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1、九年级数学上册2.3一元二次方程根的判别式（湘教版）一元二次方程根的判别式 邳州中学九年级（上）一元二次方程根的判别式专题学问考点：理解一元二次方程根的判别式，并能依据方程的判别式推断一元二次方程根的状况。精典赏析：【例1】当取什么值时，关于的方程。（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根；（3）没有实根。分析：用判别式列出方程或不等式解题。答案：（1）；（2）；（3）【例2】求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实根。分析：列出的代数式，证其恒大于零。【例3】当为什么值时，关于的方程有实根。分析：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分0和0两种情形探讨。略解：当0
2、即时，0，方程为一元一次方程，总有实根；当0即时，方程有根的条件是：0，解得当且时，方程有实根。综上所述：当时，方程有实根。探究与创新：【问题一】已知关于的方程有两个不相等的实数根、，问是否存在实数，使方程的两实数根互为相反数？假如存在，求出的值；假如不存在，请说明理由。略解：化简得不存在。【问题一】如图，某校广场有一段25米长的旧围栏，现准备利用该围栏的一部分（或全部）为一边，围成一块100平方米的长方形草坪（如图CDEF，CDCF）已知整修旧围栏的价格是每米1.75元，建新围栏的价格是每米4.5元。（1）若安排修建费为150元，能否完成该草坪围栏修造任务？（2）若安排修建费为120元，能否
3、完成该草坪围栏修建任务？若能完成，请算出利用旧围栏多少米；若不能完成，请说明理由。 略解：设CFDE，则CDEF修建总费用为：条件是：1025（1）12能完成（2）0此方程元实根不能完成跟踪训练：一、填空题：1、下列方程；中，无实根的方程是。2、已知关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是。3、假如二次三项式在实数范围内总能分解成两个一次因式的积，则的取值范围是。4、在一元二次方程中，若系数、可在1、2、3、4、5中取值，则其中有实数解的方程的个数是。二、选择题：1、下列方程中，无实数根的是（）A、B、C、D、2、若关于的一元二次方程有两个不相等的实根，则的取值范围是（）A、B、C、且2D、且
4、23、在方程（0）中，若与异号，则方程（）A、有两个不等实根B、有两个相等实根C、没有实根D、无法确定三、试证：关于的方程必有实根。四、已知关于的方程的根的判别式为零，方程的一个根为1，求、的值。五、已知关于的方程有两个不等实根，试推断直线能否通过A（2，4），并说明理由。六、已知关于的方程，问：是否存在实数，使方程的两个实数根的平方和等于56？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。七、已知0，关于的方程有两个相等的正实根，求的值。一、填空题：1、；2、；3、；4、10二、选择题：CCAA三、分两种状况探讨：（1）当时，；（2）当时，所以方程必有实根。四、2，3五、不能。由直线不通过其次象限
5、六、存在。七、 一元二次方程根的判别式教案2.3一元二次方程根的判别式教学目标【学问与技能】能运用根的判别式，判别方程根的状况和进行有关的推理论证.【过程与方法】经验思索、探究过程，发展总结归纳实力，能有条理地、清楚地阐述自己的观点.【情感看法】主动参加数学活动，对其产生新奇心和求知欲.【教学重点】能运用根的判别式，判别方程根的状况和进行有关的推理论证.【教学难点】从详细题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的b2-4ac的状况与根的状况的关系.教学过程一、情景导入，初步认知同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程，对吗？那么，现在老师这儿还有一手绝活，就是：我随意拿到一个一元二次
6、方程的题目，我不用详细地去解它，就能很快知道它的根的大致状况，不信呀！同学们可以随意地出两个题考考我.【教学说明】这样设计，能立刻激发学生的学习爱好和求知欲，为后面发觉结论创建一个最佳的心理状态.二、思索探究，获得新知1.问题：什么是求根公式？它有什么作用？2.视察求根公式回答下列问题：（1）当b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有几个根？（2）当b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有几个根？（3）当b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有几个根？3.综上所知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的状况是由b2-4ac来
7、推断的.【归纳结论】我们把b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示.即：=b2-4ac当=b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个不相等实数根即，.当=b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个相等实数根.当=b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）没有实数根.4.不解方程判定下列方程的根的状况.(1)3x2+4x-3=0(2)4x2=12x-9(3)7y=5(y2+1)解：(1)因为=b2-4ac=42-43（-3）=520所以，原方程有两个不相等的实数根.（2）将原方程化为一般形式，得4x2-12x+9=
8、0因为=b2-4ac=(-12)2-449=0所以，原方程有两个相等的实数根.（3）将原方程化为一般形式，得5y2-7y+5=0因为=b2-4ac=(-7)2-455=-510所以，原方程没有实数根.【教学说明】学生从详细到抽象的视察、分析与概括实力并使学生从感性相识上升到理性相识，真正体验自己发觉结论的胜利乐趣.三、运用新知，深化理解1.已知方程x2+px+q=0有两个相等的实根，则p与q的关系是【答案】p2-4q=02.若方程x2+px+q=0的两个根是-2和3，则p，q的值分别为.【答案】-1，-63.推断下列方程是否有解：（1）5x2-2=6x（2）3x2+2x+1=0解析：演算或口算
9、出b24ac，从而推断是否有根解：（1）有（2）没有4.不解方程，判定方程根的状况.（1）16x2+8x=-3（2）9x2+6x+1=0（3）2x2-9x+8=0（4）x2-7x-18=0分析：不解方程，判定根的状况，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的状况进行分析即可解：（1）化为16x2+8x+3=0这里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4163=-1280所以，方程没有实数根（2）a=9，b=6，c=1，b2-4ac=36-36=0，方程有两个相等的实数根（3）a=2，b=-9，c=8b2-4ac=（-9）2-428=81-64=170方程有两个不相等的实根（4）a
