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1、高二数学必修三考点解析：用样本估计总体高二数学教案：用样本估计总体教案一 高二数学教案：用样本估计总体教案一 教学目标： 学问与技能 （1） 通过实例体会分布的意义和作用。 （2）在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。 （3）通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，精确地做出总体估计。 过程与方法 通过对现实生活的探究，感知应用数学学问解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。 情感看法与价值观 通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的须要，相识到数学学问源于生活并指
2、导生活的事实，体会数学学问与现实世界的联系。 重点与难点 重点：会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。 难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布。 教学设想 【创设情境】 在的2022赛季中,甲、乙两名篮球运动员每场竞赛得分的原始记录如下 甲运动员得分12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50 乙运动员得分8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，31，29，33 请问从上面的数据中你能否看出甲，乙两名运动员哪一位发挥比较稳定？ 如何依据这些数据作出正确的推断呢？这就是我们这堂课要探讨、学习的主要内容用样本的频率分布估计总体分布
3、（板出课题）。 【探究新知】 探究：P55 我国是世界上严峻缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，安排在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费。假如希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢 ？你认为，为了了较为合理地确定出这个标准，须要做哪些工作？（让学生绽开探讨） 为了制定一个较为合理的标准a，必需先了解全市居民日常用水量的分布状况，比如月均用水量在哪个范围的居民最多，他们占全市居民的百分比状况等。因此采纳抽样调查的方式，通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布状况。
4、（如课本P56） 分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，或者用紧凑的表格变更数据的排列方式，作图可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息。表格则是通过变更数据的构成形式，为我们供应说明数据的新方式。 下面我们学习的频率分布表和频率分布图，则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布的规律。可以让我们更清晰的看到整个样本数据的频率分布状况。 一频率分布的概念： 频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。一般用频率分布直方图反映样本的频率分布。其一般步骤为： （1）计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差 （2）确定组距与组数 （3）将数据
5、分组 （4）列频率分布表 （5）画频率分布直方图 以课本P56制定居民用水标准问题为例，经过以上几个步骤画出频率分布直方图。（让学生自己动手作图） 频率分布直方图的特征： 1、从频率分布直方图可以清晰的看出数据分布的总体趋势。2、从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的详细数据信息就被抹掉了。 探究：同样一组数据，假如组距不同，横轴、纵轴的单位不同，得到的图和形态也会不同。不同的形态给人以不同的印象，这种印象有时会影响我们对总体的推断，分别以0.1和1为组距重新作图，然后谈谈你对图的印象？（把学生分成两大组进行，分别作出两种组距的图，然后组织同学们对所作图不同的看法进
6、行沟通） 接下来请同学们思索下面这个问题： 思索：假如当地政府希望使85%以上的居民每月的用水量不超出标准，依据频率分布表2-2和频率分布直方图2.2-1，（见课本P57）你能对制定月用水量标准提出建议吗？（让学生细致视察表和图） 二频率分布折线图、总体密度曲线 1频率分布折线图的定义： 连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图。 2总体密度曲线的定义： 在样本频率分布直方图中，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线。它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们供应更加精细的信息。（见课本P60） 思索： 对于任何一个
7、总体，它的密度曲线是不是肯定存在？为什么？ 对于任何一个总体，它的密度曲线是否可以被特别精确地画出来？为什么？ 事实上，尽管有些总体密度曲线是饿、客观存在的，但一般很难想函数图象那样精确地画出来，我们只能用样本的频率分布对它进行估计，一般来说，样本容量越大，这种估计就越精确 三茎叶图 茎叶图的概念： 当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即其次个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图。（见课本P6例子） 2茎叶图的特征： （）用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失
