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1、圆周长、弧长(一)弧长和扇形面积 作课类别课题24.4.1弧长和扇形面积课型新授 教学媒体多媒体 教 学 目 标学问 技能驾驭弧长公式和扇形面积公式的推导过程，能运用弧长公式和扇形面积公式进行有关计算. 过程 方法通过弧长和扇形面积公式的推导过程与运用，发展学生分析问题、解决问题的实力. 情感 看法通过弧长公式和扇形面积公式的推导，发展学生抽象、理解、概括、归纳实力和迁移实力 教学重点弧长,扇形面积公式的导出及应用 教学难点用公式解决实际问题 教学过程设计 教学程序及教学内容师生行为设计意图 一、情境引入 课本110页引例：制造弯形管道时，常常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，这就涉及到计
2、算弧长的问题，这节课来探究弧长求法. 二、探究新知 （一）弧长公式 1推导： 问题：弧长属于圆周上部分，圆周长计算公式是什么？ 圆周长可以看成是多少度的圆心角所对的弧长？ 10的圆心角所对的弧长是多少？20的圆心角所对的弧长呢？n0的圆心角所对的弧长是多少？ 得到：在半径为R的圆中， 因为3600的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2R， 10圆心角所对弧长n0的圆心角所对弧长 弧长公式： 2.应用： 解决本节课起先的问题. 填空： .半径为3cm，120的圆心角所对的弧长是_cm； .已知圆心角为150，所对的弧长为20，则圆的半径为_； .已知半径为3，则弧长为的弧所对的圆心角为_ 如图：四边
3、形ABCD是正方形，曲线DAlBlClDl叫做“正方形的渐开线”，其中的圆心依次按A、B、C、D循环，它们依次连接取AB=l，则曲线DAlBlC2D2的长是_(结果保留) （二）扇形面积公式 1推导： 1）圆面积S=R2；（2）圆心角为1的扇形的面积： （3）圆心角为n的扇形的面积是圆心角为1的扇形的面积n倍； （4）圆心角为n的扇形的面积= 归纳：若设O半径为R，圆心角为n的扇形的面积S扇形，则 扇形面积公式S扇形= 2应用： 扇形的半径为24，面积为240，则这个扇形的圆心角为； 如图2，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（精确到0.0
4、1m） （三）弧长公式与扇形面积公式的关系 问题：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？得到 三、课堂训练 完成课本112页练习 补充：1.扇形的弧长为，半径为3，则其面积为； 2.已知：如图，矩形ABCD中，AB1cm，BC2cm，以B为圆心，BC为半径作圆弧交AD于F，交BA延长线于E，求扇形BCE被矩形所截剩余部分的面积 四、小结归纳 1弧长公式 2扇形面积公式 3弧长公式与扇形面积公式的关系 五、作业设计 作业：复习巩固作业和综合运用为全体学生必做；拓广探究为成果中上等学生必做. 补充：将一块边长为1的正三角形木板沿水平线翻滚，B点从起先至结束所走过的路径是多少？老师提出问题，引起学生思索
5、，了解本节课要学习内容. 老师提出问题，学生通过复习圆周长公式，以及圆心角和其所对弧的关系自主探究弧长公式，经验猜想计算推理感性理性，加深对弧长公式的理解，小组之间进行沟通，汇总，师生总结. 学生初步应用弧长公式进行计算，结合图形分析思索，了解公式的不同运用方法.从而发展学生的解决实际问题的实力和应用意识，并让学生渐渐的学会总结，老师检查学问的落实性，以便发觉问题和刚好解决问题。 老师引导学生类比弧长公式的推导方法尝摸索究扇形面积公式 学生独立思索，尝试解题，之后师生沟通思路和解法，进一步加深对扇形面积公式的相识. 学生比较两个公式，找它们的联系，明确学问之间的联系，在解题时，依据条件，选择适
6、当的公式 老师组织学生进行练习，老师巡回检查，集体沟通评价，老师指导学生写出解答过程，体会方法，总结规律. 让学生尝试归纳，总结，发言，体会，反思，老师点评汇总由实际问题引出课题，激发学生的学习爱好，感受数学来源于生活 推导弧长公式，使学生明确公式的推导过程，知道公式的来龙去脉，让学生体会从特别推广到一般的探讨方法 让学生初步应用弧长公式，通过运用驾驭公式的运用技巧，培育学生计算实力及分析解决实际问题的实力. 学生类比推导扇形面积公积公式 通过分析，引导学生将困难问题转化为简洁的问题，体现化归思想，同时，理解数学学问来源于生活实际，又用来解决实际中的问题，强化数学的应用意识 运用所学公式快速、
7、正确解题，培育学生良好的学习习惯，训练学生的解题速度和综合运用学问解题的实力 归纳提升，加强学习反思，帮助学生养成系统整理学问的习惯 巩固深化提高 板书设计 课题 弧长公式 应用扇形面积公式关系定理应用 应用 弧长公式与扇形面积公式的关系归纳 教学反思 弧长和扇形的面积 弧长及扇形的面积 教学目标 (一)教学学问点 1经验探究弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程； 2了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题 (二)实力训练要求 1经验探究弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培育学生的探究实力 2了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用实力 (三)情感与价
