八年级~数学培优-资料.doc

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1、#*目录目录第 1 讲 全等三角形的性质与判定(P2-11) 第 2 讲 角平分线的性质与判定(P12-16) 第 3 讲 轴对称及轴对称变换(P17-24) 第 4 讲 等腰三角形(P25-36) 第 5 讲 等边三角形(P37-42) 第 6 讲 实 数(P43-49) 第 7 讲 变量与函数(P50-54) 第 8 讲 一次函数的图象与性质(P55-63) 第 9 讲 一次函数与方程、不等式(P64-68) 第 10 讲 一次函数的应用(P69-80) 第 11 讲 幂的运算（P81-86) 第 12 讲 整式的乘除(P87-93) 第 13 讲 因式分解及其应用(P94-100) 第

2、14 讲 分式的概念性质与运算(P101-108) 第 15 讲 分式的化简 求值 与证明(P109-117) 第 16 讲 分式方程及其应用(P118-125) 第 17 讲 反比例函数的图像与性质(P126-138) 第 18 讲 反比例函数的应用(P139-146) 第 19 讲 勾股定理(P147-157) 第 20 讲 平行四边形(P158-166) 第 21 讲 菱形矩形(P167-178) 第 22 讲 正方形(P179-189) 第 23 讲 梯形(P190-198) 第 24 讲 数据的分析(P199-209) 模拟测试一 模拟测试二 模拟测试三#*BACDEF第 01 讲

3、全等三角形的性质与判定考点方法破译1能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2全等三角形性质：全等三角形对应边相等，对应角相等；全等三角形对应高、 角平分线、中线相等；全等三角形对应周长相等，面积相等； 3全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，对于两个直角三角形全等的判定方 法，除上述方法外，还有 HL 法； 4证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具 体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证 明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明； 5 证明两个三角形全等，根据条件，有时能

4、直接进行证明，有时要证的两个三角形 并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、 翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典考题赏析【例】如图，ABEFDC,ABC90,ABCD，那么图中有全等三角形（ ） A5 对B4 对C3 对D2 对 【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的 一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而 推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到. 解：ABEFDC,ABC90. DCB90.在ABC 和DCB 中ABCDCB（SAS ） ADABDC ABCDCB BCCB 在ABE 和DCE 中ABE

5、DCE BECEAD AEDDEC ABDC 在 RtEFB 和 RtEFC 中BECE EFEF RtEFBRtEFC（HL）故选 C. 【变式题组】 01 （天津）下列判断中错误的是（ ） A有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等#*AFCEDBD有一边对应相等的两个等边三角形全等 02 （丽水）已知命题：如图，点 A、D、B、E 在同一条直线上，且 ADBE，AFDE，则ABCDEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果 是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加 以

6、证明.03(上海)已知线段 AC 与 BD 相交于点 O, 连接 AB、DC，E 为 OB 的中点，F 为 OC 的 中点，连接 EF（如图所示）. 添加条件AD，OEFOFE，求证：ABDC； 分别将“AD”记为， “OEFOFE”记为， “ABDC”记为，添 加、，以为结论构成命题 1；添加条件、， 以为结论构成命题 2.命题 1 是_命题，命题 2 是 _命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例】已知 ABDC，AEDF，CFFB. 求证：AFDE. 【解法指导】想证 AFDE，首先要找出 AF 和 DE 所在的三角形.AF 在AFB 和 AEF 中，而 DE 在CDE 和DEF 中，因

7、而只需证明ABFDCE 或AEFDFE 即 可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件. 证明：FBCE FBEFCEEF，即 BECF在ABE 和DCF 中, ABDC AEDF BECF ABEDCF（SSS） BC在ABF 和DCE 中, ABFDCE AFDEABDC BC BFCE 【变式题组】 01如图，AD、BE 是锐角ABC 的高，相交于点 O，若 BOAC，BC7，CD2，则 AO 的长为（ ） A2B3C4D5ABCDOFEACEFBD#*AE第 1 题图ABCDEBCDO第 2 题图02.如图，在ABC 中，ABAC，BAC90，AE 是过 A 点的一条直线，AECE

