高三数学下册《三角函数》知识点复习.docx-淘文阁

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1、高三数学下册三角函数知识点复习高二数学下册反三角函数学问点总结高二数学下册反三角函数学问点总结反三角函数主要是三个： y=arcsin(x)，定义域-1,1，值域-/2图象用红色线条; y=arccos(x)，定义域-1,1，值域0,，图象用蓝色线条; y=arctan(x)，定义域(-,+)，值域(-/2)，图象用绿色线条; sin(arcsinx)=x,定义域-1,1,值域-1,1arcsin(-x)=-arcsinx 其他公式: 三角函数其他公式 arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=-arccosx arctan(-x)=-arctanx arccot(-x

2、)=-arccotx arcsinx+arccosx=/2=arctanx+arccotx sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx) 当x/2，/2时，有arcsin(sinx)=x 当x0,arccos(cosx)=x x(/2，/2),arctan(tanx)=x x(0，),arccot(cotx)=x x0,arctanx=/2-arctan1/x,arccotx类似若(arctanx+arctany)(/2，/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy) 练习题： 1.y=arccosx(

3、x属于-1,0的反函数是多少? 2.已知cosx=3/5(x属于3/2,2)用反三角函数值表示x的结果是多少? 答案： 1.y=arccosx(x属于-1,0的反函数是多少 x=cosy 将x,y互换,得到反函数解析式 y=cosx 因为原来的函数的定义域是x属于-1,0 所以反函数的定义域是原来函数的值域/2, 反函数是：y=cosx,定义域是/2, 2.已知cosx=3/5(x属于3/2,2)用反三角函数值表示x的结果是多少? x属于3/2,2 所以2-x属于0,/2 cosx=cos(2-x)=3/5 2-x=arccos(3/5) x=2-arccos(3/5) 三角函数其次十四教时

4、教材：倍角公式，推导“和差化积”及“积化和差”公式目的：接着复习巩固倍角公式，加强对公式敏捷运用的训练；同时，让学生推导出和差化积和积化和差公式，并对此有所了解。过程：一、复习倍角公式、半角公式和万能公式的推导过程：例一、已知，tan=，tan=，求2+（教学与测试P115例三）解：又tan20，tan0，2+=例二、已知sincos=，求和tan的值解：sincos=化简得：即二、积化和差公式的推导 sin(+)+sin()=2sincossincos=sin(+)+sin()sin(+)sin()=2cossincossin=sin(+)sin()cos(+)+cos()=2coscosc

5、oscos=cos(+)+cos()cos(+)cos()=2sinsinsinsin=cos(+)cos()这套公式称为三角函数积化和差公式，熟识结构，不要求记忆，它的优点在于将“积式”化为“和差”，有利于简化计算。（在告知公式前提下）例三、求证：sin3sin3+cos3cos3=cos32证：左边=(sin3sin)sin2+(cos3cos)cos2=(cos4cos2)sin2+(cos4+cos2)cos2=cos4sin2+cos2sin2+cos4cos2+cos2cos2=cos4cos2+cos2=cos2(cos4+1)=cos22cos22=cos32=右边原式得证三、

6、和差化积公式的推导若令+=，=，则，代入得：这套公式称为和差化积公式，其特点是同名的正（余）弦才能运用，它与积化和差公式相辅相成，协作运用。例四、已知coscos=，sinsin=，求sin(+)的值解：coscos=，sinsin=，四、小结：和差化积，积化和差五、作业：课课练P3637例题举荐13P3839例题举荐13P40例题举荐13 2022届高三理科数学三角函数总复习教学案 2022届高三理科数学三角函数总复习教学案高考导航考试要求重难点击命题展望1.了解随意角的概念和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.2.理解随意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.3.能利用单位圆中的三角

7、函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出ysinx，ycosx，ytanx的图象，了解三角函数的周期性.4.理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在(,)上的单调性.5.理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x1，tanx.6.了解函数yAsin(x)的物理意义，能画出函数yAsin(x)的图象，了解参数A，对函数图象改变的影响.7.会用三角函数解决一些简洁实际问题，体会三角函数是描述周期改变现象的重要函数模型.8.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二

