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1、信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔2.1 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数一、随机变量一、随机变量二、二、随机变量的分布函数随机变量的分布函数第第1页/共共118页 2信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔一、随机变量一、随机变量例例 袋中有袋中有3 3只黑球，只黑球，2 2只白球，从中任意取出只白球，从中任意取出3 3只球，观察只球，观察取出的取出的3 3只球中的黑球的个数我们将只球中的黑球的个数我们将3 3只黑球分别记只黑球分别记作作1 1，2 2，3 3号，号，2 2只白球分别记作只白球分别记作4 4，5 5号，则该试验的号，则该试验的样本空间为样本空间为第第2页/共共118页 3信
2、息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔我们记取出的黑球数为我们记取出的黑球数为 X，则，则X 的可能取值为的可能取值为1,2,31,2,3因此因此,X是一个变量是一个变量但是，但是，X取什么值依赖于试验结果，即取什么值依赖于试验结果，即X的取值带有随的取值带有随机性，所以，我们称机性，所以，我们称 X 为随机变量为随机变量X 的取值情况可由下表给出：的取值情况可由下表给出：第第3页/共共118页 4信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量着变量 X 的一个确定的取值，因此变量的一个确定的取值，因此变量 X 是样本
3、空是样本空间间上的函数：上的函数：我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划情况来刻划随机事件随机事件例如例如 表示至少取出2个黑球这一事件，等等 表示取出2个黑球这一事件；第第4页/共共118页 5信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔例例一大批产品中次品率为一大批产品中次品率为p，从中任取，从中任取n件，求件，求其中最多有其中最多有k件次品的概率。件次品的概率。求求P(B)第第5页/共共118页 6信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔Bernoulli试验中，试验中，A表示成功，可设表示成功，可设第第6页/共共118页 7信息管理学院信息管
4、理学院 徐晔徐晔此处用此处用w表示样本空间，并非样本空间中只有一个表示样本空间，并非样本空间中只有一个元素元素w，而是用，而是用w表示所有的元素。表示所有的元素。随机变量的定义随机变量的定义定义定义：设随机试验：设随机试验E的样本空间是的样本空间是=w，如果对于每，如果对于每一个一个w，有一个实数，有一个实数X(w)与之对应，且对任何一与之对应，且对任何一个实数个实数 是随机事件，这样就是随机事件，这样就得到一个定义在得到一个定义在上的上的单值实值单值实值函数函数X=X(w)，称，称X=X(w)为为随机变量随机变量,简记为简记为X。第第7页/共共118页 8信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔说
5、说 明明第第8页/共共118页 9信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔例例1 盒中有盒中有5 5个乒乓球个乒乓球,其中其中2 2个白球，个白球，3 3个黄个黄球球,从中任取从中任取3 3个个,记记X=“=“取到白球的个数取到白球的个数”,则则X是一个随机变量是一个随机变量,且且X的可能取值是的可能取值是0,1,2,0,1,2,且且有有第第9页/共共118页 10信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔例例2 上午上午 8:009:00 在某路口观察，令在某路口观察，令Y：该时间间隔内通过的汽车数则该时间间隔内通过的汽车数则Y 就是一就是一个随机变量它的取值为个随机变量它的取值为 0，1，表示通过的汽车
6、数小于表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件；辆这一随机事件；表示通过的汽车数大于表示通过的汽车数大于 50 辆但不超过辆但不超过 100辆这一随机事件辆这一随机事件第第10页/共共118页 11信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔 随机变量概念随机变量概念的产生是概率论发展史上的的产生是概率论发展史上的重大事件重大事件.引入随机变量后，对随机现象统计引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，使人们可利用数学分析的方法对规律的研究，使人们可利用数学分析的方法对随机试验结果进行广泛而深入的研究随机试验结果进行广泛而深入的研究.随机变量因其取值方式的不同，随机变量因其取值方式的不同，通常分为两类：