8、于 E，BDAE 于 D，DE4cm，CE2cm，则 BD_. 03 （北京）已知：如图，在ABC 中， ACB90，CDAB 于点 D，点 E 在 AC 上， CEBC，过点 E 作 AC 的垂线，交 CD 的延长线于点 F. 求证：ABFC.AFECBD【例】如图，ABCDEF，将ABC 和DEF 的顶点 B 和顶点 E 重合，把 DEF 绕点 B 顺时针方向旋转，这时 AC 与 DF 相交于点 O. 当DEF 旋转至如图位置，点 B（E） 、C、D 在同一直线上时，AFD 与DCA 的数量关系是_; 当DEF 继续旋转至如图位置时，中的结论成立吗？请说明理由 _.B（E ）OCF图FAB

9、CDEFAB(E)C DDA图图【解法指导】AFDDCAAFDDCA 理由如下：由ABCDEF，ABDE，BCEF, ABCDEF, BACEDF ABCFBCDEFCBF, ABFDEC在ABF 和DEC 中, ABDE ABFDEC BFEC ABFDEC BAFDEC BACBAFEDFEDC, FACCDF AODFACAFDCDFDCA#*AFDDCA 【变式题组】 01 （绍兴）如图，D、E 分别为ABC 的 AC、BC 边的中点，将此三角形沿 DE 折叠，使 点 C 落在 AB 边上的点 P 处.若CDE48，则APD 等于（ ） A42B48C52D58 02如图，RtABC

10、沿直角边 BC 所在的直线向右平移得到DEF，下列结论中错误的是 （ ） AABCDEFBDEF90 C ACDF DECCFEFBABPDEC第 1 题图ACDG第 2 题图03一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如 下图形式，使点 B、F、C、D 在同一条直线上. 求证：ABED； 若 PBBC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.BFACENMPDDACBFE【例】 （第 21 届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE 分别是ABC 的边 A C 和 AB 边上的高，点 P 在 BD 的延长线，BPAC，点 Q 在 CE 上，CQAB. 求证：

11、 APAQ；APAQ 【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证 APAQ,也就是证APD 和AQE，或APB 和QAC 全等,由已知条件 BPAC，CQAB，应该证APBQAC，已具备两组边对应相等，于是再证夹角 12 即可. 证 APAQ，即证PAQ90，PADQAC90就可以.证明：BD、CE 分别是ABC 的两边上的高，BDACEA90,1BAD90，2BAD90，12.21ABCPQEFD#*ABCDFE在APB 和QAC 中, APBQAC，2ABQCBPCA 1 APAQ APBQAC，PCAQ, PPAD90 CAQPAD90，APAQ 【变式

12、题组】 01如图，已知 ABAE，BE，BAED，点 F 是 CD 的中点，求证：AFCD.02 （湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂 直距离 MA 为 am，此时梯子的倾斜角为 75，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙 上，此时梯子顶端距地面的垂直距离 NB 为 bm，梯子倾斜角为 45，这间房子的宽度 是（ ）ABCbmDam2abm 2abmAEC BA75C45BNM第 2 题图第 3 题图D03如图，已知五边形 ABCDE 中， ABCAED90，ABCDAEBCDE2， 则五边形 ABCDE 的面积为_演练巩固反馈提高01 （海南）已知图中的

13、两个三角形全等，则 度数是（ ） A72B60C58D50第 3 题图第 1 题图CAODBP第 2 题图ACA/BB/a cca50b725802如图，ACBA/C/B/， BCB/30，则ACA/的度数是（ ）#*A20B30C35D40 03 （牡丹江）尺规作图作AOB 的平分线方法如下：以 O 为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB 于 C、D，再分别以点 C、D 为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于1 2CD点 P，作射线 OP，由作法得OCPODP 的根据是（ ） ASASBASACAASDSSS 04 （江西）如图，已知 ABAD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABCADC 的

