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1、考点28空间几何体外接球【题组一汉堡模型】（2020 山东省山东师范大学附中）1.在直三棱柱A5C431cl中，ABLBC, AB=BC=BBi=l, M是AC的中点，那么三棱锥8A5M的外接球的外表积为（）359A. nB. 2C. 7iD. 248【答案】B【解析】【分析】根据题意找到三棱锥-ABM的外接球球心为AB1中点，即可求出其半径, 那么可求出其外表积.【详解】如下图：CC取44中点为o,中点为。,并连接DM,那么OD J_平面MM卜|。回=所以 |qa|=|o = |oM=|O4|所以三棱锥Bx-ABM的外接球球心为A旦中点o.所以R =四=1,22所以三棱锥By-ABM的外接球
2、的外表积为S = 4R 2= 24.应选:B【点睛】此题考查三棱锥的外接球外表积，属于基础题.解此题的关键在于画出三棱【点睛】此题考查多面体外接球的外表积的求解，找出球心的位置，并求出球的半 径是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.（2020 安徽省舒城中学）12.边长为26的菱形A3CQ中，ABAD = 60, 80中点为O,将其沿对角线BD折叠使其变为ZAOC = 120的四面体ABCD,那么四面体的外接球的外表积为【答案】28%【解析】【分析】假设设外接球的球心为,那么由球的对称性可知ZEOC = 60。，再利用等边三角形的性质和勾股定理，即可求出球的半径，进而求出球的外表积
3、【详解】解：如图，设外接球的球心为E,连接A瓦。瓦。&过E作平面BCD,垂足为尸，因为四边形A3CQ为菱形，NBAD = 60,所以8C。为等边三角形，耳为等边三角形3co的中心，即尸在上，因为ZAOC = 120。，AE = CE,OE = OE,AO = CO,所以 AAOE aCOE ,所以 NCO = ZAO = 60。，12因为A3 = 2G，所以OC = 3,贝iJOb=x3=1,bC = x3 = 2,33所以E尸二，所以球的半径石。=百4 =近所以四面体的外接球的外表积为4 x=28故答案为：28%B【点睛】此题考查了四面体外接球的外表积只的求法，考查推理能力，运算能力,空间想
4、象能力，数形结合的思想，属于中档题.（2020 黑龙江省哈尔滨三中）13.在边长为2的菱形A3CO中，BD = 26 将菱形A3CO沿对角线AC折起,使得平面ABC_L平面ACQ,那么所得三棱锥A-BCD的外接球外表积为（）a 8兀A.3【答案】Ca 8兀A.3【答案】C14兀 B. 320713-32兀D.3【解析】【分析】由题意画出图形，由于ABC与以。均为边长为2的等边三角形，取AC 中点G ,连接8G , OG ,那么BGLAC,根据面面垂直的性质可得出BG JL平面ACD ,再确定。为三棱锥A-BCD的外接球的球心，结合求出三棱锥外接球的半径R = OD,最后根据球的外表积公式求出外
5、接球的外表积.【详解】解：在边长为2的菱形A3CQ中，BD = 20如图,BC由可得，ABC与均为边长为2的等边三角形,取AC中点G,连接3G, DG,那么BGJ_AC,. DG = 6 = cos NGDA =立=/GDA =巴=ZADC =巴, 263:平面ABCJ_平面AC。，交线为AC,而3Gu平面ABC,那么平面AC。，分别取BCO与ABO的外心E, F ,过产分别作两面的垂线，相交于。，那么。为三棱锥A-BCD的外接球的球心，由V3c4与ACD均为等边三角形且边长为2,OE = OF = -DG = , 33:.DE = DG-GE =巫, 3, 0D = V02 + ED2 =孚
6、,即三棱锥外接球的半径：R = OD = 叵, 3三棱锥A-BCD的外接球的外表积为:42 4za/15 2204 x= 4 x ()=?.应选：C.【点睛】此题考查多面体外接球外表积的求法，涉及等边三角形和菱形的性质以及面面垂直的性质，考查空间想象能力和运算能力，是中档题.【题组五矩形模型】（2020 重庆一中高三） 14.四面体ABCO满足：AB = BC = CD = DA = AC = 1, BD = M，那么四面体A3C。外接球的外表积为【答案】21【解析】【分析】由题意结合平面几何的知识可得A3。,C5O均为直角三角形，进而可得 斜边的中点。为该四面体外接球的球心，求出球的半径后，