7、通常分为两类：离散型离散型随机变量随机变量连续型连续型非离散型非离散型其它其它第第11页/共共118页 12信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔称为称为X的分布函数的分布函数0 xxX 设设X是一个随机变量是一个随机变量,是任意实数是任意实数,函数函数几何定义几何定义：二、二、随机变量的分布函数随机变量的分布函数第第12页/共共118页 13信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔第第13页/共共118页 14信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔X的分布函数为的分布函数为出现的点数小于出现的点数小于x的概率的概率1,2,3,4,5,6例例3掷一枚骰子掷一枚骰子,设设X表示出现的点数表示出现的点数,其可能
8、取值为其可能取值为没有可能的点数没有可能的点数包含出现包含出现1点点包含出现包含出现1,2点点包含出现包含出现1,2,3点点包含出现包含出现1,2,3,4点点包含出现包含出现1,2,3,4,5点点包含出现包含出现1,2,3,4,5,6点点 分布函数分布函数是累计概率是累计概率第第14页/共共118页 15信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔分布函数的性质分布函数的性质(1)(3)F(x)右连续，即右连续，即(2)第第15页/共共118页 16信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔 如果一个函数具有上述性质，则一定是某如果一个函数具有上述性质，则一定是某个个r.v X 的分布函数的分布函数.也就是说，
9、性质也就是说，性质(1)-(3)是是鉴别一个函数是否是某鉴别一个函数是否是某 r.v 的分布函数的充分的分布函数的充分必要条件必要条件.第第16页/共共118页 17信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔例例4 判别下列函数是否为某随机变量的分布函数判别下列函数是否为某随机变量的分布函数?(1)(1)解解(1)(1)由题设由题设,在在上单调不减上单调不减,右连续右连续,并有并有所以所以是某一随机变量是某一随机变量的分布函数的分布函数.第第17页/共共118页 18信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔例例4 判别下列函数是否为某随机变量的分布函数判别下列函数是否为某随机变量的分布函数?(2)(2)(2
10、)(2)因因在在 上单调下降上单调下降,不可能是分布函数不可能是分布函数.所以所以解解第第18页/共共118页 19信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔用分布函数用分布函数F(x)表示的事件概率计算公式表示的事件概率计算公式第第19页/共共118页 20信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔例例5解解(1)(1)因为分布函数右连续因为分布函数右连续,且且第第20页/共共118页信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔2.2 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律一、离散型随机变量一、离散型随机变量的的分布律分布律二、离散型二、离散型随机变量的分布函数随机变量的分布函数第第21页/共共118页 2
11、2信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔定义定义 如果一个随机变量仅可能取得有限个或可如果一个随机变量仅可能取得有限个或可数无穷多个数值，并且所有的数可按一定的顺序数无穷多个数值，并且所有的数可按一定的顺序排列，则称该随机变量为离散型随机变量排列，则称该随机变量为离散型随机变量.设离散型随机变量设离散型随机变量X其可能的取值为其可能的取值为称称为离散型随机变量为离散型随机变量X的概率分布或概率函数，也的概率分布或概率函数，也称为分布列或分布律称为分布列或分布律一、离散型随机变量一、离散型随机变量的的分布律分布律第第22页/共共118页 23信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔表格形式表格形式分布列的
12、性质：分布列的性质：第第23页/共共118页 24信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔概率直方图概率直方图另外还可用图形来表示分布律：线条图、概率直方图另外还可用图形来表示分布律：线条图、概率直方图.0.20.40.60120.0750.3250.6线条图线条图0.20.40.6012PXPX0.075 0.325 0.6 0 1 2 X第第24页/共共118页 25信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔例例1袋中有袋中有1 1个白球和个白球和4 4个黑球，每次不放回地从个黑球，每次不放回地从中任取一个球，直至取得白球为止，求取球中任取一个球，直至取得白球为止，求取球次数的概率分布次数的概率分布.解
13、解设设X为取到白球时的取球次数为取到白球时的取球次数X的可能取值为的可能取值为1,2,3,4,5不难求得不难求得因此因此,所求的概率分布为所求的概率分布为1 2 3 4 50.2 0.2 0.2 0.2 0.2第第25页/共共118页 26信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔则则的分布函数为的分布函数为即，即，当当时，时，时，时，当当当当时，时，当当时，时，二、离散型二、离散型随机变量的分布函数随机变量的分布函数第第26页/共共118页 27信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔如图，如图，是一个阶是一个阶它在它在有跳跃，有跳跃，反之，反之，若一个随机变量若一个随机变量的分布函的分布函则则一定是一个