14、是（ ） A. CBCD B.BACDACC. BCADCA D.BD90E21NABDC第 5 题图ABCDE ABCD第 4 题图 第 6 题图M05有两块不同大小的等腰直角三角板ABC 和BDE，将它们的一个锐角顶点放在一起， 将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当 A、B、D 不在一条直线上时，下面的结论 不正确的是（ ）A. ABECBD B. ABECBD C. ABCEBD45 D. ACBE 06如图，ABC 和共顶点 A，ABAE，12，BE. BC 交 AD 于 M，DE 交 AC 于 N，小华说：“一定有ABCAED.”小明说：“ABMAEN.”那么（ ） A. 小华、小

15、明都对 B. 小华、小明都不对 C. 小华对、小明不对 D.小华不对、小明对 07如图，已知 ACEC, BCCD, ABED,如果BCA119，ACD98,那么ECA 的度数是_. 08如图，ABCADE，BC 延长线交 DE 于 F，B25,ACB105，DAC10，则DFB 的度数为_. 09如图，在 RtABC 中，C90, DEAB 于 D, BCBD. AC3，那么 AEDE_第 10 题图ABCDE第 9 题图EABCDABCDEFOCAEBD 第 7 题图第 8 题图10如图，BAAC, CDAB. BCDE，且 BCDE，若 AB2, CD6，则 AE_. 11如图, ABC

16、D, ABCD. BC12cm，同时有 P、Q 两只蚂蚁从点 C 出发，沿 CB 方向#*AEFBDC爬行，P 的速度是 0.1cm/s, Q 的速度是 0.2cm/s. 求爬行时间 t 为多少时，APB QDC. DAC. QP.B12如图, ABC 中，BCA90，ACBC，AE 是 BC 边上的中线，过 C 作CFAE，垂足为 F，过 B 作 BDBC 交 CF 的延长线于 D. 求证：AECD； 若 AC12cm, 求 BD 的长. 13 （吉林）如图，ABAC，ADBC 于点 D，AD 等于 AE，AB 平分DAE 交 DE 于点 F, 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以

17、证明.14如图，将等腰直角三角板 ABC 的直角顶点 C 放在直线 l 上，从另两个顶点 A、B 分别 作 l 的垂线，垂足分别为 D、E. 找出图中的全等三角形，并加以证明； 若 DEa，求梯形 DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15如图，ACBC, ADBD, ADBC，CEAB，DFAB，垂足分别是 E、F.求证： CEDF.16我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什 么情况下，它们会全等？ 阅读与证明： 对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等； 对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略） ； 对于这两个三角形均为锐角三角形，它

18、们也全等，可证明如下； 已知ABC、A1B1C1均为锐角三角形，ABA1B1，BCB1C1，CC1.求证：DBACEFAEBFDCBDEClA#*ABCA1B1C1.（请你将下列证明过程补充完整）ABCDA1B1C1D1归纳与叙述：由可得一个正确结论，请你写出这个结论.培优升级奥赛检测01如图，在ABC 中，ABAC，E、F 分别是 AB、AC 上的点，且 AEAF，BF、CE 相 交于点 O，连接 AO 并延长交 BC 于点 D，则图中全等三角形有（ ） A4 对B5 对C6 对D7 对F 第 6 题图21ABCENM321ADEBCFADECOAE OBFCD 第 1 题图B第 2 题图第

19、 3 题图02如图，在ABC 中，ABAC，OCOD，下列结论中：AB DECE， 连接 DE, 则 OE 平分AOB，正确的是（ ） ABCD 03如图，A 在 DE 上，F 在 AB 上，且 ACCE , 1=2=3, 则 DE 的长等于（） ADC B. BC C. AB D.AEAC 04下面有四个命题，其中真命题是（ ） A两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等 B两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C. 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等 D. 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 05在ABC 中，高 AD 和 BE 所在直线相交于 H 点,且 BH