8、倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简洁的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆).9.驾驭正弦定理、余弦定理，并能解决一些简洁的三角形度量问题，能够运用正弦定理、余弦定理等学问和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.本章重点：1.角的推广，三角函数的定义，诱导公式的运用；2.三角函数的图象与性质，yAsin(x)(0)的性质、图象及变换；3.用三角函数模型解决实际问题；4.以和、差、倍角公式为依据，提高推理、运算实力；5.正、余弦定理及应用.本章难点：1.随意角的三角函数的几何表示，图象变换与函数解析式变换的内在联系；2.敏捷运用三角

9、公式化简、求值、证明；3.三角函数的奇偶性、单调性的推断，最值的求法；4.探究两角差的余弦公式；5.把实际问题转化为三角函数问题.三角函数是基本初等函数，是描述周期现象的重要数学模型.三角函数的概念、图象和性质是高考数学必考的基础学问之一.在高考中主要考查对三角函数概念的理解；运用函数公式进行恒等变形、化简、求值、证明三角函数的图象和性质以及图象变换、作图、识图等.解三角形的问题往往与其他学问(如立体几何、解析几何、向量等)相联系，考查考生的数学应用意识，体现以实力立意的高考命题原则. 学问网络 5.1随意角的三角函数的概念典例精析题型一象限角与终边相同的角【例1】若是其次象限角，试分别确定

10、2、的终边所在的象限.【解析】因为是其次象限角，所以k36090k360180(kZ).因为2k36018022k360360(kZ)，故2是第三或第四象限角，或角的终边在y轴的负半轴上.因为k180452k18090(kZ)，当k2n(nZ)时，n360452n36090，当k2n1(nZ)时，n3602252n360270.所以2是第一或第三象限角.【点拨】已知角所在象限，应娴熟地确定2所在象限.假如用1、2、3、4分别表示第一、二、三、四象限角，则12、22、32、42分布如图，即第一象限角的半角是第一或第三象限角(其余略)，熟记右图，解有关问题就便利多了.【变式训练1】若角2的终边在x

11、轴上方，那么角是()A.第一象限角B.第一或其次象限角C.第一或第三象限角D.第一或第四象限角【解析】由题意2k22k，kZ，得kk2，kZ.当k是奇数时，是第三象限角.当k是偶数时，是第一象限角.故选C.题型二弧长公式，面积公式的应用【例2】已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是R.(1)若60，R10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是肯定值C(C0)，当为多少弧度时，该扇形的面积有最大值？并求出这个最大值.【解析】(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，因为603，R10cm，所以l103cm，S弓S扇S121010312102sin6050(332)cm2.(2)因为

12、C2Rl2RR，所以RC2，S扇12R212(C2)2C22244C22144C216，当且仅当4时，即2(2舍去)时，扇形的面积有最大值为C216.【点拨】用弧长公式l|R与扇形面积公式S12lR12R2|时，的单位必需是弧度.【变式训练2】已知一扇形的面积为定值S，当圆心角为多少弧度时，该扇形的周长C有最小值？并求出最小值.【解析】因为S12Rl，所以Rl2S，所以周长Cl2R22Rl24S4S，当且仅当l2R时，C4S，所以当lR2时，周长C有最小值4S. 题型三三角函数的定义，三角函数线的应用【例3】(1)已知角的终边与函数y2x的图象重合，求sin；(2)求满意sinx32的角x的集

13、合.【解析】(1)由交点为(55，255)或(55，255)，所以sin255.(2)找终边：在y轴正半轴上找出点(0，32)，过该点作平行于x轴的平行线与单位圆分别交于P1、P2两点，连接OP1、OP2，则为角x的终边，并写出对应的角.画区域：画出角x的终边所在位置的阴影部分.写集合：所求角x的集合是x|2k43x2k3，kZ.【点拨】三角函数是用角的终边与单位圆交点的坐标来定义的，因此，用定义求值，转化为求交点的问题.利用三角函数线证某些不等式或解某些三角不等式更简洁、直观.【变式训练3】函数ylgsinxcosx12的定义域为.【解析】2kx2k3，kZ.所以函数的定义域为x|2kx2k

14、3，kZ.总结提高1.确定一个角的象限位置，不仅要看角的三角函数值的符号，还要考虑它的函数值的大小.2.在同一个式子中所采纳的量角制度必需相一样，防止出现诸如k3603的错误书写.3.三角函数线具有较好的几何直观性，是探讨和理解三角函数的一把钥匙. 5.2同角三角函数的关系、诱导公式典例精析题型一三角函数式的化简问题【点拨】运用诱导公式的关键是符号，前提是将视为锐角后，再推断所求角的象限.【变式训练1】已知f(x)1x，(34，)，则f(sin2)f(sin2).【解析】f(sin2)f(sin2)1sin21sin2(sincos)2(sincos)2|sincos|sincos|.因为(

