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1、八年级数学下册期末知识点：一元二次方程的定义八年级数学重要学问点：一元二次方程实数根 八年级数学重要学问点：一元二次方程实数根 例1下列方程中两实数根之和为2的方程是() (A)x2+2x+3=0(B)x2-2x+3=0(c)x2-2x-3=0(D)x2+2x+3=0 错答：B 正解：C 错因剖析：由根与系数的关系得x1+x2=2，极易误选B，又考虑到方程有实数根，故由可知，方程B无实数根，方程C合适。 例2若关于x的方程x2+2(k+2)x+k2=0两个实数根之和大于-4，则k的取值范围是() (A)k-1(B)k0(c)-1k0(D)-1k0 错解：B 正解：D 错因剖析：漏掉了方程有实数
2、根的前提是0 例3(2000广西中考题)已知关于x的一元二次方程(1-2k)x2-2x-1=0有两个不相等的实根，求k的取值范围。 错解:由=(-2)2-4(1-2k)(-1)=-4k+80得k2又k+10k-1。即k的取值范围是-1k2 错因剖析：漏掉了二次项系数1-2k0这个前提。事实上，当1-2k=0即k=时，原方程变为一次方程，不行能有两个实根。 正解：-1k2且k 例4(2022山东太原中考题)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1=0的两个实数根，当x12+x22=15时，求m的值。 错解：由根与系数的关系得 x1+x2=-(2m+1),x1x2=m2+
3、1, x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 =-(2m+1)2-2(m2+1) =2m2+4m-1 又x12+x22=15 2m2+4m-1=15 m1=-4m2=2 错因剖析：漏掉了一元二次方程有两个实根的前提条件是判别式0。因为当m=-4时，方程为x2-7x+17=0，此时=(-7)2-4171=-190，方程无实数根，不符合题意。 正解：m=2 例5已知二次方程x2+3x+a=0有整数根，a是非负数，求方程的整数根。 错解：方程有整数根， =9-4a0，则a2.25 又a是非负数，a=1或a=2 令a=1，则x=-3，舍去;令a=2，则x1=-1、x2=-2 方程的整数根是x1=
4、-1，x2=-2 错因剖析：概念模糊。非负整数应包括零和正整数。上面答案仅是一部分，当a=0时，还可以求出方程的另两个整数根，x3=0，x4=-3 正解：方程的整数根是x1=-1，x2=-2，x3=0，x4=-3 解一元二次方程 28.2解一元二次方程教学目的学问技能相识形如x2p（p0）或（mx+n）2p（p0）类型的方程，并会用干脆开平方法解配方法解一元二次方程x2pxq0.数学思索用干脆开平方法解一元二次方程的依据是用平方根的定义来进行降次的，干脆开平方法解一元二次方程，必需化成形如x2p（p0）或（mx+n）2p（p0）的形式来求解.配方法是把方程x2pxq0转化为（mx+n）2p（p
5、0）形式的方程再应用干脆开平方法求解解决问题通过两边同时开平方，将二次方程转化为一次方程，向学生渗透数学新学问的学习往往由未知（新学问）向已知（旧学问）转化，这是探讨数学问题常用的方法，化未知为已知情感看法通过本节学习，使学生感觉到由未知向已知的转化美.教学难点用配方法解一元二次方程学问重点选择适当的方法解一元二次方程教学过程设计意图 教学过程问题一：填空假如，那么.老师活动：引导学生运用开平方的方法，解x2p（p0）形式的方程.学生活动：在老师的引导下，初步了解一元二次方程的干脆开平方法.问题二：解方程老师活动：与学生一起探究此种形式的方程的解法.学生活动：仿照上题，解此问题，并总结出形如（
6、mx+n）2p（p0）方程的解法.练习：解下列方程：（1）(2)问题三：解方程：师生一起探究解法，通过配方把该方程转化为（mx+n）2p（p0）形式的方程，再用干脆开平方法求解.做一做把下列方程化成的形式.例题1：解方程老师活动：给学生作出配方法解方程的示范.重点在配方的方法：在方程的两边都加上一次项系数一半的平方，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.学生总结配方法解形如x2pxq0的一元二次方程的方法. 从学生已知的学问入手，解决形如x2p（p0）类型的方程，引导进入干脆开平法法. 解决并练习形如（mx+n）2p（p0）类型的方程， 在解决形如x2p（p0）和（m