20、AC，则ABC_. 06如图，EB 交 AC 于点 M, 交 FC 于点 D, AB 交 FC 于点 N，EF90，BC, AEAF. 给出下列结论：12；BECF; ACNABM; CDDB，其中正确的结论有_.（填序号） 07如图，AD 为在ABC 的高，E 为 AC 上一点，BE 交 AD 于点 F,且有 BFAC，FDCD.#*A E FCDBABCDEAEBDC求证：BEAC； 若把条件“BFAC”和结论“BEAC”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.08如图，D 为在ABC 的边 BC 上一点，且 CDAB，BDABAD，AE 是ABD 的 中线.求证：AC2AE. ABEDC09

21、如图，在凸四边形 ABCD 中，E 为ACD 内一点，满足 ACAD，ABAE, BAEBCE90, BACEAD.求证：CED90. 10 （沈阳）将两个全等的直角三角形 ABC 和 DBE 按图方式摆放，其中ACBDEB90，AD30，点 E 落在 AB 上，DE 所在直线交 AC 所在直 线于点 F. 求证：AFEFDE; 若将图中DBE 绕点 B 顺时针方向旋转角 ，且 060，其他条件不 变，请在图中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立； 若将图中DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 ，且 60180,其他条件 不变，如图你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过

22、程；若不成立，请写 出此时 AF、EF 与 DE 之间的关系，并说明理由。11 （嵊州市高中提前招生考试）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 在ABC 中，AB5，AC13, 求 BC 边上的中线 AD 的取值 范围.AFDFCBEDACBEACB图图图#*AD EGCHB小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 AD 到 E，使得 DEAD，再连接 BE，把 AB、AC、2AD 集中在ABE 中，利用三角形的三边关系可 得 2AE8，则 1AD4. 感悟：解题时，条件中若出现“中点” “中线”等条件，可以考虑中线加倍，构造 全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论

23、集中到同一个三角形中. 问题解决：受到的启发，请你证明下面命题：如图，在ABC 中，D 是 BC 边上的中点，DEDF，DE 交 AB 于点 E，DF 交 AC 于点 F，连接 EF. 求证：BECFEF；问题拓展：如图，在四边形 ABDC 中，BC180， DBDC，BDC=120，以 D 为顶点作一个 60角，角的两边分别交 AB、AC 于 E、F 两点，连接 EF，探索线段 BE、CF、EF 之间的数量关系， 并加以证明. 12 （北京）如图，已知ABC. 请你在 BC 边上分别取两点 D、E（BC 的中点除外） ，连接 AD、AE，写出使此 图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并

24、表示出面积相等的三角形； 请你根据使成立的相应条件，证明：ABACADAE.13如图，ABAD，ACAE，BADCAE180. AHAH 于 H，HA 的延长线交 DE 于 G. 求证：GDGE.ABEFCDAEBFCDCBA#*4321NMABODP 14已知，四边形 ABCD 中，ABAD，BCCD，BABC，ABC120，MBN60, MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交 AD、DC（或它们的延长线）于 E、F. 当MBN 绕 B 点旋转到 AECF 时，如图 1，易证：AECFEF；（不需证明）当MBN 绕 B 点旋转到 AECF 时，如图 2 和图 3 中这两种情况下，上述结论是

25、否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE、CF、EF 又有怎样的数量关系？ 请写出你的猜想，不需证明.DABCF NEMD图 1ABCF NEMDABCFNE M图 2图 3第 02 讲 角平分线的性质与判定考点方法破译1角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 2角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 3有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.经典考题赏析【例】如图，已知 OD 平分AOB，在 OA、OB 边上截取 OAOB，PMBD，PNAD.求证：PMPN 【解法指导】由于 PMBD，PNAD.欲证 PMPN 只需34，证34