8、，全部数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，便利记录与表示。 （）茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只便利记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清楚。 【例题精析】 例1：下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高 (单位) (1)列出样本频率分布表(2)一画出频率分布直方图;(3)估计身高小于134的人数占总人数的百分比.。 例2：为了了解高一学生的体能状况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17
9、：15：9：3，其次小组频数为12. (1)其次小组的频率是多少？样本容量是多少？ (2)若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？ (3)在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由。 【课堂精练】 P61 练习 1. 2. 3 【课堂小结】 1总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布不易知道，因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布。 2总体的分布分两种状况：当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图。
10、【评价设计】 1P72 习题2.2 A组 1、 2 高二数学用样本的数字特征估计总体的数字特征 用样本的数字特征估计总体的数字特征（第一课时）【学习目标】理解样本数据的方差，标准差的意义和作用，学会计算数据的方差、标准差，并使学生领悟通过合理的抽样对总体的稳定性水平作出科学的估计的思想。【重点难点】驾驭从实际问题中提取数据，利用样本数据计算方差，标准差，并对总体稳定性水平估计的方法。【学习过程】一、学习引导方差和标准差计算公式：设一组样本数据，其平均数为，则样本方差：s2=样本标准差：s=方差和标准差的意义：二合作沟通若给定一组数据，方差为s2，则的方差为若给定一组数据，方差为s2，则的方差为
11、；特殊地，当时，则有的方差为s2，这说明将一组数据的每一个数据都减去相同的一个常数，其方差是不变的，即不影响这组数据的波动性；方差刻画了程度；对于不同的数据集，当越大时，方差越大；方差的单位是，对数据中的极值较为敏感，标准差的单位与原始测量数据单位相同，可以减弱极值的影响。二、随堂练习例：要从甲乙两名跳远运动员中选拔一名去参与运动会，选拔的标准是：先看他们的平均成果，假如两人的平均成果相差无几，就要再看他们成果的稳定程度。为此对两人进行了15次竞赛，得到如下数据：（单位：cm）：甲755752757744743729721731778768761773764736741乙72976774475
12、0745753745752769743760755748752747如何通过对上述数据的处理，来作出选人的确定呢？ 1.证明方差的两特性质若给定一组数据，方差为s2，则的方差为若给定一组数据，方差为s2，则的方差为； 【小结反思】1.方差和标准差计算公式：设一组样本数据，其平均数为，则样本方差：s2=（x1）+（x2）2+（xn）2样本标准差：s=2.方差和标准差的意义：描述一个样本和总体的波动大小的特征数。标准差大说明波动大。 【自我测评】1若的方差为3，则的方差为.2在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）ABCD3
13、.从甲乙两个总体中各抽取了一个样本：甲658496乙876582依据以上数据，说明哪个波动小？4.甲乙两人在相同条件下个射击20次，命中的环数如下：甲7868659107456678791096乙95787686779658696877问谁射击的状况比较稳定？5为了考察甲乙两种小麦的长势，分别从中抽取10株苗，测得苗高如下：甲12131415101613111511乙111617141319681016哪种小麦长得比较整齐？6从A、B两种棉花中各抽10株，测得它们的株高如下：(CM)A、25414037221419392142B、27164427441640164040(1)哪种棉花的苗长得高
14、？(2)哪种棉花的苗长得整齐？7“用数据说话”，这是我们常常可以听到的一句话，但数据有时也会被利用，从而产生误导。例如，一个企业中，绝大多数是一线工人，他们的年收入可能是一万元左右，另有一些经理层次的人，年收入可以达到几十万元。这时年收入的平均数会比中位数大得多。尽管这时中位数比平均数更合理些，但是这个企业的老板到人力市场去聘请工人时，或许更可能用平均数来回答有关工资待遇方面的提问。你认为“我们单位的收入比别的单位高”这句话应当怎么理解？ 用样本的数字特征估计总体的数字特征（其次课时） 【学习目标】理解样本数据的方差，标准差的意义和作用，学会计算数据的方差、标准差，并使学生领悟通过合理的抽样对
15、总体的稳定性水平作出科学的估计的思想。【重点难点】驾驭从实际问题中提取数据，利用样本数据计算方差，标准差，并对总体稳定性水平估计的方法。【学习过程】三、学习引导方差和标准差计算公式：设一组样本数据，其平均数为，则样本方差：s2=样本标准差：s=方差和标准差的意义：二合作沟通若给定一组数据，方差为s2，则的方差为若给定一组数据，方差为s2，则的方差为；特殊地，当时，则有的方差为s2，这说明将一组数据的每一个数据都减去相同的一个常数，其方差是不变的，即不影响这组数据的波动性；方差刻画了程度；对于不同的数据集，当越大时，方差越大；方差的单位是，对数据中的极值较为敏感，标准差的单位与原始测量数据单位相
16、同，可以减弱极值的影响。四、随堂练习例：要从甲乙两名跳远运动员中选拔一名去参与运动会，选拔的标准是：先看他们的平均成果，假如两人的平均成果相差无几，就要再看他们成果的稳定程度。为此对两人进行了15次竞赛，得到如下数据：（单位：cm）：甲755752757744743729721731778768761773764736741乙729767744750745753745752769743760755748752747如何通过对上述数据的处理，来作出选人的确定呢？1.证明方差的两特性质若给定一组数据，方差为s2，则的方差为若给定一组数据，方差为s2，则的方差为； 【小结反思】1.方差和标准差计算公
