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1、 1 2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类（全国卷 II 新课标）第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1(2013 课标全国，文 1）已知集合Mx|3x1,N3,2，1，0,1，则MN(）A2，1,0，1 B3,2,1，0 C2，1，0 D 3，2，1 2（2013 课标全国，文2)21 i()A2 2 B 2 C 2 D 1 3(2013课标全国，文3)设x，y满足约束条件10,10,3,xyxyx 则z2x3y的最小值是（)A7 B6 C5 D3 4(2013 课标全国，文 4）ABC的内角A，B，C
2、的对边分别为a，b,c，已知b2,6B，4C，则ABC的面积为(）A2 3+2 B 3+1 C 2 32 D 31 5(2013课标全国，文5）设椭圆C：2222=1xyab(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2，P是C上的点，PF2F1F2,PF1F230，则C的离心率为（）A36 B13 C12 D33 6（2013 课标全国，文 6）已知 sin 223，则2cos4(）A16 B13 C12 D23 7（2013 课标全国，文 7)执行下面的程序框图，如果输入的N4,那么输 2 出的S()A1111+234 B1111+23 24 3 2 C11111+2345 D11111+23 2
3、4 3 25 4 3 2 8(2013 课标全国，文 8）设alog32，blog52,clog23，则（）Aacb Bbca Ccba Dcab 9（2013 课标全国，文 9)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是（1，0,1)，（1,1，0），(0，1,1)，（0,0,0）,画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为（）10（2013 课标全国，文 10)设抛物线C：y24x的焦点为F,直线l过F且与C交于A，B两点若|AF|3BF，则l的方程为（)Ayx1 或 yx1 B)1(3xy Cy3(1)3x或 y3(1)3x D y2(1)2x或
4、 y2(1)2x 11（2013 课标全国，文 11）已知函数f(x）x3ax2bxc，下列结论中错误的是(）A x0R，f（x0)0 B函数 yf（x)的图像是中心对称图形 C若 x0 是 f（x）的极小值点，则 f(x)在区间(，x0）单调递减 D若 x0 是 f（x）的极值点，则 f(x0）0 12(2013 课标全国,文 12）若存在正数x使 2x(xa)1 成立，则a的取值范围是()A（，)B（2，)C（0，）D(1,）第卷 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分 13(2013 课标全国，文 13)从 1,2，3,4，5 中任意取出两个不同的数,其和为 5 的概率是_ 14
5、（2013 课标全国，文 14)已知正方形ABCD的边长为 2，E为CD的中点，则AE BD_。3 15(2013 课标全国,文 15）已知正四棱锥OABCD的体积为3 22,底面边长为3，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为_ 16(2013 课标全国，文 16）函数ycos(2x）()的图像向右平移2个单位后，与函数ysin 23x的图像重合，则_.三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17(2013 课标全国，文 17)(本小题满分 12 分）已知等差数列an的公差不为零，a125，且a1，a11，a13成等比数列(1)求an的通项公式；（2）求a1a4a7a3n2。18
6、（2013 课标全国，文 18）（本小题满分 12 分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D,E分别是AB,BB1的中点 4 19(2013 课标全国，文 19)(本小题满分 12 分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 t 该产品获利润 500 元,未售出的产品，每 1 t 亏损 300 元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品以X（单位：t,100X150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润(1）将T表示为X的函数；（2）根据直方图估计利润T不少
7、于 57 000 元的概率 20(2013 课标全国，文 20）(本小题满分 12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2 2在y轴上截得线段长为2 3。(1）求圆心P的轨迹方程；(2）若P点到直线yx的距离为22，求圆P的方程 5 21（2013 课标全国,文 21)（本小题满分 12 分）已知函数f（x)x2ex.（1）求f（x）的极小值和极大值；（2）当曲线yf（x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围 6 22（2013 课标全国，文 22）(本小题满分 10 分)选修 41：几何证明选讲 如图，CD 为ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线 C