7、由球的外表积公式 即可得解.【详解】因为AB = 3C = CD = D4 = 1, BDf，所以 必二痴 + 心，BD2 =BC2 + CD29所以48。必C3D,均为直角三角形，取斜边5。的中点。，连接CO、A。，如 图:易得CO = AO = BO = DO,所以点。为该四面体外接球的球心,所以球的半径立，故其外表积5 = 41严=4义（交=2.222 ）故答案为：2乃.【点睛】此题考查了几何体外接球外表积的求解，考查了空间思维能力与运算求解 能力，找到球心的位置是解题关键，属于基础题.【题组六L模型】（2020 辽宁省高三二模）15.三棱锥尸ABC,面2短_1_面45。，PA = PB
8、 = 4, AB = 46，ZACB = 20o,那么三棱锥P-A5C外接球的外表积（）A. 207B. 32万C. 64%D. 80【答案】D【解析】【分析】过点尸作PD_LAB,根据面尸AB _L面ABC,那么加_1面48。，再根据 PA=pb = 4,那么B43外接圆的圆心在尸。上，求得243外接圆的半径，再由PD=2,从而得到其外接圆的圆心到面ABC的距离，再求得外接圆的半径, 然后由勾股定理求得球的半径即可.【详解】如下图：设的外接圆的圆心为a，半径为彳ABC的外接圆的圆心为。2，半径为弓，三棱锥尸-ABC外接球球心为0,半径为R,过点P作因为面口43_1面43。，所以。，面A8C,
9、又因为24 =依=4所以01在尸。上，因为 =所以 40 = 26，PD = 2,rrriAD 23a/3所以 cos/49 =，PD 42/PAD e（0, 7V）,71/PAD = , 62r - PB _ 4所以 i - sin /PAD _ 1 _ ，那么4=0/ = 4 ,2所以OQ = 2, 00?=0D = 2= AB = 4所以与一sin ZACB IJ3 ，那么4 二 : 4 , 所以 =Joo； + o2a2 = 2V5 ,所以三棱锥尸ABC外接球的外表积S = 4川 = 47rx(2而=80乃.应选：D【点睛】此题主要考查几何体的外接球问题，还考查了空间想象和运算求解的能
10、 力，属于中档题.(2020 海东市教育研究室).在三棱锥P中，AB = AC = 49 ZBAC = 120 PB = PC =，6 平面 平面43C,那么三棱锥P-ABC外接球的外表积为.【答案】8071【解析】【分析】设ABC的外接圆的圆心为。连接OC，。状，BCcO|A = H，连接P”， 由面面垂直的性质定理可得 9,平面ABC,设。为三棱锥P-A8C外接球的球心, 连接。，OP , OC ,过。作ODLPH ,垂足为。，列等式 R2=OO；+42=(6-OOl)2 + OlH2,从而求出R,再利用球的外表积公式即可求解.【详解】如图，设AB。的外接圆的圆心为a,连接,01A9 BC
11、cO】A = H ,连接 PH.由题意可得AH_LBC,且A”=，O1A = 2, BH = -BC = 2.因为平面心CJ_平面A3C且依= PC, 所以 平面 ABC,且 PH = (4扬2 _(2.2 = 6. 设O为三棱锥P-ABC外接球的球心，连接。O1, OP, OC,过。作ODLP”，垂足为。，那么外接球的半径H满足R2 = 00； + 42 = (6 -。0产+ 0月2,即OO； + 16 =(6 Oa+4,解得OQ=2,从而R2 = 20 ,故三棱锥P-ABC外接球的外表积为4兀穴2 = 80%.故答案为：80ti【点睛】此题考查了多面体的外接球问题、球的外表积公式，考查了考
12、生的空间想 象能力以及计算求解能力，属于中档题.（2020 广西壮族自治区北流市实验中学）.三棱锥尸-ABC的底面A3C是等腰三角形，ZC = 120,侧面钻是等边三角形且与底面48。垂直，AC = 2,那么该三棱锥的外接球外表积为.【答案】20%【解析】【详解】由题意，由余弦定理人82=22+22-2X2乂2/，；,.58=2后由正弦定理ABC的外接圆半径27?= 区,宠=2,等边三角形245的高为3 ,设球的半径为 sinC几球心到底面的距离为X ,那么r2=22 + x2=12+（3 x，所以X=1 ,所以该三棱锥的外接球的外表积为4加2 =20 .故答案为2On .【点评】此题考查求三
13、棱锥的外接球的外表积，考查学生的计算能力，其中确定球的半径是是解题的关键.（2020 黑龙江省铁人中学）.三棱锥尸ABC 中，PA = , PB = si, AB = 2，CA = CB = 5 面 。区4，面48。，那么此三棱锥的外接球的外表积为25【答案】争【解析】【分析】作示意图，由勾股定理分析出B4_LPB,设”为A3的中点，得到。”，面PAB,再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得HA = HB = HC,从而得到外接 球球心。在C上，再求出外接球半径，从而求出外接球的外表积.【详解】作示意图如下图：设”为A3的中点，由CA = C3 =逐，那么又面面ABC,那么。_1_面以5
