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1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷I)数学（文科）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合A 1,2,3,4，B x|xn2，nA，则AB()A 1,4 B 2,3 C 9,16 D 1,2（2）=()（A）-1-i （B）-1+i （C）1+i （D）1-i 3从1,2,3,4 中任取2 个不同的数，则取出的2 个数之差的绝对值为2 的概率是()A12 B13 C14 D16 4已知双曲线C：2222=1xyab(a 0，b 0)的离心率为52，则C的渐近线方程为()A B C12yx D 5已知命题p：
2、?x R,2x 3x；命题q：?x R，x3 1x2，则下列命题中为真命题的是()A p q Bp qC pq Dpq（6）设首项为1，公比为 的等比数列an的前n 项和为Sn，则（）（A）Sn=2an-1 （B）Sn=3an-2 （C）Sn=4-3an （D）Sn=3-2an 7执行下面的程序框图，如果输入的t 1,3，则输出的s属于()A 3,4B 5,2 C 4,3D 2,5 8O为坐标原点，F为抛物线C：y24 2x的焦点，P为C上一点，若|PF|4 2，则POF的面积为()A 2 B2 2 C2 3 D 4 9函数f(x)(1 cos x)sin x在 ，的图像大致为()10 已知锐
3、角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A cos 2A 0，a 7，c 6，则b()A 10 B 9 C 8 D 5 11某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A 16 8 B 8 8 C 16 16 D 8 16 12 已知函数f(x)22,0,ln(1),0.xx xxx若|f(x)|ax，则a的取值范围是()A(，0 B(，1 C 2,1 D 2,0 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分 13已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b.若bc 0，则t _.14设x，y满足约束条件13,10,xxy 则z 2xy的最大值为_ 15已知H是球
4、O的直径AB上一点，AHHB 1 2，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为_ 16设当x 时，函数f(x)sin x 2cos x取得最大值，则cos _.星期一 已知等差数列an的前n项和Sn满足S3 0，S55.(1)求 an的通项公式；(2)求数列21211nnaa的前n项和 星期二 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA1 60.(1)证明：ABA1C；(2)若ABCB 2，A1C6，求三棱柱ABCA1B1C1的体积 星期三 为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，随机地选取20 位患者服用A 药，20 位患者服用B
5、药，这40 位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)试验的观测结果如下：服用A 药的20 位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用B 药的20 位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶
6、图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？星期四 已知圆M：(x 1)2y2 1，圆N：(x 1)2y2 9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.星期五 已知函数f(x)ex(axb)x2 4x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y 4x 4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值 星期六（三选一）选修4 1：几何证明选讲 如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(
7、)证明：DB=DC;()设圆的半径为1，BC=，延长CE 交 AB 于点F，求BCF 外接圆的半径。23选修4 4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinxtyt(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 2sin .(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(0,0 2)24选修4 5：不等式选讲已知函数f(x)|2x 1|2xa|，g(x)x 3.(1)当a2 时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)设a1，且当x1,2 2a时，f(x)g(x)，求a的取值范围 星期天 1.A 2.B 3.B
8、4.C 5.B 6.D 7.A 8.C 9.C 10.D 11.A 12.D 13 2 14 3 15 92 16 2 55 星期一【考点】本题主要考查等差数列的基本知识，特殊数列的求和等。【解析】(1)设 an的公差为d，则Sn1(1)2n nnad.由已知可得 解得a1 1，d1.故 an的通项公式为an 2n.(2)由(1)知21211nnaa111132122 2321nnnn ，从而数列21211nnaa的前n项和为 1111111211132321nn12nn.星期二【考点】本题主要考查线面垂直问题，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算能力及转化能力。【解析】(1)取AB的中点O，
