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1、1统计学基本概念统计学基本概念13.213.2 总体总体与样本与样本一个统计问题研究对象的全体称为一个统计问题研究对象的全体称为总体，总体，构成总体的每个成员称为个体。个体构成总体的每个成员称为个体。个体是数据的载体。是数据的载体。例例 1313.2.12.1 研究研究某地某地区区高中高中男生男生的身高的身高情况。情况。该地区全体高中男生就构成一个总体该地区全体高中男生就构成一个总体，其中每一名学生则是该总体中的一个个，其中每一名学生则是该总体中的一个个体。体。*通常将个体所具有的数量指标的全体作为一个通常将个体所具有的数量指标的全体作为一个总体总体，每一成员的相应的数量指标就是一个个体。每一
2、成员的相应的数量指标就是一个个体。例例 1313.2.12.1 研究研究某地某地区区高中高中男生男生的身高的身高情况。情况。全体学生全体学生身高身高的全体作为一个总体，每一名学生的全体作为一个总体，每一名学生的身高的身高就是一个个体。就是一个个体。在统计学研究中，人们总是假定总体服从某种分布。在统计学研究中，人们总是假定总体服从某种分布。总体总体即分布。即分布。*R.A.FisherR.A.Fisher 引入了引入了“无限总体无限总体”这个概念。这个概念。现实问题中，所有个体的数目往往是有限的，即所谓的有限总体。现实问题中，所有个体的数目往往是有限的，即所谓的有限总体。引入无限总体，在概率意义
3、上相当于用连续分布近似离散分布。引入无限总体，在概率意义上相当于用连续分布近似离散分布。用抽象的概率分布描述总体更进一步的合理性在于：几种常见的且在概率上容用抽象的概率分布描述总体更进一步的合理性在于：几种常见的且在概率上容易处理的分布，如正态分布、指数分布、均匀分布，为许多实际问题的总体分易处理的分布，如正态分布、指数分布、均匀分布，为许多实际问题的总体分布提供了相当好的近似，而围绕这些分布建立了大量深刻而有效的统计方法。布提供了相当好的近似，而围绕这些分布建立了大量深刻而有效的统计方法。*例例 13.213.2.2 2 设有一个物体设有一个物体，其真实质量其真实质量a未知未知，要通过多次测
4、量估计该物体质量要通过多次测量估计该物体质量。2若测量误差服从正态分布若测量误差服从正态分布 20 ,N，则所有可能的测量结果构成总体，服从正态分布则所有可能的测量结果构成总体，服从正态分布 2,aN。*从总体中按一定规则抽出的一部分个体称为样本，样本中的个体称为样品从总体中按一定规则抽出的一部分个体称为样本，样本中的个体称为样品样品的个数称为样本容量或样本量。样品的个数称为样本容量或样本量。样本是随机变量，用大写字母样本是随机变量，用大写字母,12nXXX表示，表示，样本容量为样本容量为n为了为了便于概率处理，通常要求便于概率处理，通常要求样本满足样本满足一下性质一下性质：(1)(1)样本具
5、有随机性，样本具有随机性，（2 2）上述）上述,12nXXX之间相互独立。之间相互独立。所得到的样本称为简单随机样本。所得到的样本称为简单随机样本。今后若不作特别说明，提到的样本总是指简单随机样本。今后若不作特别说明，提到的样本总是指简单随机样本。*样本是随机变量样本是随机变量，用大写字母用大写字母,12nXXX表示表示，一旦样本在抽取后一旦样本在抽取后，得到一组得到一组确定的观测值，它是样本的一次具体实现，用小写字母确定的观测值，它是样本的一次具体实现，用小写字母12,nx xx表示。表示。例例 13.2.313.2.3 随机抛掷一枚骰子观测其出现的点数，此时总体的分布是取值为随机抛掷一枚骰
