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1、考点22空间几何平行问题【题组一 三角形中位线】1 .如图，点石和点尸分别是3C, 4c的中点，求证：方/平面44区4【答案】证明见解析.【解析】【分析】连接AB,由于E和尸分别是BC, AC的中点，那么然后由线 面平行的判定定理可证得结论【详解】证明:如图，连接43.BiC在ABC中，因为石和产分别是3c 4。的中点,所以所/” 又因为族2 A用胡，BAu平面AB|A4,所以尸/平面4耳.【解析】【分析】 根据正方体的性质，易证平面A。，又因为平面利用线面垂直的性质定理，得到MNAQ.【详解】因为四边形A。2A为正方形，所以又CD_L平面AORA，4。匚平面4）。4，所以 CD_LA2.因为
2、 Aonco=。，所以A。J_平面4。.又肱V_L平面A。，所以MNA，.【点睛】此题主要考查了线面垂直的判定定理和性质定理，还考查了空间想象的能 力，属于基础题.12.正方体ABC。-,乙尸分别为AC和4。上的点，且EF_LAC,EF A.A.D,(1)求证:EFII BD；(2)求证：三条直线交于一点.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析【解析】【分析】(1)连结AS和耳。，由条件可证得平面AB。和5A J_平面AB。，从而得到所 8R. (2)结合题意可得直线。尸和屈必相交，根据线面关系再证 明该交点在直线QA上即可得到结论.【详解】证明:(1)如图,连结A1和在正方体 A3CD 4A
3、GA 中，AD/B。， EF A,D , EF 1 BQ又 EF 上 AC, ACnB1C = C , 石/，平面人与。.又在正方体 ABC。4 AG2 中，BC 上 BG , BC 上 QG , BC c DCi = Cgc，平面BCQ ,又BRu平面3CQ,B.C 1 BD同理可得与人，32，又 BAcBC = Bi，：.BD、JL 平面AgC .，EF II BD.（2）由题意可得（或者。/和BE不平行），又由（1）知 EF6。1,所以直线2F和无必相交，不妨设BEcQF = G,那么Gw A尸,又R/u平面A4Q。，所以Ge平面A4QQ,同理Ge平面ABCD.因为 平面A4120 c平
4、面A5CD = AD ,所以Ge4）,所以犯、*、D4三条直线交于一点.【点睛】（1）证明两直线平行时，可根据三种平行间的转化关系进行证明，也可利 用线面垂直的性质进行证明，解题时要注意合理选择方法进行求解.（2）证明三线共点的方法是：先证明其中的两条直线相交，再证明该交点在第三 条直线上.解题时要依据空间中的线面关系及三个公理，并结合图形进行求解.【题组四 三角形相似比证线线平行】13.如图，在四面体ABCD中，以是的中点，。是的中点，点。在线段AC上，且AQ = 3QC求证：P0平而BCD【答案】证明见解析【解析】【分析】取的中点。，在线段CO上取点方，使得。尸=3尸C,连接。P、OF.F
5、Q,证明出四边形O尸。尸为平行四边形，可得出PQ/Ob，再利用直线与平面平行的判定定理可证明出PQ平面BCD.【详解】如下列图所示，取5。的中点0,在线段8上取点尸，使得。尸=3尸C,连接OP、OF、FQ.D，且如4皿O、P分别为BD、3M的中点，.OPAD,且= 2.为AO的中点，=4 .OP/IQF旦OP = QF ,四边形OP。b是平行四边形，.PQOF.(5。(2平面5。，Obu平面 BCQ,平面 8CQ.【点睛】此题考查直线与平面平行的证明，常用线面平行的判定定理和面面平行的 性质定理得出线面平行，在利用线线平行关系得出线面平行时，常用中位线平行与 平行四边形对边平行来得出线线平行，
