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1、塑性力学第三章40学时教材:塑性力学引论(修订版),王仁、黄文彬、黄筑平著广西大学土木建筑工程学院硕士研究生40学时课程第三章 应变分析、应力分析和屈服条件 3.1 应变张量和应力张量 )3 , 2 , 1,(2121,jiuuxuxuijjiijjiij(2)或用张量定义表示或用张量定义表示来表示。来表示。在小变形假设下在小变形假设下,相应的,相应的(工程工程)应变可定义为:应变可定义为:在直角坐标系中,任意一点的位置可用坐标值在直角坐标系中,任意一点的位置可用坐标值),(zyx或或),(321xxx 来表示。相应点的位移可用来表示。相应点的位移可用),(wvu),(321uuu或或小变形下
2、的应变定义如此定义的应变是二阶对称张量如此定义的应变是二阶对称张量 jiij 上式中应变的六个独立分量是通过三个位移分量的偏导上式中应变的六个独立分量是通过三个位移分量的偏导数给出的,消去位移后可得到应变分量之间的关系,即协数给出的,消去位移后可得到应变分量之间的关系,即协调条件。调条件。物体在变形和运动过程中,其质点的速度分量物体在变形和运动过程中,其质点的速度分量i假设下可表示为:假设下可表示为:)3 , 2 , 1( iutuiii(3)在小变形在小变形定义变形(速)率张量定义变形(速)率张量 )3 , 2 , 1,(21,jiijji在小变形情况下变形在小变形情况下变形(速)(速)率张
3、量也是应变张量的时间变化率率张量也是应变张量的时间变化率 )3 , 2 , 1,(21,jiijjiij(4) 在此种情形下,应变增量可表示为在此种情形下,应变增量可表示为)3 , 2 , 1,(21,jidududijjiij(5) 对于率无关材料,与真实时间成单调递增关系的参数都对于率无关材料,与真实时间成单调递增关系的参数都可取为时间参量。式中参数可取为时间参量。式中参数t t不一定是真实时间。不一定是真实时间。Cauchy应力张量 在通过物体内任一点的面元上,其应力向量可用在通过物体内任一点的面元上,其应力向量可用Cauchy公式来确定。公式来确定。用张量方式来描述,用张量方式来描述,
4、Cauchy公式可以写作公式可以写作)3 , 2 , 1,(jiTjiji(6) Tnz(6 6)式可以用来描述应力边界条件)式可以用来描述应力边界条件 在连续介质中应用在连续介质中应用NewtonNewton第二定律(或动量守恒定第二定律(或动量守恒定律),可以得到应力张量满足的运动方程律),可以得到应力张量满足的运动方程)3 , 2 , 1,(,jiFiijij(7)jiij(8)332211,xxxxiiijijjij而而 在连续介质中应用动量矩守恒定律,可以得到应力张在连续介质中应用动量矩守恒定律,可以得到应力张量满足的量满足的对称性条件对称性条件(7 7)、()、(8 8)两式是在变
5、形后的几何位置上建立起来的,)两式是在变形后的几何位置上建立起来的,但在小变形情形下,变形前后的坐标可不加区别。但在小变形情形下,变形前后的坐标可不加区别。 准静态情形下,省略(准静态情形下,省略(7 7)式的惯性项,从而得到平衡)式的惯性项,从而得到平衡方程:方程:)3 , 2 , 1,(0,jiFijij(9) 3.2 应变张量或应力张量的不变量 当所截取的面元是以当所截取的面元是以 为法向量时,面元上只有正应为法向量时,面元上只有正应变(或正应力)而没有剪应变(或剪应力)时,变(或正应力)而没有剪应变(或剪应力)时, 向量向量 称为称为称为称为主方向,相应的正应变(或正应力)则称为,相应
6、的正应变(或正应力)则称为主应变(或(或主应力)。)。 先来看主应力,由任一截面上的应力向量满足关系先来看主应力,由任一截面上的应力向量满足关系j主方向、主应变和主应力j)3 , 2 , 1,(jiTjiji当面元只有正应力时,该应力向量与面元法向量平行,故当面元只有正应力时,该应力向量与面元法向量平行,故)3 , 2 , 1( iTii0jijijiijj于是有于是有 再来看主应变,由于应变张量的坐标变换公式与应力张再来看主应变,由于应变张量的坐标变换公式与应力张量坐标变换公式相同,因此确定主应变也有相同公式(量坐标变换公式相同,因此确定主应变也有相同公式(应变应变张量与应力张量都是二阶对称
