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1、考点25几何法解空间角【题组一线线角】那么异面直线那么异面直线1.如图，在正四面体A 3CD中，点M, N分别为A。，的中点,AN, CM所成的角的余弦值是2【答案】f【解析】【分析】再利用余弦定再利用余弦定连接取其中点P,连接PN,PA,那么NNAP即为所求角或其补角, 理解三角形即可.【详解】如图，连接5M取其中点P,连接PMP4,： N 是 BC 中苴，：.PN CM ,二.异面直线AN, CM所成的角就是/24尸（或其补角），设正四面体的棱长为1,那么AN = CM=走，NP = -CM224在 AABP 中 BP = LbM = , 24故答案为：逅3【点睛】此题考查线面角的求解，线
2、面垂直的证明，考查空间思维能力与数学运算 能力，是中档题.9.如图，在棱长为2的正方体ABCD-中，E是的中点，尸是3片的 中点，那么直线所与平面A5C。所成角的正切值为.A,A,AB【答案】【解析】【分析】先连接3,根据线面角的定义，得到NFEB即为直线即与平面43CZ）所成的角, 再由题中数据，即可求出结果.【详解】连接EB,因为正方体中，侧棱与底面垂直，所以平面43C。，因此NFEB即为直线所与平面A3c。所成的角.又E是AO的中点，尸是5月的中点，所以，在Rt侬中，BF = BBl=1, B = VF7F = 75，因止匕tan /FEB =旦.5故答案为：【点睛】此题主要考查求线面角
3、，熟记线面角的概念，以及正方体结构特征即可, 属于常考题型.10.如图，在四棱锥PA3co中，底面A3CQ是菱形，PA_L底面A5CO.BBP（I ）证明：BD1PC；（II）假设/84。=/BPA = 60,求直线尸C与平面ABC。所成角的余弦值.【答案】（I ）见解析（II）之叵10【解析】【分析】（I ）由B4_L底面A3CQ推出3。J_Q4,由菱形的性质推出J_ AC,即 可推出J_平面PAC从而得到_LPC； （II）根据条件先求出A6,再利用 菱形的对角线垂直求出AG由PC = 开匚逅求出PC，即可求得余弦值.【详解】（I ）证明：连接AC,:底面 ABC。，底面 ABC。，J a
4、）JLR4.四边形ABC。是菱形，：.BDAC.又PAu平面PAC, ACu平面PAC,，30,平面尸AC, ：.BD.LPC.(II)设直线AC与BO交于点O, /%，底面ABC。,直线PC与平面ABC。所成角的是ZPCA.设B4=T,由 NR4 = NBR4 = 60。，可得A4 = g,四边形A5CZ)是菱形，.ACA.BD在 AABC 中，/BAC = 30。，BA = C ,那么 AC = 2AO = 2Gcos30, =3 ,于是 PC = Jp/e+AC?; M，. “人AC 3加 cos ZPCA = =PA 10，直线PC与平面ABC。所成角的余弦值是上何.10【点睛】此题考
5、查线线垂直、线面垂直的证明，菱形的性质，直线与平面所成的 角，属于基础题.11.如图几何体中，底面ABC。为正方形，平面ABC。，EC/PD,且 PD = AD = 2EC = 2.D(1)求证：BE/平面PD4；（2）求Q4与平面P5O所成角的大小.【答案】（1）见解析（2）o【解析】【分析】（1）由5C/A。，ECHPD,结合面面平行判定定理可证得平面3EC/ 平面PDA,根据面面平行的性质证得结论；（2）连接AC交3。于点0,连接P0, 利用线面垂直的判定定理可证得AO_L平面PBQ,从而可知所求角为N4PO,在 RtAA PO中利用正弦求得结果.【详解】（1）四边形45CZ）为正方形/
6、.BC/AD又AOu平面PDABC/平面PDA又ECHPD， PD u平面PDA.ECU平面PDA., EC,BCu平面 BEC , ECCBC = C：.平面 BEC/ 平面 PDA/ u平面BEC.BE / /平面PDA(2)连接AC交5。于点O,连接P。 . PD 平面 ABCD, AO u 平面 ABCD/. AO PD又四边形A5CD为正方形.AO BD BD, PD u平面 PBD , BDCPD = D/. AO J_平面 PBD：.ZAPO即为BA与平面PBD所成角 PD = AD = 2 且_L ADPA = 2也又AOACxj22 +22 =血 22An i九sin ZAP
