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1、精品名师归纳总结高中数学第四章 -三角函数考试内容：角的概念的推广弧度制任意角的三角函数单位圆中的三角函数线同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式 两角和与差的正弦、余弦、正切二倍角的正弦、余弦、正切正弦函数、余弦函数的图像和性质周期函数函数y=Asin x+ 的图像正切函数的图像和性质已知三角函数值求角正弦定理余弦定理斜三角形解法考试要求：（ 1）懂得任意角的概念、弧度的意义能正确的进行弧度与角度的换算（ 2）把握任意角的正弦、余弦、正切的定义。明白余切、正割、余割的定义。把握同角三角函数的基本关系式。把握正弦、余弦的诱导公式。明白周期函数与最小正周期的意义（ 3）把握两角和与两角差
2、的正弦、余弦、正切公式。把握二倍角的正弦、余弦、正切公式（ 4）能正确运用三角公式,进行简洁三角函数式的化简、求值和恒等式证明（ 5）懂得正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin x+ 的简图,懂得 A. 、 的物理意义（ 6）会由已知三角函数值求角,并会用符号arcsinxarc-cosxarctanx 表示（ 7）把握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形（ 8）“同角三角函数基本关系式：sin2 +cos2=1, sin /cos=tan ,tan .cos =1”04. 三角函数学问要点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名
3、师归纳总结1. 与（ 0 360 ）终边相同的角的集合（角与角的终边重合） ：|k360y, kZ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结终边在 x 轴上的角的集合：终边在 y 轴上的角的集合：|k180 , kZ|k18090 , kZ4cosxcosx3sinx2sinx1cosxxcosx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结终边在坐标轴上的角的集合：终边在 y=x 轴上的角的集合：|k90 , k|k180Z45 , kZ14sinxsinx23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结终边在 yx 轴上的角的集合
4、：|k18045 , kZSIN COS三角函数值大小关系图1、 2、3、 4表示第一、二、三、四象限一半所在区域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如角与角的终边关于 x 轴对称,就角与角的关系：360 k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如角与角的终边关于 y 轴对称,就角与角的关系：360 k180可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如角与角的终边在一条直线上,就角与角的关系：180 k角与角的终边相互垂直,就角与角的关系：360 k902. 角度与弧度的
5、互换关系：360 =2180 =1 =0.01745 1=57.30 =57 18留意：正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、弧度与角度互换公式：1rad 180 57.30 =57 181180 0.01745（ rad）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、弧长公式：.扇形面积公式： s1 lr1 | r 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结扇形l| r224、三角函数：设是一个任意角,在的终边上任取（异于原点的）一点P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ x,y ） P 与原点
6、的距离为r ,就sinyx。cosrrya的终边P （ x,y rtany。x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cotx 。sec yr 。 .xcscr .oyx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、三角函数在各象限的符号： （一全二正弦,三切四余弦）yyyyo+-+-+PTox-+ xox可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结-+-OMA x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正弦、余割余弦、正割正切、余切可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、三角函数线16. 几个重要结论:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正弦
7、线： MP;余弦线： OM;正切线： AT.1y2y|sinx|cosx|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 三角函数的定义域：sinxcosxOxcosxsinx|cosx|sinx|O|cosx|sinx|x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结|sinx|cosx|三角函数3 如 ox,就sinxxtanx2定义域f xsinxx | xRf xcosxx | xR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf xf xf xtanxcotx secxcscxx | xx | x x | xx | xR
8、且xkR且xk R且xkR且xk1, kZ 2, kZ1, kZ 2, kZ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8、同角三角函数的基本关系式：sin costanc os s i nc ot可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan sin 2cot1cos2csc1sin2sec12tans e c 1co scsc21cot 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9、诱导公式：把 k的三角函数化为的三角函数,概括为：2“奇变偶不变,符号看象限” 三角函数的公式： （一）基本关系可编辑资料 - - - 欢迎
9、下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公式组一公式组二公式组三可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinxcscx=1tanx=sin x22sin2kxsin xs i n xs i nx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosx secx=1cos x cos xx=sin xsin x+cos x=11+tan2 x =sec2xcos2k tan2kxcosxxtan xc o s x t a n xc o sxt a nx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tanxcotx=122cot2kxcot xc o t x
10、c o xt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1+cot x=csc x公式组四公式组五公式组六可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinxcosxsin x cosxs i n2 c o s2xs i nxxc o xss i n xc o s xs i nxc o xs可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tanxtan xt a n2xt a nxt a n xt a nxcotxcot xc o t2xc o xtc o t xc o xt（二）角与角之间的互换公式组一公式组二可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结coscoscossins
11、ins i n22 s i nc o s可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结coscoscossinsinc o 2sc o 2ss i 2n2 c o 2s112 s i 2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinsincoscossint a n22 t a n1t a 2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sintansintancostancossins i n 2cos1c o s 21cos可编辑资