16、则2sincoscos2等于()A.45B.85C.65D.2【解析】原式2sincoscos2sin2cos22tan11tan285.故选B.题型三三角函数式的简洁应用问题【例3】已知2x0且sinxcosx15，求：(1)sinxcosx的值；(2)sin3(2x)cos3(2x)的值.【解析】(1)由已知得2sinxcosx2425，且sinx0cosx，所以sinxcosx(sinxcosx)212sinxcosx1242575.(2)sin3(2x)cos3(2x)cos3xsin3x(cosxsinx)(cos2xcosxsinxsin2x)75(11225)91125.【点拨】

17、求形如sinxcosx的值，一般先平方后利用基本关系式，再求sinxcosx取值符号.【变式训练3】化简1cos4sin41cos6sin6.【解析】原式1(cos2sin2)22sin2cos21(cos2sin2)(cos4sin4sin2cos2)2sin2cos21(cos2sin2)23sin2cos223.总结提高1.对于同角三角函数基本关系式中“同角”的含义，只要是“同一个角”，那么基本关系式就成立，如：sin2(2)cos2(2)1是恒成立的.2.诱导公式的重要作用在于：它揭示了终边在不同象限且具有肯定对称关系的角的三角函数间的内在联系，从而可化负为正，化困难为简洁. 5.3两

18、角和与差、二倍角的三角函数典例精析题型一三角函数式的化简【例1】化简(0).【解析】因为0，所以022，所以原式cos.【点拨】先从角度统一入手，将化成2，然后再视察结构特征，如此题中sin22cos22cos.【变式训练1】化简2cos4x2cos2x122tan(4x)sin2(4x).【解析】原式12(2cos2x1)22tan(4x)cos2(4x)cos22x4cos(4x)sin(4x)cos22x2sin(22x)12cos2x.题型二三角函数式的求值【例2】已知sinx22cosx20.(1)求tanx的值；(2)求cos2x2cos(4x)sinx的值.【解析】(1)由si

19、nx22cosx20tanx22，所以tanx2212243.(2)原式cos2xsin2x2(22cosx22sinx)sinx(cosxsinx)(cosxsinx)(cosxsinx)sinxcosxsinxsinx1tanx1(34)114.【变式训练2】2cos5sin25sin65.【解析】原式2cos(3025)sin25cos253cos25cos253.题型三已知三角函数值求解【例3】已知tan()12，tan17，且，(0，)，求2的值.【解析】因为tan2()2tan()1tan2()43，所以tan(2)tan2()tan2()tan1tan2()tan1，又tanta

20、n()tan()tan1tan()tan13，因为(0，)，所以04，又2，所以20，所以234.【点拨】由三角函数值求角时，要留意角度范围，有时要依据三角函数值的符号和大小将角的范围适当缩小.【变式训练3】若与是两锐角，且sin()2sin，则与的大小关系是()A.B.C.D.以上都有可能【解析】方法一：因为2sinsin()1，所以sin12，又是锐角，所以30.又当30，60时符合题意，故选B.方法二：因为2sinsin()sincoscossinsinsin，所以sinsin.又因为、是锐角，所以，故选B.总结提高1.两角和与差的三角函数公式以及倍角公式等是三角函数恒等变形的主要工具.

21、(1)它能够解答三类基本题型：求值题，化简题，证明题；(2)对公式会“正用”、“逆用”、“变形运用”；(3)驾驭角的演化规律，如“2()()”等.2.通过运用公式，实现对函数式中角的形式、升幂、降幂、和与差、函数名称的转化，以达到求解的目的，在运用公式时，留意公式成立的条件. 5.4三角恒等变换典例精析题型一三角函数的求值【例1】已知04，04，3sinsin(2)，4tan21tan22，求的值.【解析】由4tan21tan22，得tan12.由3sinsin(2)得3sin()sin()，所以3sin()cos3cos()sinsin()coscos()sin，即2sin()cos4co

22、s()sin，所以tan()2tan1.又因为、(0，4)，所以4.【点拨】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换，要擅长抓住已知条件与目标之间的结构联系，找到解题的突破口与方向.【变式训练1】假如tan()35，tan(4)14，那么tan(4)等于()A.1318B.1322C.723D.318【解析】因为4()(4)，所以tan(4)tan()(4)tan()tan(4)1tan()tan(4)723.故选C. 题型二等式的证明【例2】求证：sinsinsin(2)sin2cos().【证明】证法一：右边sin()2cos()sinsinsin()coscos()sinsinsin(