7、O = 上=.ZAPO =-PA 26即A4与平面P皿所成角为：o【点睛】此题考查线面平行的证明、直线与平面所成角的求解，涉及到面面平行的 判定与性质、线面垂直的判定与性质的应用；求解直线与平面所成角的关键是能够 通过垂直关系将所求角放入直角三角形中来进行求解.12.如图，正方形ACDE的边长为2, AD与CE的交点为“，平面ABC, ACBC9 且 =ED(1)求证：AM，平面ESC；(2)求直线EC与平面AB石所成角的正切值.【答案】(1)证明见解析；(2)立 3【解析】【分析】(1)通过证明平面ACOE,可得3c，依据CEL AM,可得结果.(2)取A3的中点/，可得Cb_L45,利用可
8、得CFJ_平面域，然 后可得直线EC与平面钙石所成角，计算CE正，可得结果.【详解】(1) 人石_1_平面ABC, BCu平面ABCA AEA.BC,又 AC_LBC, ACcA = A,AC, AEu平面ACD,，BC,平面又 AMu平面 ACD, A BCA.AM .四边形ACD是正方形，J.AMA.CE.又 BCCE = C, BC,CEu 平面 EBC所以平面3C.(2)取AB的中点/，连接EF.; AE平面 ABC, CF u平面 ABC 9：.EACF,又 AC = BC, A CFAB.V EArAB = A,，CFJ_平面，NC所为直线EC与平面ABE所成的角 在mAC庄中，知
9、CF = J1，FE = 5：.tan ZCEF = . = B V6 3【点睛】此题考查线面垂直的判定以及线面角的计算，第（2）问中，难点在于根 据定义找到直线与平面所成的角，属中档题.13.如图，在几何体P-ABCD中，平面ABCDJ_平面PAB ,四边形ABCD为矩形，PAB为正三角形，假设AB = 2, AD=1, E, F分别为AC, BP中点.（1）求证：EF平面PCD；（2）求直线DP与平面ABCD所成角的正弦值.【答案】（1）见证明；（2）姮5【解析】【分析】（1）根据EF是aRDP的中位线可知EFDP,即可利用线线平行得出线面平 行；（2）取AB中点0,连接P0, D0,可证
10、明NPD0为DP与平面ABCD所成角，在 RtADOP中求解即可.【详解】（1）因为E为AC中点，所以DB与AC交于点E.因为E, F分别为AC, BP中点，所以EF是4BDP的中位线，所以EFDP.又DPu平面PCD, EF。平面PCD,所以EF平面PCD.（2）取AB中点0,连接P0, D0:PAB为正三角形，AP01AB,又丁平面ABCDJ_平面PAB，P0_L平面ABCD, ADP在平面ABCD内的射影为DO,NPDO为DP与平面ABCD所成角，OP = &DP = yB在 RtZkDOP 中，sin/PDO=匕= =匹，DP 455直线DP与平面ABCD所成角的正弦值为巫5【点睛】此
11、题主要考查了线面平行的证明，线面角的求法，属于中档题.14.四边形A3CO是正方形，防，平面A3CO,。石_L平面A3CO, ED=FB = AB, Af为棱AE的中点.E（1）求证：短_1_平面。加/；（2）求直线与平面A3CO所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）如【解析】【分析】（1）连接CE、AC、03,推出AC4E为等腰三角形，AEA.CM , ED/FB, 从而四边形3。方为平行四边形，进而EF = DB,推导出AELCM , 由此能证明平面CMF.(2)取AO的中点N,连接MN、BN , MN为八4。的中位线，MN I IDE,由 。石_L平面ABC。，由此例平面A3C