14、离散型随机变量，一定是一个离散型随机变量，其概率分布亦由其概率分布亦由分布亦由分布亦由唯一确定唯一确定.梯函数，梯函数，跳跃度恰为随机变量跳跃度恰为随机变量点处的概率点处的概率在在数，数，数为阶梯函数为阶梯函当当时，时，第第27页/共共118页 28信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔 例例2 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以信号灯，每盏信号灯以 1/2 1/2 的概率允许或禁止汽的概率允许或禁止汽车通过车通过.以以X表示汽车首次停下时，它已通过的信表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求号灯的盏数，求X的分布律的分布律.(.
15、(信号灯的工作是相信号灯的工作是相互独立的互独立的).).PX=3=(1-p)3p第第28页/共共118页 29信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔解解 以以p表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则X的分布律为：的分布律为：pkp或写成或写成 PX=k=(1-p)kp，k=0,1,2,301234(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4 X PX=4=(1-p)4 第第29页/共共118页 30信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔以以p=1/2代入得代入得X的分布律：的分布律：Xpk 0 1 2 3 4 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.
16、0625X的分布函数为的分布函数为 分布函数分布函数是累计概率是累计概率第第30页/共共118页 31信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔例例3有人对随机变量有人对随机变量X X的分布列表述如下的分布列表述如下:-1 0 1 2 3 求求 .解解根据概率分布的性质根据概率分布的性质所以所以解得解得(舍去舍去)第第31页/共共118页 32信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔作业作业P47练习2.1 2P51练习2.2 1 2第第32页/共共118页信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔2.3 几种常见的离散型分布几种常见的离散型分布一、两点分布一、两点分布二、二、二项分布二项分布三、三、泊松泊松(Po
17、isson)(Poisson)分布分布四、超几何分布四、超几何分布*第第33页/共共118页 34信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔定义定义若一个随机变量若一个随机变量只有两个可能的取值只有两个可能的取值,其分布为其分布为且且特别地特别地,点分布点分布,即即参数为参数为的两的两则称则称服从服从处处的的两点分布两点分布.参数为参数为若若服从服从处处则称则称服从参数为服从参数为的的分布分布.一、两点分布一、两点分布第第34页/共共118页 35信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔 两点分布是最简单的一种分布两点分布是最简单的一种分布,任何一任何一个只有两种可能结果的随机现象个只有两种可能结果的随机现
18、象,比如新生比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等发芽等,都属于两点分布都属于两点分布.说明说明第第35页/共共118页 36信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔例例1 抛掷一枚质地均匀的硬币抛掷一枚质地均匀的硬币,有两种可能的结果：有两种可能的结果：H表示正面朝上，表示正面朝上，T表示背面朝上，引入变量表示背面朝上，引入变量X，令，令 pi=P X=i=0.5 (i=0,1)X 0 1p0.5 0.5X的概率分布表：的概率分布表：概率分布为概率分布为第第36页/共共118页 37信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔例例2 200 件产品中件产品
19、中,有有 196 件是正品件是正品,则则服从参数为服从参数为 0.98 的两点分布的两点分布.于是于是,4 件是次品件是次品,今从中随机地抽取一件今从中随机地抽取一件,若规定若规定第第37页/共共118页 38信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔二、二、二项分布二项分布定义定义 若随机变量若随机变量X的所有可能取值为的所有可能取值为0,1,2,n,其概其概率分布为率分布为 很显然很显然,n重重伯努利伯努利试验中成功的次数服从二项分布试验中成功的次数服从二项分布事实上事实上,二项分布就是来源于二项分布就是来源于n重重伯努利伯努利试验模型试验模型第第38页/共共118页 39信息管理学院信息管理学院