17、式：设一组样本数据，其平均数为，则样本方差：s2=（x1）+（x2）2+（xn）2样本标准差：s=2.方差和标准差的意义：描述一个样本和总体的波动大小的特征数。标准差大说明波动大。 【自我测评】1若的方差为3，则的方差为.2在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）ABCD3.从甲乙两个总体中各抽取了一个样本：甲658496乙876582依据以上数据，说明哪个波动小？4.甲乙两人在相同条件下个射击20次，命中的环数如下：甲7868659107456678791096乙95787686779658696877问谁射击的状况比
18、较稳定？5为了考察甲乙两种小麦的长势，分别从中抽取10株苗，测得苗高如下：甲12131415101613111511乙111617141319681016哪种小麦长得比较整齐？6从A、B两种棉花中各抽10株，测得它们的株高如下：(CM)A、25414037221419392142B、27164427441640164040(1)哪种棉花的苗长得高？(2)哪种棉花的苗长得整齐？7“用数据说话”，这是我们常常可以听到的一句话，但数据有时也会被利用，从而产生误导。例如，一个企业中，绝大多数是一线工人，他们的年收入可能是一万元左右，另有一些经理层次的人，年收入可以达到几十万元。这时年收入的平均数会比中
19、位数大得多。尽管这时中位数比平均数更合理些，但是这个企业的老板到人力市场去聘请工人时，或许更可能用平均数来回答有关工资待遇方面的提问。你认为“我们单位的收入比别的单位高”这句话应当怎么理解？ 用样本的频率分布估计总体分布 1.6用样本的频率分布估计总体分布1一、教学目标：1、学问与技能：（1）通过实例体会分布的意义和作用。（2）在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。（3）通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，精确地做出总体估计。2、过程与方法：通过对现实生活的探究，感知应用数学学问解决问题的方法
20、，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。3、情感看法与价值观：通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的须要，相识到数学学问源于生活并指导生活的事实，体会数学学问与现实世界的联系。二、重点与难点：重点：会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布。三、教学方法：探究归纳，思索沟通四、教学设想（一）、创设情境在的2022赛季中,甲、乙两名篮球运动员每场竞赛得分的原始记录如下甲运动员得分12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50；乙运动员得分8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，
21、31，29，33请问从上面的数据中你能否看出甲，乙两名运动员哪一位发挥比较稳定？如何依据这些数据作出正确的推断呢？这就是我们这堂课要探讨、学习的主要内容用样本的频率分布估计总体分布（板出课题）。（二）、探究新知探究：P55我国是世界上严峻缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，安排在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费。假如希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢？你认为，为了了较为合理地确定出这个标准，须要做哪些工作？（让学生绽开探讨）为了制定一个较为合理的标准a，必需
22、先了解全市居民日常用水量的分布状况，比如月均用水量在哪个范围的居民最多，他们占全市居民的百分比状况等。因此采纳抽样调查的方式，通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布状况。（如课本P56）分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，或者用紧凑的表格变更数据的排列方式，作图可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息。表格则是通过变更数据的构成形式，为我们供应说明数据的新方式。下面我们学习的频率分布表和频率分布图，则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布的规律。可以让我们更清晰的看到整个样本数据的频率分布状况。1、频率分布的概念：频率分布是指一个样本数据在
23、各个小范围内所占比例的大小。一般用频率分布直方图反映样本的频率分布。其一般步骤为：计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差（1）确定组距与组数；将数据分组；列频率分布表；画频率分布直方图。以课本P56制定居民用水标准问题为例，经过以上几个步骤画出频率分布直方图。（让学生自己动手作图）频率分布直方图的特征：从频率分布直方图可以清晰的看出数据分布的总体趋势。从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的详细数据信息就被抹掉了。探究：同样一组数据，假如组距不同，横轴、纵轴的单位不同，得到的图和形态也会不同。不同的形态给人以不同的印象，这种印象有时会影响我们对总体的推断，分别以0
24、.1和1为组距重新作图，然后谈谈你对图的印象？（把学生分成两大组进行，分别作出两种组距的图，然后组织同学们对所作图不同的看法进行沟通）接下来请同学们思索下面这个问题：思索：假如当地政府希望使85%以上的居民每月的用水量不超出标准，依据频率分布表2-2和频率分布直方图2.2-1，（见课本P57）你能对制定月用水量标准提出建议吗？（让学生细致视察表和图）2、频率分布折线图、总体密度曲线（1）频率分布折线图的定义：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图。（2）总体密度曲线的定义：在样本频率分布直方图中，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度