12、。，从而斜线在平面A3CD内的射影 为BN ,直线3M与平面A3CQ所成角为NM5N,能求出直线8M与平面A8CQ 所成角的正切值.【详解】解：如下图：连接CE、AC. DB(1)证明：四边形ABCO是正方形，且D = AB.EC = AC即AG4E为等腰三角形又M为棱AE的中点，得：AECM3歹_1_平面ABC。，DEABCD9 得：ED/FB又ED = FB,那么四边形瓦无户为平行四边形:.EF = DB又正方形ABC。，ED = FB = AB.EF = AF即AAEF为等腰三角形.AE1MF又CMcMF = M , CMu 平面 CMr, TkZFu 平面 CMF.AE_L平面CMb(
13、2)取AO的中点N,连接MN、BN,点V、N分别为A石、AO的中点 MV为AAO石的中位线. MN/DE又.DEJ_平面A8CQ.MN，平面 ABCD二.MN为斜线过点M向平面ABC。的一条垂线，垂足为点N,那么斜线在 平面ABCO内的射影为3N,直线与平面A3CQ所成角为NMEV,设AB = 2aED由几何关系可得：MN = f = ci, BN = y/AN2+AB2 =45a在 RtABNM 中得:tan AM BN =BN 45a5【点睛】此题考查线线垂直的证明，考查满足角线面角的点的位置确实定与求法, 考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力以及推 理论证思
14、想.15.如图，在四棱锥-ABCD中，底面A3CQ是边长为近的正方形，平面AEC_L 平面 CDE, ZAEC = 90, F 为 DE 中点,且。 = 1.（1）求证：CD1DE；（2）求此与平面A3c。所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）叵.6【解析】【分析】（1）先由面面垂直的性质，证得AE_L平面CDE,得到A石，CD,在由正 方形的性质，得到CD_LAO,利用线面垂直的判定定理，证得CD1平面D4,即 可得到CD_LO；（2）过/作。于“，连接CM,得到/FCM为尸C与平面A3CO所成 角，再结合三角形相似，即可求解.【详解】（1）因为平面AEC,平面CQE,平面AECI
15、平面CDE = CE,ZAEC = 90,平面COE,又由 COu平面COE, A AELCD,TABC。为正方形，：.CDAD9又AnAD = A, ：.CDL平面 DAE, /. CD IDE.（2）过/作。于，连接CM.由（1）得COJ_平面D4石，C.CDA.FM,又。口4）=。，所以尸，平面ABCQ,，NFCM为方。与平面A8CO所成角,I3 AD = CD = 2，DE = 19 DF , FC =，入石=，a。? DE? =1， 乙乙由 ADfMsg,可得阚=坦，FM = EDF = V2AE ADAD 4/. sin ZFCM =3/. sin ZFCM =3=叵6【点睛】此题
16、主要考查了线面垂直的判定与证明，以及线面角的求解，其中解答中 熟记线面垂直的判定定理，以及熟练应用根据线面角的定义得到直线与平面所成的 角是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题.16.如图，在四棱锥中 PABC。中，ADA.CD, AD/BC,AD = 2BC = 2CD = 9 PC = 25 AR4D是正三角形.（1）求证：CDA.PA；（2）求A6与平面PC。所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）巫4【解析】【分析】AP2 = BA1 + BP2 - 2BA BP cos /ABM =12+ （亍产 - 2x 1 x 亍cos 30。=在 AAPN 中，cos AA