7、x+n）2p（p0）类型的方程的基础上，给学生设置悬念，探究这个方程的解法.引出配方法. 在转化的同时，给学生讲解配方的方法，为配方法解一元二次方程作打算. 提高学生的总结归纳实力.课堂练习解下列方程：课本24页习题2学生完成后，沟通结果，沟通配方法解一元二次方程的步骤、方法 使学生体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性. 小结与作业课堂小结引导学生对干脆开平方法和配方法进行总结. 本课作业34页习题1、3把学习延长到课外，巩固课上所学. 课后随笔（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想） 3.1一元二次方程 3.1一元二次方程 【学习目标】1.相识一元二次，会分辨一元二次方程。 2.学会把一
8、元二次方程化成一般形式，并能找出二次方程系数、一次项系数和常数项。 3.感悟一元二次方程与实际生活的亲密关系。 【学习过程】 一.学问回顾：一元一次方程： 分式方程： 二.自主探究： （一）一元二次方程的概念 1.自学课本72页内容，得到的三个方程分别是： 2.整理这三个方程，使方程的右边为0，并左边按x的将幂排列。 这三个方程的共同特点： 3.像这样的方程叫做一元二次方程。 对应练习： 1.下面的方程是一元二次方程吗？为什么？ （1）x2-9=0（2）y2-4y=0(3)13x-x2=0(4)4s(s-1)=4s2+2 (5)3x+x2-1=0(6)3x3-4x2+1=0 2.关于x的方程（
9、a-1）x2-3ax+5=0是一元二次方程，这时的取值范围是_ (二)一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式为_，二次项是_,一次项是_，常数项是_，其中a称为_b称为_. 对应练习： 1.一元二次方程3x2=5x的一般形式为_，二次项系数为_一次项系数为_常数项为_. 2.将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数，常数项。 3x(x+1)=4(x-2)(x+3)2=(x+2)(4x-1)2(y+5)(y-1)=y2-82t=(t+1)2 三.课堂小结 四.课堂检测： 1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（） A:ax2+bx+c=0B:k2x+bk+6+
10、0C:3x2+2x+1=0D(m2+3)x2+3x-2=0 2.方程（3x-1）（2x+4）=1化为一般形式是其中二次项系数为_，一次项系数为_，常数项为_. 3.小明家有一块长150，宽100的矩形地毯，为了使地毯美观，小明请来了工匠在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后的面积是原地毯面积的2倍，若设花色地毯的宽为x，则依据题意，可列方程为_,并化成一般形式 3.2用配方法解一元二次方程（1） 【学习目标】1.知道什么叫开平方法。 2.学会利用开平方的方法解一元二次方程。 【学习过程】 一.复习回顾：1.平方根的定义_。 2.求下列各数的平方根：4，6，0，12. 3.负数有没有平方根？
11、 相关学问链接： 为美化校内，我校确定将校内中心边长为40米的正方形草坪扩为面积为2500平方米的正方形，请同学们计算一下边长应当增加多少？ 解：设边长应增加x米，依据题意可列方程_ 同学们思索，怎样解这个方程？ 二.探求新知： 自学课本80页内容，再依据平方根的意义，解下列方程 x2=9x2=6(x+3)2=1(x-2)2=2 方法总结： 通过学习，总结以上各题的特点：1.假如一个一元二次方程一边是_ 另一边是_就可以用开平方法求解。 2.利用开平方解一元二次方程，肯定留意方程有_个解。 三.典型例题： 例1.解方程：4x2-7=0 对应练习：解方程 49x2=250.5x2-32=02x2
12、=39x2-8=0 例2.9（x-1）2=25 对应练习：（1）（x+1）2=16（2）(6x-1)2=81 小结： 当堂测试： 1.下列方程，能否用开平方法求解（） （1）2x2=1（2）3x2+1=0（3）9(x-2)2=25（4）x2-4x+4=9 2.利用开平方法解方程： (1)4x2=9(2)2(x-3)2=8 3.解方程：（x+）(x-)=2 3.2用配方法解一元二次方程（2） 学习目标：1.知道配方法与开平方法的关系。 2.学会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。 3.归纳配方法解一元二次方程的一般步骤，并娴熟解方程。 学习过程： 一.拓通打算： 1.回顾开平方法解方程，方程