25、曲线。它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们供应更加精细的信息。（见课本P60）思索：对于任何一个总体，它的密度曲线是不是肯定存在？为什么？对于任何一个总体，它的密度曲线是否可以被特别精确地画出来？为什么？事实上，尽管有些总体密度曲线是饿、客观存在的，但一般很难想函数图象那样精确地画出来，我们只能用样本的频率分布对它进行估计，一般来说，样本容量越大，这种估计就越精确3、茎叶图（）茎叶图的概念：当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即其次个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做
26、茎叶图。（见课本P6例子）（2）茎叶图的特征：用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，全部数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，便利记录与表示。茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只便利记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清楚。（三）、例题精析：例1：下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高(单位)(1)列出样本频率分布表；(2)一画出频率分布直方图；(3)估计身高小于134的人数占总人数的百分比.。分析：依据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题。解：（）
27、样本频率分布表如下： （）其频率分布直方图如下： （3）由样本频率分布表可知身高小于134cm的男孩出现的频率为0.04+0.07+0.08=0.19，所以我们估计身高小于134cm的人数占总人数的19%.例2：为了了解高一学生的体能状况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，其次小组频数为12.(1)其次小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？(3)在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明
28、理由。分析：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1。解：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此其次小组的频率为：又因为频率=所以（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为（3）由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内。（四）课堂精练：P61练习1.2.3（五）、课堂小结：1、总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布不易知道，因此我们往往用样本的频率分布去估计总
29、体的分布。2、总体的分布分两种状况：当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图。（六）作业：1P72习题2.2A组1、2五、教后反思： 高二数学必修三考点解析：算法案例 高二数学必修三考点解析：算法案例 1.辗转相除法是用于求最大公约数的一种方法，这种算法由欧几里得在公元前年左右首先提出，因而又叫欧几里得算法.2.所谓辗转相法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数.若余数不为零，则将较小的数和余数构成新的一对数，接着上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时的除数就是原来
30、两个数的最大公约数.3.更相减损术是一种求两数最大公约数的方法.其基本过程是：对于给定的两数，用较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，接着这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数就是所求的最大公约数.4.秦九韶算法是一种用于计算一元二次多项式的值的方法.5.常用的排序方法是干脆插入排序和冒泡排序.6.进位制是人们为了计数和运算便利而约定的记数系统.“满进一”，就是k进制，进制的基数是k.7.将进制的数化为十进制数的方法是：先将进制数写成用各位上的数字与k的幂的乘积之和的形式，再根据十进制数的运算规则计算出结果.8.将十进制数化为进制数的方法是：除k取余法.即用k连
31、续去除该十进制数或所得的商，直到商为零为止，然后把每次所得的余数倒着排成一个数就是相应的进制数.重难点突破1.重点：理解辗转相除法与更相减损术的原理,会求两个数的最大公约数;理解秦九韶算法原理，会求一元多项式的值;会对一组数据根据肯定的规则进行排序;理解进位制，能进行各种进位制之间的转化.2.难点：秦九韶算法求一元多项式的值及各种进位制之间的转化.3.重难点：理解辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法原理、排序方法、进位制之间的转化方法.【同步练习题】1、在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：(16，12)(4，12)(4，8)(4，4)，由此可以看出12和16的最大公约数是()A、4B、12C、16D、82、下列各组关于最大公约数的说法中不正确的是()A、16和12的最大公约数是4B、78和36的最大公约数是6C、85和357的最大公约数是34D、105和315的最大公约数是105 第18页 共18页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页