14、,由题92 + 必2=482,故 必，那么 HA = HB = HP,故三棱锥的外接球球心。在S上，球半径为R,那么7? = 40 =。0,CH = VAC2 - AH2 = a/3，那么 OH = CH R = V3 R，又AO2=Oh2+a42,得尺2 =（班火）2 +血2,得氏二宗, 三棱锥的外接球的外表积为4万N =4（/5）2=等【点睛】此题考查了三棱锥的外接球问题，找出外接球球心的位置是解决问题的关 键.【题组七最值问题】（2020 河南省高三三模）16 .三棱锥O ABC 中，D4,平面 ABC, AB = AD = 2, BC = 0C ,那么三棱锥D-ABC体积最大时，其外接
15、球的体积为（20V57r364/23【答案】D【解析】【分析】首先根据题意得到当A5C的面积最大时，此时三棱锥。-ABC的体积最 大，设AC = m,利用正弦定理和余弦定理得到S枷2=-/-4)+ 3,从而得到 当AC = 2时: S“bc最大，再将三棱锥OABC放入直三棱柱。gG-ABC中，求 外接球体积即可.【详解】如下图：所以当ABC的面积最大时，此时三棱锥。-ABC的体积最大.设 AC = m,那么 BC = gAC = gm，cos ZACB =cos ZACB =2xmxy/3m2疗 2V3m2所以 sin2/AC5 = l-rW-2Y、V3m2 /-m4 + 8m2 - 43m4
16、所以5c之12 c 2 一根4 +8m2-4= xm x3m x43m4当机2 =4,即2 = 2时，S/8C最大.当相=2 时，cos ZBAC = 2+2(2) =_i_f 那么 cosN6AC = 120。.2x2x22将三棱锥。ABC放入直三棱柱DB ABC中,。2分别为上下底面外接圆圆心，设外接圆半径为人 那么。仪的中点。为直三棱柱。用G - ABC外接球球心，设外接球半径为R ,如下图：根据正弦定理二= 2-，解得 =2,所以R = JF/=石. sin 120故外接球体积V =3万（6=迎后.应选：D【点睛】此题主要考查三棱锥的外接球，根据题意求出三棱锥的体积最大值为解题 的难点
17、，属于难题.17 .点,N,P,Q在同一个球面上，MN = 3,NP = 4,MP = 5 ,假设四面体MNP。体积的最大值为10,那么这个球的外表积是（）625B.16c 125万D.425万A.4225万16【答案】B【解析】【分析】由可得NPM0=9O。，从而可得球心。在过PM中点O与面MNP垂直 的直线上，根据球的几何性质可得，当。过球心时体积最大，由四面体NPQ体 积的最大值为10,求出。=5,再利用勾股定理求出球的半径，从而可求出球的表 柱，找到三棱锥的外接球球心.（2019 江门市第二中学）.点R A民。在同一个球的球外表上，平面ABC, AB1AC,PA = y5 . BC =
18、 6那么该球的外表积为A. 4B. 8C. 16D. 32兀【答案】B【解析】【分析】利用补体法把三棱锥补成一个长方体，原三棱锥的外接球就是长方体的外 接球，故可求外接球的直径，从而求得球的外表积.【详解】把三棱锥补成一个长方体，长方体的外接球就是原三棱锥的外接球，它的 直径为J（石+（百=2近,故球的外表积为x（2后=8乃，应选B.【点睛】几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置确实定，必要时需把球的 半径放置在可解的几何图形中.如果球心的位置不易确定，那么可以把该几何体补成 规那么的几何体，便于球心位置和球的半径确实定.（2020 宜宾市叙州区第二中学校）27r2 .在三棱柱ABC A4
19、G，44,面ABC, ZBAC = , M =4,ab = ac = 25 那么三棱柱ABC - A AG的外接球的外表积为A. 32乃B. 48万C. 647rD. 727r【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理可求得3C,再根据正弦定理可求得AABC外接圆半径广；由三棱柱特点可知外接球半径R =,求得R后代入球的外表积公式即可得到结果.【详 解】 V AB = AC = 23 且 ZBAC = 24 BC2 = AB2 + AC2 - 2AB -AC cos 二363.BC = 6面积【详解】解：由 MN = 3,NP = 4,MP = 5，可得MN? +NP2 = MP2，所以 NRVA
