,函数 应用导数的定义9导数有哪些基本公式和运算法就 . g（x）在点 x0 与 x1 的左、右导数要在导数的定义中, 我们不仅阐明白导数概念的实质,也给出了利用定义求函数的方法但是,假如对每一个函数,都直接按定义去求它的导数,往往是极为复杂和困难的,甚至是不可能的
14、因此,我们期望找到一些简洁函数的导数（作为我们的基本公式）与运算法就,借助它们来简化导数的运算过程公式 1 C0,C为常数.证明：设 yf（x） C,名师归纳总结 yfx xfxCC0, y0, 第 6 页,共 11 页 xfxClim x0 ylim x000. x公式2xnnxn1,n为正整数.证明：设yfxxn, yfx xfxx xnxnnxn1 xnn1xn2 x2 xn,21 ynxn1nn11xn2 x xn1,2 xfxxnlim x0 ynxn1. x注：以后可以证明,当n 取任意实数时,这个公式仍旧成立例 1求x 9.规范解法x99x919x 8.公式 3sinxcos.x
15、证明: 设ysinx,ysinxxsinx2cosxxsinx,22ycosxxsinx,2 xx22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ysinxlim x0ylim x优秀学习资料欢迎下载cosx.0cosxxlim x0sinx2x2x2公式4 cosxsinx.请读者自己证明公式5logax1,a0,a1.x1logae1xlna证明： 设ylogax, ylogax xlogaxlog1 x,x yloga1x1 x x1loga1 x x xxxxylogaxlim x y1lim x0loga1 x x0 xxxxxlna特殊,当 ae 时
16、,有公式（ 6）lnx1xaxa x1,x公式（ 7）axaxlna,a0证明：设yax. yax xayaxaxx1,t,x令ax1t,就 xloga 1又当 t 0 时,有 t 0,于是lim x 0axx1lim x 0logatxtlim t 0loga1t11eln.a11logatyax x lim yalna0 x特殊,当 ae 时,有公式8 exex.例 2求3x.名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 规范解法3x3xln3 .优秀学习资料欢迎下载法就（ 1）两个函数的和（或差）的导数,等于这两个函数的
17、导数的和（或差）即uvuv.证明：设yuxvx,ux、vx均可导.当x有增量 x时,有 相应的增量 u, v, y, yux xvx xuxvx u v. y u v. x x xuv x lim y x lim0 u x lim vuv0 x x0 x用同样的方法可将此结果推广到有限个函数代数和的导数情形例 3求下面函数的导数求它们的导数只要利用和与 1 yx4x3sinxex.2yx7x3x10 .思路启发这两个函数都是由几个初等函数的代数和构成,差的求导法就及前面的导数公式即可得出正确的答案规范解法1yx3x4xx 310s i n x6ex1 .4x 33 x2c o s xex.2y
18、7 x7 x3 x2法就（ 2）两个函数乘积的导数,等于第一个函数的导数乘以其次个函数,再加上第一个函乘以其次个函数的导数即uvuuv .x 取增量x（ x 0）时,有相应的增证明：设yuv, u（x）、 v （x）均可导,当量 u、 v、 y,于是在 x 处名师归纳总结 yuxxvxxuxvxxuxvxxuxvx xvx,于是第 8 页,共 11 页uxxvxxuxvxuvxxuxv ,yuvxxuxv.xxx,于是当 x0时,vx由于vx在点x可导,从而连续uv x lim y 0 xuxlim x0 vlim x ulim x0vx x0 x xuvu v.- - - - - - -精选
19、学习资料 - - - - - - - - - 特殊vCC是常数时,优秀学习资料欢迎下载CuCuCu0CuCu.也就是说,常数与函数的积的导数,等于常数乘以函数的导数 . 即 CuCu对于有限个函数的乘积的导数可类推例如三个可导的函数u（x）,vx和wx的乘积的导数是：uvwuvwuvwuvw例 4求函数yx 3cosx 的导数y.思路启发该函数是由两个基本初等函数3 x 与 cosx 的积所构成,而3 x 与 cosx 的导数（公式） 我们知道, 两个函数的积的求导法法就我们学过,因此只要能正确运用两个函数的积的求导法就与3 x 和 cosx 的求导公式,该题将迎刃而解规范解法由两个函数和积的
20、求导法就得yx3cosxx3cosxx3cosx3 x2cosxx3sin.x例 5设yx3sinxlnx,求y.思路启发本例与上例基本相同,所不同的是本函数是由三个函数的积所构成,因此只要正确运用积的求导法就及公式即可名师归纳总结 yx3sinxlnxq与Ox轴相切.第 9 页,共 11 页x3sinxlnxx3sinxlnxx 3sinxlnx3x2sinxlnxx3cosxlnxx2sinxx23sinxlnxxcosxlnxsinx.例 6当p、q满意何条件时,三次抛物线yx3px思路启发要使抛物线y0.yx3pxq在某点与 Ox轴相切,须使该点满意：y规范解法由方程yx3pxq,求得
21、y3 x2p.要使此曲线与 Ox轴相切,必须满意3x2p0,1x3pxq0.2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由2 式得xx2pq,优秀学习资料欢迎下载两端平方,就x2x2p2q23.p2q2.将1 式代入 3式得：pp33即p3q20,即为所求的条件32法就（ 3）两个可导函数之商的导数仍是一个商,这个商的分子等于原先的商的分子的导数乘以分母,再减去分子乘以分母的导数；它的分母是原先的商的分母的平方即：uuv2uv,v0.vxux v.x.vv证明：设yux,vx0,ux,vx在x可导；vxux xux u,vx xvx v. yux xuxux
22、uux uvxvxux xvx vux vvx由于ux,vx在点x可导,从而连续,于是：vxxuxvy x lim0 ylim x uvxuxlim x0 vu0 x x x lim0 vv xvx2 xvx例 7设ytanx,求y.思路启发 留意到正切函数 tanx 是由正弦函数 sinx 与余弦函数 cosx 的商所构成, 商的求导法就我们学过,而正弦函数与余弦函数的导数（公式）我们知道,因此如能正确地运用求导法就及求导公式,该函数的导数也就解决了规范解法t a n xsi n x,x2 sec.xc o s xytanxsinxcosxsinxcosxsinxcoscosx22 cosxsin2x12 cosx2 cosx从而得名师归纳总结 公式9 tanx2 secx.第 10 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载类似可得名师归纳总结 公式 10cotx2 cscx.第 11 页,共 11 页- - - - - - -