6、同时也充分利用空间中的平行关系进行转化，考查推理能力，属于中等题.14.如图，三棱锥P ABC中，24，底面人3。，PA = AB,点E、尸分别为山、A3的中点，点。在尸。上，且PD = 2DC,明：平面8。；【答案】证明见解析.【解析】【分析】设AE中点为G,连结GC,可得GF/EB,进一步得到GQ/平面 EBD.由平行线截线面成比例可得ED/GC,得到GC/平面EBO,得到平面 GFC/平面EBD,从而得到bC/平面BO；【详解】证明：设AE中点为G,连结G尸，GC,又./为A3的中点，:.GF/EB,.Gb仁平面BED, BE u平面BED,.GF/平面EBD.由题意可得,PG PC _
7、 3 PEPD2:.ED/GC9又CG仁平面6瓦）,ED u平面BED, .GC/平面七灰）,因为GCu平面GR2, Gbu平面G/C, GCGF = G平面GFC/平面B。，又尸Cu平面GFC, 所以/C/平面5。；BB【点睛】此题考查线面平行、面面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，属 于中档题.【题组五 线面平行性质证线线平行】.如图，在三棱柱ABC A/G中，。是的中点，石是4G上一点，但的值为【解析】BF【分析】连接BG交耳。于点尸，连接斯，利用相似三角形计算出”的值，利 用直线与平面平行的性质定理并结合条件A3平面片。石可得出石/4内，由此可A E BFA E得出京=后，从而计
8、算出京的值.【详解】如下列图所示，连接BG交耳。于点齐，连接所.在三棱柱 ABC A4G 中，Q BC/B.C, , /. ABDF : Agg/,QQ为BC的中点，.BO = ；5C = ：gG，QQ为BC的中点，.BO = ；5C = ：gG，BF BD 1FC BC 2,(4引/平面4。石，48匚平面4乃。平面4BGc平面片。石=石尸,.AB/EF ,A.E BF 1i而=而=万，故答案为万【点睛】此题考查利用直线与平面平行的性质定理求线段长度的比例，解题时要充 分利用直线与平面平行的性质定理转化为直线与直线平行，然后利用平行线分线段 成比例定理进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属
9、于中等题.15 .如图，在多面体 A3CDEF 中，AD/ BC,平面 BCE/D平面 AD跖=石尸，ZBAD = 60, AB = 2, DE = EF = 1,求证：BC/ EF ；【答案】证明见解析.【解析】【分析】由AD/3C,得BC/平面AD所，由此能证明BC/AE尸.【详解】证明：: AD H BC, AOu平面ADEF, 802平面工BC 平面ADEF.又BCu平面BCEF,平面5CEbD平面AD石尸= F, J 3C【点睛】此题考查线面平行的证明以及线面平行的性质定理的应用，属于基础题.16 .如下图，三棱柱ABC AMG中，点M，N分别是线段AG，AB的中点，设平面皿期与平面
10、BCG耳的交线为/,求证：MN/U.【答案】证明见解析【解析】【分析】 先连接由题意，根据线面平行的判定定理，得到平面Bcqq,再由线面平行的性质，即可得到MN/.【详解】证明：如下图，连接GB,在V4BG中，点M, N分别为AG，的中点，所以MNQB.又MN.平面BCG4，BGu平面8CG4,所以MV平面BCG4.又MNu平面A/N8,平面平面3CGA=/,所以MY/.【点睛】此题主要考查证明线线平行，熟记线面平行的判定定理与性质定理即可, 属于常考题型.17 .如下图，三棱锥A 3c。中，E,尸分别是边AB, AO的中点，过的平面截三棱锥得到的截面为及HG,求证：EF/GH.C【答案】证明
11、见解析【解析】【分析】先根据线面平行的判定定理，证明班7/面8CQ,再由线面平行的性质定理，即可得 线线平行.【详解】证明：在ABD中，因为b分别是边A3, AO的中点，所以由三角形的中位线定理可知EF a) .又因为尸。面BCQ, BDu面BCD,所以由线面平行的判定定理可知瓦7/面BCD又因为跖u面EFHG,面EFHGc面BCD = GH ,所以由线面平行的性质定理可知EFHGH.【点睛】此题主要考查证明线线平行，熟记线面平行的判定定理与性质定理即可, 属于常考题型.【题组六面面平行性质证线线平行】.在如下图的五面体ABCDE产中，四边形A3C。为平行四边形，瓦7/平面 ABCD, EA