20、/=90。,那么球心。在过PM中点。与面MNP垂直的直线上，因为MN尸面积为定值，所以四面体的高最大时体积最大，根据球的几何性质可得，当O Q过球心时体积最大，因为四面体Q-MN尸的最大体积为10,所以gxJmnpxOQ = ：xJx3x4xOQ = 1。，可得00 = 5,在oop中，op2 = od2 +6P2,25?5所以R2=（5 R）2+得R =48所以球的外表积为Mx至, U J 16应选：B.【点睛】此题主要考查三棱锥外接球外表积的求法，属于难题.要求外接球的外表 积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：假设三条棱两垂直 那么用4/二片+/+/为三棱的长）；可以转
21、化为长方体的外接球； 特殊几何体可以直接找出球心和半径；设球心（在过底面多边形外接圆圆心与底 面垂直的直线上），利用待定系数法求半径.由正弦定理可得AABC外接圆半径：rBC =32sinAC 2。三棱柱A3C-aag的外接球半径:R = j产 + 4AA j =加 + 4=4外接球外表积：S = 41尺2 = 64此题正确选项：C【点睛】此题考查多面体外接球外表积的求解问题，关键是能够明确外接球球心的 位置，从而利用底面三角形外接圆半径和三棱柱的高，通过勾股定理求得外接球半 径.（2020 黑龙江省哈师大附中）4.三棱锥P-ABC的四个顶点都在球。的球面上，假设平面ABC,PA = BC =
22、 2, sin ZBAC = -,那么球。的外表积为（）3a 40a/T0d 17厂 o八c 4 八A. B. -7iC. 80D. 4032【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理得到r = 3,根据7?2=产+（?）,解得答案.BC 2 一6 = 2 v【详解】设aABC外接圆半径为r ,根据正弦定理：sin ABAC，故= 3 ,3（paS1设球。的半径为R,那么R2 = /+ 一 =io,故S = 4R2=404.I 2 ）应选：D.【点睛】此题考查了三棱锥的外接球问题，球的外表积，意在考查学生的计算能力 和空间想象能力.【题组二墙角模型】（2020 全国高三）.假设三棱锥的三条侧棱两两
23、垂直，且侧棱长都相等，其外接球的外表积是4乃，那么 其侧棱长为.A GR 273p 2V2n VI3333【答案】B【解析】【分析】三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为正方体的外接球，求出 正方体的对角线的长，即可求出其侧棱长.【详解】三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以它的外接球就是它扩展为正方 体的外接球，因为外接球的外表积是4万，所以球的半径为1,所以正方体的对角线的长为2, 22设侧棱长为a,那么+Q- + 6r = 2, =7 =.所以侧棱长为名目. 3应选3.【点睛】此题主要考查球的外表积，几何体的外接球，考查空间想象能力，推理能 力，解题的关键就是将三棱锥扩展成正方
24、体，属于中档题.（2020 吉林省高三）.在三棱锥3ACD中，BA, BC, 8。两两垂直，BC = 2, BD = 4,三棱锥3-ACD的侧面积为13,那么该三棱锥外接球的外表积为.【答案】29%【解析】【分析】根据侧面积计算得到钻=3,再计算半径为R =代入外表积公式得到 答案.【详解】三棱锥B ACD的侧面积为，x2x4 + ,x2xAB + Lx4xAB = 13,所以 222AB = 3故该三棱锥外接球的半径为：R=+42 +32. = 叵,球的外表积为224ttR2 = 29 万.故答案为：29万【点睛】此题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能 力.（202
25、0 江苏省海安高级中学）.长方体的长、宽、高分别为4、3、1,其顶点都在球。的球面上，那么球。的表 面积为.【答案】26%【解析】【分析】设球。的半径为R,利用长方体的体对角线为球。的直径可求得A ,然后 再利用球体的外表积公式可求得结果.【详解】设球。的半径为A,由于长方体的体对角线为球。的直径，那么2R =，42 +32+=后,.r = 半，因此，球。的外表积为S = 4R2=4xW =26%.故答案为：26万.【点睛】此题考查长方体外接球外表积的计算，利用长方体的体对角线为其外接球 的直径是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.【题组三斗笠模型】.正四棱锥的底面边长为4,侧棱长为2指，那