17、NP =在 AAPN 中，cos AANP =AN + NP - APTV 22ANNP2异面直线AM CM所成的角的余弦值为2故答案为：.【点睛】此题考查异面直线夹角的求解，属中档题题.2.直三棱柱A3C-AgG中，底面为等腰直角三角形，ABAC = 90,AB = 2,朋=3,点尸在CG上，且C/ = ；CG，那么异面直线与6与.所成角 为【答案】60【解析】【分析】由条件将直三棱柱ABC-A#G补成长方体，如图，设点为。2的中点，连接8E.证明ZCBE （或其补角）为异面直线B与AF所成角，再求出ZCBE = 600即得解.【详解】由条件将直三棱柱ABC-4月补成长方体，如图.由条件3C
18、/4C，设点为。A的中点，连接破.那么的/Ab,所以/CBE （或其补角）为异面直线4G与A厂所成角.在CBE 中，BC = 2屈，BE = CE = VBD2 + DE2 = VFTl7 = 25/2所以为等边三角形，所以NCS = 60。.所以异面直线&G与AF所成角为60。.故答案为：60（1）结合正三角形的性质和勾股定理的逆定理可以证明出CD_LPD,再利用线面 垂直的判定定理证明即可；（2）点石是尸。的中点，连接A石，根据（1）中的线面垂直，可以得到面面垂 直，进而根据面面垂直的性质定理可以证明出AEJ_平面PCD,这样可以得到A4 与平面PCO所成角ZAHE ,通过锐角三角函数的定
19、义可以求出AB与平面PCD所 成角的余弦值.【详解】（1）证明： AR4D是正三角形，AD = 2CD = 4,PD = 4,CD = 2,：.PC2 =PD2+CD2 =20, :.CDLPD,V ADCD,ADPD = D,，CDJ_平面PAO,：.CDPA；(2)设点E是PD的中点，连接A石，延长OC、AB交于点”，连接ARAD 是正三角形，A = 2y/39 由(1)得CD_L 平面 PAO , 平面PC。，平面PAO,工AE_L平面PC。， AB与平面PC。所成角为NAHE ,/ ADCD.AD = 2BC = 2CD = 49 DH = 4, AH = 4叵EH =1AH? -AE
20、2 =26. 口口 EH 26 M cos AAHE = = t=AH 4a/24 A5与平面PCD所成角的余弦值巫4【点睛】此题考查了通过线面垂直证明线线垂直，考查了线面角的求法，考查了面面垂直的性质定理，考查了推理论证能力和数学运算能力.17.四棱锥尸-ABCO的底面是边长为1的正方形，PD = 1,PB = PDLAB,石为 PC 的中点.AB(1)证明：ADA.PC；(2)求直线AP与平面ADE所成角.【答案】(1)见解析(2) 56【解析】【分析】(1)先证明平面A3CO得到再证明AD_L平面PCD得到 证明.(2)确定NR4石是与平面ADE所成角，计算得到答案.【详解】(1)由得：
21、BD = yi PD?+ BD? =3 = PB2, ： PDLBD,又且 ARBOu 平面 A3CO, ABCBD = B平面A3CD 又ADu平面A3CD ：.ADPD又 AD DC, PDCDC = D, PD, DC u平面 PDC,故 AD，平面 PCD.PCu平面 PDC, ：. AD L PC ；(2) : DP = DC,石为 PC 中点，DE PCPC A. AD.且。石门人二小区人力匚平面人。？，P_L平面AOE NPAE是PA与平面AOE所成角|E4|=V2,在用APDC中，同=3尸。| =交直线AP与平面ADE所成角. o直线AP与平面ADE所成角. oPE 1 sin
22、 ZPAE =|PA| 2【点睛】此题考查了线线垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.【题组三二面角】18.如图，在四面体 A3CO 中，AB=lf AD=26 BC=3, CD=2, /ABC=/DCB=JT9那么二面角46CQ的大小为.【答案】I【解析】【分析】首先作辅助线，作点B作BE/CD,且BE = CD,连结A石、DE ,由条件以及垂直 关系可证明NW石即为二面角A-BC-D的平面角.【详解】在 AC 中，BC = 3, CD = 2, ZBCD = ,那么 =/；2jr在 MBC 中，AB = l BC = 3, ZABC =-,那么 AC = W；2ji又 AD