23、)sinsinsin左边.证法二：sin(2)sinsinsinsin(2)sinsin2cos()sinsin2cos()，所以sin(2)sin2cos()sinsin.【点拨】证法一将2写成()，使右端的角形式上一样，易于共同运算；证法二把握结构特征，用“变更问题法”证明，简捷而新奇.【变式训练2】已知5sin3sin(2)，求证：tan()4tan0.【证明】因为5sin3sin(2)，所以5sin()3sin()，所以5sin()cos5cos()sin3sin()cos3cos()sin，所以2sin()cos8cos()sin0.即tan()4tan0.题型三三角恒等变换的应用【

24、例3】已知ABC是非直角三角形.(1)求证：tanAtanBtanCtanAtanBtanC；(2)若AB且tanA2tanB，求证：tanCsin2B3cos2B；(3)在(2)的条件下，求tanC的最大值.【解析】(1)因为C(AB)，所以tanCtan(AB)(tanAtanB)1tanAtanB，所以tanCtanAtanBtanCtanAtanB，即tanAtanBtanCtanAtanBtanC.(2)由(1)知tanC(tanAtanB)1tanAtanBtanB12tan2BsinBcosBcos2B2sin2Bsin2B2(21cos2B2)sin2B3cos2B.(3)由(

25、2)知tanCtanB12tan2B12tanB1tanB12224，当且仅当2tanB1tanB，即tanB22时，等号成立.所以tanC的最大值为24.【点拨】娴熟驾驭三角变换公式并敏捷地运用来解决与三角形有关的问题，要有较明确的目标意识.【变式训练3】在ABC中，tanBtanC3tanBtanC3，3tanA3tanB1tanAtanB，试推断ABC的形态.【解析】由已知得tanBtanC3(1tanBtanC)，3(tanAtanB)(1tanAtanB)，即tanBtanC1tanBtanC3，tanAtanB1tanAtanB33.所以tan(BC)3，tan(AB)33.因为0

26、BC，0AB，所以BC3，AB56.又ABC，故A23，BC6.所以ABC是顶角为23的等腰三角形.总结提高三角恒等式的证明，一般考虑三个“统一”：统一角度，即化为同一个角的三角函数；统一名称，即化为同一种三角函数；统一结构形式. 5.5三角函数的图象和性质典例精析题型一三角函数的周期性与奇偶性【例1】已知函数f(x)2sinx4cosx43cosx2.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)令g(x)f(x3)，推断g(x)的奇偶性.【解析】(1)f(x)2sinx4cosx43cosx2sinx23cosx22sin(x23)，所以f(x)的最小正周期T2124.(2)g(x)f(x3)

27、2sin12(x3)32sin(x22)2cosx2.所以g(x)为偶函数.【点拨】解决三角函数的有关性质问题，经常要化简三角函数.【变式训练1】函数ysin2xsinxcosx的最小正周期T等于()A.2B.C.2D.3【解析】y1cos2x212sin2x22(22sin2x22cos2x)1222sin(2x4)12，所以T22.故选B.题型二求函数的值域【例2】求下列函数的值域：(1)f(x)sin2xsinx1cosx；(2)f(x)2cos(3x)2cosx.【解析】(1)f(x)2sinxcosxsinx1cosx2cosx(1cos2x)1cosx2cos2x2cosx2(co

28、sx12)212，当cosx1时，f(x)max4，但cosx1，所以f(x)4，当cosx12时，f(x)min12，所以函数的值域为12，4).(2)f(x)2(cos3cosxsin3sinx)2cosx3cosx3sinx23cos(x6)，所以函数的值域为23，23.【点拨】求函数的值域是一个难点，分析函数式的特点，详细问题详细分析，是突破这一难点的关键.【变式训练2】求ysinxcosxsinxcosx的值域.【解析】令tsinxcosx，则有t212sinxcosx，即sinxcosxt212.所以yf(t)tt21212(t1)21.又tsinxcosx2sin(x4)，所以2

