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1、第二章随机变量及其分布随机变量及其分布函数1 .随机变量定义在样本空间。上，取值于实数的函数，即对于每一个(0 e n ,有唯一的实 数X ()与之对应，那么称X ()为随机变量，简记为Xo 一般用大写英文字母X, Y, Z 等表示随机变量。2 .分布函数设X为随机变量，那么称定义在全体实数上的函数F(x)=P(X4x),-3x+3,为X 的分布函数。显然任何随机变量都有分布函数。3 .分布函数的性质 04F(x) 1；(2)单调不减，即对于任何实数x x ,有F(x )4F(x )； 1212右连续，即对任何实数X,有F(x+0)=F(x)； F(Y)=0, F(+伞F.用分布函数表示相关事
2、件的概率设X的分布函数为F(x),那么有： (1)P(Xb)=F(b), P (Xb) =F (b-0).(2) P (aXb) =F (b) -F (a).(3) P (aX0,仁1,2,；(2) z P =1; 3.分布函数设X的分布律为： P(X二x )二p，仁1,2,， i i那么 X 的分布函数为：F (x)=P(X4x)二2 P (X二x ) , -3x0；(2)1包/(工)公= 1.满足上面两条性质的函数也一定是概率密度函数。2. 设连续型随机变量X的分布函数为F (x),密度为f(x),那么F(x)为连续函数。(2)对于f(x)的连续点x,有F (x)=f(x).(3)对于任何
3、实数c,有P(X=c)=0.(4)P(aXb)=P(aXb)=P(aXb)二f(x)dx.常见的重要分布0-1分布B(1,p),其分布律为二项分布B (n, p),其分布律为P(X=k)=C (1-p) n-k, k=0,1,2,，n. 0p0. k4.均匀分布U(a, b),其密度函数为 x 0. k4.均匀分布U(a, b),其密度函数为 x bf(x)二雇二 10其他分布函数为为x aa xb5.指数分布E(X), X0,其密度函数为fx e -v/0 , x 0f(x) = ,I 0 ，其他分布函数为f 1 e- 九/x,xOF(x) = ，其他正态分布N ( |Ll,(5 2),其密
4、度函数为if(x)=一je- 2”, 3X 0, 3。+3,J2兀o分布函数为r1(-/p-)-2-F(x)二卜 -ie 2- dt, 3x G3.-oo J2兀 o当日二0,。二1时，称为标准正态分布，记为N (0,1),此时有密度函数为(p(x)二1 逮y e 2 , -e 2 dt , -3x +3.-00 J2 兀五、随机变量函数分布1. 设X的分布律为P(X=x )邛，仁1,2i i那么 Y=g(X)的分布律为 P(Y= y)=P (g(X)=y ) = X p(x =x). iiig(x)=y2. X为连续型设X的密度函数为f ，那么Y的密度函数可按以下两种方法求得：X(1) 公式
5、法：假设y=g(x)严格单调，其反函数x=h(y)有一阶连续导数，那么Y=g(X)也是连续型随机变量，且密度函数为f (y)二 x，o ，其他其中(a,p )为y=g(x)的值域.(2) 分布函数法：先按分布函数的定义求得Y的分布函数，再通过求导得到密度函数,即F (y) =P(Yy) =P(g(X) y) = J f (x)dx . Y XF (y)= F (y).YY注意：假设Y=g(X)不再为连续型随机变量，那么只能求得Y的分布函数，从而只能用 分布函数求解.3. X为一般的随机变量设X的分布函数为F(x),那么Y的分布函数可按分布函数的定义求得：F (y)=P(Yy)=P(g(X)y)
6、. Y习题1.2.3.4.设离散型随机变量X的概率分布PX=0=0.2, PX=1=0.3,PX=2)=0.5,那么P(X43.5) 二 o1设随机变量X|设随机变量X在1,4上服从均匀分布，现在对X进行3次独立试验，那么至少有2次观察值大于2的概率为 o设随机变量X的分布律如下，那么Y=8-X3的分布律为X-202P0.40.30.35. 设连续型随机变量C的分布函数如下，那么A=,。落在(-1, 0.5)内的概率10为 Of 0, x 0|F(x)=Ax2 , ox 16. 设某批电子元件的寿命X服从正态分布N(，q2)o假设=160,故求P120x200)=0. 8,允许。最大为 o7.
7、 设随机变量X的概率密度如下，以Y表示对X的三次独立重复观察中事件X40. 5 出现的次数，贝(J PY=2二 o2 x,0 x 1 f(x) =(0 ,其它8. 设随机变量X服从(0, 2)上的均匀分布，那么随机变量Y=X3在(0,8)上的概率密度 f y (y)为 O9. 设随机变量X的分布函数为F(x),在以下概率中可表示为F(a)-F(a-0)的是O A. PXa；设随机变量X(p(x),而二 。那么Y=2X的概率密度为o兀(1 +12)10. 一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述三种情况下，分别求直至取得正品为止所需次数X的概率分布：(1)每次取
8、出的产品不再放回去；(2)每次取出的产品仍放回去；(3)每次取出一件产品后，总是另取一件正品放回到这批产品中。11. 同时投掷甲、乙两颗骰子，设X表示两颗骰子点数之和，试求X的概率分布。12. 口袋里有5个白球和3个黑球，任意取出一个，如果是黑球那么这个黑球不放回而另外放入一个白球，这样继续下去，直到取出的球是白球为止，求直到取到白球所需 的抽取次数X的概率分布。13. 一个工人看管三台机床，在一小时内机床不需要工人照管的概率：第一台等于0.9,第二台等于0.8,第三台等于0. 7,求在一小时内需要工人管的机床台数X的概率分 布。14. 设袋中有标号为-1,1,1,2,2, 2的6个球，从中任
9、取一球，试求：(1)所取得的球的标号数X的分布律；0 随机变量X的分布函数F(x),并画出函数图形； (3)求 PX40.5, PKX3/2, PKX2/3O在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在一年中每个人死亡的概率为0. 002,每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡 时家属可从保险公司里领2000元赔偿金。求：(1)保险公司亏本的概率；(2)保险公司获利分别不少于10000元，20000元的概率。1115. 某公共汽车站从上午7时起每15分钟发一班车，即在7：00,7：15,7：30,有汽车发出,如果乘客到达此汽车站的时间X是在7：00到7:30
10、的均匀随机变量，试求乘 客在车站等待：(1)不到5分钟的概率；0 超过10分钟的概率。16. 设X是在0,1上取值的连续型随机变量，且PX0, 29 =0. 75,如果Y=1-X,试决 定 k,使得 PX4k二0.25。17. 设随机变量X服从正态分布N (108,9),(1)求 P101.1X117.6；(2)求常数 a,使 PXa=0. 90；(3)求常数 a,使 P|X-a|a=0. 01o18. 设随机变量X服从在(-1, 1)上的均匀分布，求Y=X2的概率密度。19. 设X的分布密度如下，求F(x)；f (x)二X的分布律如下，求P-1X1；设 XN(3,4),求 P-4x10.23. 设有一个均匀的陀螺，在其圆周的半圈上都标明刻度1,另外半圆上均匀地刻上区间0,1上诸数字，旋转这陀螺，求它停下时其圆周上触及桌面的刻度A的分布函数， 并问该分布是什么型的。24. 一批零件中有9个合格品，3个次品，安装机器时，从这批零件中任意取一个，如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的分布。25. 某设备由三个独立工作的元件构成，该设备在一次试验中每个元件发生故障的概率 为0.1 .试求该设备在一次试验中发生故障的元件数的分布律。12