20、 徐晔徐晔n=1时，时，即即 PX=0=1-p,PX=1=pPX=k=pk(1-p)1-k,(k=0,1)，(0-1)(0-1)分布分布性性质质(1)(2)第第39页/共共118页 40信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔二项分布的图形特点二项分布的图形特点:对于固定对于固定及及当当增增加时加时,概率概率先先是是随随之之增增加加直直至至达达到到最最大值大值,随后单调减少随后单调减少.第第40页/共共118页 41信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔在图在图1 1和图和图2 2中，中，分别给出了当分别给出了当和和时二项分布的图形时二项分布的图形.从图易从图易看出：看出：对于固定对于固定及及当当增加时
21、，增加时，概率概率先是随之增加直至达到最大值，先是随之增加直至达到最大值，随后随后单调减少单调减少.pknOn=10,p=0.7图图1第第41页/共共118页 42信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔注注：为不超过为不超过的最大整数的最大整数.当当为整数时，为整数时，二项概率二项概率在在和和处达到最处达到最大值大值.可以证明，可以证明，一般的二项分布的图形也具有这一一般的二项分布的图形也具有这一性质，性质，二项概率二项概率在在达到最大值；达到最大值；不为整数时，不为整数时，且当且当pknOn=10,p=0.7图图1第第42页/共共118页 43信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔例例3 一张考卷上
22、有一张考卷上有5 5道选择题，每道题列出道选择题，每道题列出4 4个个可能答案，其中只有一个答案是正确的某学可能答案，其中只有一个答案是正确的某学生靠猜测至少能答对生靠猜测至少能答对4 4道题的概率是多少？道题的概率是多少？解解 每答一道题相当于做一次每答一道题相当于做一次伯努利伯努利试验，试验，则则第第43页/共共118页 44信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔例例4 按规定按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过某种型号电子元件的使用寿命超过15001500小时的为一级品小时的为一级品.已知某批产品的一级品率为已知某批产品的一级品率为0.2,0.2,现在从中随机地抽取现在从中随机地抽取202
23、0只只,问问2020只元件中恰有只元件中恰有k(k=0,1,2,20)=0,1,2,20)只为一级品的概率为多少？只为一级品的概率为多少？记记X为为2020只元件中一级品的只数只元件中一级品的只数,解解第第44页/共共118页 45信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔解：将每次射击看成一次试验解：将每次射击看成一次试验,设击中的次数为设击中的次数为X,则则XB(400,0.02),某人进行射击，设每次射击的命中率为某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击，独立射击400次，求至少击中两次次，求至少击中两次的概率。的概率。所求概率所求概率为为第第45页/共共118页 46信息管理学院信
24、息管理学院 徐晔徐晔随机变量随机变量X所有可能取值为所有可能取值为0,1,2,取各个值的概率取各个值的概率称称X服从参数为服从参数为 的的泊松分布泊松分布,记为记为XP().(1)P X=k 0.三、三、泊松泊松(Poisson)(Poisson)分布分布性性质质第第46页/共共118页 47信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔泊松分布的背景及应用泊松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时粒子个数的情况时,他们做了他们做了2608次观察次观察(每次时间为每次时间为7.5秒秒)发现放
25、发现放射性物质在规定的一段时间内射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数其放射的粒子数X服从泊松分布服从泊松分布.第第47页/共共118页 48信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔电话呼唤次数电话呼唤次数交通事故次数交通事故次数商场接待的顾客数商场接待的顾客数地震地震火山爆发火山爆发特大洪水特大洪水 在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等话呼唤次数等,都服从泊松分布都服从泊松分布.第第48页/共
26、共118页 49信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔例例5一输电网一年中意外输电中断的次数服从参数一输电网一年中意外输电中断的次数服从参数为为6的的Poisson分布，问一年中不多于两次意外分布，问一年中不多于两次意外断电的概率断电的概率.解解设一年中的意外断电次数为设一年中的意外断电次数为X所以所以,一年中不多于两次断电的概率为一年中不多于两次断电的概率为=0.06197查表查表(累积概率累积概率)第第49页/共共118页 50信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔二项分布的泊松逼近二项分布的泊松逼近对二项分布对二项分布当试验次数当试验次数很大时，很大时，计计算其概率很麻烦算其概率很麻烦.例如，例