8、值观要求 1经验探究弧长及扇形面积计算公式，让学生体验教学活动充溢着探究与创建，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性 2通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的亲密联系，激发学生学习数学的爱好，提高他们的学习主动性，同时提高大家的运用实力 教学重点 1经验探究弧长及扇形面积计算公式的过程 2了解弧长及扇形面积计算公式 3会用公式解决问题 教学难点 1探究弧长及扇形面积计算公式 2用公式解决实际问题 教学方法 学生相互沟通探究法 教具打算 2投影片四张 第一张：(记作37A) 其次张：(记作37B) 第三张：(记作37C) 第四张：(记作37D) 教学过程 创设问题情境，
9、引入新课 师在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？本节课我们将进行探究 新课讲解 一、复习 1圆的周长如何计算？ 2圆的面积如何计算？ 3圆的圆心角是多少度？ 生若圆的半径为r，则周长l2r，面积Sr2，圆的圆心角是360 二、探究弧长的计算公式 投影片(37A) 如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm (1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？ (2)转动轮转1，传送带上的物品A被传送多少厘米？ (3)转动轮转n，传送带上的物品A被传送多少厘米？ 师分析：转动轮转
10、一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长；因为圆的周长对应360的圆心角，所以转动轮转1，传送带上的物品A被传送圆周长的；转动轮转n，传送带上的物品A被传送转1时传送距离的n倍 生解：(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送21020cm； (2)转动轮转1，传送带上的物品A被传送cm； (3)转动轮转n，传送带上的物品A被传送ncm 师依据上面的计算，你能猜想出在半径为R的圆中，n的圆心角所对的弧长的计算公式吗？请大家相互沟通 生依据刚才的探讨可知，360的圆心角对应圆周长2R，那么1的圆心角对应的弧长为，n的圆心角对应的弧长应为1的圆心角对应的弧长的n倍，即n 师表述得特别棒 在半径为R
11、的圆中，n的圆心角所对的弧长(arclength)的计算公式为： l 下面我们看弧长公式的运用 三、例题讲解 投影片(37B) 制作弯形管道时，须要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm) 分析：要求管道的展直长度，即求的长，根根弧长公式l可求得的长，其中n为圆心角，R为半径 解：R40mm，n110 的长R4076.8mm 因此，管道的展直长度约为76.8mm 四、想一想 投影片(37C) 在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗 (1)这只狗的最大活动区域有多大？ (2)假如这只狗只能绕柱子转过n角
12、，那么它的最大活动区域有多大？ 师请大家相互沟通 生(1)如图(1)，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9； (2)如图(2)，狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360的圆心角对应的圆面积，1的圆心角对应圆面积的，即9，n的圆心角对应的圆面积为n 师请大家依据刚才的例题归纳总结扇形的面积公式 生假如圆的半径为R，则圆的面积为R2，1的圆心角对应的扇形面积为，n的圆心角对应的扇形面积为n因此扇形面积的计算公式为S扇形R2，其中R为扇形的半径，n为圆心角 五、弧长与扇形面积的关系 师我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为R的圆中，n的圆心角所对的弧长的计算公式为lR，n的圆心角的扇形面积公式
13、为S扇形R2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n半径R有关系，因此l和S之间也有肯定的关系，你能猜得出吗？请大家相互沟通 生lR，S扇形R2， R2RRS扇形lR 六、扇形面积的应用 投影片(37D) 扇形AOB的半径为12cm，AOB120，求的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1cm2) 分析：要求弧长和扇形面积，依据公式须要知道半径R和圆心角n即可，本题中这些条件已经告知了，因此这个问题就解决了 解：的长1225.1cm S扇形122150.7cm2 因此，的长约为25.1cm，扇形AOB的面积约为150.7cm2 课堂练习 随堂练习 课时小结 本节课学
14、习了如下内容： 1探究弧长的计算公式lR，并运用公式进行计算； 2探究扇形的面积公式SR2，并运用公式进行计算； 3探究弧长l及扇形的面积S之间的关系，并能已知一方求另一方 课后作业 习题310 活动与探究 如图，两个同心圆被两条半径截得的的长为6cm，的长为10cm，又AC12cm，求阴影部分ABDC的面积 分析：要求阴影部分的面积，需求扇形COD的面积与扇形AOB的面积之差依据扇形面积SlR，l已知，则须要求两个半径OC与OA，因为OCOAAC，AC已知，所以只要能求出OA即可 解：设OAR，OCR12，On，依据已知条件有： 得 3(R12)5R，R18 OC181230 SS扇形COD
