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1、1第二周条件概率和独立性2.12.1 条件概率条件概率学们好学们好!本周我们学习条件概率、条件概率的计算方法以及独立性概念。本周我们学习条件概率、条件概率的计算方法以及独立性概念。在实际问题中在实际问题中，对于随机事件对于随机事件 A A，除了关心它本身的概率除了关心它本身的概率，有时还需要知道在某些有时还需要知道在某些附加条件下该事件发生的概率，这些附加条件通常以附加条件下该事件发生的概率，这些附加条件通常以“某个事件已经发生某个事件已经发生”的形的形式给出。这就是已知某事件发生后，事件式给出。这就是已知某事件发生后，事件 A A 的条件概率。的条件概率。*例例 2.1.12.1.1考虑恰有
2、两个小孩的全部家庭考虑恰有两个小孩的全部家庭，并且假定生男并且假定生男、生女是等可能的生女是等可能的。若随若随机地选一个家庭，发现该家庭有一个女孩，问这一家另一个小孩是男孩的概率是机地选一个家庭，发现该家庭有一个女孩，问这一家另一个小孩是男孩的概率是多少？多少？解：解：样本空间：样本空间：（男，男（男，男），（男，女（男，女），（女，男（女，男），（女，女）（女，女），设事件设事件 A A 为为“其中一个是女孩其中一个是女孩”，事件，事件 B B 为为“其中一个是男孩其中一个是男孩”A 男男，女女，女女，男男，女女，女女 B 男男，男男，男男，女女，女女，男男 AB 男男，女女，女女，男男某家
3、庭有一个女孩条件下，另一个小孩是男孩的概率为某家庭有一个女孩条件下，另一个小孩是男孩的概率为 224334P ABP A*条件概率的定义条件概率的定义设设A、B是两个事件，且是两个事件，且 0P B ，则，则|P ABP A BP B 称为称为“在事件在事件B发生条件下，事件发生条件下，事件A发生的条件概率发生的条件概率”，简称为条件概率，简称为条件概率.2*例例 2.1.22.1.2某厂有甲、乙、丙三车间生产同一种产品，产量分别占总产量的某厂有甲、乙、丙三车间生产同一种产品，产量分别占总产量的 60%60%，30%30%和和 10%10%。各车间的次品率分别是。各车间的次品率分别是 2%2%
4、，5%5%，6%6%。试用事件的语言表达如下概率。试用事件的语言表达如下概率（1 1）各车间的次品率？）各车间的次品率？（2 2）若发现一件产品为次品，该次品来自甲车间的概率？）若发现一件产品为次品，该次品来自甲车间的概率？解解：设产品是甲设产品是甲、乙乙、丙车间所生产分别为事件丙车间所生产分别为事件123,A A A，产品是次品为事件产品是次品为事件B，（1 1）1(|)0.02P B A，2(|)0.05P B A，3(|)0.06P B A（2 2）1(|)P A B若发现一件产品为次品，该次品来自甲车间的概率，可表示为以若发现一件产品为次品，该次品来自甲车间的概率，可表示为以 B B
5、为条件，为条件，A1A1 的的条件概率表达式。这一概率的值就不是显然的了，要计算这一概率，需要进一步条件概率表达式。这一概率的值就不是显然的了，要计算这一概率，需要进一步的计算工具。在学习条件概率计算方法之前，对例的计算工具。在学习条件概率计算方法之前，对例 2.1.12.1.1 我们还想做些引申。我们还想做些引申。*对于例对于例 2.1.12.1.1，有些同学直觉中的解答可能是，有些同学直觉中的解答可能是 1/2,1/2,因为生男生女等可能，所以无因为生男生女等可能，所以无论一个孩子是男是女论一个孩子是男是女，另一个孩子是男孩的概率都应该是另一个孩子是男孩的概率都应该是 1/21/2。实际上
6、实际上 1/21/2 是另一是另一个不同问题的正确解答。个不同问题的正确解答。*例例 2.1.32.1.3 考虑恰有两个小孩的全部家庭，并且假定生男、生女是等可能的。如果考虑恰有两个小孩的全部家庭，并且假定生男、生女是等可能的。如果从这些家庭中随机地选择一个孩子，并发现她为女孩，问在她家里另一个孩子是从这些家庭中随机地选择一个孩子，并发现她为女孩，问在她家里另一个孩子是男孩的概率是多少？男孩的概率是多少？解：解：样本空间：样本空间：男男 g g，男，男 b b，女，女 g g，女，女 bb，BA 3设事件设事件 A A 为为“这个孩子是女孩这个孩子是女孩”，事件，事件 B B 为为“这个孩子有