6、子观测其出现的点数，此时总体的分布是取值为 1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6 的均匀分布。的均匀分布。现将该骰子独立重复地抛掷现将该骰子独立重复地抛掷 1010 次，得到一个样本次，得到一个样本,1210XXX，其中的，其中的kX 101 k均服从取值为均服从取值为 1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6 的均匀分布。的均匀分布。5 5，6 6，1 1，6 6，4 4，1 1，2 2，4 4，6 6，6 63 3，5 5，1 1，4 4，5 5，3 3，6 6，1 1，2 2，4 46 6，2 2，4 4，1 1，3 3，2 2，6 6，5 5，1 1，3 3*3数据是一
7、切统计分析的基础，统计分析的成功依赖于详实的数据。如果数据出数据是一切统计分析的基础，统计分析的成功依赖于详实的数据。如果数据出了问题，一切后续的分析都将失去意义了问题，一切后续的分析都将失去意义。（稍停顿（稍停顿）那么如何保证数据的可靠那么如何保证数据的可靠呢？有两方面的要求非常重要，一是保证数据真实，尽可能获取第一手数据资呢？有两方面的要求非常重要，一是保证数据真实，尽可能获取第一手数据资料；二是收集的数据要有代表性，尽可能全面的蕴含人们所真正关心的信息。料；二是收集的数据要有代表性，尽可能全面的蕴含人们所真正关心的信息。*实例三，收集第一手数据的重要性实例三，收集第一手数据的重要性首先首
8、先看一个关于第一手数据的例子，看一个关于第一手数据的例子，有人有人收集了某个落后地区居民的一些人类收集了某个落后地区居民的一些人类学指标的数据，学指标的数据，邀请邀请英国的一位统计英国的一位统计学者学者对数据进行分析。对数据进行分析。他们测定了他们测定了很多人很多人类学类学特征，特征，其中其中包括体重。体重的原始的测量记录为：包括体重。体重的原始的测量记录为：7.6,7.6,6.5,6.5,8.1,8.1,等等等数据。这里的重量单位是英石，等数据。这里的重量单位是英石，1 1 英石等于英石等于 1414 磅。负责整理测量的助手将这磅。负责整理测量的助手将这些测量数据乘以些测量数据乘以 1414
9、，将英石转换为以磅为单位的测量值将英石转换为以磅为单位的测量值，得到得到 7.67.6*14=106.414=106.4 磅磅，6.56.5*14=90.014=90.0 磅，磅，8.18.1*14=113.414=113.4 磅等体重记录，提交给统计学者。但这位统计磅等体重记录，提交给统计学者。但这位统计学者认为应该查看原始记录学者认为应该查看原始记录。就在查看原始记录时就在查看原始记录时，他发现了一个特别的现象他发现了一个特别的现象，所有重量测量值的小数点后面从来没有出现过所有重量测量值的小数点后面从来没有出现过 7 7，8 8，9 9 三个数字。他下意识的三个数字。他下意识的察觉到察觉到
10、，在大量的数据测量下在大量的数据测量下，发生这种情况的概率几乎为发生这种情况的概率几乎为 0 0。进一步调查发现进一步调查发现，当地人当地人在进行在进行测量时测量时，使用的是英国制造体重秤，是很古老使用的是英国制造体重秤，是很古老的一种秤的一种秤，上面上面只只有英石的刻度，当地人将英石与英石的有英石的刻度，当地人将英石与英石的刻度刻度之间等分为之间等分为 7 7 个单位，个单位，得到得到了了更细更细致的刻度致的刻度，所以原始数据小数点，所以原始数据小数点后后使用的并非是使用的并非是 1010 进制，而是进制，而是 7 7 进制。进制。7.67.6 这这个个测量结果，对应的测量结果，对应的正确的
11、体重应该是正确的体重应该是 7 7 又又 7 7 分之分之 6 6，乘以乘以 1414，等于等于 110110 磅磅，而不是而不是 106.4106.4 磅。由于统计学者的严谨，这批数据避免了平均磅。由于统计学者的严谨，这批数据避免了平均 4 4 到到 5 5 磅的重量磅的重量偏差。偏差。统计学的研究完全靠数据说话，对数据的详细考察是统计分析最基本的保统计学的研究完全靠数据说话，对数据的详细考察是统计分析最基本的保证，必须尽可能谨慎地面对第一手的数据，充分发挥自己的想象力去探寻隐秘证，必须尽可能谨慎地面对第一手的数据，充分发挥自己的想象力去探寻隐秘在数据中的线索和提示，遵循这样的格言在数据中的