12、= ED = AB = 2EF ,为 3C 的中点.求证：FM平面 BDE.【答案】证明见解析【解析】【分析】取CO的中点N,连接MN、FN ,分别证明出MN 平面FN 平面BDE, 利用面面平行的判定定理可证明平面FMN平面BDE,然后利用面面平行的性质可证明出刊0平面【详解】取CO的中点N,连接脑V、FN.因为N、”分别为CO、的中点，而以MN/IBD.又BDu平面BDE,且平面5QE,所以平面石，因为斯平面A3CQ,跖u平面平面ABC。平面芯= AB,所以 EF/AB.又 AB = CD = 2DN = 2EF, ABI I CD,所以 EF/DN, EF = DN,所以四边形/WD为平
13、行四边形，所以FN/ED.又EDu平面且FNa平面5。石，以FN平面BDE.又FNcMN = N,所以平面MV/平面又R0u平面MFN,所以FM 平面BDE.【点睛】此题考查利用面面平行的性质证明线面平行，同时也涉及了利用线面平行的性质定 理证明线线平行，考查推理能力，属于中等题.18 .如图，在正四棱锥PA3C。中，点尸在棱上，且= 点E为棱PO的中点，求证：CE/平面3Qb【答案】证明见解析.【解析】【分析】取尸尸的中点连接AC交3。于点O,可证ME 。/，OF II MC ,从而得到平面AD/平面MCE,再根据面面平行的性质可得线面平行;【详解】证明：如图取Pb的中点“，又PF = 2F
14、A,【点睛】此题考查线面平行的判定，属于基础题.2 .四棱锥PABCD中，底面ANCQ为矩形，Q4J_平面ABC。，为。的中 点，证明：依/平面AEC.BC【答案】证明见解析.【解析】【分析】连结跳）交AC于点0,连结石0,证明E0为的中位线，那么E0/PB, 即可推出线面平行.【详解】连结交AC于点。，连结。，因为A3CO为矩形，所以。为3。的中点，又E为的尸。的中点，所以E0为。/方的中位线，那么E0P3,因为石Ou平面AEG P32平面AEC,所以尸3平面AEC【点睛】此题考查线面平行的证明，属于基础题.3 .如下图，在三棱锥PABC中，/为BC的中点，。石垂直平分PC,且分别交AG P
15、C于点证明：瓦7/平面 所以尸为M4的中点，连接AC交3。于点。因为四边形A8CO正方形，所以。为AC的中点又点E为棱PD的中点，所以ME 。/，OF H MC ,又 OFcFD = F,MCcME = M且。F7)u平面 BDF , MC,M：u平面A/C石所以平面BD/平面C,又CEu平面MC所以CE 平面及)尸.【点睛】此题考查线面、面面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，属于中 档题.21 .如图，在四棱柱ABCD-AAG2中，底面ABC。为梯形，AD/BC,平面AQCE与交于点、E.求证：EC /AD.【答案】证明见解析【解析】【详解】试题分析：由条件可得BE平面A4Q,同理3c
16、平面A4Q,根据面面 平行的判定可得平面BCE平面A41Z),再由面面平行性质可得EC/AD.试题解析：因为 BEAAi, 44iU平面 A4i。，平面 A4D所以BE平面44iD因为 BCAZ), AOU平面 A4iZ), 3C(Z平面 A4M,所以BC平面AAD.又 BECBC=B, BEC TO BCE, BCU 平面 3C 石，所以平面BC平面AAiD.又平面 AiQCEn 平面 BCE=EC,平面 AiDCEH 平面 AAD=AD.所以EC4D点睛：（1）解决与平行有关的问题时，要注意在解题时要注意“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”间的转化，这是在解决平行关系问题中常用的方法.
