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1、2021年高考文科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版 2021年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷I)数学文科本试卷分第一卷选择题和第二卷非选择题两局部，总分值150分，考试时间120分钟。第一卷选择题共60分一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的1(2021课标全国，文1)集合A1,2,3,4，Bx|xn，nA，那么AB( )A1,4 B2,3 C9,16 D1,2【答案】A【考点】此题主要考查集合的根本知识。【解析】Bx|xn，nA1,4,9,16，AB1,42(2021课标全国，文2)12221+2i( ) (1-i
2、)21212A.1𝑖 B-1+iC1+𝑖 D1𝑖【答案】B【考点】此题主要考查复数的根本运算。 【解析】121+2i1+2i(1+2i)i-2+i1=-1+i. (1-i)2-2i222 3(2021课标全国，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，那么取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )1111A2 B3 C4 D6【答案】B【考点】此题主要考查列举法解古典概型问题的根本能力。【解析】由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为1. 3x2y
3、24(2021课标全国，文4)双曲线C：2-2=1(a0，b0)的离心率为，那么C的渐近线方程2ab为( )Ay11=𝑥 By=𝑥Cy=x Dy=𝑥 4312【答案】C【考点】此题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。1 c25c【解析】e=，=，即2=. a22a4b21b1222cab，2=.=. a4a2b双曲线的渐近线方程为y=x， a1渐近线方程为y=x.应选C. 2 xx325(2021课标全国，文5)命题p：xR,23；命题q：xR，x1x，那么以下命题中为真命题的是( )Apq BpqCpq Dpq【答案】B【考点】此题主要考查常用
4、逻辑用语等根本知识。【解析】由23知，p为假命题令h(x)x1x，h(0)10，h(1)10，x1x0在(0,1) 3A𝑆𝑛=2𝒶𝑛1 B𝑆𝑛=3𝒶𝑛2C𝑆𝑛=43𝒶𝑛 D𝑆𝑛=32𝒶𝑛【答案】D【考点】此题主要考查等比数列前n项和公式。 21-ana(1-q)a1-anq32an，应选D. 【解析】Sn=1=21-q1-q1-3n 7(20
5、21课标全国，文7)执行下面的程序框图，如果输入的t1,3，那么输出的s属于( )A3,4B5,2C4,3D2,5【答案】A【考点】此题主要考查程序框图的认识、分段函数求值域及水性结合的思想。【解析】当1t1时，s3t，那么s3,3)当1t3时，s4tt.该函数的对称轴为t2，该函数在1,2上单调递增，在2,3上单调递减smax4，smin3.2 2 s3,4综上知s3,4应选A. 8(2021课标全国，文8)O为坐标原点，F为抛物线C：y的焦点，P为C上一点，假设|PF|2那么POF的面积为( )A2 B4【答案】C【考点】此题主要考查抛物线的定义、数形结合思想及运算能力。【解析】利用|PF
6、|xP=xPyPSPOF1|OF|yP|2应选C. 9(2021课标全国，文9)函数f(x)(1cos x)sin x在，的图像大致为( ) 【答案】C【考点】此题主要考查数形结合思想及对问题的分析判断能力。【解析】由f(x)(1cos x)sin x知其为奇函数可排除B当x0,时，f(x)0，排除A. 2当x(0，)时，f(x)sinxcos x(1cos x)2cosxcos x1.令f(x)0，得x=故极值点为x=222. 32，可排除D，应选C. 3 210(2021课标全国，文10)锐角ABC的)A10 B9 C8 D5【答案】D【考点】此题主要考查三角函数的化简，考查利用余弦定理解
7、三角形以及方程思想。【解析】由23cosAcos 2A0，得cosA2211.A0,，cos A. 525236+b2-4913cos A，b5或b=-(舍) 26b5应选D.11(2021课标全国，文11)某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为( )A168B88 3 C1616D816【答案】A【考点】此题主要考查三视图。简单组合体的体积。【解析】该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体V半圆柱12248， 2V长方体42216.所以所求体积为168.应选A.-x2+2x,x0,12(2021课标全国，文12)函数f(x)假设|f(x)|ax，那么a的取值范围是( )ln(x
8、+1),x0.A(，0 B(，1C2,1 D2,0【答案】D【考点】此题主要考查数形结合思想、函数与方程思想、利用导数研究函数间关系，对分析能力有较高要求。【解析】可画出|f(x)|的图象如下图 当a0时，yax与y|f(x)|恒有公共点，所以排除B，C；当a0时，假设x0，那么|f(x)|ax恒成立假设x0，那么以yax与y|x2x|相切为界限， 2y=ax,2由得x(a2)x0. 2y=x-2x,(a2)0，a2.a2,0应选D.2第二卷选择题共90分二、填空题：本大题共4小题，每题5分13(2021课标全国，文13)两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b.假设bc0，那么t_.