29、t2.故yf(t)12(t1)21(2t2)，从而f(1)yf(2)，即1y212.所以函数的值域为1，212.题型三三角函数的单调性【例3】已知函数f(x)sin(x)(0，|)的部分图象如图所示.(1)求，的值；(2)设g(x)f(x)f(x4)，求函数g(x)的单调递增区间.【解析】(1)由图可知，T4(24)，2T2.又由f(2)1知，sin()1，又f(0)1，所以sin1.因为|，所以2.(2)f(x)sin(2x2)cos2x.所以g(x)(cos2x)cos(2x2)cos2xsin2x12sin4x.所以当2k24x2k2，即k28xk28(kZ)时g(x)单调递增.故函数g

30、(x)的单调增区间为k28，k28(kZ).【点拨】视察图象，获得T的值，然后再确定的值，体现了数形结合的思想与方法.【变式训练3】使函数ysin(62x)(x0，)为增函数的区间是()A.0，3B.12，712C.3，56D.56，【解析】利用复合函数单调性“同增异减”的原则判定，选C.总结提高1.求三角函数的定义域和值域应留意利用三角函数图象.2.三角函数的最值都是在给定区间上得到的，因而特殊要留意题设中所给的区间.3.求三角函数的最小正周期时，要尽可能地化为三角函数的一般形式，要留意肯定值、定义域对周期的影响.4.推断三角函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性. 5.6函数yAsin(

31、x)的图象和性质典例精析题型一“五点法”作函数图象【例1】设函数f(x)sinx3cosx(0)的周期为.(1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f(x)的图象可由ysinx的图象经过怎样的变换得到.【解析】(1)f(x)sinx3cosx2(12sinx32cosx)2sin(x3)，又因为T，所以2，即2，所以f(x)2sin(2x3)，所以函数f(x)sinx3cosx(0)的振幅为2，初相为3.(2)列出下表，并描点画出图象如图所示.(3)把ysinx图象上的全部点向左平移3个单位，得到ysin(x3)的图象，再把ysin(x3)的

32、图象上的全部点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到ysin(2x3)的图象，然后把ysin(2x3)的图象上的全部点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y2sin(2x3)的图象.【点拨】用“五点法”作图，先将原函数化为yAsin(x)(A0，0)形式，再令x0，2，32，2求出相应的x值及相应的y值，就可以得到函数图象上一个周期内的五个点，用平滑的曲线连接五个点，再向两端延长即可得到函数在整个定义域上的图象. 【变式训练1】函数的图象如图所示，则()A.k12，12，6B.k12，12，3C.k12，2，6D.k2，12，3【解析】本题的函数是一个分段函数，其中一个是一

33、次函数，其图象是一条直线，由图象可推断该直线的斜率k12.另一个函数是三角函数，三角函数解析式中的参数由三角函数的周期确定，由图象可知函数的周期为T4(8353)4，故12.将点(53，0)代入解析式y2sin(12x)，得1253k，kZ，所以k56，kZ.结合各选项可知，选项A正确.题型二三角函数的单调性与值域【例2】已知函数f(x)sin2x3sinxsin(x2)2cos2x，xR(0)在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为6.(1)求的值；(2)若将函数f(x)的图象向右平移6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求函数g(x)的最大

34、值及单调递减区间.【解析】(1)f(x)32sin2x12cos2x32sin(2x6)32.令2x62，将x6代入可得1.(2)由(1)得f(x)sin(2x6)32，经过题设的改变得到函数g(x)sin(12x6)32，当x4k43，kZ时，函数g(x)取得最大值52.令2k212x62k32，即4k43，4k103(kZ)为函数的单调递减区间.【点拨】本题考查三角函数恒等变换公式的应用、三角函数图象性质及变换.【变式训练2】若将函数y2sin(3x)的图象向右平移4个单位后得到的图象关于点(3，0)对称，则|的最小值是()A.4B.3C.2D.34【解析】将函数y2sin(3x)的图象向

35、右平移4个单位后得到y2sin3(x4)2sin(3x34)的图象.因为该函数的图象关于点(3，0)对称，所以2sin(3334)2sin(4)0，故有4k(kZ)，解得k4(kZ).当k0时，|取得最小值4，故选A.题型三三角函数的综合应用【例3】已知函数yf(x)Asin2(x)(A0，0,02)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2).(1)求的值；(2)求f(1)f(2)f(2022).【解析】(1)yAsin2(x)A2A2cos(2x2)，因为yf(x)的最大值为2，又A0，所以A2A22，所以A2，又因为其图象相邻两对称轴间的距离为2，0，所以12222，所