17、（2）在判定中，一般遵循从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”的转化； 而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，当然转化的方向总是由题目的具体条件而 定，决不可过于模式化.22 .如图，四棱锥PABC。的底面为直角梯形，AB/CD, ZDAB = 90,24,底面且PA = AO = DC =，AB = 1, M, N分别是尸。的中点,求2证：DN/平面AMC【答案】证明见解析【解析】【分析】 取的中点G,连接DG, FM,可得OG/R0,证明DG/平面A用C,连接GN,可证GN/平面AMC即可证明结论.【详解】如图，连接。3交AC于点EV DC = -AB9 DC/AB. ：. DF =
18、 -FB.取PM的中点G,连接OG, FM,那么.,丝=” 22 BM BF:.DG/FM.又OG.平面AMC, El/u平面。6/平面4加。.连接GN,那么GN/MC又GNE 平面 AMC, MCu平面 AMC，GN/平面 AMC.又GNcDG = G,，平面DNG/平面AMC又。Nu平面ONG,，DV/平面AMC又。Nu平面ONG,，DV/平面AMC【点睛】此题考查空间平行之间的转化，应用面面平行的性质证明线面平行，属于 中档题.23 .如图，在四棱柱ABC。AZ。中，点M和N分别为片。和的中点、求证：MV/平面A8CD证：MV/平面A8CD【答案】证明见解析.【解析】【分析】设E为棱CG
19、的中点，连接NF，ME,易得ME/平面ABCD, 7VE 平面45c平面例NE/平面A8CO,可得M/V/平面A3CD【详解】证明：如图,【详解】证明：如图,C设E为棱CG的中点，连接NE, ME. .M, N分别为A。，。，的中点，：,MEIICBCB , NE/CD.又yME, NE在平面A3CQ的外部，.ME/平面 ABC。，NE 平面 ABCD,又MEcNE = E,：.平面MNEH平面ABCD.又MN u平面MNE,脑V/平面ABCD【点睛】此题主要考查线面平行的判定定理及面面平行的判定与性质，属于中档 题.【题组七 面面平行】.如图，在正方体ABCD 4AG2中，M,N,P分别是A
20、, BD,旦。的中点.求证:4A(1)(2)【答 【解【分(2)(1)【详,四又,:也(2)四4平面 CCQ。；平面MAT尸平面CCQQ.。证明见解析斤】(1)连接AC,CA，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；解】(1)如图，连接ACCR.虫形是正方形，N是的中点，.M是AA 的中点，.MN/CR.V.平面CG2。，。匚平面。，V/平面 CGR。.连接C.D,边形与3CG是正方形，尸是耳。的中点，21G糜;，二乂 f；二二 rz cB.N是AC的中点.尸是BG的中点.连接BG，G。，先由线面平行的判定定理，得到PN|平面CG。，再由 的结果，结合面面平行的判定定理，即可证明结论成立.又
21、TN是中点，PN|G。. PNZ 平面 CG，O,CQu 平面 CGRO,山|平面。，。.由（1）知 MN 平面 CCQQ，QMNcPN = N,，平面AW7/平面CCQ。.【点睛】此题主要考查证明线面平行与面面平行，熟记线面平行的判定定理以及面 面平行的判定定理即可，属于常考题型.24 .如图，在三棱柱4BC A4G中，E, F, G分别为Mg, AM，AB的中点.求证：平面A。/平面（2）假设平面4GGc3C = ，求证：”为的中点.R【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由可得EFAiCi,得到EF平面AiCiG,同理得到BF平面AiCiG, 再由面面平行的判定可得平面A
22、iCiG平面BEF；（2）由公理3及平面与平面平行的性质得AiCiGH,那么GHAC,由G为AB的中 点，可得H为BC的中点.【详解】【详解】R（1）如图, ，尸分别为4G，4用的中点，.RC/AG，AG U平面AGG,。.平面ACG ,.F/平面AGG ,又凡G分别为4月，A5的中点，二人/= BG,又4尸/3G, .四边形4G3b为平行四边形，那么3尸/A, 4Gu平面AGG, b/2平面AGG,防/平面4GG,又 EFcBF = F, 平面A。/平面BER(2)平面ABC/平面A4G，平面AGG C平面A AG = 4G，平面AGG与平面ABC有公共点G,那么有经过G的直线，设交BC =