7、张量,在坐标变换上具有同样张量与应力张量都是二阶对称张量,在坐标变换上具有同样的性质)。的性质)。0jijijiijj于是,可以写出统一的公式于是,可以写出统一的公式 0jijij(10) 式中式中 是是 的主值。若的主值。若 代表应力张量,代表应力张量, 是主应力。是主应力。若若 代表应变张量,代表应变张量, 是主应变。是主应变。ijijij应力不变量与应变不变量 (1010)式具有非零解的条件是)式具有非零解的条件是0detijij由此得到关于由此得到关于的三次多项式的三次多项式032213III(11))det()(21tr321ijikikkkiikkijIII(12)其中其中称为称为
8、 的第一、第二和第三不变量。因为它们与坐标系的第一、第二和第三不变量。因为它们与坐标系的选择无关。的选择无关。ij 可以证明可以证明 有三个实根(可参考弹塑性力学的习题与例题,有三个实根(可参考弹塑性力学的习题与例题,清华徐秉业编),这里不证。将清华徐秉业编),这里不证。将 的主值记为的主值记为 、 和和 ,且规定且规定 。ij123321(1212)式也可用主值来表示:)式也可用主值来表示:321313322123211)(III(13) 3.3 偏应力张量和偏应变张量 基于实验测试结果,对于大多数金属材料,在较大的静基于实验测试结果,对于大多数金属材料,在较大的静水压力作用下,材料仍表现为
9、弹性性质。这就意味着,应力水压力作用下,材料仍表现为弹性性质。这就意味着,应力张量可以分为两部分。一部分是静水应力,它对材料的作用张量可以分为两部分。一部分是静水应力,它对材料的作用不会造成塑性变形。另一部分可以使得材料产生塑性变形。不会造成塑性变形。另一部分可以使得材料产生塑性变形。定义静水分量和偏量定义静水分量和偏量 13131Ikkm(14)ijmijij(15) 张量张量 的偏量的偏量 的几点性质:的几点性质:ijijij1. 和和 具有相同的主方向,其不变量可表示为具有相同的主方向,其不变量可表示为ij32332221231)det(,3210trmmkijkijijmijijkki
10、jIIJIJJ(16) 0jijij03131jijkkkkij03131313131jijkkijjijkkijkkijjijkkkkij如果如果则则也是相应偏张量的特征方程也是相应偏张量的特征方程ij因此因此 和和 具有相同的主方向具有相同的主方向ij031331tr3322111kkkkijkkijJijijikikkkiiJ21)(2120ii)det(3ijJ2J2. 可通过可通过 表示为表示为ij2312232122113323322222112661J(17) 证明证明 23122321223322221122121ijijJ021133332222112332222112332
11、2111133332222112332222112113333222211233222211233222211323231211332332222211 231223212233222211221J231223212211332332222211661于是有于是有kkiimkkmiikkii)(jiijij又又2312232122113323322222112661J得证得证上式也可通过主值上式也可通过主值 表示为表示为133221232221231J(18)如如 的主值满足的主值满足 ,则有基本不等式,则有基本不等式ij3213221312J(19)321证明证明32212312312 32
12、21232212 232221 32212322212221 23121abba222023123222123121231231231232221231231212312231613141J得证得证3221312J比较2J是很重要的参数,用它可定义一些重要的参量。是很重要的参数,用它可定义一些重要的参量。如定义等效应变23432Jeeijij式中式中 是应变张量是应变张量 的偏张量。的偏张量。ijeij(20)定义等效应力 2323Jssijij(21)式中式中 是应力张量是应力张量 的偏张量。的偏张量。ijsij定义等效剪应变242Jeeijij(22)221JssTijij定义等效剪应力(