23、 = 2 也,在 AABD中，BD2=AB2+AD2 那么/9。=不；过点 3 作 3/CD,使 BE = CD,连结 AE、DE,CED那么四边形8EDC为矩形，BE = 2,因为3C_LAB, BCBE,那么平面ABE, DE/ BC9 那么OE，平面 AB石，那么。，AE, AE = AD2-DE2在JiTiJiAABE 中,AE2 + AB2 = BE2，那么/血石=彳，/AEB = ：, ZABE =-,由于 263JTAB1BC, EBA.BC,那么 NAB为二面角 A BC。的平面角，且/A3E = .故答案为：!【点睛】此题考查二面角，重点考查垂直关系的推理证明，计算能力，属于
24、中档题 型.19.如图，在三棱锥ABCD中，AABD为等边三角形，BC = BD,平面ABD_L 平面BCD且(1)求证：BC.LAD；(2)求二面角ACDB的正切值.【答案】(1)详见解析；(2) V6.【解析】【分析】(1)取3。中点E,连接AE,那么根据面面垂直的性质定理，证得结合由此证得8C，平面ABO,由此证得5C_LAQ.(2)作出二面角A-CD-3的平面角，解三角形求得二面角A-CD-3的正切值.【详解】(1)取3。中点连接A,那么AEJL&),因为平面ABDJL平面BCD,平面ABDc平面BCD = BD, AEu平面4瓦),A石J, 5。，那么平面BCD,所以 AE_L5C,
25、又因为 AB_LBCABcA = A,那么 BC_L平面 A3。, AOu 平面 ABD,那么 BCJLAD.(2)过作成_1_8交CO于点尸，由(1)知AE_LCD, AEcEF = E,所以CD_L平面AEF, A/u平面Ab,那么所以N/收为二面角A-CD-B的平面角.因为三角形ABD为等边三角形，令团=2,那么AE = VLV2Jan /AFE =笠= =戊EF”,贝IEF亚 2AC【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，考查空间 想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.如图，在四棱锥S-ABCD中，SAlABCD, A5CQ是边长为1的正方形. 且&1 =
26、1,点”是SQ的中点.(1)求证：SCAM ；(2)求平面S45与平面SCO所成锐二面角的大小.【答案】(1)证明见解析;(2) 45。.【解析】【分析】(1)要证明线线垂直，需先证明线面垂直，即证明40，平面SCD,利用题中所给 的垂直关系证明；（2）方法一，建立空间直角坐标系，分别求平面与平面SCO 的法向量，再求二面角大小；方法二，首先做出平面与平面SCD的交线，并证 明ZASD就是平面SAB与平面SCD所成锐二面角的平面角.【详解】（1）由题意，底面ABCD是正方形，.COJ_AO.S4_L底面ABC。，CDu平面A5CZ）, .CD.LSA.QADI SA = A9 CD 平面SA，
27、AMu平面SAO, :.AM LCD.又酎= AO = 1,点/是SQ的中点，:.AMLSD,SDcCD = D, /. AM 平面 SCO.SCu平面SCD, .SCAM ；（2）法一：由题知A3、AD. AS两两垂直，以A3、AD. AS为1、z轴建立空间直角坐标系A-邙.11)那么 AB = 1, AD = AS = 1,那么。(0,1,0), M 0,I 2 2 JUUUlAOJL平面AS3,那么可方是平面ASB的一个法向量，=(0,1,0),由（1）知AM J_平面SCO, .布？是平面SCD的一个法向量，且uuur ( S AM = 0-,I 2 2)UUUL UUIU/吧鸣 AM
28、 AD cos( AM, A) = |UuiT| |UUtti/ am-ad因此，平面与平面SCO所成锐二面角的大小等于45。;法二：过S引直线SE,使得距AB,那么S石CD,sSE u平面SAB , SE u平面SCD,SE就是平面SAB与平面SCD所成二面角的棱.由条件知，ABA.AD, ABLAS ,=那么 AB_L 平面 S4X由作法知S石A5,那么SE_L平面SAD,所以AS_LS石，SE1SD,/. NASD就是平面SAB与平面SCD所成锐二面角的平面角.在H/A&LD中，NASD = 45。，.平面与平面SCD所成锐二面角的大小等于 45.【点睛】此题考查垂直关系的证明，二面角，