10、=1，b=-7，c=-18b2-4ac=（-7）2-41（-18）=1210方程有两个不相等的实根5.若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+30的解集（用含a的式子表示）分析：要求ax+30的解集，就是求ax-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）0就可求出a的取值范围解：关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+80a-2ax+30即ax-3,x-3/a所求不等式的解
11、集为x-3/a6.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0（1）当m=3时，推断方程的根的状况；（2）当m=-3时，求方程的根分析：（1）推断一元二次方程根的状况，只要看根的判别式=b24ac的值的符号即可推断：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根.（2）把m的值代入方程，用因式分解法求解即可.解：（1）当m=3时，=b2-4ac=22-43=-80，原方程无实数根.（2）当m=-3时，原方程变为x2+2x-3=0，（x-1）（x+3）=0，x-1=0，x+3=0.x1=1，x2=-3.7.已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2(1)
12、求q关于p的关系式；(2)求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点分析：（1）依据一元二次方程的解的定义，把x=2代入已知方程即可求得q关于p的关系式；（2）由关于x的方程x2+px+q=0的根的判别式的符号来证明抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点解：（1）一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2，4+2p+q+1=0，即q=-2p-5；（2）证明：令x2+px+q=0则=p2-4q=p2-4（-2p-5）=（p+4）2+40，即0，所以，关于x的方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根即抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点【教学说明】使学生能刚好巩固本节课所学学问，培育
13、学生自觉学习的习惯，同时对学有余力的学生留出自由的发展空间.四、师生互动、课堂小结先小组内沟通收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.老师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题2.3”中第1、2、3题.教学反思本节课的教学坚持从学生实际动身，以学生为主体，注意对新理念的贯彻和教学方法的运用；在突破难点时，多种方法并用，留意培育自学实力；坚持当堂训练，例题、练习的设计针对性强，重点突出，对方法的总结言简意赅；学生能够主动、主动的参加，充分经验了学问的形成、发展与应用的过程，在这个过程中驾驭了学问，形成了技能，发展了思维；教学效果很好！中考数学一元二次方程根的判别式复习 初三第一轮复习第9课时
14、： 一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系 【课前预习】 （一）学问梳理 1、一元二次方程根的一般形式：； 它的根的判别式=，利用推断一元二次方程根的状况. 2、韦达定理（一元二次方程根与系数关系）及其逆定理： （二）课前预习 1.方程化为一般形式为_，其中=_，=_，=_ 2.关于的一元二次方程有一个根为零，则的值等于_ 3.关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则分解因式的结果是_ 【解题指导】 例1是什么数时，关于的一元二次方程： （1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？ 例2假如关于的一元二次方程没有实数根，试推断关于的方程的根的
15、状况. 例3当为何值时，关于的方程； （1）有两个正数根？（2）有一个正根，一个负跟？ 例4若的两根分别为、，则： 【巩固练习】 1、已知关于的方程的一个根为，则实数的值为. 2、设、是方程的两根，则的值是. 3、关于的方程中，假如，那么根的状况是. 4、若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是_ 5、为何值时，关于的方程有实数根. 6、已知是一元二次方程的两个实数根. （1）取什么实数时，方程有两个相等的实数根； （2）是否存在实数，使方程的两根，满意？若存在，求出方程的两根；若不存在，请说明理由. 【课后作业】班级姓名 一、必做题: 1、若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取
16、值范围是（） A.B.且C.D.且 2、设方程x24x1=0的两个根为x1与x2，则x1x2的值是() A4B1C1D0 3、下列方程中，有两个不相等实数根的是（） ABCD 4、若方程的两根为、，则的值为() A3B3CD 5、若n（）是关于x的方程的根，则m+n的值为（） A.1B.2C.-1D.-2 6、假如关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，那么 7、关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是. 8、一元二次方程的一个根为，则另一个根为 9、已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是 10、已知：关于的方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）
17、若方程的一个根是，求另一个根及值 11、已知、分别是ABC的三边，其中1，4，且关于x的方程有两个相等的实数根，试推断ABC的形态. 12、已知关于x的一元二次方程x2+2（k1）x+k21=0有两个不相等的实数根 （1）求实数k的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，恳求出它的另一个根；若不是，请说明理由 二、选做题： 1、若a、b为方程式x24(x1)=1的两根，且ab，则=（） A5B4C1D.3 2、定义：假如一元二次方程满意，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（） ABCD 3、关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是（） A1B12C13D25 4、关于x的方程只有一解（相同解算一解），则a的值为（） ABCD或 5、设是方程的两个实数根，则的值为（） A2022B2022C2022D2022 6、已知是方程的两个实数根，且 （1）求及a的值；（2）求的值 第11页 共11页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页