13、23)定义八面体剪应变283834Jeeijij(24)定义八面体剪应力283231Jssijij(25))3 , 2 , 1,(jiTjiji ijijiiTTTTN332211332211eeeeeeT3.4 屈服条件把简单应力状态下屈服应力的概念推广到一般应力状态。把简单应力状态下屈服应力的概念推广到一般应力状态。1. 假定材料在变形的初始阶段处于弹性状态,这种弹性状态假定材料在变形的初始阶段处于弹性状态,这种弹性状态的界限称为屈服条件。的界限称为屈服条件。2. 当微元的应力状态达到该界限时,进一步的加载就可能使当微元的应力状态达到该界限时,进一步的加载就可能使微元产生不可恢复的塑性变形
14、。微元产生不可恢复的塑性变形。3. 屈服条件可以用表达式屈服条件可以用表达式 写出。写出。0ijf4. 屈服条件在以应力分量为坐标的应力空间中一般是一个屈服条件在以应力分量为坐标的应力空间中一般是一个曲面,称为屈服曲面。曲面,称为屈服曲面。5.5.当应力当应力 位于此曲面之内位于此曲面之内, ,即即 时时, ,材料处于弹性状材料处于弹性状态态; ; 当应力位于此曲面上当应力位于此曲面上, ,即即 时时, ,材料将开始屈服材料将开始屈服而进入塑性状态。而进入塑性状态。ij0ijf0ijf各向同性假设各向同性假设:材料是初始各向同性的。即材料的初始屈服:材料是初始各向同性的。即材料的初始屈服与材料
15、的取向无关,即与坐标系选择无关。由这一假设,屈与材料的取向无关,即与坐标系选择无关。由这一假设,屈服条件可表示成三个主应力的函数:服条件可表示成三个主应力的函数:0,321f(26)或应力张量不变量的函数:或应力张量不变量的函数:静水应力不影响材料的塑性性质的假设静水应力不影响材料的塑性性质的假设:即屈服条件只与应:即屈服条件只与应力偏量有关。于是屈服条件可以用应力偏张量的不变量来表力偏量有关。于是屈服条件可以用应力偏张量的不变量来表达达两个重要的假设0,3210IIIf(27)0,320JJf(28) 一般来说,这两个假设对多数金属和饱和土是适用的。一般来说,这两个假设对多数金属和饱和土是适
16、用的。在不适用的情形,需要对屈服条件进行修正。在不适用的情形,需要对屈服条件进行修正。 由这两个假设,如果屈服曲面存在,则可能在主应力空由这两个假设,如果屈服曲面存在,则可能在主应力空间中用几何方法加以描述。间中用几何方法加以描述。 在主应力空间中,任意一应力状态都可用一个向量在主应力空间中,任意一应力状态都可用一个向量 来表示。来表示。OP332211iiiOP 上式还可分解为偏量部分和静上式还可分解为偏量部分和静水应力部分。水应力部分。 321332211iiiiiimmmsssOP ONOQOQ为主偏应力向量为主偏应力向量ON为静水应力向量。注意到为静水应力向量。注意到0321sss 3
17、21332211iiiiiimmmsssOPONOQ知知OQ与与ON是正交的。是正交的。0ONOQ过过O点以点以 为法向量的平面习惯上称为为法向量的平面习惯上称为平面,可写为平面,可写为ON0321(29)由于由于OQ与与ON正交,正交,主偏应力向量主偏应力向量 过过O点点, ,OQ知知主偏应力向量主偏应力向量 是是平面的面内向量。平面的面内向量。 OQ 以下,以下, 建立建立 平面上的直角坐标系,并建立主应力平面上的直角坐标系,并建立主应力 主偏应力主偏应力 与与 平面上相应的点的坐标的关系。平面上相应的点的坐标的关系。321,321,sss主应力坐标系基矢主应力坐标系基矢321,iii顶点
18、构成一平面,该平面平行于顶点构成一平面,该平面平行于平面。平面。将基矢将基矢321,iii投影到投影到平面上,得平面上,得321,iii。由于。由于321,iii不平行于不平行于平面平面, ,321,iii再将基矢再将基矢321,iii的顶点连线投影到的顶点连线投影到平面上,由于这些顶点连线平行于平面上,由于这些顶点连线平行于平面,投影所得线的长度不变。平面,投影所得线的长度不变。将有所缩减。将有所缩减。321,iii中任意两向量及顶点连线构成一个等腰三角形,中任意两向量及顶点连线构成一个等腰三角形, 其顶角角度为其顶角角度为120120 ,底角角度为,底角角度为3030 。因此可以算出。因此
19、可以算出 3 , 2 , 132i32cos那么,主偏应力那么,主偏应力321,sss在在平面上的平面上的 坐标值为:坐标值为:yx,6,223221,322311111sssss2232, 0ss平面上任一点的坐标可用主偏应力表达为:平面上任一点的坐标可用主偏应力表达为: 622231231sssyssx6,223221,322333333sssss同样,主应力同样,主应力321,在在平面上的平面上的 坐标值为:坐标值为:yx,6,221112232, 06,22333于是于是平面上任一点的坐标可用主应力或主偏应力表达为:平面上任一点的坐标可用主应力或主偏应力表达为: 62622222312