29、重点考查逻辑推理，空间想象能力, 计算能力，属于中档题型.21.四棱锥PABCD的三视图如下列图所示，E是侧棱PC上的动点.(1)求证：BDAE(2)假设点E为PC的中点，求二面角D AEB的大小.2%【答案】（1）证明见解析；（2）3【解析】【详解】试题分析：（1）要证明线线垂直，先证明线面垂直，所以观察几何体，先 证明助平面E4C,而要证明线面垂直，先证明线与平面内的两条相交直线垂直, 即证明 ADPC;（2）法一，几何法，观察&仞Em &碗，所以可选择在平面DAE内过点D作 DFLAE于E连结BF, NDFB为二面角DAEB的平面角，或法二，采用空 间向量的方法，以点C为原点，CD, C
30、B, CP所在的直线分别为x, y, z轴建立 空间直角坐标系，分别求两个平面的法向量，COS8=COS耳，方2 或COS。=COS 左一.试题解析：（1）由三视图可知，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形， 侧棱PCJ_底面ABCD,且PC = 2.连结AC, V ABCD是正方形， ABD1AC. PC_L底面 ABCD,且 BDu平面 ABCD, Z.BD1PC.又.Acnpc=c,出口_1_平面PAC.TAEu平面 PAC. 二BDJLAE.（2）解法1：在平面DAE内过点D作DFLAE于F,连结BF. ;AD = AB = 1, DE=BE=、历,AE=AE=75，/. RtA
31、 ADERtA ABE,AffijA ADFAABF, ABFAE. /DFB为二面角D-AE-B的平面角.,ADDE lx应 屈.范在 RtADE 中，DF=二=二，：.BF = .AE 出 33又BD=也，在4DFB中，由余弦定理得DF2 + BF2 - BD2 1cosZDFB =,2DF - BF2AZDFB= ,即二面角DAEB的大小为名33解法2：如图，以点C为原点，CD, CB, CP所在的直线分别为x, y, z轴建立空间直角坐标系.那么 D (1,0,0), A (1,1,0), B (0,0), E (0,0),从而亢=（01，），DE= （TO/），RA=（1,0,0），
32、BE=（，-1,1）.Z#x由由=-Xj + Zj 0设平面ADE和平面ABE的法向量分别为“ =（%,y,zj,%=（x2,2,z2）取 4 =(1,0,1)取巧=(, 1,一1)% - BA = 0 X)= 0由冠.而= 0=1%+Z2=0几几一设二面角D-AE-B的平面角为仇那么池蚱甘二万至二一万2 九21rA0= ,即二面角DAEB的大小为M33考点：1 .线面垂直的判定定理；2.二面角.22.如图，在四棱锥P-A5c。中，底面是边长为。的正方形，侧棱PD - a, PA - PC - y2a ,求证：P(1) PDJ_平面ABC。；(2)平面PAC_L平面PHD；(3)二面角P BC
33、 。的平面角的大小.【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) 45【解析】【分析】(1)由勾股定理的逆定理证得PD AD,PD CD后可得线面垂直(2)证明AC与平面霜垂直，可得面面垂直，而要证线面垂直，可证AC与BD,PD垂直;(3)证明与平面PC。垂直，可得所求二面角的平面角是NPCO,计算即得.【详解】(1) v PD = a.DC = a, PC = V2a , /. PC2 = PD2 + DC2.:.PD.LDC.同理可证PDJ_AD.QAOcOC =。，.也，平面43。.(2)由(1)知 PD,平面 ABC。，ACu 平面 ABC。，.PDJLAC. 四边形ABCQ是正方形，.
