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-! 目 录 第1讲 全等三角形的性质与判定 2 第2讲 角平分线的性质与判定 12 第3讲 轴对称及轴对称变换 17 第4讲 等腰三角形 25 第5讲 等边三角形 37 第06讲 实 数 43 第7讲 变量与函数 50 第8讲 一次函数的图象与性质 55 第9讲 一次函数与方程、不等式 64 第10讲 一次函数的应用 69 第11讲 幂的运算 81 第12讲 整式的乘除 87 第13讲 因式分解及其应用 94 第14讲 分式的概念•性质与运算 101 第15讲 分式的化简 求值 与证明 109 第16讲 分式方程及其应用 118 第17讲 反比例函数的图象与性质 126 第18讲 反比例函数的应用 139 第19讲 勾股定理 146 第20讲 平行四边形 158 第21讲 菱形与矩形 167 第22讲 正方形 179 第23讲　　梯　形 189 第24讲 数据的分析 198 模拟测试卷（一） 208 模拟测试卷(二) 211 模拟测试卷（三） 214  第1讲 全等三角形的性质与判定 考点方法破译 1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等； 3．全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL法； 4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明； 5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等. 经典考题赏析 【例１】如图，AB∥EF∥DC,∠ABC＝90,AB＝CD，那么图中有全等三角形（ ） B A C D E F A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到. 解：⑴∵AB∥EF∥DC,∠ABC＝90. ∴∠DCB＝90. 在△ABC和△DCB中 ∴△ABC≌∴△DCB（SAS ） ∴∠A＝∠D ⑵在△ABE和△DCE中 ∴△ABE≌∴△DCE ∴BE＝CE ⑶在Rt△EFB和Rt△EFC中 ∴Rt△EFB≌Rt△EFC（HL）故选C. 【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（ ） A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D．有一边对应相等的两个等边三角形全等 A F C E D B 02．（丽水）已知命题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且AD＝BE，∠A＝∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明. 03．(上海)已知线段AC与BD相交于点O, 连接AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连接EF（如图所示）. ⑴添加条件∠A＝∠D，∠OEF＝∠OFE，求证：AB＝DC； A B C D O F E ⑵分别将“∠A＝∠D”记为①，“∠OEF＝∠OFE”记为②，“AB＝DC”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）. 【例２】已知AB＝DC，AE＝DF，CF＝FB. 求证：AF＝DE. 【解法指导】想证AF＝DE，首先要找出AF和DE所在的三角形.AF在△AFB和△AEF中，而DE在△CDE和△DEF中，因而只需证明△ABF≌△DCE或△AEF≌△DFE即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件. A C E F B D 证明：∵FB＝CE ∴FB＋EF＝CE＋EF，即BE＝CF 在△ABE和△DCF中, ∴△ABE≌△DCF（SSS） ∴∠B＝∠C 在△ABF和△DCE中, ∴△ABF≌△DCE ∴AF＝DE 【变式题组】 01．如图，AD、BE是锐角△ABC的高，相交于点O，若BO＝AC，BC＝7，CD＝2，则AO的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 A E 第1题图 A B C D E B C D O 第2题图 02.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90，AE是过A点的一条直线，AE⊥CE于E，BD⊥AE于D，DE＝4cm，CE＝2cm，则BD＝__________. \ 03．（北京）已知：如图，在△ABC中，∠ ACB＝90，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE＝BC，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F. 求证：AB＝FC. A F E C B D 【例３】如图①，△ABC≌△DEF，将△ABC和△DEF的顶点B和顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O. ⑴当△DEF旋转至如图②位置，点B（E）、C、D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系是________________; ⑵当△DEF继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________. B（E） O C F 图③ F A B C D E F A B(E) C D D A 图② 图① 【解法指导】⑴∠AFD＝∠DCA ⑵∠AFD＝∠DCA理由如下：由△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，BC＝EF, ∠ABC＝∠DEF, ∠BAC＝∠EDF ∴∠ABC－∠FBC＝∠DEF－∠CBF, ∴∠ABF＝∠DEC 在△ABF和△DEC中, ∴△ABF≌△DEC ∠BAF＝∠DEC ∴∠BAC－∠BAF＝∠EDF－∠EDC, ∴∠FAC＝∠CDF ∵∠AOD＝∠FAC＋∠AFD＝∠CDF＋∠DCA ∴∠AFD＝∠DCA 【变式题组】 01．