20、3123131sssyssx(30)用极坐标描述,有:用极坐标描述,有:31231tg2612131312231223122xyyxr(31)上式中上式中 称为称为LodeLode参数,表示了主应力之间参数,表示了主应力之间的相对比值。的相对比值。 3131222312231261211332212322213232322J22Jr (3131)式中)式中 因此有因此有(31)如果规定如果规定 ,则,则LodeLode参数参数 的取值范围为(的取值范围为(-1-1,1 1)或)或 。例如:。例如:321oo3030纯拉伸纯拉伸 对应于对应于 。0,3211纯剪切纯剪切 对应于对应于 。0,23
21、10纯压缩纯压缩 对应于对应于 。321, 01注意到注意到 ,由(,由(3030)式可解出:)式可解出:0321sss32sin32sin3232sin32321rsrsrs(32)626222223123123131sssyssx123112屈服曲面与屈服曲线屈服曲面与屈服曲线 屈服曲面与屈服曲面与 平面的交线称为屈服曲线。平面的交线称为屈服曲线。 当屈服条件不受静水当屈服条件不受静水应力影响时,从主应力空应力影响时,从主应力空间来看,此时的屈服条件间来看,此时的屈服条件 表示的是一表示的是一个母线垂直于个母线垂直于 平面的柱平面的柱面。面。 0,320JJf因为该曲面与静水应力因为该曲面
22、与静水应力321( 是向量是向量 的大小)的大小无关,这意味着的大小)的大小无关,这意味着以任何一个平行于以任何一个平行于平面的平面去截曲面平面的平面去截曲面 ,得到的交线都是形状一样的。得到的交线都是形状一样的。 ON0,320JJf3210,320JJf在这种情形下,要讨论屈服条件只需分析在这种情形下,要讨论屈服条件只需分析 平面上的屈平面上的屈服曲线。服曲线。屈服曲线的几何性质屈服曲线的几何性质根据材料的屈服是初始各向同性的这一假定,如果根据材料的屈服是初始各向同性的这一假定,如果 321,sss是屈服曲线上的一点,是屈服曲线上的一点, 也是屈服曲线上的一点。由也是屈服曲线上的一点。由(
23、3030)式知)式知 123,sss622213213sssyyssxx622231231sssyssx321,sss123,sss321,sss123,sss也是屈服曲线上的一点也是屈服曲线上的一点2 i1 i3 i可知屈服曲线对称于可知屈服曲线对称于 轴,同理可知还对称于轴,同理可知还对称于 轴和轴和 轴。轴。 又根据材料的屈服是初始各向同性的这一假定,材料的又根据材料的屈服是初始各向同性的这一假定,材料的拉伸和压缩屈服极限相等(对许多金属材料近似成立)。还拉伸和压缩屈服极限相等(对许多金属材料近似成立)。还可知,如果可知,如果 是屈服曲线上的一点,则是屈服曲线上的一点,则 也是屈服曲线上
24、的一点。于是由(也是屈服曲线上的一点。于是由(3030)式知)式知321,sss321,sss622231231sssyyssxx321,sss321,sss321,sss因此因此 平面上平面上 也是屈服曲线也是屈服曲线上的一点。但由于屈服曲线对称上的一点。但由于屈服曲线对称于于 轴,轴, 必是屈服曲线上的一必是屈服曲线上的一点。故知屈服曲线对称于点。故知屈服曲线对称于yx ,2 iyx ,过原点且垂直于过原点且垂直于 轴的直线。轴的直线。2 i 同理,过原点的另外两条投影轴的垂线也是对称轴。同理,过原点的另外两条投影轴的垂线也是对称轴。因此,在各向同性假设下屈服曲线有因此,在各向同性假设下屈
25、服曲线有6条对称轴。所以,在条对称轴。所以,在此情形下,只要在此情形下,只要在30范围内做屈服试验就可以确定屈服曲范围内做屈服试验就可以确定屈服曲线。线。3.5 几个常用的屈服条件一、Tresca屈服条件(1864年) 当最大剪应力达到某一极限值时,材料开始产生屈服。如当最大剪应力达到某一极限值时,材料开始产生屈服。如果规定果规定 ,则,则Tresca屈服条件可写为屈服条件可写为321131max2k(33) 由(由(3030)式可知,上式在)式可知,上式在 平面上相当于平面上相当于 内与内与 轴平行的直线段:轴平行的直线段:oo3030yconstkx131222(34) 根据对称性对其加以