12、线索和提示，遵循这样的格言“除非验明清白，否则每一个数字都除非验明清白，否则每一个数字都是有罪的是有罪的”。*关于数据的代表性，我们同样以一个真实的故事说明，这是统计学里面一关于数据的代表性，我们同样以一个真实的故事说明，这是统计学里面一个很著名的案例个很著名的案例。文学摘要文学摘要是二十世纪初美国的一本畅销杂志是二十世纪初美国的一本畅销杂志，这个杂志在这个杂志在4二十世纪二三十年代连续几次成功地预测了美国总统大选的结果。因此获得了二十世纪二三十年代连续几次成功地预测了美国总统大选的结果。因此获得了很好的声誉。很好的声誉。19361936 年，该杂志预测候选人兰顿将获得年，该杂志预测候选人兰顿
13、将获得 60%60%的支持率击败另一名的支持率击败另一名候选人罗斯福候选人罗斯福。但那次选举的真正结果是罗斯福赢得了但那次选举的真正结果是罗斯福赢得了 62%62%的选票的选票，压倒性地战压倒性地战胜了兰顿胜了兰顿。文学摘要文学摘要的预测误差如此之大的预测误差如此之大，几乎是重要民意测验曾经出现过几乎是重要民意测验曾经出现过的最大偏差。人们事后分析原因，如此大的误差主要源自抽样方法。该杂志的最大偏差。人们事后分析原因，如此大的误差主要源自抽样方法。该杂志给给10001000 万名预期的选民邮寄了问卷，这些人的姓名、地址等信息来自于电话簿以万名预期的选民邮寄了问卷，这些人的姓名、地址等信息来自于
14、电话簿以及俱乐部会员的名册。而在当时能够拥有电话和加入俱乐部的人及俱乐部会员的名册。而在当时能够拥有电话和加入俱乐部的人，大多是中产大多是中产阶级或更为富有的群体，非俱乐部的成员及没有电话的收入较低阶级或更为富有的群体，非俱乐部的成员及没有电话的收入较低的的人都被文人都被文学摘要的学摘要的民意调查民意调查遗漏了。因此文学摘要的抽样程序具有很强的选择偏遗漏了。因此文学摘要的抽样程序具有很强的选择偏向向。在在 19361936 年之前年之前，这种偏向可能对预测结果这种偏向可能对预测结果的的影响不大影响不大，因为那时富人与穷因为那时富人与穷人对政治主张并不是很敏感人对政治主张并不是很敏感。但在但在
15、19361936 年年，政治见解与经济状况发生了更为密政治见解与经济状况发生了更为密切的关联切的关联，从而导致大多数低收入的从而导致大多数低收入的人人投了罗斯福的票投了罗斯福的票，罗斯福的支持率被罗斯福的支持率被文文学摘要学摘要大大低估了大大低估了。其次其次，杂志社发出杂志社发出的的 10001000 万万份份问卷只收到问卷只收到 230230 万份的反万份的反馈馈，超过超过 75%75%的人并没有给出答复的人并没有给出答复。愿意回答与不愿意回答本身也代表着人的某愿意回答与不愿意回答本身也代表着人的某种倾向。因此，过低的反馈率同样导致了调查的倾向性。这两个因素是产生巨种倾向。因此，过低的反馈率
16、同样导致了调查的倾向性。这两个因素是产生巨大的大的预测预测偏差的主要原因。虽然，一般而言数据量越大，所得的估计效果就会偏差的主要原因。虽然，一般而言数据量越大，所得的估计效果就会越好。但当抽样策略有偏向时，大量的数据是没有帮助的，它只是在更大的规越好。但当抽样策略有偏向时，大量的数据是没有帮助的，它只是在更大的规模下重复基本的错误而已。模下重复基本的错误而已。好的数据收集方法一定要具有代表性，使得相关信息都能够平等、随机地好的数据收集方法一定要具有代表性，使得相关信息都能够平等、随机地被数据反映。以美国总统竞选为例，在文学摘要失败的同时，被数据反映。以美国总统竞选为例，在文学摘要失败的同时，GallupGallup 的问的问卷方法取得了成功卷方法取得了成功，有兴趣的读者可以检索一下有兴趣的读者可以检索一下 GallupGallup 民意测验民意测验，了解更多的了解更多的如何更加有效的获取数据的知识。如何更加有效的获取数据的知识。*