9、【答案】2【考点】此题主要考查向量的根本知识及运算。【解析】bc0，|a|b|1，a，b60，ab11bcta(1t)bb0，2即tab(1t)b0. 11=. 221t1t0. 2t2. 14(2021课标全国，文14)设x，y满足约束条件4 1x3,那么z2xy的最大值为_ -1x-y0,【答案】3【考点】此题主要考查简单的线性规划问题。【解析】画出可行域如下图画出直线2xy0，并平移，当直线经过点A(3,3)时，z取最大值，且最大值为z2333.15(2021课标全国，文15)H是球O的直径AB上一点，AHHB12，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，那么球O的外表积为_ 【答案
10、】9 2【考点】此题主要考查球及根本几何体的根本知识。【解析】如图， 设球O的半径为R，那么AH2R， 3OHR. 32又EH，EH1.9R222在RtOEH中，R+1，R. 8392S球4R. 216(2021课标全国，文16)设当x时，函数f(x)sin x2cos x取得最大值，那么cos _.【答案】2 【考点】此题主要考查三角函数的化简与求值。【解析】f(x)sin x2cos xx)，cos . 55当x2k(kZ)时，f(x)取最大值 2即2k(kZ)，2k(kZ) 22cos cos+jsin -. 52其中sin 三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤17(202
11、1课标全国，文17)(本小题总分值12分)等差数列an的前n项和Sn满足S30，S55.(1)求an的通项公式； 5 (2)求数列1的前n项和a2n-1a2n+1 【考点】此题主要考查等差数列的根本知识，特殊数列的求和等。【解析】(1)设an的公差为d，那么Snna1+3𝑎1+3d=0由可得 5𝑎1+10d=5解得a11，d1.故an的通项公式为an2n.(2)由(1)知n(n-1)d. 211111=-， a2n-1a2n+1(3-2n)(1-2n)22n-32n-1从而数列1的前n项和为a2n-1a2n+11111111-+-+L+- 2-11132n-32
12、n-1n. 1-2n 18(2021课标全国，文18)(本小题总分值12分)为了比拟两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.12.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6
13、0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.22.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？ 【考点】此题主要考查统计的根本知识。茎叶图等。【解析】(1)设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为y.由观测结果可得 6 x1(0.61.21.21.51.51.82.22.32.32.42.52.62.72.72.82.93.0203.13.23.5)2.3，y1(0.50.50.60.80.91.11.21.21.31.41.61.71.81.92.12.42.5202.62.73.