26、延拓,知根据对称性对其加以延拓,知Tresca屈服条件在屈服条件在 平面上平面上是一个正六边形。如果不规定是一个正六边形。如果不规定 ,则(,则(3333)式可)式可写为写为321113132121222kkk(35) 在主应力空间中在主应力空间中Tresca屈服条件是一个正六面体柱面。其母屈服条件是一个正六面体柱面。其母线与轴线线与轴线 相平行。相平行。321对于平面应力状态对于平面应力状态 ,(,(3535)式可写作)式可写作0311121212,2,2kkk(36) 这在这在 应力平面上是一个六边形,应力平面上是一个六边形,它是六棱柱面与它是六棱柱面与 平面相截得到的平面相截得到的交线。
27、交线。21031k值的确定值的确定 值由实验确定。例如可用简单拉值由实验确定。例如可用简单拉伸伸 测得测得0,321s1k21sk(37) 如果采用纯剪切实验如果采用纯剪切实验 ,则,则0,231ssk1(38) 显然,如果显然,如果TrescaTresca屈服条件正确,则测得的屈服条件正确,则测得的 值应相值应相同,即应有同,即应有1kss2(39) 关于Tresca屈服条件的应用 在主方向已知的情形下,在主方向已知的情形下,Tresca屈服条件是便于应用的。屈服条件是便于应用的。如不是这样,应用起来就不大方便。如不是这样,应用起来就不大方便。设设 , ,即即 。由(。由(3131)和()和
28、(3232)式,有)式,有321sss63213sssJ 32sin32sinsin32323r 3sin332232J于是于是6,233sin3123231JJ这样,这样,TrescaTresca屈服条件可写为:屈服条件可写为:sJrsscos2cos2231 这样这样Tresca屈服条件就能用偏应力张量的不变量来表屈服条件就能用偏应力张量的不变量来表示。一般来说,应用起来还是不大方便的。上式还可以写示。一般来说,应用起来还是不大方便的。上式还可以写为为二、Mises屈服条件(1913年)Tresca屈服条件没有考虑中间主应力的影响。屈服条件没有考虑中间主应力的影响。 Mises屈服条件假定
29、(屈服条件假定(2828)式)式 具有如下具有如下的最简形式:的最简形式: 0,320JJf0,222320kJJJf(40) 其中其中 为材料常数。由上式可见为材料常数。由上式可见Mises屈服条件与屈服条件与 无关。无关。2k3J 由(由(3131)式,上式也可写为)式,上式也可写为constkJr2222(41) 可见,可见,MisesMises屈服条件在屈服条件在 平面上是一个圆,在主应力平面上是一个圆,在主应力空间中则是一个母线与轴线空间中则是一个母线与轴线 相平行的圆柱面。相平行的圆柱面。321对于对于 平面应力状态,平面应力状态,MisesMises屈服条件可表示为屈服条件可表示
30、为03222122213k(42) 这在这在 应力平面上是一个椭圆。应力平面上是一个椭圆。21对对Mises屈服条件的物理解释屈服条件的物理解释 材料微元的八面体剪应力或材料微材料微元的八面体剪应力或材料微元单位体积的剪切应变能达到一定数值元单位体积的剪切应变能达到一定数值时,材料微元就将开始进入屈服。时,材料微元就将开始进入屈服。2834J八面体剪应力八面体剪应力剪切应变比能剪切应变比能 221212121Jssesijijijij2k值的确定值由实验确定。值由实验确定。 2k 例如在简单拉伸例如在简单拉伸 时,时,jiijs, 0, 0,33221122312232122113323322
31、22211231661SJ应用应用MisesMises屈服条件,可以测得屈服条件,可以测得22221123131kJS32sk(43) 如果采用纯剪切实验如果采用纯剪切实验 ,则由,则由0,231s22222kTJssk2(44) 显然,如果显然,如果MisesMises屈服条件正确,则用不同的试验测得屈服条件正确,则用不同的试验测得的的 值应相同,即应有值应相同,即应有2kss3(45) Tresca屈服条件与Mises屈服条件的简单比较 在在 平面上,假定简单拉伸时平面上,假定简单拉伸时两个屈服面重合,则两个屈服面重合,则Tresca 六边六边形内接于形内接于Mises 圆。此时由圆。此时