26、，只 需3 和4 所在的OBD 与OAD 全等即可. 证明：OD 平分AOB 12#*PCABMNMNABD CPEDA BC21F EDA BC在OBD 与OAD 中， OBDOAD12OBOAODOD 34 PMBD，PNAD 所以 PMPN 【变式题组】 01如图，CP、BP 分别平分ABC 的外角BCM、CBN.求证：点 P 在BAC 的平分 线上.02如图，BD 平分ABC，ABBC，点 P 是 BD 延长线上的一点，PMAD，PNCD. 求证：PMPN【例】 （天津竞赛题）如图，已知四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，CEAB 于点E，且 AE(ABAD)，如果D120，求B

27、的度数1 2 【解法指导】由已知12，CEAB，联想到可作 CFAD 于 F，得CECF，AFAE，又由 AE(ABAD)得 DFEB，于是可证CFDCEB，则1 2 BCDF60.或者在 AE 上截取 AMAD 从而构造全等三角形. 解：过点 C 作 CFAD 于点 F.AC 平分BAD，CEAB，点 C 是 AC 上一点，CECF在 RtCFA 和 RtCEA 中， RtACFRtACE AFAECFCE ACAC 又AE(AEBEAFDF)，2AEAEAFBEDF，BEDF1 2CFAD，CEAB，FCEB90#*DCAB321FE DCABDECABDFEBAC在CEB 和CFD 中，

28、CEBCFDCECF FCEBDFBE BCDF 又ADC120，CDF60，即B60. 【变式题组】01如图，在ABC 中，CD 平分ACB，AC5，BC3.求ACDCBDS S02(河北竞赛)在四边形 ABCD 中，已知 ABa，ADb.且 BCDC，对角线 AC 平分BAD，问 a 与 b 的大小符合什么条件时，有BD180，请画图并证明你的 结论.【例】如图，在ABC 中，BAC90,ABAC，BE 平分ABC，CEBE.求证：CEBD1 2 【解法指导】由于 BE 平分ABC，因而可以考虑过点 D 作 BC 的垂线或延长 CE 从而 构造全等三角形. 证明：延长 CE 交 BA 的延

29、长线于 F，12，BEBE，BEFBECBEFBEC(ASA) CEEF，CECF 1F3F90，1 213在ABD 和ACF 中，ABDACF 13ABACBADCAF BDCF CEBD1 2 【变式题组】 01如图，已知 ACBD，EA、EB 分别平分CAB、DBA，CD 过点 E，求证： ABACBD.02如图，在ABC 中，B60，AD、CE 分别是BAC、BCA 的平分线，AD、CE 相交于点 F. 请你判断 FE 和 FD 之间的数量关系，并说明理由； 求证：AECDAC.#*图 1图 图DCBA图 2图 图DBCAEP图 3图 图QSRPBAC 图 4图 图EFBDAC图 5图

30、 图EBCA 图 6图 图FEDPABC图 7图 图PABCEF图 8图 图DA B C E图 9图 图EDCAB图 10图 图KN MQCBA演练巩固反馈提高01如图，在 RtABC 中，C90，BD 平分ABC 交 AC 于 D，若 CDn，ABm， 则ABD 的面积是（ ）AmnBmnC mnD2 mn1 31 2 02如图，已知 ABAC，BECE，下面四个结论：BPCP；ADBC；AE 平分BAC；PBCPCB.其中正确的结论个数有（ ）个 A 1B2C3D4 03如图，在ABC 中，P、Q 分别是 BC、AC 上的点，作 PRAB，PSAC，垂足分别 是 R、S.若 AQPQ，PR