13、具备的特点：_. 2.添加适当的数，使下列等式成立。 （1）x2+6x+_=(x+3)2(2)x2+18x+_=(x+_)2 (3)x2-16x+_=(x-_)2(4)x2+Px+_=(x+_)2 (5)x2-x+_=(x-_)2 二.探求新知： 1.视察方程：x2+10x+25=26，左边可以变成_,原方程变成_,用开平方法解这个方程。 2.视察方程x2+10x=1,它与上述方程有哪些相同和不同?怎样改变就可以得到方程一的形式 3.总结上述方程解法中，关键是哪一步？详细做法是什么？ _. 4.什么是配方法？_. 三.典型例题：用配方法解方程： （1）x2-3x=-2(2)x2-6x+8=0
14、方法总结： 1.用配方法解一元二次方程时，常数项和一次项系数有什么关系？ 2.用配方法解一元二次方程的详细步骤：_. 对应练习：用配方法解下列方程： （1）x2+4x=-3（2）x2-6x=7(3)Y2=3Y-2(4)x2+12x+1=0 四.拓展延长：用配方法解方程：（x+1）2+2(x+1)=8 五.课堂小结 六.当堂检测： 1.关于x的方程x2+a+1=2x有解得条件是（） A.a0B.a0C.a为非负数D.a为非正数 2.填空：（1）x2-7x+_=(x-_)2（2）x2+20x+_=(x+_)2 3.利用配方法解下列方程：（1）x2-3x+2=0(2)x2-5x=6 4.在一块长35
15、m,宽26m的矩形地面上，修建同样宽的 两条相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分 的面积为850，道路的宽应为多少? 3.2用配方法解一元二次方程(3) 学习目标： 1、学会用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程。 2、熟记配方法解一元二次方程的步骤。 3、体会配方法解一元二次方程的实际意义。 学习过程： 一.拓通打算：解方程：x2+x-1=0 二.探求新知：解方程：2x2+3x-1=0 总结方法：用配方法解一元二次方程时，一般先把二次项系数化为_，然后把方程的_移到方程的右边，再把左边配成一个_，假如右边是_，就可以进一步通过干脆开平方求它的解. 三.自我训练：用配方法解下列方程
16、： （1）3Y2-12=2Y(2)3x2-5x-2=0(3)3x2+4x-1=0(4)2x2-2x+1=0 四.实力提升： 1.用配方法解方程x(2x-1)=32.实际应用：当x取何值时，2x2-3x+1的值等于3. 五.拓展延长：假如P与都是常数，且P24,你会用配方法解关于x的一元二次方程x2+Px+=0吗？试一试。 六.当堂达标： 1.用配方法解方程2x2-3=-6x,正确的解法是（） A:(x+)2=,x=B:(x-)2=,x= C:(x+)2=,原方程无解。D:(x+)2=,x= 2.若用配方法解方程，2x2-x-4=0时，原方程可变形为_. 3.用配方法解下列方程： （1）3x2-
17、6x=0(2)2x2-7x+3=0 3.3用公式法解一元二次方程（1） 学习目标：1.会用配方法解方程推导出一元二次方程的求根公式。 2.能利用一元二次方程根的判别式推断根的状况。 3.学会运用公式法解一元二次方程。 学习过程： 一.拓通打算： 1.配方法解一元二次方程的步骤： 2.运用配方法解方程ax2+bx+c=0(a,b,c都是常数，且a0) 归纳总结： 1.依据上题，得出一元二次方程的求根公式_. 2.什么叫做公式法：_. 3.一元二次方程根的判别式：_. 4.依据判别式，怎样推断一元二次方程ax2+bx+c=0根的状况： 当b2-4ac0,方程_.当b2-4ac=0,方程_. 当b2
18、-4ac0,方程_. 二.自我尝试： 不解方程，依据判别式，推断一元二次方程根的状况。 （1）x2-x=1=0（2）x2-x+1=0(3)4x2-4x+1=0 三.典型例题： 用公式法解方程：（1）2x2+5x-3=0（2）4x2=9x 四.自我训练： 用公式法解方程 (1)x2+6x+5=0(2)6Y2-13Y-5=0(3)x2-3x-4=0(4)2x2+1=3x 五.小结： 六.当堂检测： 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c都是常数，且a0)的求根公式：_.用求根公式的前提条件是_ 2.一元二次方程x2+2=2x,其中a=_,b=_,c=_,b2-4ac=_.它的根是：_.