32、由(3737)、()、(3838)式式 , ,和(和(4343)、)、(4444)式)式 ,知,知若以拉伸试验确定屈服参数,在若以拉伸试验确定屈服参数,在纯剪切时两种屈服条件相差最大。纯剪切时两种屈服条件相差最大。ssk21122323kkkss 如假定纯剪切时两个屈服面重合,如假定纯剪切时两个屈服面重合,则则TrescaTresca六边形外切于六边形外切于MisesMises圆。此时圆。此时由(由(3737)、()、(3838)式)式ssk21和(和(4343)、()、(4444)式)式1223kkkss 知在简单拉伸时,两种屈服条件相知在简单拉伸时,两种屈服条件相差最大。差最大。不论哪种情
33、况,最大的相对误差都是不论哪种情况,最大的相对误差都是%15132三、最大偏应力屈服条件(或双剪应力屈服条件)最大偏应力屈服条件 最大偏应力屈服条件的概念最早是由最大偏应力屈服条件的概念最早是由R.SchmidtR.Schmidt在在19321932年提出的。俞茂宏用双剪应力的概念对上述屈服条件年提出的。俞茂宏用双剪应力的概念对上述屈服条件作了说明。作了说明。 最大偏应力屈服条件可用下式表示最大偏应力屈服条件可用下式表示3321),max(ksss(46) 上式又可表示为上式又可表示为321333312233211323323323ksksks 显然,考虑到对称性,上式在显然,考虑到对称性,上
34、式在 平面上构成由六条直线围平面上构成由六条直线围成的正六边形。要确定这一六边形,可利用(成的正六边形。要确定这一六边形,可利用(3030)式。由)式。由(3030)式的第二式,知正六边形的一条直线与)式的第二式,知正六边形的一条直线与 垂直。由垂直。由拉压屈服对称,可得正六边形另一条与拉压屈服对称,可得正六边形另一条与 垂直的直线。类垂直的直线。类推确定这一六边形。推确定这一六边形。2 i2 i最大偏应力屈服条件最大偏应力屈服条件626222223123123131sssyssx321333312233211323323323ksksks值的确定3k如果用简单拉伸如果用简单拉伸 确定确定 ,
35、则,则0,321s3ksk323与与Tresca屈服条件和屈服条件和Mises屈服条件的简单比较屈服条件的简单比较最大偏应力屈服条件在最大偏应力屈服条件在 平面上是一个外接于平面上是一个外接于Mises圆的正圆的正六边形。与六边形。与Tresca六边形相比,它的方位相差六边形相比,它的方位相差30 。双剪应力屈服条件双剪应力屈服条件 当两个较大的主剪应力的绝对值之和达到某一数值时,当两个较大的主剪应力的绝对值之和达到某一数值时,材料将开始屈服。材料将开始屈服。321设设 ,则主剪应力绝对值可定义为:,则主剪应力绝对值可定义为: 2,2,2322331132112(47) 双剪应力屈服条件由下式
36、表示:双剪应力屈服条件由下式表示:2312321231323123211213,21,21ss(48) 2,2,2322331132112最大最大谁大?谁大?上式(双剪应力屈服条件)与最大偏应力屈服条件(上式(双剪应力屈服条件)与最大偏应力屈服条件(4646)式等价,因为若式等价,因为若 ,注意到,注意到 ,有,有321sss0321sss0,32320,3232),max(2213323211321sssssssss2232)(231)(322131231312322s23122231220,0ss 所以双剪应力屈服条件与最大偏应力屈服条件等价所以双剪应力屈服条件与最大偏应力屈服条件等价 由
37、(由(3131 )、()、(3232)和()和(4646)式,在未知最大主应力方向)式,在未知最大主应力方向时最大偏应力屈服条件可写为时最大偏应力屈服条件可写为 0132sin,32sinmax320sJf其中其中6,233sin3123231JJ3.6 屈服条件的实验验证用这样的试件和加载方式可以实现可变的双向应力状态。用这样的试件和加载方式可以实现可变的双向应力状态。 设圆管的平均半径为设圆管的平均半径为 ,壁厚为,壁厚为 , 。在拉力。在拉力 和和内压内压 的作用下,圆管近似地处于平均应力状态。在柱坐的作用下,圆管近似地处于平均应力状态。在柱坐标系中圆管中任意一点的应力分量为:标系中圆管