14、2)1.6. 由以上计算结果可得xy，因此可看出A药的疗效更好(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有77的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有的1010 叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好 19(2021课标全国，文19)(本小题总分值12分)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.(1)证明：ABA1C；(2)假设ABCB2，A1C，求三棱柱ABCA1B1C1的体积 【考点】此题主要考查线面垂直问题，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算能力及转化能力。【解析】(1)取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.因
15、为CACB，所以OCAB.由于ABAA1，BAA160，故AA1B为等边三角形，所以OA1AB.因为OCOA1O，所以 AB平面OA1C.又A1C平面OA1C，故ABA1C.(2)由题设知ABC与AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OCOA12又A1C，那么A1COCOA1，故OA1OC. 22因为OCABO，所以OA1平面ABC，OA1为三棱柱ABCA1B1C1的高又ABC的面积SABCABCA1B1C1的体积VSABCOA13.7 20(2021课标全国，文20)(本小题总分值12分)函数f(x)e(axb)x4x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4.(1)求a，b的
16、值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值 【考点】此题主要考查导数的根本知识，利用导数判断函数单调性、求极值。【解析】(1)f(x)e(axab)2x4.由得f(0)4，f(0)4.故b4，ab8.从而a4，b4.(2)由(1)知，f(x)4e(x1)x4x， x2x2xf(x)4ex(x2)2x44(x2)ex-令f(x)0得，xln 2或x2. 1. 2从而当x(，2)(ln 2，)时，f(x)0；当x(2，ln 2)时，f(x)0.故f(x)在(，2)，(ln 2，)上单调递增，在(2，ln 2)上单调递减当x2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(2)4(1e) 2222
17、21(2021课标全国，文21)(本小题总分值12分)圆M：(x1)y1，圆N：(x1)y9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.【考点】此题主要考查直线、圆、椭圆结合的解析几何的综合问题，考查考生的分析能力和计算能力。【解析】由得圆M的圆心为M(1,0)，半径r11；圆N的圆心为N(1,0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线C是以M
18、，N为左、右焦点，长半轴长为2，(左顶点除外)，2x2y2+=1(x2) 其方程为43(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|PN|2R22，所以R2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x2)y4.假设l的倾斜角为90，那么l与y轴重合，可得|AB| 8 22 假设l的倾斜角不为90，由r1R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，那么|QP|R=，可求得 |QM|r1Q(4,0)，所以可设l：yk(x4)由l与圆Mx2y2-4当k时，将y=， x+=1，并整理得7x28x80，解得x1,24474318所以|AB|x2x1|. 718当k-
19、时，由图形的对称性可知|AB|. 4718综上，|AB|AB|. 7请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答注意：只能做所选定的题目如果多做，那么按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22(2021课标全国，文22)(本小题总分值10分)选修41：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.()证明：DB=DC;()设圆的半径为1，BC= ，延长CE交AB于点F，求BCF外接圆的半径。 1，解得k. 4 【考点】此题主要考查几何证明中的圆的集合性质、切线的相关定理与结论的
20、应用。【解析】 (1)连结DE，交BC于点G. 由弦切角定理得，ABEBCE.而ABECBE，故CBEBCE，BECE.又因为DBBE，所以DE为直径，DCE90，由勾股定理可得DBDC.(2)由(1)知，CDEBDE，DBDC，故DG是BC的中垂线，所以BG.9 设DE的中点为O，连结BO，那么BOG60.从而ABEBCECBE30，所以CFBF，故RtBCF外接圆的半径等于. 2 23(2021课标全国，文23)(本小题总分值10分)选修44：坐标系与参数方程曲线C1的参数方程为x=4+5cost,(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方y=5+5
21、sint程为2sin .(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(0,02)【考点】此题主要考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化。x=4+5cost,22【解析】(1)将消去参数t，化为普通方程(x4)(y5)25，y=5+5sint即C1：xy8x10y160.将22x=rcosq,222代入xy8x10y160得8cos 10sin 160.y=rsinq所以C1的极坐标方程为8cos 10sin 160.(2)C2的普通方程为xy2y0. 222x2+y2-8x-10y+16=0,由2 2x+y-2y=0x=1,x=0,解得或y=1y=2.所以C1与C2交
22、点的极坐标分别为，2,. 4224(2021课标全国，文24)(本小题总分值10分)选修45：不等式选讲函数f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当a2时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)设a1，且当x-a1,时，f(x)g(x)，求a的取值范围 22【考点】此题主要考查绝对值不等式的解法，分段函数等，考查考生分析、解决问题的能力。【解析】(1)当a2时，不等式f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.设函数y|2x1|2x2|x3，10 1-5x,x1.其图像如下图从图像可知，当且仅当x(0,2)时，y0. 所以原不等式的解集是x|0x2(2)当x-a2,12时，f(x)1a.不等式f(x)g(x)化为1ax3.所以xa2对x-a2,12都成立 故-a2a2，即a43.从而a的取值范围是4-1,3. 11