34、ACJ_BD又QBDcPD = D, .ACJ_平面又.AC u平面PAC , 平面PAC 平面PBD.(3)由(1)知。_L平面A3CQ, BCu平面A3CQ, .PD.LBC.又Q5C，。CP。c。C =。，.BC，平面P。C. .PCu平面POC, :.BCLPC. NPCD为二面角P BC 。的平面角.在中，PD = DC = a.:. ZPCD = 45.二面角尸BC 。的平面角的大小为45。.【点睛】此题考查证明线面垂直和面面垂直，考查求二面角.在立体几何中，线线 垂直、线面垂直、面面垂直是相互依存，相互转化的，线面与面面垂直的判定定理 与性质定理是连接它们的钮带.证明时一定要确定
35、定理的条件都满足了，才能下结 论.否那么证明过程不完整.【点睛】此题主要考查异面直线所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的理解 掌握水平.3.如图，在底面边长为4,侧棱长为6的正四棱锥夕-ABC。中，石为侧棱夕。的 中点，那么异面直线必与C石所成角的余弦值是【答案】亚17【解析】【分析】根据平行关系，将异面直线所成的角转化成相交直线所成的角，再根据余弦定理求 余弦值.取Q4的中点/，的中点G, 3c的中点H,连接bG, FH ,【详解】如图,GH, EF,23.如下图，在棱台ABC。AqCQi中，441_L平面ABC。,CD = 2AB = 2BC = 2AA = 4A.B , ZABC =
36、 ZBCD = 90（1）求证：DA.BC.；（2）求二面角C AQ A的大小.jr【答案】（1）证明见解析；（2） y.【解析】【分析】（1）连接AA，推得四边形A8GA是平行四边形，得到BG/A。，进而求得4OJ_A。，即可求解；（2）在直角梯形A8CO中，得到AC_LAZ）,进而推得AAAQ为ACA。在平面A4QQ内的射影三角形，利用射影面积法，即可求解.【详解】（1）连接AR,设CO = 4,因为GA/CO, CD/AB,所以GR/AB,又A3 = GA，所以四边形ABCQi是平行四边形，那么bcj/ar,在底面ABC。中，8 = 4且CQ = 2AB = 23C,所以 A3 = 2,
37、BC = 2,又由 NABC = N3CD = 90。，可得 AD = 20,又由CD = 444=4,所以4g=1,所以4二血，因为A4, J_平面A3CO,所以朋J_A。，同理可得明_1_4，在直角AOAA中，可得tan/DAA = 1T = 02,所以/。4砂=45。，zLrL在直角AR A4中,在直角AR A4中,可得tan/裕=A4t所以 ND/A =45。,所以 NOA A + tan ND 4 =90。，所以 A。，AR,所以 4O_L5G；(2)在直角梯形ABC。中，由CD = 2AB = 23C,可得ACLAO,又 AC_LAA,所以 AC,平面 A4,。，故A/UQ为CAX
38、D在平面A41Ao内的射影三角形, 设 CD = 4,那么 SD = 2/2 , acd = 4拒，2/2m2 _ 140m2 - 22/2m2 _ 140m2 - 2S设二面角C A。4的平面角为凡那么cose = F23 3。7T又因为二面角C4。A为锐二面角，所以e = .【点睛】此题主要考查了直线与直线垂直的判定，以及二面角的求解，其中解答中 熟练应用面积射影法求解二面角是解答此题的关键，着重考查了推理与论证能力， 属于基础题.24.如图，在四棱锥P-ABC。中，底面A3CD是菱形，R4_L底面A5CD.P(I )证明：BDA.PC；(II)假设/区4。=/3P4 = 60，求二面角P
39、CDA的余弦值.【答案】(I )见解析(II) 上叵13【解析】【分析】(I )由B4_L底面A3CQ推出BD_LB4,由菱形的性质推出3。J_ AC,即 可推出30,平面PAC从而得到3D_LPC； (H)作AE_LCD,交CD的延长线于 E,连接收，那么二面角P-CD-A的平面角是NPE4,由条件求出AO,进而 求出A、PD,即可求得cosNPE4.【详解】(I )证明：连接AC,24,底面 ABC。，BDu底面 ABC。，J 3D_LQ4. 四边形A5CQ是菱形，：.BDAC.又,PAnAC = A, Q4u平面PAC, ACu平面PAC,，30,平面PAC, BDLPC.(II)作AE