38、中任意一点的应力分量为:RhRh phpR,RhTz2,0r(49)如果如果 ,则可取,则可取 ,故有:,故有:rz0,321rzpRpRT22313122(50) T当当 等于零时,等于零时,T1 30这对应于简单拉伸的情形。这对应于简单拉伸的情形。当当 时,时,pRT220 0当当 时,时,pRT21 30 于是,知在于是,知在 的范围内改变的范围内改变 和和 的比值时,的比值时,可以得到可以得到 在在 内不同的值。内不同的值。pRT220Tp11与与Lode的实验结果比较的实验结果比较 设设 ,规定拉伸时各种屈服条件是重合的,规定拉伸时各种屈服条件是重合的(即各种屈服条件的参数都以拉伸试
39、验来加以确定)。(即各种屈服条件的参数都以拉伸试验来加以确定)。321对对Tresca屈服条件,有屈服条件,有131s(51) hRpRhpRz222hpR 对 于对 于 M i s e s 屈 服 条 件 , 由 (屈 服 条 件 , 由 ( 4 14 1 )式式, , , , ,和(和(4343)式,有)式,有constkJr222232skrks2332上式还可以表示为上式还可以表示为2312311)(23123xyxs 因此屈服条件可以写为因此屈服条件可以写为23132s(52) 22yxr利用(利用(3030)和()和(3131)式)式622231231yx对于最大偏应力屈服条件对于
40、最大偏应力屈服条件,由由 ,所以所以321321sss133131231312)( 332sssssss, 1113311131133131313131ssssssssss或或从上式中可解出从上式中可解出3331ss而当而当 时,时,01),max(0332112312ssssssss但由最大偏应力屈服条件但由最大偏应力屈服条件 ss321因此因此34331113113131ssssssssssss而当而当 时,时,10),max(0332132312ssssssss由最大偏应力屈服条件由最大偏应力屈服条件 ss32334133333133131ssssssssssss因此因此于是最大偏应力的
41、屈服条件可写为于是最大偏应力的屈服条件可写为3431s(53) 可知,以可知,以 为纵坐标,以为纵坐标,以 为横坐标,将(为横坐标,将(5151)、)、(5252)和()和(5353)式与试验结果比较,便可看出哪种屈服条)式与试验结果比较,便可看出哪种屈服条件更为接近真实结果。件更为接近真实结果。s3111 12.5+0.02030125A 0.01 AR20 10.5 16二、薄圆管受拉力和扭矩的联合作用(Taylor-Quinney,1931年)FTTFzzxy在拉力和扭矩的作用下在拉力和扭矩的作用下RhTz2,hRMz22(54)相应的主应力为:相应的主应力为:相应的主偏应力为:相应的主
42、偏应力为:2232221421204212zzzrzzz2232221436134361zzzzzzzsss(55)(56)从而从而 2223131242RMTT(57) 当当 时时 , ,对应于简单拉,对应于简单拉伸的情形。伸的情形。0, 0TM1 30 当当 时时 , ,对应于纯剪切,对应于纯剪切的情形。的情形。0, 0MT0 0 于是,改变于是,改变 和和 的比值,可以得到的比值,可以得到 在在 内内不同的值。不同的值。TM11 仍规定拉伸时各种屈服条件是重合的。仍规定拉伸时各种屈服条件是重合的。对对Tresca屈服条件,有屈服条件,有242122231maxszz或或 1422szsz
43、(58) 对于对于Mises屈服条件,有屈服条件,有2222316261szJ1322szsz(59) 或或 对于最大偏应力屈服条件。对于最大偏应力屈服条件。由(由(56)式知,当)式知,当时,时, 。且。且 ,因此最大偏应,因此最大偏应力屈服条件可写为力屈服条件可写为0z),max(032112sssssss321szzz22434114434122szszsz或或 (60) 于是,以于是,以 为纵坐标,以为纵坐标,以 为横坐标,将为横坐标,将(5858)、()、(5959)和()和(6060)式与试验结果比较便可看出哪种)式与试验结果比较便可看出哪种屈服条件更为接近真实结果屈服条件更为接近
44、真实结果sz/sz/010 20 30 40 50 60 70 80 90 1001101201300102030405060708090切应力Shear stress MPa轴向应力Axial stress MPaprestrain =1.3%initial yield surfaceprestrain =3.1%预应变预应变初始屈服面回推法得到的屈服面 (引自苏莉西北工业大学2007年硕士论文)0.0000.0020.0040.0060.0080.01001020304050607080切应力shear stress MPa切应变shear strain -yield point (bac