（绍兴）如图，D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处.若∠CDE＝48，则∠APD等于（ ） A．42 B．48 C．52 D．58 02．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是（ ） A．△ABC≌△DEF B．∠DEF＝90 C． AC＝DF D．EC＝CF E F B A B P D E C 第1题图 A C D G 第2题图 03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上. ⑴求证：AB⊥ED； ⑵若PB＝BC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明. B F A C E N M P D D A C B F E 【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE分别是△ABC的边A C和AB边上的高，点P在BD的延长线，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB. 求证：⑴ AP＝AQ；⑵AP⊥AQ 【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP＝AQ,也就是证△APD和△AQE，或△APB和△QAC全等,由已知条件BP＝AC，CQ＝AB，应该证△APB≌△QAC，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP⊥AQ，即证∠PAQ＝90，∠PAD＋∠QAC＝90就可以. 2 1 A B C P Q E F D 证明：⑴∵BD、CE分别是△ABC的两边上的高， ∴∠BDA＝∠CEA＝90, ∴∠1＋∠BAD＝90，∠2＋∠BAD＝90，∴∠1＝∠2. 在△APB和△QAC中, ∴△APB≌△QAC， ∴AP＝AQ ⑵∵△APB≌△QAC，∴∠P＝∠CAQ, ∴∠P＋∠PAD＝90 ∵∠CAQ＋∠PAD＝90，∴AP⊥AQ 【变式题组】 A B C D F E 01．如图，已知AB＝AE，∠B＝∠E，BA＝ED，点F是CD的中点，求证：AF⊥CD. 02．（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为am，此时梯子的倾斜角为75，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为bm，梯子倾斜角为45，这间房子的宽度是（ ） A． B． C．bm D．am A E C B A 75 C 45 B N M 第2题图 第3题图 D 03．如图，已知五边形ABCDE中，∠ ABC＝∠AED＝90，AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝2，则五边形ABCDE的面积为__________ 演练巩固反馈提高 01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ） A．72 B．60 C．58 D．50 第3题图 第1题图 C A O D B P 第2题图 A C A/ B B/ a α c c a 50 b 72 58 02．如图，△ACB≌△A/C/B/，∠ BCB/＝30，则∠ACA/的度数是（ ） A．20 B．30 C．35 D．40 03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得△OCP≌△ODP的根据是（ ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 04．（江西）如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ） A. CB＝CD B.∠BAC＝∠DAC C. ∠BCA＝∠DCA D.∠B＝∠D＝90 E 2 1 N A B D C 第5题图 A B C D E A B C D 第4题图 第6题图 M 05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC和△BDE，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A、B、D不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ） A. △ABE≌△CBD B. ∠ABE＝∠CBD C. ∠ABC＝∠EBD＝45 D. AC∥BE 06．如图，△ABC和共顶点A，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E. BC交AD于M，DE交AC于N，小华说：“一定有△ABC≌△AED.”小明说：“△ABM≌△AEN.”那么（ ） A. 小华、小明都对 B. 小华、小明都不对 C. 小华对、小明不对 D.小华不对、小明对 07．如图，已知AC＝EC, BC＝CD, AB＝ED,如果∠BCA＝119，∠ACD＝98,那么∠ECA的度数是___________. 08．如图，△ABC≌△ADE，BC延长线交DE于F，∠B＝25,∠ACB＝105，∠DAC＝10，则∠DFB的度数为_______. 09．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90, DE⊥AB于D, BC＝BD. AC＝3，那么AE＋DE＝______ 第10题图 A B C D E 第9题图 E A B C D A B C D E F O C A E B D 第7题图 第8题图 10．如图，BA⊥AC, CD∥AB. BC＝DE，且BC⊥DE，若AB＝2, CD＝6，则AE＝_____. 11．如图, AB＝CD, AB∥CD. BC＝12cm，同时有P、Q两只蚂蚁从点C出发，沿CB方向爬行，P的速度是0.1cm/s, Q的速度是0.2cm/s. 