36、以4.所以f(x)2222cos(2x2)1cos(2x2)，因为yf(x)过点(1,2)，所以cos(22)1.所以222k(kZ)，解得k4(kZ)，又因为02，所以4.(2)方法一：因为4，所以y1cos(2x2)1sin2x，所以f(1)f(2)f(3)f(4)21014，又因为yf(x)的周期为4,20224502.所以f(1)f(2)f(2022)45022022.方法二：因为f(x)2sin2(4x)，所以f(1)f(3)2sin2(4)2sin2(34)2，f(2)f(4)2sin2(2)2sin2()2，所以f(1)f(2)f(3)f(4)4，又因为yf(x)的周期为4,20

37、224502.所以f(1)f(2)f(2022)45022022.【点拨】函数yAcos(x)的对称轴由xk，可得xk，两相邻对称轴间的距离为周期的一半，解决该类问题可画出相应的三角函数的图象，借助数形结合的思想解决.【变式训练3】已知函数f(x)Acos2x2(A0，0)的最大值为6，其相邻两条对称轴间的距离为4，则f(2)f(4)f(6)f(20).【解析】f(x)Acos2x2A1cos2x22Acos2x2A22，则由题意知A26，228，所以A4，8，所以f(x)2cos4x4，所以f(2)4，f(4)2，f(6)4，f(8)6，f(10)4，视察周期性规律可知f(2)f(4)f(2

38、0)2(4246)4238.总结提高1.用“五点法”作yAsin(x)的图象，关键是五个点的选取，一般令x0，2，32，2，即可得到作图所需的五个点的坐标，同时，若要求画出给定区间上的函数图象时，应适当调整x的取值，以便列表时能使x在给定的区间内取值.2.在图象变换时，要留意相位变换与周期变换的先后依次变更后，图象平移的长度单位是不同的，这是因为变换总是对字母x本身而言的，无论沿x轴平移还是伸缩，改变的总是x.3.在解决yAsin(x)的有关性质时，应将x视为一个整体x后再与基本函数ysinx的性质对应求解. 5.7正弦定理和余弦定理典例精析题型一利用正、余弦定理解三角形【例1】在ABC中，

39、AB2，BC1，cosC34.(1)求sinA的值；(2)求的值.【解析】(1)由cosC34得sinC74.所以sinABCsinCAB1742148.(2)由(1)知，cosA528.所以cosBcos(AC)cosAcosCsinAsinC15232723224.所以()112cosB11232.【点拨】在解三角形时，要留意敏捷应用三角函数公式及正弦定理、余弦定理等有关学问.【变式训练1】在ABC中，已知a、b、c为它的三边，且三角形的面积为a2b2c24，则C.【解析】Sa2b2c2412absinC.所以sinCa2b2c22abcosC.所以tanC1，又C(0，)，所以C4.题型

40、二利用正、余弦定理解三角形中的三角函数问题【例2】设ABC是锐角三角形，a、b、c分别是内角A、B、C所对的边长，并且sin2Asin(3B)sin(3B)sin2B.(1)求角A的值；(2)若12，a27，求b，c(其中bc).【解析】(1)因为sin2A(32cosB12sinB)(32cosB12sinB)sin2B34cos2B14sin2Bsin2B34，所以sinA32.又A为锐角，所以A3.(2)由12可得cbcosA12.由(1)知A3，所以cb24.由余弦定理知a2c2b22cbcosA，将a27及代入得c2b252.2，得(cb)2100，所以cb10.因此，c，b是一元二

41、次方程t210t240的两个根.又bc，所以b4，c6.【点拨】本小题考查两角和与差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，特别角的三角函数值，向量的数量积，利用余弦定理解三角形等有关学问，考查综合运算求解实力.【变式训练2】在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，且满意(2ac)cosBbcosC.(1)求角B的大小；(2)若b7，ac4，求ABC的面积.【解析】(1)在ABC中，由正弦定理得a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，代入(2ac)cosBbcosC，整理得2sinAcosBsinBcosCsinCcosB，即2sinAcosBsin(BC)sinA，在ABC中，sinA0,2cosB1，因为B是三角形的内角，所以B60.(2)在ABC中，由余弦定理得b2a2c22accosB(ac)22ac2accosB，将b7，ac4代入整理，得ac3.故SABC12acsinB32sin60334.题型三正、余弦定理在实际问题中的应用【例3】(2022陕西)如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(33)海里的两个观测点.现位于A点

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