31、PS，下列结论：ASAR；PQAR；BRPCSP.其 中正确的是（ ） A BCD04如图，ABC 中，ABAC，AD 平分BAC，DEAB，DFAC，垂足分别是 E、F，则下列四个结论中：AD 上任意一点到 B、C 的距离相等；AD 上任意一点 到 AB、AC 的距离相等；ADBC 且 BDCD；BDECDF.其中正确的是（ ） ABCD 05如图，在 RtABC 中，ACB90，CAB30，ACB 的平分线与ABC 的外 角平分线交于 E 点，则AEB 的度数为（ ） A50B45C40D35 06如图，P 是ABC 内一点，PDAB 于 D，PEBC 于 E，PFAC 于 F，且 PDP

32、EPF，给出下列结论：ADAF；ABECACBE；BCCFABAF；点 P 是ABC 三条角平 分线的交点.其中正确的序号是（ ） ABCD 07如图，点 P 是ABC 两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（ ） A点 P 到ABC 三边的距离相等B点 P 在ABC 的平分线上CP 与B 的关系是：PB90 DP 与B 的关系是：BP1 21 2#*FBDE CAO FEDABC图 4图 图FGEPABCD 图 5图 图EODBAC08如图，BD 平分ABC，CD 平分ACE，BD 与 CD 相交于 D.给出下列结论：点 D 到 AB、AC 的距离相等；BAC2BDC；DADC；DB

33、平分ADC.其中正 确的个数是（ ） A1 个B2 个C3 个D4 个 09如图，ABC 中，C90AD 是ABC 的角平分线，DEAB 于 E，下列结论中：AD 平分CDE；BACBDE； DE 平分ADB；ABACBE.其中正 确的个数有（ ） A3 个B2 个C1 个D4 个 10如图，已知 BQ 是ABC 的内角平分线，CQ 是ACB 的外角平分线，由 Q 出发，作 点 Q 到 BC、AC 和 AB 的垂线 QM、QN 和 QK，垂足分别为 M、N、K，则 QM、QN、QK 的关系是_ 11如图，AD 是BAC 的平分线，DEAB 于 E，DFAC 于 F，且 DBDC.求证： BEC

34、F12如图，在ABC 中，AD 是BAC 的平分线，DEAB 于点 E，DFAC 于点 F.求证：ADEF.培优升级奥赛检测01如图，直线 l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三 条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ） A一处B二处C三处D四处 02已知 RtABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于 D，若 BC32，且BD:CD9:7，则 D 到 AB 边的距离为（ ） A18B16C14D12 03如图，ABC 中，C90，AD 是ABC 的平分线，有一个动点 P 从 A 向 B 运动. 已知：DC3cm，DB4cm，AD8cm.DP 的长为

35、x(cm)，那么 x 的范围是_#*l1l2 l3图 1图 图图 3图 图DC ABPGPFEDCBAPDABCQPCBA04如图，已知 ABCD，PEAB，PFBD，PGCD，垂足分别为 E、F、G，且 PFPGPE，则BPD_ 05如图，已知 ABCD，O 为CAB、ACD 的平分线的交点，OEAC，且 OE2， 则两平行线 AB、CD 间的距离等于_ 06如图，AD 平分BAC，EFAD，垂足为 P，EF 的延长线于 BC 的延长线相交于点 G.求证：G(ACBB)1 207如图,在ABC 中,ABAC,AD 是BAC 的平分线,P 为 AC 上任意一点.求证: ABACDBDC08如图

36、，在ABC 中，BAC60，ACB40，P、Q 分别在 BC、AC 上，并且 AP、BQ 分别为BAC、ABC 的角平分线上.求证：BQAQABBP第 3 讲 轴对称及轴对称变换考点方法破译1轴对称及其性质 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图 形关于这条直线成轴对称，这条直线叫对称轴. 轴对称的两个图形有如下性质：关于某直线对称的两个图形是全等形；对称轴是 任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应 线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.#*2线段垂直平分线 线段垂直平分线也叫线段中垂线，它反映了与线段的两种关系：位置关