19、3.下列一元二次方程中，没有实数根的是（_） A:x2+2x-1=0B:x2+x+1=0C:x2-2x+2=0D:-x2+x+2=0 4.解下列方程： （1）2x2+11x+5=0（2）5x2-2x+3=0 33用公式法解一元二次方程（2） 学习目标：1.会娴熟地把一元二次方程化成一般形式。 2.巩固公式法解一元二次方程。 学习过程： 一.拓通打算： 1.一元二次方程的一般形式：_. 2.一元二次方程的求根公式：_. 3.解下列方程：（1）x2-2x-3=0（2）x2-x+1=0： 二.自我尝试(一)： 把下列方程化为一般形式，然后用公式法解下列方程。 （1）（x+1）（3x-1）=0（2）4
20、-(2-Y)2=0 自我训练：解下列方程 （1）2x2+1=32x（2）3x2+5(2x+1)=0(3)(x+2)2-2x=3(4)x-2-x(x-2)=0 三.自我尝试（二） （1）（2x+1）2=2x+1（2）(x+1)(x-1)=2x 四.拓展思维： 1.已知方程x2+kx-6=0的一个根式2，求k及另一个根。 2.假如三角形的两边分别为1和2，第三边式方程2x2-5x+3=0的根，求这个三角形的周长。 五.当堂检测： 1.方程x(2x-1)=3(2x-1)的根是（）A.；B.3；C.和3；D.和-3. 2.三角形的两边长分别是8和6，第三边是一元二次方程x2-16x+60=0的一个实数
21、根，求解这个三角形的面积 3.两数的和是-12，积是35，求这两个数。 4.公式法解方程：（1）2x2+7x=4（2）(x-2)(3x-5)=1 3.4用因式分解法解一元二次方程 学习目标：1.知道什么是因式分解法。 2.学会用因式分解法解特别的一元二次方程。 3.通过因式分解法解一元二次方程，体会数学中的转化思想。 学习过程： 一.拓通打算： 1.因式分解法：_,_._,_. 2.把下列各式因式分解 （1）4x2-x（2）9x2-4 (3)x2-4x+4(4)x2-5x+6 二.探求新知： 自学课本95页内容，归纳出： 1.什么是因式分解法：_. 2.因式分解法解一元二次方程的一般步骤：_.