23、 H,那么 AG/GH,得 GH/AC, .G为A3的中点，为8C的中点.【点睛】此题考查平面与平面平行的判定，考查面面平行的性质，考查空间想象能 力与思维能力，是中档题.【答案】证明见解析.【解析】【分析】推导出瓦7/BP,由此能证明科/平面A5P.【详解】证明：垂直平分PC为PC的中点又F为BC的中点 .EF为BCP的中位线 .EFI IBP又瓦V平面ABP,第u平面石尸/平面AB/L【点睛】此题考查线面平行的证明，属于基础题.4.如图，AB = AD = -CD9假设M为E4中点，求证:AC 平面 2【答案】证明见解析.【解析】【分析】设石。与。尸交于点N,连结MN ,通过证明MN 4C
24、,得到线面平行;【详解】证明：设EC与DF交于点N,连结MN,在矩形8环中，点N为EC中点，如图：加为4中点，/. MNII AC又.AC.平面MVu平面。bAC平面MDb.【点睛】此题考查线面平行的证明，属于基础题.5 .四棱锥PA3CD中，侧面底面A8CQ, PB上AD, APAD是边 长为2的正三角形，底面ABCD是菱形，点M为尸C的中点，求证：P4平面MDB【答案】证明见解析.【解析】【分析】连结AC,交BD于0,连接MO,那么由三角形中位线定理可得再由线面平行的判定定理可证明结论【详解】证明：连接AC,交BD于0,连接因为底面A8CO为菱形，所以。为AC中点因为M为PC的中点，所以
25、MO/B4,因为Ou平面MD3, PAa平面MZ汨所以PA/平面MZ汨【点睛】此题考查线面平行的判定，考查三角形中位线定理，属于基础题.如下图，在三棱柱/方C一/归G中，力。=比；点是/夕的中点，求证：BG/ 平面CAD.【答案】见解析【解析】【详解】证明：如下图，连接AG交AC于点O,连接OD,那么O是AG的中 点.点D是AB的中点，AOD/ZBCi.又TODu平面 CAiD, BCiU平面 CAiD, BCi平面 CAiD.考点：线面平行的判定.【题组二 构造平行四边形证线面平行】.如图，四棱锥P-ABCD中侧面%B为等边三角形且垂直于底面ABCDAB = BC = -AD9 是PD的中点
26、，证明：直线CE 平面2PPD【答案】证明见解析.【解析】【分析】取Q4的中点/，连FE、F8,那么有FEA。，尸 = ； AD ,而8C AO,BC = LaD,所以FE BC, FE = BC,从而可证得四边形EFBC是平行四边形, 2所以CE B尸,再由线面平行的判定定理可证得结论.【详解】证明：取Q4的中点/，连庄、FB,因为E是。的中点，所以 FEAO, FE = -AD92因为 BC AD 9 BC = AD ,2所以正 BC, FE = BC,所以四边形EFBC是平行四边形， 所以CE BF，因为Ca平面Q48,斯u平面所以CE 平面B43【点睛】此题考查线面平行的判定，考查三角
27、形中位线定理的应用，属于基础题.6 .如图，菱形A3CD,旦尸分别是AB,的中点，求证：EF平面PBC；【答案】证明见解析.【解析】【分析】作辅助线，找出直线放在平面尸3。中的平行线，结合几何体的特点，即 可证明.【详解】取PC中点“，连接我”，BH.因为分别是A氏的中点，所以 FH/DC/BE,且 FHDC = BE ,2所以四边形瓦EB为平行四边形，所以 EF7/BH,因为平面P3C, EFa平面P3C,所以所平面P3c.【点睛】此题考查利用几何法证明线面平行，属基础题.7 .由四棱柱A3CD-AgG。截去三棱锥G-3。，后得到的几何体如下图.四边形A8CQ为正方形，。为AC与5。的交点，
28、为4。的中点，证明：A。平【答案】证明见解析.【解析】【分析】取8Q中点G,连结4G、CG,推导出AQ/。，4。1二。，从而四边形是平行四边形，进而4。/。，由此能证明4。/平面BCR.【详解】证明：如图所示，取8Q的中点。连接COAQ由于多面体ABC。A4G2是四棱柱，所以A。/。，AO=oc，因此四边形a。1为平行四边形，所以A。/。1。.又qcu平面与。2，平面3c2，所以A。/平面与。2.【点睛】此题考查线面平行的证明，属于基础题.8 .在如下图的五面体ABCDE尸中，四边形A8CD为菱形，且NDAB = 6(T,EA = ED = AB = 2EF = 2,EF/AB,M 为 BC
29、中息,求证:9/ /平面BDE【答案】证明见解析.【解析】【分析】取中点。，连接通过证明四边形QM斯为平行四边形得出FM/OE,故而 R0/平面【详解】证明：取中点。，连接。,。石，因为。/分别为&),8。的中点，所以。M/CD,且2因为四边形ABC。为菱形，所以CQ/ /A3,又CO(Z平面ABFE, AB u平面ABFE ,所以C。/平面因为平面AB/芯D平面CDEF = EF.CD u平面CDEF ,所以 CD/EF.又AB = CD = 2,所以跖二：。.所以四边形OMFE为平行四边形，所以MF/OE.【点睛】此题考查线面平行的证明以及线面平行的性质的应用，属于基础题.【题组三 线面垂直证线面平行】.如下图，在正方体ABCD-AgG。中，M是A3上一点，N是4。的中点，M/V_L平面求证：MN/AD.【答案】证明见解析