求爬行时间t为多少时，△APB≌△QDC. D A C . Q P . B D B A C E F 12．如图, △ABC中，∠BCA＝90，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D. ⑴求证：AE＝CD； ⑵若AC＝12cm, 求BD的长. A E B F D C 13．（吉林）如图，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AD等于AE，AB平分∠DAE交DE于点F, 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明. 14．如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C放在直线l上，从另两个顶点A、B分别作l的垂线，垂足分别为D、E. B D E C l A ⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE＝a，求梯形DABE的面积.（温馨提示：补形法） A E F B D C 15．如图，AC⊥BC, AD⊥BD, AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F.求证：CE＝DF. 16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？ ⑴阅读与证明： 对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等； 对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）； 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下； 已知△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠C＝∠C1.求证：△ABC≌△A1B1C1.（请你将下列证明过程补充完整） A B C D A1 B1 C1 D1 ⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论. 培优升级奥赛检测 01．如图，在△ABC中，AB＝AC，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF，BF、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点D，则图中全等三角形有（ ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 F 第6题图 2 1 A B C E N M 3 2 1 A D E B C F A D E C O A E O B F C D 第1题图 B 第2题图 第3题图 02．如图，在△ABC中，AB＝AC，OC＝OD，下列结论中：①∠A＝∠B ②DE＝CE，③连接DE, 则OE平分∠AOB，正确的是（ ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 03．如图，A在DE上，F在AB上，且AC＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE的长等于（） A．DC B. BC C. AB D.AE＋AC 04．下面有四个命题，其中真命题是（ ） A．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等 B．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等 C. 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等 D. 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 05．在△ABC中，高AD和BE所在直线相交于H点,且BH＝AC，则∠ABC＝_______. 06．如图，EB交AC于点M, 交FC于点D, AB交FC于点N，∠E＝∠F＝90，∠B＝∠C, AE＝AF. 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF; ③△ACN≌△ABM; ④CD＝DB，其中正确的结论有___________.（填序号） 07．如图，AD为在△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F,且有BF＝AC，FD＝CD. ⑴求证：BE⊥AC； A E F C D B ⑵若把条件“BF＝AC”和结论“BE⊥AC”互换，这个命题成立吗？证明你的判定. 08．如图，D为在△ABC的边BC上一点，且CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线.求证：AC＝2AE. A B E D C 09．如图，在凸四边形ABCD中，E为△ACD内一点，满足AC＝AD，AB＝AE, ∠BAE＋∠BCE＝90, ∠BAC＝∠EAD.求证：∠CED＝90. A E B D C 10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90，∠A＝∠D＝30，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F. ⑴求证：AF＋EF＝DE; ⑵若将图①中△DBE绕点B顺时针方向旋转角α，且0＜α＜60，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立； ⑶若将图①中△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60＜β＜180,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF、EF与DE之间的关系，并说明A F D F C B E D A C B E A C B 图① 图② 图③ 理由。 