45、kward extrapolation)G屈服点(回推法)extensometerspecimenwedge grip钢薄圆管轴向拉压/扭转测试初始屈服面3.7* 岩土力学中的库伦屈服条件3/30 xxtgycos6sin22Cyxcos36sin22Cxx确定B点如何确定A点?平面上平面上I I1 10 0故由(故由(6666)式)式3.8 加载条件屈服条件屈服条件是指当材料未经受任何塑性变形时的弹性响是指当材料未经受任何塑性变形时的弹性响应的界限。应的界限。加载条件加载条件材料经受过塑性变形后的弹性响应的界限。材料经受过塑性变形后的弹性响应的界限。0ijfnfij,.3 , 2 , 10,
46、(68) 是用于刻划塑性变形历史的内变量参量。在应力空间是用于刻划塑性变形历史的内变量参量。在应力空间中,这是一个以中,这是一个以 为参数的曲面,称之为为参数的曲面,称之为加载曲面加载曲面。 需要说明的几点:需要说明的几点:1. 随随 的变化,加载曲面的大小、形状和位置都要发生的变化,加载曲面的大小、形状和位置都要发生变化。变化。 2. 应力状态不能位于加载曲面之外(不考虑应变率效应时)应力状态不能位于加载曲面之外(不考虑应变率效应时)3. 应力位于加载曲面之内时,应力的改变不引起应力位于加载曲面之内时,应力的改变不引起 的变化,的变化,材料也不产生新的塑性变形。材料也不产生新的塑性变形。4.
47、 应力位于加载曲面之上时,继续加载将使得应力位于加载曲面之上时,继续加载将使得 改变,材改变,材料产生新的塑性变形,加载曲面也将变化。料产生新的塑性变形,加载曲面也将变化。5. 加载曲面的变化可用下式来描述:加载曲面的变化可用下式来描述: nddfijij,.3 , 2 , 10,(69)于是知加载过程中,加载曲面应满足以下条件:于是知加载过程中,加载曲面应满足以下条件: 上式通常称为一致性条件。上式通常称为一致性条件。0ffijij(70) 在不同的加载路径下,加载曲面的演化是不同的。在不同的加载路径下,加载曲面的演化是不同的。要描述加载曲面的演化规律,需要建立合理的模型,常用要描述加载曲面
48、的演化规律,需要建立合理的模型,常用的模型主要有两种。一种是等向强化模型,一种是随动强的模型主要有两种。一种是等向强化模型,一种是随动强化模型。化模型。1.1.等向强化模型等向强化模型 0*ijf(71) 等向强化模型的特点是:加载曲面是屈服曲面在应力空等向强化模型的特点是:加载曲面是屈服曲面在应力空间中的相似扩大,忽略了塑性变形引起的材料各向异性性质。间中的相似扩大,忽略了塑性变形引起的材料各向异性性质。 是一个标量内变量。是一个标量内变量。 按等效塑性应变定义的塑性变按等效塑性应变定义的塑性变形参量形参量PPklPkldddd2132 按塑性功定义的塑性变形参量按塑性功定义的塑性变形参量P
49、PklkldWdd函数函数 一般可由简单拉伸实验确定。一般可由简单拉伸实验确定。 特别地,对于特别地,对于MisesMises屈服条件,相应的等向强化模型为屈服条件,相应的等向强化模型为 sijijss023(72) 例如在单轴拉伸试验中取例如在单轴拉伸试验中取 ,或,或 。又取又取 或或 。这样可以方便地由实验确定函。这样可以方便地由实验确定函数数PPddPPddWPdPd对于对于Tresca屈服条件(略)屈服条件(略) max(73)2.随动强化模型随动强化模型00*ijijf(74) 随动强化模型的特点:加载曲面就是屈服曲面随着塑性随动强化模型的特点:加载曲面就是屈服曲面随着塑性变形的过
50、程在应力空间中作刚性移动,加载曲面的大小和形变形的过程在应力空间中作刚性移动,加载曲面的大小和形状都不改变。状都不改变。ij 上式中内变量上式中内变量 是表征加载曲面中心移动的对称二阶是表征加载曲面中心移动的对称二阶张量张量, ,称为移动张量或背应力称为移动张量或背应力(the shift (the shift 或或 the back the back stress)stress)。背应力背应力 的演化规律的演化规律ij(1 1)线性随动强化模型)线性随动强化模型 )0( ccPijij(75)00*Pijijcf 特别地,对于特别地,对于MisesMises屈服条屈服条件,相应的随动强化模型