22、 三.自我尝试： 干脆写出下列方程的两个根： （1）x(x-1)=0（2）(y-2)(y+5)=0（3）t2=2t (3)(x+1)(3x-2)=0(4)(x-)(5x+)=0 四.典型例题 例1：用因式分解法解下列方程：（1）15x2=6x=0（2）4x2-9=0 对应练习：解方程（1）16x2+10x=0（2）(y-3)2=1 例2：解方程（1）(2x-1)2=(x-3)2（2）x2-4x+4=0 对应练习：用因式分解法解方程： （1）x-2-x(x-2)=0（2）(x+1)2-25=0(3)x2-5x+6=0(4)(2x+1)2-6(2x+1)+8=0 五.当堂检测： 1.（x+a）(x
23、+b)=0与方程x2-x-30=0同解，则a+b等于（） A:1B:-1C:11D:-11 2.用因式分解法解方程： x(x+3)=x+3x2=8x2x(2x+5)=(x-1)(2x+5) 3.5一元二次方程的应用（1） 学习目标：1.能依据题意找出正确的等量关系. 2.能正确的列出一元二次方程解决实际问题. 学习过程： 前面我们学习过了一元一次方程、分式方程，并能用它们来解决现实生活与生产中的很多问题，同样，我们也可以用一元二次方程来解决一些问题。 想一想，列方程解应用题的关键是什么？ 一.自主学习 例1.如图，有一块长40cm、宽30cm的矩形铁片，在它的四角各截去一个全等的小正方形，然后
24、拼成一个无盖的长方体盒子.假如这个盒子的底面积等于原来矩形铁片面积的一半，那么盒子的高是多少？ 分析：这个问题中的等量关系是： 解： 例2.如图，MN是一面长10m的墙，要用长24m的篱笆，围成一个一面是墙、中间隔着一道篱笆的矩形花圃ABCD.已知花圃的设计面积为45平方米，花圃的宽度应当是多少？ 解：设矩形花圃ABCD的宽为x（m），那么长_m. 依据问题中给出的等量关系，得到方程_. 解这个方程，得， 依据题意，舍去_. 所以，花圃的宽是_m. 二.对应练习 1.从一块正方形木板上锯掉2cm宽的矩形木条，剩余矩形木板的面积是48.求原正方形木板的面积. 2.有一块矩形的草坪，长比宽多4m.
25、草坪四周有一条宽2m的小路环绕，已知小路的面积与草坪的面积相等地，求草坪的长和宽. 三.当堂检测 1.两个数的和是20，积是51，求这两个数. 2.如图，道路AB与BC分别是东西方向和南北方向，AB1000m.某日晨练，小莹从点A动身，以每分钟150m的速度向东跑；同时小亮从点B动身， 以每分钟200m的速度向北跑，二人动身后经过几分钟， 他们之间的直线距离仍旧是1000？ 3.5一元二次方程的应用（2） 学习目标1.会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题 2.通过列方程解应用问题，进一步提高分析问题、解决问题的实力 学习过程 一.自主学习 例1.某工厂2022年的年产值为50
26、0万元，2022年的产值为605万元，求20222022年该 厂年产值的增长率. 提示：假如设该厂20222022年产值的平均增长率为x，那么2022年的年产值为_，2022年的年产值为_. 例2.某种药品原售价为每盒4元，两次降价后，每盒售价为2.56元，求该药品平均每次的降价率. 提示：假如设该药品平均每次的降价率为x，那么第一次降价后该药品每盒的售价为_，其次次降价后该药品每盒的售价为_. 二.自我练习 1.两个连续奇数的积是323，求这两个数. 2.将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖500个，已知该商品每涨价1元时，其销售量就削减10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，
27、这时应进货为多少个？ 三.当堂小结 四.当堂检测 1.某农场的粮食产量在两年内从600吨增加到726吨，该农场平均每年的增长率是多少？ 2.某农机厂一月份生产联合收割机300台，为了满意夏收季节市场对联合收割机的需求，三月份比一月份多生产132台，求二、三两个月平均每月的增长率. 3.已知两个数的和是12，积为23，求这两个数. 4.（山西）“五一”黄金周期间，某高校几名学生打算外出旅游，有两项支出需提前预算： （1）备用食品费，购买备用食品共花费300元，在动身时，又有两名同学要加入（不再增加备用食品费），因此，先参与的同学平均每人比原来少分摊5元，现在每人需分摊多少元食品费？ （2）租车费：现有两种车型可供租用，座数和租车费如下表所示： 车型座数租车费（元/辆） A7500 B5400 请选择最合算的租车方案，（仅从租车费角度考虑）并说明理由。 第21页 共21页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页