7、一个兄弟这个孩子有一个兄弟”A=A=女女 g g，女，女 b b ，B=B=男男 b b，女，女 b b ，AB 女女 b b.所求概率为所求概率为 114224P ABP B AP A这绝不是一个矫揉造作的例子，而是一个非常值得体会的例子，它说明正确理解这绝不是一个矫揉造作的例子，而是一个非常值得体会的例子，它说明正确理解概率统计学中概率统计学中“我们的抽样对象到底是什么我们的抽样对象到底是什么”的重要性。这个例子也被著名概率的重要性。这个例子也被著名概率学者钟开莱先生在他的初等概率论一书所采用。我们的分析也是沿着他书中学者钟开莱先生在他的初等概率论一书所采用。我们的分析也是沿着他书中的思路
8、给出的。下一讲我们学习条件概率有关的几个重要计算公式。的思路给出的。下一讲我们学习条件概率有关的几个重要计算公式。*2.22.2 条件概率有关条件概率的三个重要计算公式条件概率有关条件概率的三个重要计算公式上一讲中我们引入了条件概率，有了这一概念，我们对事件的表达就有了更丰富上一讲中我们引入了条件概率，有了这一概念，我们对事件的表达就有了更丰富的工具。下面我们就希望能够有效地计算条件概率，得到我们想要的概率结果。的工具。下面我们就希望能够有效地计算条件概率，得到我们想要的概率结果。对于条件概率而言呢，主要有三个计算公式，分别是乘法公式、全概率公式和贝对于条件概率而言呢，主要有三个计算公式，分别
9、是乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式。这三个计算公式的应用贯穿概率论的始终，是非常基本和重要的计算叶斯公式。这三个计算公式的应用贯穿概率论的始终，是非常基本和重要的计算工具。下面我们看第一个乘法公式。工具。下面我们看第一个乘法公式。*乘法公式乘法公式（1 1）设）设BA,是两个事件，是两个事件，0 BP，则，则 BAPBPABP|证明：证明：|P ABP A BP ABP B P A BP B （2 2）设）设nAAA,21为为n个事件，且个事件，且 0121 nAAAP，则，则 12121312121|nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP。4证明：证明：数学归纳法，数学归纳法，设设 11
10、1211|kkkAAAPAAPAPAAP，1112112|kkkkP AAP A AAP AA AA 121112|.kkP AP AAP AA AA 直接验证：直接验证：121312121|nnP AP AAP AA AP AA AA 12312121112121nnP A A AP A AAP A AP AP AP A AP A AA 12.nP A AA*例例 2.2.12.2.1设箱子内有设箱子内有a个白球个白球，b个黑球个黑球，在其中不放回地连取在其中不放回地连取 3 3 次次，问前问前 2 2 次次取到白球而第取到白球而第 3 3 次取到黑球的概率。次取到黑球的概率。解：解：设事件
11、设事件iA表示第表示第i次抽到白球，次抽到白球，123P A A A 121312|P AP AAP AA Aaab 11aab 2bab 思考：思考：3 3 个均为白球，或抽到个均为白球，或抽到 2 2 黑黑 1 1 白，发生的概率分别是多少？白，发生的概率分别是多少？*2.2.全概率公式全概率公式设设nBBB,21是样本空间是样本空间 的一个分割，即的一个分割，即nBBB,21互不相容，互不相容，且且 niiB1。如果。如果 0 iBP ni,2,1，5则对任一事件则对任一事件A，有，有 niiiBAPBPAP1|。我们先用图示进一步明确对样本空间进行我们先用图示进一步明确对样本空间进行“
12、分割分割”的含义。的含义。1234P AP ABP ABP ABP AB 11223344|P BP A BP BP A BP BP A BP BP A B*2.2.全概率公式全概率公式设设nBBB,21是样本空间是样本空间 的一个分割，即的一个分割，即nBBB,21互不相容，互不相容，且且 niiB1。如果。如果 0 iBP ni,2,1，则对任一事件则对任一事件A，有，有 niiiBAPBPAP1|。证明：证明：12nP AP AP ABBB 12 nP ABABAB12 nP ABP ABP AB|1122 nnP BP A BP BP A BP BA B6*例例 2.2.22.2.2
13、设甲箱中有设甲箱中有a个白球个白球，b个黑球个黑球，0,0 ba；乙箱中有乙箱中有c个白球个白球，d个个黑球。自甲箱中任取一球放入乙箱，然后再从乙箱中任取一球。求最后由乙箱取黑球。自甲箱中任取一球放入乙箱，然后再从乙箱中任取一球。求最后由乙箱取出的是白球的概率。出的是白球的概率。解：解：设事件设事件A表示最后由乙箱取出的是白球，事件表示最后由乙箱取出的是白球，事件W表示从甲箱取出白球，表示从甲箱取出白球，|P AP W P A WP W P A W111acbcab cdab cd 1 .1acbcabcd *例例 2.2.32.2.3 买彩票，设买彩票，设n张彩票中有张彩票中有 1 1 张奖