27、如，要计算要计算n=5000=5000故须寻求近似计算方法故须寻求近似计算方法.这里先介绍二项分布的这里先介绍二项分布的泊松逼近泊松逼近，在第五章中还将介绍二项分布的正态在第五章中还将介绍二项分布的正态逼近逼近.第第50页/共共118页 51信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔泊松定理泊松定理在在重伯努利实验中，重伯努利实验中，事件事件在在每次试验中发生的概率为每次试验中发生的概率为若当若当时，时，为常数为常数),则有则有该定理于该定理于1837年由法国数学家泊松引入！年由法国数学家泊松引入！第第51页/共共118页 52信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔二项分布二项分布 泊松分布泊松分布 可见
28、，当可见，当n充分大充分大,p又很小时又很小时,可用泊松可用泊松分布来近似二项分布！分布来近似二项分布！实际计算中，实际计算中，时近似效果变很好时近似效果变很好.第第52页/共共118页 53信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔 由泊松定理，由泊松定理，n重重伯努利伯努利试验中稀有事件试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布出现的次数近似地服从泊松分布.我们把在每次试验中出现概率很小的事我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作件称作稀有事件稀有事件.如地震、火山爆发、特大如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等洪水、意外事故等等第第53页/共共118页 54信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔例
29、例6 一家商店采用科学管理一家商店采用科学管理,由该商店过去的销售记由该商店过去的销售记录知道录知道,某种商品每月的销售数可以用参数某种商品每月的销售数可以用参数 的的泊松分布来描述泊松分布来描述,为了以为了以 95%以上的把握保证不脱以上的把握保证不脱销销,问商店在月底至少应进该种商品多少件问商店在月底至少应进该种商品多少件?解解 设该商品每月的销售数为设该商品每月的销售数为已知已知服从参数服从参数的泊松分布的泊松分布.设商店在月底应进该种商品设商店在月底应进该种商品件件,求满足求满足的最小的的最小的即即查泊松分布表查泊松分布表,得得于是得于是得件件.第第54页/共共118页 55信息管理学
30、院信息管理学院 徐晔徐晔 保保险公司公司为了估了估计企企业的利的利润，需要，需要计算投保算投保人在一年内死亡若干人的概率。人在一年内死亡若干人的概率。设某保某保险公司的某人寿保公司的某人寿保险险种有种有1000人投保人投保,每个人一年内死亡的概率每个人一年内死亡的概率为0.005个，个，试求在未来一年中在求在未来一年中在这些投保人中死亡人数不超些投保人中死亡人数不超过10人的人的概率概率对每个人而言，在未来一年是否死亡相当于做一对每个人而言，在未来一年是否死亡相当于做一次次伯努利伯努利试验，试验，1000人就是做人就是做1000重重伯努利伯努利试验，试验，因此因此 XB(1000,0.005)
31、，解解由泊松定理由泊松定理第第55页/共共118页 56信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔作业作业P58练习2.3 1 2第第56页/共共118页信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔2.4 连续型随机变量及其密度函数连续型随机变量及其密度函数一、密度函数一、密度函数二、二、有关事件的概率有关事件的概率三、几种常见的连续型分布三、几种常见的连续型分布第第57页/共共118页 58信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔f()为为X的概率密度函数的概率密度函数,x简称简称密度函数或分布密度密度函数或分布密度.(或或分布密度函数分布密度函数),),一、密度函数一、密度函数定义定义第第58页/共共118页 5
32、9信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔xf(x)xF(x)分布函数与密度函数几何意义第第59页/共共118页 60信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔根据定义根据定义,可以得到密度函数的如下性质可以得到密度函数的如下性质常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续型常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续型随机变量随机变量的密度函数的密度函数.第第60页/共共118页 61信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔二、有关事件的概率二、有关事件的概率=0事实上事实上第第61页/共共118页 62信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔积分中值定理积分中值定理第第62页/共共118页 63信息管理学院信息管理学院 徐