37、系垂直； 数量关系平分. 性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 3当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线） 、或求几条折线段的最 小值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件.经典考题赏析【例】 （兰州）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打 3 个洞，则纸 片展开后是（ ）【解法指导】对折问题即是轴对称问题，折痕就是对称轴.故选 D. 【变式题组】 01将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（ ）02 （荆州）如图，将矩形纸片 ABCD 沿

38、虚线 EF 折叠，使点 A 落在点 G 上，点 D 落在点 H 上；然后再沿虚线 GH 折叠，使 B 落在点 E 上，点 C 落在点 F 上，叠完后，剪一个 直径在 BC 上的半圆，再展开，则展开后的图形为（ ）【例 2】 （襄樊）如图，在边长为 1 的正方形网格中，将ABC 向右平移两个单位长度 得到ABC ，则与点 B关于 x 轴对称的点的坐标是（ ） A （0，1） B （1，1） C （2，1） D （1，1） 【解法指导】在ABC 中，点 B 的坐标为（1，1） ，将 ABC 向右平移两个单位长度得到ABC，由点的坐标平移规律 可得 B （12，1） ，即 B （1，1）.由关于 x

39、 轴对称的点的坐#*标的规律可得点 B关于 x 轴对称的点的坐标是（1，1） ，故应选 D. 【变式题组】 01若点 P（2，3）与点 Q（a，b）关于 x 轴对称，则 a、b 的值分别是（ ） A2，3 B2，3 C2，3 D2，3 02在直角坐标系中，已知点 P（3，2） ，点 Q 是点 P 关于 x 轴的对称点，将点 Q 向右 平移 4 个单位得到点 R，则点 R 的坐标是_. 03 （荆州）已知点 P（a1，2a1）关于 x 轴的对称点在第一象 限，则 a 的取值范围为_. 【例 3】如图，将一个直角三角形纸片 ABC（ACB90） ， 沿线段 CD 折叠，使点 B 落在 B1处，若A

40、CB170，则ACD（ ） A30 B20 C15 D10 【解法指导】由折叠知BCDB1CD.设ACDx，则BCDB1CDACB1ACD70x.又ACDBCDACB，即 x（70 x）90，故 x10.故选 D. 【变式题组】 01 （东营）如图，把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D、C 分别落在点 D 、C的位置.若EFB65，则AED等于（ ） A70 B65 C50 D25 02如图，ABC 中，A30，以 BE 为边，将此三角形对折，其次，又以 BA 为边， 再一次对折，C 点落在 BE 上，此时CDB82，则原三角形中B_.03 （江苏）观察与发现：小明将三角形纸片 ABC（A

41、BAC）沿过点 A 的直线折叠，使 得 AC 落在 AB 边上，折痕为 AD，展平纸片（如图） ；再次折叠该三角形纸片，使 点 A 和点 D 重合，折痕为 EF，展平纸片后得到AEF（如图）.小明认为AEF 是 等腰三角形，你同意吗？请说明理由. 实践与运用： 将矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，折痕为 BE（如图） ；再沿过点 E 的直线折叠，使点 D 落在 BE 上的点 D处，折痕为 EG（如图） ；再展平纸片（如图）.求图中的大小.【例 4】如图，在ABC 中，AD 为BAC 的平分#*线，EF 是 AD 的垂直平分线，E 为垂足，EF 交 BC 的延长线于点 F，求证：BCAF 【解法指导】EF 是 AD 的中垂线，则可得AEFDEF，EAFEDF从 而利用角平分线的定义与三角形的外角转化即可 证明：EF 是 AD 的中垂线，AEDE，AEFDEF，EFEF，AEF DEF，243，3B1，24B1，12， B4 【变式题组】 01如图，点 D 在ABC 的 BC 边上，且 BCBDAD，则点 D 在_的垂直平 分线上02如图，ABC 中，ABC90，C15，DEAC 于 E，且 AEEC，若 AB3cm，则 DC_