14、券，人们排成一队购买彩票，求第张奖券，人们排成一队购买彩票，求第k个个人购到奖券的概率。人购到奖券的概率。对这一问题对这一问题，通过一个直观的分析通过一个直观的分析，即可得到结果即可得到结果。我们假想一种买彩票的过程我们假想一种买彩票的过程，假设每个人买完彩票后都不离开假设每个人买完彩票后都不离开，也不查看结果也不查看结果，而是而是 n n 张彩票都卖完后张彩票都卖完后，n n 个人个人同时打开。这一假想过程，并不影响每个人的中奖可能。而同时打开。这一假想过程，并不影响每个人的中奖可能。而 n n 个人一起同时打开个人一起同时打开彩票时，奖券落在每个位置的机会均等，所以每个人的中奖概率都是相同
15、的，均彩票时，奖券落在每个位置的机会均等，所以每个人的中奖概率都是相同的，均为为 1/n1/n。这样我们就得到了答案这样我们就得到了答案。但是现在我们不仅仅满足于得到得数但是现在我们不仅仅满足于得到得数，而是希望而是希望通过事件表达，运用标准的概率计算工具得到对这一问题的分析和理解，而这种通过事件表达，运用标准的概率计算工具得到对这一问题的分析和理解，而这种分析和理解往往是更深刻的，其方法是分析和理解往往是更深刻的，其方法是更有可能推广而适用于更有可能推广而适用于更多问题的。更多问题的。解解 1 1：首部分析法首部分析法 设设 nAk为事件为事件“n个人买彩票，第个人买彩票，第k个人中奖个人中
16、奖”，则，则 kP An 1P An 1|kP AnAn 1P An 1|kP AnAn0 111knP Ann 21221knnP Annn 7 1112112nknnP Anknnnk 11211.121nknnnnnknkn*例例 2.2.32.2.3 买彩票，设买彩票，设n张彩票中有张彩票中有 1 1 张奖券，人们排成一队购买彩票，求第张奖券，人们排成一队购买彩票，求第k个个人购到奖券的概率。人购到奖券的概率。解解 2 2：设事件：设事件iA表示表示“第第i个人买到彩票个人买到彩票”，则，则 121kkkP AP A AAA 1211122121|kkkkP AP AAP AA AAP
17、 AA AA 12111.121nnnknnnknkn思考：思考：n张彩票中有张彩票中有m张奖券，第张奖券，第k个人买到奖券的概率是多少？个人买到奖券的概率是多少？*3.3.贝叶斯（贝叶斯（BayesBayes）公式）公式设设nBBB,21是样本空间是样本空间 的一个分割的一个分割，即即nBBB,21互不相容互不相容，且且 niiB1。如果如果 0 AP，0 iBP ni,2,1，则则 njjjiiiBAPBPBAPBPABP1|.证明：证明：|iiP ABP BAP A 1122|iinnP BP A BP BP A BP BP A BP BA B 8*例例 2.2.42.2.4 某考生回答
18、一道有某考生回答一道有 4 4 个选项的选择题，设会答该题的概率是个选项的选择题，设会答该题的概率是p，并且会，并且会答时一定能答对，若不会答时则在答时一定能答对，若不会答时则在 4 4 个答案中任选个答案中任选 1 1 个。求该考生回答正确时他个。求该考生回答正确时他确实会答的概率。确实会答的概率。解：设事件解：设事件A表示表示“答对答对”，B表示表示“会答会答”，则，则|P B P A BP B AP B P A BP B P A B 1 1114ppp 4.13pp *例例 2.2.52.2.5 一地区某疾病的发病率是一地区某疾病的发病率是 0.00040.0004。现有一种化验方法现有
19、一种化验方法，对真正患病的人对真正患病的人，其化验结果其化验结果 99%99%呈阳性呈阳性，对未患病者对未患病者，化验结果化验结果 99.9%99.9%呈阴性呈阴性。求下列两事件的发求下列两事件的发生概率：生概率：1.1.检查结果呈阳性，是否真的患病？检查结果呈阳性，是否真的患病？2.2.检查结果呈阴性，是否就可以放心地认为自己没有病？检查结果呈阴性，是否就可以放心地认为自己没有病？解：设事件解：设事件A表示表示“化验呈阳性化验呈阳性”，B表示表示“患病患病”，则，则检查结果呈阳性，但实际上没有患病（虚惊一场的概率）检查结果呈阳性，但实际上没有患病（虚惊一场的概率）716.0001.09996