33、晔徐晔例例1 1设随机变量设随机变量X的密度函数为的密度函数为求常数求常数A及及X的分布函数和的分布函数和 解解所以所以第第63页/共共118页 64信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔1.1.如果随机变量如果随机变量X的密度函数为的密度函数为从密度函数的意义可知从密度函数的意义可知三、几种常见的连续型分布三、几种常见的连续型分布第第64页/共共118页 65信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔均匀分布的分布函数为均匀分布的分布函数为第第65页/共共118页 66信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔均匀分布的意义均匀分布的意义第第66页/共共118页 67信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔例例2 某
34、公共汽车站从上午某公共汽车站从上午7时起时起,每每15分钟来一分钟来一班车班车,即即7:00,7:15,7:30,7:45 等时刻有汽车到达等时刻有汽车到达此站此站,如果乘客到达此站时间如果乘客到达此站时间是是7:00到到7:30之之间的均匀随机变量间的均匀随机变量,试求他候车时间少于试求他候车时间少于5分钟的分钟的概率概率.解解 以以7:00为起点为起点 0,以分为单位以分为单位,依题意依题意第第67页/共共118页 68信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔解解以以 7:00 为起点为起点 0,以分为单位以分为单位,依题意依题意为使候车时间少于为使候车时间少于 5 分钟分钟,乘客必须在乘客必须
35、在 7:10 到到7:15 之间之间,或在或在 7:25 到到 7:30 之间到达车站之间到达车站,故所故所求概率为求概率为即乘客候车时间少于即乘客候车时间少于5分钟的概率是分钟的概率是 1/3.第第68页/共共118页 69信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔例例3 设随机变量设随机变量 X 在在 2,5 上服从均匀分布上服从均匀分布,现现对对 X 进行三次独立观测进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值试求至少有两次观测值大于大于3 的概率的概率.X 的分布密度函数为的分布密度函数为 X 3 表示表示“对对 X 的观测值大于的观测值大于 3 的概率的概率”,解解因而有因而有设设Y 表示表示3
36、次独立观测中观测值大于次独立观测中观测值大于3的次数的次数,则则第第69页/共共118页 70信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔2.如果随机变量如果随机变量 X的密度函数为的密度函数为则称则称X服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布的几何图形如图的几何图形如图.注：注：指数分布常用来描述对某指数分布常用来描述对某一事件发生的等待时间一事件发生的等待时间.例如例如，乘客在公交车站等车的时间，电子元件的寿命等，乘客在公交车站等车的时间，电子元件的寿命等，因而它在可靠性理论和排队论中有广泛的应用因而它在可靠性理论和排队论中有广泛的应用.第第70页/共共118页 71信息管理学院信息管理学院 徐晔
37、徐晔指数分布的重要作用指数分布的重要作用,是常用它来作为各种是常用它来作为各种“寿命寿命”的近似的近似,如通讯、保险、随机服务系统等方面如通讯、保险、随机服务系统等方面3.分布分布(略略)易求得易求得的分布函数的分布函数第第71页/共共118页 72信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔例例4某保险公司想开展一种新的寿险业务，被保险某保险公司想开展一种新的寿险业务，被保险人需一次性缴纳保费人需一次性缴纳保费1000元，若被保险人在元，若被保险人在10年内死亡，保险公司将赔负年内死亡，保险公司将赔负5000元，假设人的元，假设人的寿命服从参数为寿命服从参数为1/65的指数分布的指数分布.试帮保险公司
38、试帮保险公司做出决策做出决策.解解假设某人的寿命为假设某人的寿命为X假设某人投保时年龄超过假设某人投保时年龄超过S岁岁则此人再活则此人再活10年以上的概率为年以上的概率为第第72页/共共118页 73信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔因此，被保险人在因此，被保险人在10年内死亡的概率为年内死亡的概率为所以保险公司对该被保险人的预期收益为所以保险公司对该被保险人的预期收益为1000-0.1426*5000=287(元元)结论结论:保险公司可以开展这种保险业务保险公司可以开展这种保险业务.一般化一般化在已活在已活s年的基础上年的基础上,再活再活t年的年的概率等于寿命大于概率等于寿命大于t年的概率年
39、的概率.指数分布指数分布永远年轻永远年轻第第73页/共共118页 74信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔作业作业P63 练习2.4 1 2 4第第74页/共共118页信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔2.5 正态分布正态分布一、正态分布一、正态分布的的密度函数及其特点密度函数及其特点二、二、标准正态分布标准正态分布三、一般正态分布与标准正态分布的关系三、一般正态分布与标准正态分布的关系第第75页/共共118页 76信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔一、正态分布一、正态分布的的密度函数及其特点密度函数及其特点第第76页/共共118页 77信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔正态概率密度函数的几何特