40、_LCQ,交CD的延长线于E,连接P.由于AE，CQ,PA，CDAnPA = A,于是平面Q4,QBEu平面 B4E, :.PE上 CD,所以二面角P-CD-A的平面角是NPEA.设 PA=T,/ /BAD = ZBPA = 60 且底面 ABC。是菱形，：.BA = AD = 5 ZDAE = 30.A = cos3(rAO = a, PE = dPA? + AE2 =叵， 22 /d-AE _3屈 cos /P EA. - -PE 13【点睛】此题考查线面垂直、线线垂直的证明，二面角的余弦值，属于中档题.25.如图，四边形ABC。是棱长为2的正方形.E为AQ的中点，以CE为折痕把 ADEC
41、折起，使点。到达点。的位置，且点尸的射影。落在线段AC上.p（2）求二面角PCEA的余弦值.【答案】(1)翼臼I【解析】【分析】【分析】(1)利用PO_L平面ABC,结合三垂线定理作出EC的垂线PF, OF,在AEC中，求得cosNACE,以下就好解了;（2）由（1）得平面角，利用第一步的计算结果即可求出.【详解】 如图，点P的射影。落在线段上一,尸。，平面A5G过点尸 作PFLCE交CE于点F,连接尸。，那么。尸J_CE, 由条件，在RtAP石。中，PE = 1, PC = 2,那么1 z- L D口 PE PC 1x2 2 /-EC = yJPE2+PC2 =44 + 1=45 . PF=
42、 ec =在AAEC中，cosNAC =在AAEC中，cosNAC =在R/A。尸。中，C0 =CF = JPC2 - PF2 =4-泻底EC2 + AC2 - AE2 (逐产 + (2扬2 122ECAC2x5 x2/2Vio, 10CFcos /ACE 3 ycToacV JAO = AC-CO = 2V2-V2=-V2, /. = 2.33 AO 2 抗(2)由(1)知NPW 为二面角PCA的平面角，又OF = Jc(?2 eV? = J +正4l、2 a1515-V5 =y/5,在R/APR9中,.c3普醇乎*【点睛】此题考查了三垂线定理的应用，直角三角形的性质，余弦定理的应用，用 定
43、义法求二面角等，属于中档题.26.斜三棱柱ABC-A4G的棱长都是，侧棱与底面成60。角，侧面(1)求证：AC, 1 BC ；(2)求平面ABC与平面A5C所成的锐二面角的大小.【答案】(1)证明见解析(2) 45【解析】【分析】(1)根据题意，作CQ 3C于点。，连接4),由平面BCC网，底面ABC, .-.C.D 1 平面ABC,所以NG。是侧棱与底面所成的角，又因为点。为的中点.，MBC 是正三角形，所以ADJ_3C.，再由线面垂直的判定定理，得到3C_L平面AG。，从（2）由A是平面AAG与平面ABC的一个交点，根据平面的基本性质，平面A8C 与平面A3c有且仅有一条过点A的交线，设为
44、/,根据面面平行的性质定理，得C他 1, 1/CB,再由（1）知C8J_平面ACQ,所以/_L平面ACQ,所以为所求锐二面角的平面角，然后再求解.【详解】（1）如图，作于点。，连接平面 3CG4_L 底面 ABC,平面ABC,:.CD为GC在底面ABC上的射影,/. ZC,CD = 60, CD = a,二点。为的中点.ABC是正三角形， :.ADBC.Q AD c CZ) = D ,平面AG。，:.AC IBC.(2).A是平面ABC与平面ABC的一个交点，工平面ABG与平面A8C有且仅有一条过点A的交线，设为/，如图.平面A4G 平面A3C,由两平面平行的性质，知G片/,又CB CB,：,l/ CB ,由(1)知C8_L平面AG。，./_!_平面AG。.ZC.AD为所求锐二面角的平面角，QAD = ga = C1D,;. ZC.AD = 45.故平面AgG与平面ABC所成的锐二面角为45.【点睛】此题主要考查了线面垂直，面面垂直，线线垂直间的转化以及二面角的求 法，还考查了转化的能力，空间想象的能力，属于中档题.27.四棱锥P-ABCD中，底面A3CO是直角梯形,AD/ BC.ABL BC,AB = AD = 1,BC = 2,又 PB 工平面 ABCD,且 P3 =