9、连结OC，OA1，A1B.因为CACB，所以OCAB.由于ABAA1，BAA1 60，故AA1B为等边三角形，所以OA1AB.因为OCOA1O，所以 AB平面OA1C.又A1C?平面OA1C，故ABA1C.(2)由题设知ABC与AA1B都是边长为2 的等边三角形，所以OCOA13.又A1C6，则A1C2OC221OA，故OA1OC.因为OCABO，所以OA1平面ABC，OA1为三棱柱ABCA1B1C1的高 又ABC的面积SABC3，故三棱柱ABCA1B1C1的体积VSABCOA1 3.星期三【考点】本题主要考查统计的基本知识。茎叶图等。【解析】(1)设 A 药观测数据的平均数为x，B 药观测数
10、据的平均数为y.由观测结果可得x120(0.6 1.2 1.2 1.5 1.5 1.8 2.2 2.3 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.5)2.3，y120(0.5 0.5 0.6 0.8 0.9 1.1 1.2 1.2 1.3 1.4 1.6 1.7 1.8 1.9 2.1 2.4 2.5 2.6 2.7 3.2)1.6.由以上计算结果可得xy，因此可看出A 药的疗效更好(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2,3 上，而B 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0,1 上，由
11、此可看出A 药的疗效更好 星期四【考点】本题主要考查直线、圆、椭圆结合的解析几何的综合问题，考查考生的分析能力和计算能力。【解析】由已知得圆M的圆心为M(1,0)，半径r1 1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2 3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r2 4.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为22=143xy(x2)(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|PN|2R 2 2，所以R 2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R 2
12、.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x 2)2y2 4.若l的倾斜角为90，则l与y轴重合，可得|AB|2 3.若l的倾斜角不为90，由r1R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则1|QPRQMr，可求得Q(4,0)，所以可设l：yk(x 4)由l与圆M相切得2|3|1kk 1，解得k24.当k24时，将224yx代入22=143xy，并整理得7x2 8x 8 0，解得x1,246 27，所以|AB|21 k|x2x1|187.当k24时，由图形的对称性可知|AB|187.综上，|AB|2 3或|AB|187.星期五【考点】本题主要考查导数的基本知识，利用导数判断函数单调性、求极值。【解析
13、】(1)f(x)ex(axab)2x 4.由已知得f(0)4，f(0)4.故b 4，ab 8.从而a 4，b 4.(2)由(1)知，f(x)4ex(x 1)x2 4x，f(x)4ex(x 2)2x 4 4(x 2)1e2x.令f(x)0 得，xln 2 或x2.从而当x(，2)(ln 2，)时，f(x)0；当x(2，ln 2)时，f(x)0.故f(x)在(，2)，(ln 2，)上单调递增，在(2，ln 2)上单调递减 当x2 时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(2)4(1 e 2)星期六 22【考点】本题主要考查几何证明中的圆的集合性质、切线的相关定理与结论的应用。【解析】(1)连结DE，
14、交BC于点G.由弦切角定理得，ABEBCE.而ABECBE，故CBEBCE，BECE.又因为DBBE，所以DE为直径，DCE 90，由勾股定理可得DBDC.(2)由(1)知，CDEBDE，DBDC，故DG是BC的中垂线，所以BG32.设DE的中点为O，连结BO，则BOG 60.从而ABEBCECBE 30，所以CFBF，故 RtBCF外接圆的半径等于32.23 【考点】本题主要考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化。【解析】(1)将45cos,55sinxtyt消去参数t，化为普通方程(x 4)2(y 5)2 25，即C1：x2y2 8x 10y 16 0.将cos,sinxy代入x2y2
15、8x 10y 16 0 得 2 8 cos 10 sin 16 0.所以C1的极坐标方程为 2 8 cos 10 sin 16 0.(2)C2的普通方程为x2y2 2y 0.由2222810160,20 xyxyxyy 解得1,1xy或0,2.xy 所以C1与C2交点的极坐标分别为2,4，2,2.24【考点】本题主要考查绝对值不等式的解法，分段函数等，考查考生分析、解决问题的能力。【解析】(1)当a2 时，不等式f(x)g(x)化为|2x 1|2x 2|x 3 0.设函数y|2x 1|2x 2|x 3，则y15,212,1,236,1.x xxxxx 其图像如图所示从图像可知，当且仅当x(0,2)时，y 0.所以原不等式的解集是x|0 x 2 (2)当x1,2 2a时，f(x)1a.不等式f(x)g(x)化为1ax 3.所以xa 2 对x1,2 2a都成立 故2aa 2，即a43.从而a的取值范围是41,3.