40、征正态概率密度函数的几何特征第第77页/共共118页 78信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔第第78页/共共118页 79信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔第第79页/共共118页 80信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔正态分布的分布函数正态分布的分布函数第第80页/共共118页 81信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔 正态分布是最常见最重要的一种分布正态分布是最常见最重要的一种分布,例如例如测量误差测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布高度等都近似服从正
41、态分布.正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 第第81页/共共118页 82信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔正态分布下的概率计算正态分布下的概率计算原函数不是原函数不是初等函数初等函数方法方法二二:转化为标准正态分布查表计算转化为标准正态分布查表计算方法一方法一:利用统计软件计算利用统计软件计算第第82页/共共118页 83信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的分布函数表示为二、二、标准正态分布标准正态分布第第83页/共共118页 84信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔标准正态分布的图形标准正态
42、分布的图形第第84页/共共118页 85信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔标准正态分布具有如下特点标准正态分布具有如下特点第第85页/共共118页 87信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔第第87页/共共118页 88信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔例例1=0.7517=1-0.9591=0.0409=0.8925=2*0.975-1=0.95=0.9591-1+0.7517=0.7108=2*(1-0.9671)=0.0658第第88页/共共118页 90信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔例例2第第90页/共共118页 92信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔三、一般正态分布与标准正态分布的关
43、系三、一般正态分布与标准正态分布的关系一般正态随机变量一般正态随机变量：X N(,2)其分布函数其分布函数作变量代换作变量代换（1 1）一般正态随机变量与标准正态随机变量的分布）一般正态随机变量与标准正态随机变量的分布 函数之间的关系函数之间的关系第第92页/共共118页 94信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔第第94页/共共118页 95信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔命题：若命题：若 ，则，则证明：证明：作变量代换作变量代换 ，得到，得到。由此知：。由此知：（2 2）一般正态随机变量与标准正态随机变量之间的）一般正态随机变量与标准正态随机变量之间的 关系关系第第95页/共共118页 96
44、信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔例例3=2*0.8413-1=0.6826=2*0.97725-1=0.9545=2*0.99865-1=0.9973事件的发生几乎是必然的事件的发生几乎是必然的第第96页/共共118页 97信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔 服从正态分布服从正态分布 的随机变量的随机变量X 落落在区间在区间 内的概率为内的概率为0.9973，落在该区间外的概率只有落在该区间外的概率只有0.0027.也就是说也就是说,X几乎不可能在区间几乎不可能在区间 之外取之外取值。值。由由3 原则知原则知，第第97页/共共118页 99信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔例例4 从某地去火