12、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1tantan22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tantantantan1cossin1cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 tantan2 1cos1 cossin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公式组三公式组四公式组五1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin2 tan2sincoscossinsin21sinsinsincos 12sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos1tan221 tan22cos sincos sin21 cos 21 cos 2cosc
13、os1sin2tan 12coscot可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan1tan222 tan2sin sincossin sincos2 sin22 cos22coscos2sin2coscos12tan 12sincot可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21tan2coscos22 sin22sin2sin 12cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin 15cos 7562 , sin 754cos1562 , tan154cot 7523 , tan75cot1523 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10. 正弦、余
14、弦、正切、余切函数的图象的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ysin xycosxytan xycot xyAsinx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义域RRx | xR且xk1, kZ2x | xR且xk , kZ（ A 、 0）R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结值域1, 11, 1RRA, A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结周期性222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当当0, 非奇非偶0, 奇函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2k1, 。k,kk, k1上
15、为减函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2k,22k22数（ kZ ）2k2 A,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2k2上 为 增 函数。上 为 增 函数 2k,2k1上 为 增 函 数（ kZ ）2k12A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结单调性2k, 2上 为 减 函数上为增函数。2k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结32k2（ kZ ）2 A,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上 为 减 函2k32A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数（ kZ ）上 为 减 函 数（ kZ ）可编辑资料 - - - 欢
16、迎下载精品名师归纳总结留意：ysin x 与ysinx 的单调性正好相反。ycosx 与ycosx 的单调性也同样相反 .一般的,如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf x 在 a, b上递增（减） ,就 yf x 在 a, b上递减（增） .y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ysin x 与 ycos x 的周期是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ysinx 或 ycos x （0 ）的周期 T2.xO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ytan x 2的周期为 2（ TT2,如图,翻折无效） .可编辑资料 - - - 欢迎下载
17、精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ysinx 的对称轴方程是 xk（ kZ2）,对称中心（k,0 ）。 yocsx 的对称轴方程是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x k（ kZ ）,对称中心（ k1,0 ）。 yy2atn x 的对称中心（k,0 ） .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y cos2x原点对称cos2xcos2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 tantan1,kk2Z 。 tantan1,kk2Z .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结
18、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ycosx 与 ysin x2k 2是同一函数 ,而 yx 是偶函数,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yxsin xk12cosx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数ytan x在 R 上为增函数 .（ ） 只能在某个单调区间单调递增. 如在整个定义域,ytan x 为增可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数,同样也是错误的.定义域关于原点对称是f x 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件
19、：一是定义域关于原点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对称（奇偶都要） ,二是满意奇偶性条件,偶函数：f xf x ,奇函数：f xf x ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：对称）ytan x是奇函数, ytan x1 是非奇非偶 .（定义域不关于原点3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结奇函数特有性质：如0x 的定义域,就f x 肯定有f 00.（ 0x 的定义域,就无此性质）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总
20、结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ysin x 不是周期函数。ysin xyy为周期函数（ T）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ycosx 是周期函数（如图） 。 ycos x 为周期函数（ T）。x21/x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ycos2xy= cos|x| 图象1 的周期为（如图）,并非全部周期函数都有最小正周期,例如：2y=| cos2x+21/|图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22yf x5f xk) , kR .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳
21、总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ya cosb sin22a bsincosb 有aby . a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11、三角函数图象的作法：）、几何法：）、描点法及其特例 五点作图法（正、余弦曲线） ,三点二线作图法（正、余切曲线）.）、利用图象变换作三角函数图象三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 y Asin （ x ）的振幅 |A| ,周期 T2,频率 f1| ,相位x; 初相（即当 x 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结|T2时的相位） （当 A 0,