20、.099.00004.0001.09996.0|BAPBPBAPBPBAPBPABP检查结果呈阴性，但事实上是患了病的概率检查结果呈阴性，但事实上是患了病的概率(患病但没有查出来的概率患病但没有查出来的概率).104999.09996.001.00004.001.00004.0|6 BAPBPBAPBPBAPBPABP*正确地使用三个公式，要把握好乘法公式和贝叶斯公式中包含的时间因素。乘法正确地使用三个公式，要把握好乘法公式和贝叶斯公式中包含的时间因素。乘法9公式按照时间的顺序过程展开，公式按照时间的顺序过程展开，A1A1 首先发生，然后依次是首先发生，然后依次是 A2A2，A3A3 到到 A
21、nAn。贝叶斯。贝叶斯公式是逆概率公式，它将结果为条件的概率转化为以原因为条件的概率计算。公式是逆概率公式，它将结果为条件的概率转化为以原因为条件的概率计算。而而全概率公式是全概率公式是分情况讨论，而且必须考虑到所有可能，不能有遗漏，所以要求对分情况讨论，而且必须考虑到所有可能，不能有遗漏，所以要求对样本空间进行分割。样本空间进行分割。*2.32.3 事件的独立性事件的独立性事件的独立性事件的独立性事件独立是指互不影响：事件独立是指互不影响：|P A BP AP B AP B条件概率：条件概率：|P ABP A BP B|P ABP B AP A 定义定义.对于事件对于事件BA,，如果，如果
22、BPAPABP，则称事件，则称事件BA,相互独立，相互独立，简称简称A与与B独立，否则称独立，否则称A与与B不独立或相关。不独立或相关。*例例 2.3.12.3.1 若事件若事件A和和B独立，则独立，则A与与B独立，独立，A与与B独立，独立，A与与B独立。独立。P AB P AP AB P AP A P B 1P AP BP A P B .利用利用“事件事件A和和B独立，则独立，则A与与B独立独立”的结果：的结果：10将将A和和B互换位置，则得到互换位置，则得到A与与B独立独立若若A与与B独立，则独立，则A与与B独立。独立。*例例 2.3.22.3.23 3 人独立破译密码，他们单独能破译的概
23、率分别为人独立破译密码，他们单独能破译的概率分别为51，31，41，试求此，试求此密码能被破译出的概率密码能被破译出的概率.解：设解：设事件事件B 该密码被破译该密码被破译，B 该密码未被破译该密码未被破译.设事件设事件iA 第第i个人能破译密码个人能破译密码 3,2,1i，则，则321AAAB 123123111P BP BP A A AP AP AP A 111311115345 .*分赌本的例子分赌本的例子这是一个历史上曾经发生过的这是一个历史上曾经发生过的,一个很出名的问题叫做分赌本问题甲乙两个徒进一个很出名的问题叫做分赌本问题甲乙两个徒进行一场行一场 9 9 局局 5 5 胜制的赌博
24、胜制的赌博,先赢先赢 5 5 局者获胜局者获胜,假设每一局假设每一局,都能分出胜负甲乙各都能分出胜负甲乙各压本压本金金 10100 0 元获胜方获得全部元获胜方获得全部的的20200 0 元本金那么这个规则非常明确元本金那么这个规则非常明确,应该没有任应该没有任何问题但问题是呢如果当赌博进行到何问题但问题是呢如果当赌博进行到,甲甲3 3 比比 1 1 领先的时候被迫中止了那么领先的时候被迫中止了那么这这20200 0元本金该如何分配元本金该如何分配*多个事件相互独立，三个事件相互独立多个事件相互独立，三个事件相互独立|,|,|,P A BCP AP C ABP CP AB CP AB三个事件相
25、互独立的定义对于三个事件相互独立的定义对于CBA,三个事件，如果它们之间两两独立，即：三个事件，如果它们之间两两独立，即：BPAPABP，CPAPACP，CPBPBCP，且且 CPBPAPABCP，则事件，则事件CBA,相互独立。相互独立。11注：注：CBA,两两独立不能保证两两独立不能保证CBA,相互独立。相互独立。*CBA,两两独立，但两两独立，但CBA,不相互独立的例子不相互独立的例子例例 2.3.32.3.3 将一个正四面体将一个正四面体，三个面分别涂红色三个面分别涂红色、黄色和蓝色黄色和蓝色，剩下一个面涂上红剩下一个面涂上红、黄、蓝三色。黄、蓝三色。设事件设事件CBA,分别表示分别表