A B C D E 11．（嵊州市高中提前招生考试）⑴阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在△ABC中，AB＝5，AC＝13, 求BC边上的中线AD的取值范围. 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE＝AD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4. 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑中线加倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中. A B E F C D ⑵问题解决：受到⑴的启发，请你证明下面命题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF. 求证：BE＋CF＞EF； A E B F C D ⑶问题拓展：如图，在四边形ABDC中，∠B＋∠C＝180，DB＝DC，∠BDC=120，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明. 12．（北京）如图，已知△ABC. ⑴请你在BC边上分别取两点D、E（BC的中点除外），连接AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形； C B A ⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明：AB＋AC＞AD＋AE. A D E G C H B 13．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝180. AH⊥AH于H，HA的延长线交DE于G. 求证：GD＝GE. 14．已知，四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，BA＝BC，∠ABC＝120，∠MBN＝60, ∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC（或它们的延长线）于E、F. 当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时，如图1，易证：AE＋CF＝EF；（不需证明） 当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，如图2和图3中这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. D A B C F N E M D 图1 A B C F N E M D A B C F N E M 图2 图3 第2讲 角平分线的性质与判定 考点方法破译 1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 2．角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 3．有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形. 经典考题赏析 【例１】如图，已知OD平分∠AOB，在OA、OB边上截取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD.求证：PM＝PN 【解法指导】由于PM⊥BD，PN⊥AD.欲证PM＝PN只需∠3＝∠4，证∠3＝∠4，只需∠3和∠4所在的△OBD与△OAD全等即可. 证明：∵OD平分∠AOB ∴∠1＝∠2 在△OBD与△OAD中， ∴△OBD≌△OAD ∴∠3＝∠4 ∵PM⊥BD，PN⊥AD 所以PM＝PN 【变式题组】 01．如图，CP、BP分别平分△ABC的外角∠BCM、∠CBN.求证：点P在∠BAC的平分线上. 02．如图，BD平分∠ABC，AB＝BC，点P是BD延长线上的一点，PM⊥AD，PN⊥CD.求证：PM＝PN 【例２】（天津竞赛题）如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且AE＝(AB＋AD)，如果∠D＝120，求∠B的度数 【解法指导】由已知∠1＝∠2，CE⊥AB，联想到可作CF⊥AD于F，得CE＝CF，AF＝AE，又由AE＝(AB＋AD)得DF＝EB，于是可证△CFD≌△CEB，则∠B＝∠CDF＝60.或者在AE上截取AM＝AD从而构造全等三角形. 解：过点C作CF⊥AD于点F.∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，点C是AC上一点， ∴CE＝CF 在Rt△CFA和Rt△CEA中， ∴Rt△ACF≌Rt△ACE ∴AF＝AE 又∵AE＝(AE＋BE＋AF－DF)，2AE＝AE＋AF＋BE－DF，∴BE＝DF ∵CF⊥AD，CE⊥AB，∴∠F＝∠CEB＝90 在△CEB和△CFD中，，∴△CEB≌△CFD ∴∠B＝∠CDF 又∵∠ADC＝120，∴∠CDF＝60，即∠B＝60. 【变式题组】 01．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AC＝5，BC＝3.求 02．(河北竞赛)在四边形ABCD中，已知AB＝a，AD＝b.且BC＝DC，对角线AC平分∠BAD，问a与b的大小符合什么条件时，有∠B＋∠D＝180，请画图并证明你的结论. 【例３】如图，在△ABC中，∠BAC＝90,AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE.求证：CE＝BD 【解法指导】由于BE平分∠ABC，因而可以考虑过点D作BC的垂线或延长CE从而构造全等三角形. 证明：延长CE交BA的延长线于F，∵∠1＝∠2，BE＝BE，∠BEF＝∠BEC ∴△BEF≌△BEC(ASA) ∴CE＝EF，∴CE＝CF ∵∠1＋∠F＝∠3＋∠F＝90， ∴∠1＝∠3 在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF ∴BD＝CF ∴CE＝BD 【变式题组】 01．