45、车站有两条路线从某地去火车站有两条路线,第一条路线经过市区第一条路线经过市区,路程较短路程较短,但交通拥挤，所需时间但交通拥挤，所需时间(分钟分钟)服从正态分布服从正态分布N(50,100),第二条路线经环城路，路程较长第二条路线经环城路，路程较长,所需时间所需时间服从正态分布服从正态分布N(60,16),若只有若只有70分钟可用分钟可用,应走哪一条应走哪一条路线路线?若只有若只有65分钟呢分钟呢?解解 设所需时间分别为设所需时间分别为T和和X,显然应走在允许的时间显然应走在允许的时间内有较大概率及时赶到火车站的路线内有较大概率及时赶到火车站的路线.(1)在在70分钟内分钟内,两条路线能及时赶
46、到的概率分别为两条路线能及时赶到的概率分别为因此在这种情况下，应走第二条路线因此在这种情况下，应走第二条路线.第第99页/共共118页 100信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔(2)在在65分钟内分钟内,两条路线能及时赶到的概率分别为两条路线能及时赶到的概率分别为因此在这种情况下，应走第一条路线因此在这种情况下，应走第一条路线.第第100页/共共118页 101信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔作业作业P68 练习2.5 2 3 4第第101页/共共118页信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔2.6 随机变量函数及其分布随机变量函数及其分布一、随机变量函数的定义一、随机变量函数的定义二、二、离散
47、型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布第第102页/共共118页 103信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔实例实例两个赌徒用一枚骰子进行赌博两个赌徒用一枚骰子进行赌博,甲若掷出甲若掷出x点点,则可得则可得(或付或付)10 x-35元元,分析甲在一次掷骰子分析甲在一次掷骰子中的输赢中的输赢.显然显然第第103页/共共118页 104信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔一一 、随机变量函数的定义、随机变量函数的定义分别就离散型随机变量和连续型随机变量进行讨论分别就离散型随机变量和连续型随机变量进行讨论问题问题定义：设定义：设 是是 上的实
48、值函数，上的实值函数，是是 上的随机上的随机变量，在变量，在 上定义随机变量上定义随机变量 ，称，称 为随机变量为随机变量 的函数，记作的函数，记作 第第104页/共共118页 105信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔 Y 的可能值为的可能值为 即即 0,1,4.解解例例1二、二、离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布第第105页/共共118页 106信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔 故故 Y 的分布律为的分布律为由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法.第第106页/共共118页 107信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔离散型随机变量的函数
49、的分布离散型随机变量的函数的分布第第107页/共共118页 108信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔Y 的分布律为的分布律为例例2 设设解解第第108页/共共118页 109信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔 第一步第一步 先求先求Y=2X+8 的分布函数的分布函数解解例例3三、连续型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布解解例例3第第109页/共共118页 110信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔第二步第二步 由分布函数求概率密度由分布函数求概率密度.第第110页/共共118页 111信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔解解例例4再由分布函数求概率密度再由分布函数求概率密度.第第111
50、页/共共118页 112信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔第第112页/共共118页 113信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔当当 Y=2X+3 时时,有有第第113页/共共118页 114信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔第第114页/共共118页 115信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔证明证明X 的概率密度为的概率密度为例例5第第115页/共共118页 116信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔第第116页/共共118页 117信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔作业作业P71练习2.6 1 2P72习题二第第117页/共共118页 118信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔感感谢您的您的观看