26、示“将四面体投掷一次，底面含有红、黄、蓝色将四面体投掷一次，底面含有红、黄、蓝色”。21 CPBPAP，41 BCPACPABPCBA,两两独立，两两独立，APBCAP 1|所以事件所以事件CBA,不是相互独立的不是相互独立的 8141 CPBPAPABCP。*2.42.4 应用实例应用实例应用实例一应用实例一.研究生招生是否有性别歧视？研究生招生是否有性别歧视？19731973 年年,共有共有 84428442 男生，男生，43214321 女生申请加州大学女生申请加州大学 BerkeleyBerkeley 分校的研究生院。最分校的研究生院。最终男生录取比例大约终男生录取比例大约 44%44
27、%，女生录取比例大约，女生录取比例大约 35%35%。ScienceScience，Vol.187Vol.187，398-404398-404，7 7 FebruaryFebruary 19751975，SexSex BiasBias inin GraduateGraduate Admissions:Admissions:DataData fromfrom BerkeleyBerkeleyP.P.J.J.Bickel,Bickel,E.E.A.A.Hammel,Hammel,J.J.W.W.OConnellOConnell加州大学加州大学 BerkeleyBerkeley 分校分校 6 6 个
28、最大专业的研究生入学资料个最大专业的研究生入学资料男（男（1198/26911198/2691）女（女（557/1835557/1835）专业专业申请人数申请人数录取百分比录取百分比申请人数申请人数录取百分比录取百分比A A82582562621081088282B B560560636325256868C C32532537375935933434D D41741733333753753535E E19119128283933932424F F3733736 63413417 712观察数据观察数据1.1.A A、B B 两个专业容易考取。两个专业容易考取。51.5%51.5%的男生申请，女
29、生申请率只有的男生申请，女生申请率只有 7.25%7.25%，2.2.其他四个专业较难考取，其他四个专业较难考取，90%90%以上的女生申请这四个专业。以上的女生申请这四个专业。简单的看入学率是不合理的，简单的看各系的录取率同样不全面。更合理的考察简单的看入学率是不合理的，简单的看各系的录取率同样不全面。更合理的考察应该是加权入学率，即综合考虑到各系的规模和录取率。应该是加权入学率，即综合考虑到各系的规模和录取率。专业专业A AB BC CD DE EF F申请人数申请人数933933585585918918792792584584714714申请比例申请比例0.210.210.130.130
30、.200.200.180.180.130.130.160.16男生录取率男生录取率62%62%63%63%37%37%33%33%28%28%6%6%女生录取率女生录取率82%82%68%68%34%34%35%35%24%24%7%7%男生的加权平均入学率男生的加权平均入学率:0.620.210.630.130.370.200.330.180.280.130.060.160.39 女生的加权平均入学率女生的加权平均入学率:0.820.210.680.130.340.200.350.180.240.130.070.160.43 *树形分叉图树形分叉图应用实例二应用实例二.MontyMonty
31、HallHall 问题，要不要换门儿？问题，要不要换门儿？一个电视游戏节目一个电视游戏节目，主持人在现场准备三扇门主持人在现场准备三扇门，分别编号为分别编号为 1 1，2 2，3 3，并且事先随并且事先随13机地在两扇门后各放一只羊，另一扇门后放汽车。节目开始后，主持人让参与互机地在两扇门后各放一只羊，另一扇门后放汽车。节目开始后，主持人让参与互动的动的 1 1 名观众任选一门，然后在剩下的两扇门中打开一个有羊的，问此时尚未打名观众任选一门，然后在剩下的两扇门中打开一个有羊的，问此时尚未打开的两扇门中有汽车的概率分别是多少？开的两扇门中有汽车的概率分别是多少？利用利用贝叶斯公式求贝叶斯公式求解：解：令令321,AAA分别表示事件分别表示事件“汽车在汽车在 1 1，2 2，3 3 号门后号门后”。假设第一次选择了假设第一次选择了 1 1 号门，号门，B表示打开的是表示打开的是 2 2 号门。号门。要计算要计算 1|P AB，3|P AB 31321 APAPAP，,21|1 ABP ,0|2 ABP ,1|3 ABP根据全概率公式可得根据全概率公式可得 1122331|,2P BP AP B AP AP B AP AP B A 所以所以 31|111 BPABPAPBAP，32|333 BPABPAPBAP。