如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA，CD过点E，求证：AB＝AC＋BD. 02．如图，在△ABC中，∠B＝60，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F. ⑴请你判断FE和FD之间的数量关系，并说明理由； ⑵求证：AE＋CD＝AC. 演练巩固反馈提高 01．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90，BD平分∠ABC交AC于D，若CD＝n，AB＝m，则△ABD的面积是（ ） A．mn B．mn C． mn D．2 mn 02．如图，已知AB＝AC，BE＝CE，下面四个结论：①BP＝CP；②AD⊥BC；③AE平分∠BAC；④∠PBC＝∠PCB.其中正确的结论个数有（ ）个 A． 1 B．2 C．3 D．4 03．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S.若AQ＝PQ，PR＝PS，下列结论：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP.其中正确的是（ ） A． ①③ B．②③ C．①② D．①②③ 04．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则下列四个结论中：①AD上任意一点到B、C的距离相等；②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；③AD⊥BC且BD＝CD；④∠BDE＝∠CDF.其中正确的是（ ） A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 05．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，∠CAB＝30，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，则∠AEB的度数为（ ） A．50 B．45 C．40 D．35 06．如图，P是△ABC内一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，给出下列结论：①AD＝AF；②AB＋EC＝AC＋BE；③BC＋CF＝AB＋AF；④点P是△ABC三条角平分线的交点.其中正确的序号是（ ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 07．如图，点P是△ABC两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（ ） A．点P到△ABC三边的距离相等 B．点P在∠ABC的平分线上 C．∠P与∠B的关系是：∠P＋∠B＝90 D．∠P与∠B的关系是：∠B＝∠P 08．如图，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，BD与CD相交于D.给出下列结论：①点D到AB、AC的距离相等；②∠BAC＝2∠BDC；③DA＝DC；④DB平分∠ADC.其中正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 09．如图，△ABC中，∠C＝90AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，下列结论中：①AD平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③ DE平分∠ADB；④AB＝AC＋BE.其中正确的个数有（ ） A．3个 B．2个 C．1个 D．4个 10．如图，已知BQ是∠ABC的内角平分线，CQ是∠ACB的外角平分线，由Q出发，作点Q到BC、AC和AB的垂线QM、QN和QK，垂足分别为M、N、K，则QM、QN、QK的关系是_________ 11．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB＝DC.求证：BE＝CF 12．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：AD⊥EF. 培优升级奥赛检测 01．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 02．已知Rt△ABC中，∠C＝90，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝32，且BD:CD＝9:7，则D到AB边的距离为（ ） A．18 B．16 C．14 D．12 03．如图，△ABC中，∠C＝90，AD是△ABC的平分线，有一个动点P从A向B运动.已知：DC＝3cm，DB＝4cm，AD＝8cm.DP的长为x(cm)，那么x的范围是__________ 04．如图，已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别为E、F、G，且PF＝PG＝PE，则∠BPD＝__________ 05．如图，已知AB∥CD，O为∠CAB、∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC，且OE＝2，则两平行线AB、CD间的距离等于__________ 06．如图，AD平分∠BAC，EF⊥AD，垂足为P，EF的延长线于BC的延长线相交于点G.求证：∠G＝(∠ACB－∠B) 07．如图,在△ABC中,AB＞AC,AD是∠BAC的平分线,P为AC上任意一点.求证:AB－AC＞DB－DC 08．如图，在△ABC中，∠BAC＝60，∠ACB＝40，P、Q分别在BC、AC上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线上.求证：BQ＋AQ＝AB＋BP 第3讲 轴对称及轴对称变换 考点方法破译 1．轴对称及其性质 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫对称轴. 