26、么该正四棱锥外接球的外表积为（）A.B. 24乃C. 36D. 647r【答案】C【解析】【分析】求出正四棱锥的高以及底面外接圆的半径，并设该正四棱锥外接球的半径为A,根 据题意列出关于火的方程，求出尺的值，然后利用球体的外表积公式可得出结果.【详解】如下列图所示，在正四棱锥尸中，设底面正方形ABCQ的中心为点 E,可知该正四棱锥的外接球球心在直线 比上，由于正方形A5c。的边长为4,.AE =AC = x4& = 2ji, 22易知 P_L平面 ABC。，且 ACu平面 ABC。，/.PEAC,且PE3A2盘=人设正四棱锥PABC。的外接球半径为R（R0）,且OE=4 R,由勾股定理得O2+
27、A2=oa2,即（4 R+8 = R2,解得R = 3,因此，该正四棱锥的外接球的外表积为4万代=4%x32 =3671.应选：C.【点睛】此题考查正四棱锥外接球外表积的计算，解题的关键就是确定球心的位 置，并列方程求解，考查计算能力，属于中等题.27r,一.球。的内接圆锥体积为彳，其底面半径为1,那么球。的外表积为【答案】4【解析】【分析】利用圆锥体积公式求得圆锥的高，再利用直角三角形建立关于R的方程, 即可得解.【详解】由圆锥体积为千，其底面半径为1,设圆锥高为1那么xfx/z,可求得/z = 2 33,5设球半径为A,可得方程:R2_(H 2)-=1,解得：R =-S = 4x空二红16
28、4此题正确结果:25714【点睛】此题考查了球的内接圆锥问题，关键是利用勾股定理建立关于半径的方 程，属于基础题.7 .ABC中，AB = BC = 4, ZABC = 9Q,平面A3C外一点尸满足PA = PB = PC = 2遥,那么三棱锥PABC的外接球的外表积是()A. 32 冗B. 36=C. 25万D. 16万【答案】B【解析】【分析】由可得棱锥顶点P在底面投影为A8C的外心，那么4小的外接圆半 径等于三棱锥尸-A3c外接球半径.【详解】解：因为PA = PB = PC = 2几，棱锥顶点P在底面投影为aABC的外心，那么AC尸的外接圆半径等于三棱锥P- ABC外接球半径，.ABC
29、是等腰直角三角形，斜边AC = 40，如图在AC尸中，PA = PC = 2瓜,AC = 4a/2那么= ylPC2-DC2 =(2亚=4 ,设ACP外接圆的半径为r ,那么户=(4 厅+(2回2解得r=3那么三棱锥P-ABC外接球的半径R = 3,故三棱锥P-ABC外接球的外表积S = 4版=36 .应选：B.【点睛】此题考查的知识点是球的外表积，根据求出球的半径是解答的关 键，属于中档题.【题组四怀表模型】（2020 黑龙江省哈尔滨三中高三二模（理）11.在边长为2的菱形中，BD = ?5 将菱形43co沿对角线AC折起，使二面角3-AC-。的大小为60。，那么所得三棱锥A-BCD的外接球
30、外表积为（ ）52,20A. 4兀B. JiC. 617rD.兀93【答案】B【解析】【分析】由可得48C、C。都是边长为2的等边三角形，由菱形的对角线 互相垂直，可得瓦）为二面角6-AC-O的平面角，即NAED = 60。，作出图形， 找出三棱锥A-BCO的外接球球心，利用四点共圆结合正弦定理求解三棱锥 A-BCO的外接球的半径，代入球的外表积公式可得结果.【详解】由于四边形ABCD是边长为2的菱形，且30 = 26 ,那么AC = 2CE = AB2 - BE2 = 2，所以，ABC、以。都是边长为2的等边三角形，由于菱形的对角线互相垂直，那么3E_LAC, DE1AC,所以，N3ED为二
31、面角B AC 。的平面角，即N8ED = 60,BB过点3作平面ACQ的垂线而，垂足为点那么点M在线段。石上,由 be = de = 5 /BED = 60,可得 me = md = Lde = , 22且瓦汨是等边三角形，所以，bd = be = 6设丛。的外心为点G,的中点H,在平面BED内，过点G、”分别作平面AC。、BO的垂线交于点。,那么点0为三棱锥B-ACD的外接球的球心，那么OG = 2=辿, 33/BDE = 60,那么 GH = VDG2 + DH2 -2DG DH cos60由于0、G、D、H四点共圆，可得0。= - = 史， sin 603（后丫所以，三棱锥B-AC。的外接球的外表积为4万x 1 =左39应选：B.