22、0 时以上公式可去肯定值符号） ,由 ysinx 的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长（当|A| 1）或缩短（当 0|A| 1）到原先的|A|倍,得到 y Asinx 的图象,叫做 振幅变换 或叫沿 y 轴的伸缩变换 （用 y/A 替换 y）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 y sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长（0 | | 1）或缩短（ | |1）到原先的| 1 |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结倍,得到 y sin x 的图象,叫做 周期变换 或叫做沿 x 轴的伸缩变换 用 x 替换 x由 y sinx 的图象上全部的点向左（当 0）或
23、向右（当 0）平行移动 个单位,得到 y sin（ x ）的图象,叫做 相位变换 或叫做沿 x 轴方向的平移 用 x替换 x由 y sinx 的图象上全部的点向上（当b 0）或向下（当b 0）平行移动 b个单位,得到 ysinx b 的图象叫做沿 y 轴方向的平移 （用 y+-b 替换 y）由 y sinx 的图象利用图象变换作函数y Asin（ x ）（ A 0, 0）（ x R）的图象,要特殊留意：当周期变换和相位变换的先后次序不同时,原图象延x 轴量伸缩量的区分。4、反三角函数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 y sinx, x,的反函数叫做 反正弦函数 ,记作 y
24、 arcsinx,它的定义域是 1,1,值域是2 2 , 2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 y cosx,（x 0,）的反应函数叫做 反余弦函数 ,记作 y arccosx,它的定义域是 1,1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结值域是 0, 函数 y tanx, x的反函数叫做 反正切函数 ,记作 y arctanx,它的定义域是（,）,2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结值域是,2 2函数 y ctg x, x（ 0, ）的反函数叫做 反余切函数 ,记作 y arcctgx,它的定义域是（,）,值域是（ 0, ）II.竞赛学问要点一
25、、反三角函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 反三角函数：反正弦函数yarcsinx 是奇函数,故arcsinxarcsin x , x1,1（肯定要注明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义域,如 x,没有 x 与 y 一一对应,故ysin x 无反函数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注： sinarcsin xx , x1,1, arcsin x,.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反余弦函数yarccos x 非奇非偶,
26、但有arccosxarccosx2k, x1,1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：cosarccos xx , x1,1 , arccos x0,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ycos x 是偶函数,yarccos x 非奇非偶,而ysin x 和yarcsinx 为奇函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反正切函数：yarctan x,定义域 , ,值域（,）, y 22natcarx 是奇函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结arctanxarctan x , x,
27、 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注： tanarctan xx , x, .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反余切函数：yarc cot x ,定义域 , ,值域（,）, y22carotcx 是非奇非偶 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结arccotxarccot x2k, x, .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：cot arccot xx , x, .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 yarcsin x 与 yarcsin1x 互为奇函数,yarctan
28、x 同理为奇而yarccosx 与 yarc cot x 非奇非偶但满可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结足 arccos xarccos x2 k , x 1,1 arc cot xarc cotx2k , x 1,1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：a 的取值范畴解集a 的取值范畴解集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 sin xa 的解集 cos xa 的解集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 1a 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a =1x | x2karcsina , k
29、Za =1x | x2karccosa, kZ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 1x | xk1 k arcsin a, kZa 1x | xkarccosa, kZ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 tan xa 的解集：x | xkarctan a, kZ c o xta 的解集：x | xkarc c o at, kZ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、三角恒等式 .组一nsin 2 n 1sin 33sin4sin 3sin 2sin 2sin
30、sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结coscos2cos4.cos22 n 1 sincos34 cos33 coscos2cos2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结组二可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ncoskk 12cos2cos4cos8cosn2sinn2n sin2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ncosxkdcos xcosxd cosxnd sin n1d cosxnd 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k 0sin d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
31、名师归纳总结nsin xkd sin xsin xd sin xnd sin n1 d sin xnd 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k 0sin d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tantantantantantantan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1tantantantantantan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结组三 三角函数不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin x x tan x, x0,2f xsin x 在 0,x 上是减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 ABC,就 x2y 2z 22 yz cos A2xz cos B2xy cos C可编辑资料 - - - 欢迎下载