轴对称的两个图形有如下性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上. 2．线段垂直平分线 线段垂直平分线也叫线段中垂线，它反映了与线段的两种关系：①位置关系——垂直；②数量关系——平分. 性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 3．当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线）、或求几条折线段的最小值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件. 经典考题赏析 【例１】（兰州）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（ ） 【解法指导】对折问题即是轴对称问题，折痕就是对称轴.故选D. 【变式题组】 01．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（ ） 02．（荆州）如图，将矩形纸片ABCD沿虚线EF折叠，使点A落在点G上，点D落在点H上；然后再沿虚线GH折叠，使B落在点E上，点C落在点F上，叠完后，剪一个直径在BC上的半圆，再展开，则展开后的图形为（ ） 【例2】（襄樊）如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A’B’C’，则与点B’关于x轴对称的点的坐标是（ ） A．（0，－1） B．（1，1） C．（2，－1） D．（1，－1） 【解法指导】在△ABC中，点B的坐标为（－1，1），将△ABC向右平移两个单位长度得到△A’B’C’，由点的坐标平移规律可得B’（－1＋2，1），即B’（1，1）.由关于x轴对称的点的坐标的规律可得点B’关于x轴对称的点的坐标是（1，－1），故应选D. 【变式题组】 01．若点P（－2，3）与点Q（a，b）关于x轴对称，则a、b的值分别是（ ） A．－2，3 B．2，3 C．－2，－3 D．2，－3 02．在直角坐标系中，已知点P（－3，2），点Q是点P关于x轴的对称点，将点Q向右平移4个单位得到点R，则点R的坐标是___________. 03．（荆州）已知点P（a＋1，2a－1）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围为___________. 【例3】如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90），沿线段CD折叠，使点B落在B1处，若∠ACB1＝70，则∠ACD＝（ ） A．30 B．20 C．15 D．10 【解法指导】由折叠知∠BCD＝∠B1CD.设∠ACD＝x，则∠BCD＝∠B1CD＝∠ACB1＋∠ACD＝70＋x.又∠ACD＋∠BCD＝∠ACB，即x＋（70＋x）＝90，故x＝10.故选D. 【变式题组】 01．（东营）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D’、C’的位置.若∠EFB＝65，则∠AED’等于（ ） A．70 B．65 C．50 D．25 02．如图，△ABC中，∠A＝30，以BE为边，将此三角形对折，其次，又以BA为边，再一次对折，C点落在BE上，此时∠CDB＝82，则原三角形中∠B＝___________. 03．（江苏）⑴观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）.小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由. ⑵实践与运用： 将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D’处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）.求图⑤中∠α的大小. 【例4】如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，E为垂足，EF交BC的延长线于点F，求证：∠B＝∠CAF． 【解法指导】∵EF是AD的中垂线，则可得△AEF≌△DEF，∴∠EAF＝∠EDF．从而利用角平分线的定义与三角形的外角转化即可． 证明：∵EF是AD的中垂线，∴AE＝DE，∠AEF＝∠DEF，EF＝EF，∴△AEF≌△DEF，∴∠2＋∠4＝∠3，∴∠3＝∠B＋∠1，∴∠2＋∠4＝∠B＋∠1，∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠4 【变式题组】 01．如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在__________的垂直平分线上． 02．如图，△ABC中，∠ABC＝90，∠C＝15，DE⊥AC于E，且AE＝EC，若AB＝3cm，则DC＝___________cm． 03．如图，△ABC中，∠BAC＝126，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG＝___________． 04.△ABC中，AB＝AC，AB边的垂直平分线交AC于F，若AB＝12cm，△BCF的周长为20cm，则△ABC的周长是___________cm． 【例5】（眉山）如图，在33的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面的备用图中画出所有这样的△DEF． 【解法指导】在正方形格点图中，如果已知条件中没有给对称轴，在找对称轴时，通常找图案居中的水平直线、居中的竖直直线或者斜线作为对称轴．若以图案居中的水平直线为对称轴，所作的△DEF如图①②③所示；若以图案居中的竖直直线为对称轴，所作的△DEF如图④所示；若以图案居中的斜线为对称轴，所作的△DEF如图⑤⑥所示． 【变式题组】 01．（泰州）如图，在22的正方形格点图中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格点图中所有与△AB