15、S扇形AOB103061896cm2 所以阴影部分的面积为96cm2 板书设计 37弧长及扇形的面积 一、1复习圆的周长和面积计算公式； 2探究弧长的计算公式； 3例题讲解； 4想一想； 5弧长及扇形面积的关系； 6扇形面积的应用 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业 3.7弧长及扇形面积3.7弧长及扇形面积教学目标：1学问与技能：经验探究弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题2过程与方法：经验探究弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培育学生的探究实力；了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用实力3情感看法与价
16、值观：经验探究弧长及扇形面积计算公式让学生体验教学活动充溢着探究与创建，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性；通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的亲密联系，激发学生学习数学的爱好，提高他们的学习主动性，同时提高大家的运用实力教学重点：经验探究弧长及扇形面积计算公式的过程；了解弧长及扇形面积计算公式；会用公式解决问题教学难点：探究弧长及扇形面积计算公式；用公式解决实际问题教学设计：一、创设问题情境，引入新课在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算?它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢?本节课我们将
17、进行探究二、新课讲解1复习（1）圆的周长如何计算?（2）圆的面积如何计算?（3）圆的圆心角是多少度?（若圆的半径为r，则周长，面积，圆的圆心角是360）2探究弧长的计算公式如右图，某传送带的一个转动轮的半径为lO(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米?(2)转动轮转1，传送带上的物品A被传送多少厘米?(3)转动轮转，传送带上的物品A被传送多少厘米?分析：转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长；因为圆的周长对应360的圆心角，所以转动轮转l，传送带上的物品A被传送圆周长的；转动轮转，传送带上的物品A被传送转l时传送距离的倍解：(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送lO2
18、0cm；(2)转动轮转1，传送带上的物品A被传送；(3)转动轮转。，传送带上的物品A被传送依据上面的计算，你能猜想出在半径为R的圆中，的圆心角所对的弧长的计算公式吗?请大家相互沟通依据刚才的探讨可知，360的圆心角对应圆周长2，那么1的圆心角对应的弧长为，的圆心角对应的弧长应为1的圆心角对应的弧长的倍，即在半径为R的圆中，的圆心角所对的弧长的计算公式为：下面我们看弧长公式的运用3例题讲解例1：制作弯形管道时，须要先按中心线计算“展直长度”再下料。试计算下图中管道的展直长度，即的长(结果精确到O.1mm)分析：要求管道的展直长度，即求的长，依据弧长公式可求得的长，其中n为圆心角，R为半径，解：R
19、40mm，110的长=因此，管道的展直长度约为768mm三、探究探讨1想一想在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗(1)这只狗的最大活动区域有多大?(2)假如这只狗只能绕柱子转过角，那么它的最大活动区域有多大?(1)如图(1)，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即(2)如图(2)，狗的活动区域是扇形。扇形是圆的一部分，360的圆心角对应的圆面积，l的圆心角对应圆面积的，即，的圆心角对应的圆面积为假如圆的半径为R，则圆的面积为，l的圆心角对应的扇形面积为，的圆心角对应的扇形面积为因此扇形面积的计算公式为其中R为扇形的半径，为圆心角2弧长与扇形面积的关系我们
20、探讨了弧长和扇形面积的公式。在半径为R的圆中，的圆心角所对的弧长的计算公式为，的圆心角的扇形面积公式为，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角半径R有关系，因此和S之间也有肯定的关系，你能猜得出吗?请大家相互沟通，3扇形面积的应用例2：扇形AOB的半径为l2cm，AOB120，求的长(结果精确到O.1cm)和扇形A0B的面积(结果精确到O.1cm)分析：要求弧长和扇形面积，依据公式须要知道半径R和圆心角即可，本题中这些条件已经告知了，因此这个问题就解决了解：的长=25.1cm=150.7cm因此，的长约为25.1cm，扇形AOB的面积约为150.7cm4随堂练习:四、课时小结本节课学习了如下
21、内容：1探究弧长的计算公式，并运用公式进行计算；2探究扇形的面积公式，并运用公式进行计算；3探究弧长及扇形的面积之间的关系，并能已知一方求另一方。五、课后作业1复习本课的内容；2课本P142习题1、2、3六、活动与探究如图，两个同心圆被两条半径截得的的长为6，的长为10，又AC=12，求阴影部分ABDC的面积分析：要求阴影部分的面积，需求扇形COD的面积与扇形AOB的面积之差依据扇形面积，已知，则须要求两个半径0C与OA，因为OCOA+AC，AC已知，所以只要能求出OA即可解：设OA=R，0CR十12，O，依据已知条件有：得3（R+12）=5RR=18OC=18+12=30S=所以阴影部分的面积为96第17页 共17页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页