8、D 于点 D，E，F 分别为弦 AB 与弦 AC上的点，且 BCAEDCAF，B,E，F，C 四点共圆（1）证明:CA 是ABC 外接圆的直径；（2)若 DB=BE=EA，求过 B、E、F、C 四点的圆的面积与ABC 外接圆面积的比值 23（2013 课标全国,文 23）（本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程 已知动点P，Q都在曲线C：2cos,2sinxtyt（t为参数)上，对应参数分别为t与t2(02),M为PQ的中点(1）求M的轨迹的参数方程;（2）将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点 24（2013课标全国，文24)（本小题满分10 分)选修
9、45：不等式选讲 设a，b，c均为正数，且abc1。证明：(1）abbcca13；(2）222abcbca1.7 2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷 II 新课标)第卷 一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1 答案：C 解析:由题意可得，MN2,1,0 故选 C。2 答案：C 解析：21 i1i，21 i1i2。3 答案：B 解析：如图所示，约束条件所表示的区域为图中的阴影部分，而目标函数可化为233zyx，先画出l0:y23x,当z最小时，直线在y轴上的截距最大，故最优点为图中的点C，由3,10,x
10、xy 可得C（3,4），代入目标函数得，zmin23346.4 答案：B 解析：A（BC)76412，由正弦定理得sinsinabAB，则72sinsin1262sinsin6bAaB,SABC112sin 2(62)31222abC 。8 5 答案：D 解析：如图所示，在 RtPF1F2中，F1F22c，设PF2x，则PF1|2x,由 tan 30212|3|23PFxFFc，得2 33xc。而由椭圆定义得，|PF1|PF2|2a3x，332axc,333cceac。6 答案：A 解析：由半角公式可得，2cos4 21 cos 211 sin21232226。7 答案：B 解析:由程序框图依
11、次可得,输入N4，T1，S1，k2;12T,11+2S，k3;13 2T，S111+23 2，k4；14 3 2T ，111123 24 3 2S ，k5；输出111123 24 3 2S 。8 答案：D 解析:log25log231，log23121log 321log 50，即 9 log231log32log520，cab。9 答案：A 解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系Oxyz的图像为下图：则它在平面zOx的投影即正视图为，故选 A.10 答案:C 解析:由题意可得抛物线焦点F（1,0），准线方程为x1.当直线l的斜率大于 0 时,如图所示,过A,B两点分别向准线x1 作垂线,垂
12、足分别为M，N，则由抛物线定义可得，AMAF|,|BN|BF|.设|AMAF3t（t0),BNBFt，BK|x，而GF|2，在AMK中，由|NBBKAMAK，得34txtxt，解得x2t,则 cosNBK|1|2NBtBKx,NBK60,则GFK60,即直线AB的倾斜角为 60。斜率ktan 603，故直线方程为y3(1)x 当直线l的斜率小于 0 时,如图所示，同理可得直线方程为y3(1)x，故选 C。11 10 答案：C 解析:若x0是f（x）的极小值点，则yf（x）的图像大致如下图所示，则在(，x0)上不单调，故 C 不正确 12 答案:D 解析：由题意可得,12xax（x0)令f(x)
13、12xx,该函数在（0，）上为增函数,可知f(x)的值域为(1，)，故a1 时,存在正数x使原不等式成立 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22 题第 24 题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13答案：0.2 解析：该事件基本事件空间（1，2），（1，3)，（1,4），（1,5)，（2，3)，（2，4）,(2，5），(3,4），(3，5）,（4,5）共有 10 个，记A“其和为 5”（1,4),(2，3)有 2 个，P（A）2100.2.14答案：2 解析:以,AB AD为基底，则0AB
14、AD，而12AEABAD，BDADAB，1()()2AE BDABADADAB22221122222ABAD 。15答案：24 解析：如图所示,在正四棱锥OABCD中，VOABCD13S正方形ABCD|OO1132(3)|OO13 22，11 OO1|3 22，|AO162，在 RtOO1A中，OA2211|OOAO223 26622，即6R，S球4R224.16答案:56 解析：ycos（2x）向右平移2个单位得，cos 22yxcos（2x)sin 2+=sin 222xx，而它与函数sin 23yx的图像重合，令 2x22x32k，kZ，得5+2 6k,kZ。又，56.三、解答题：解答应
15、写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 解：(1）设an的公差为d.由题意,211aa1a13，即（a110d）2a1（a112d)于是d(2a125d）0。又a125，所以d0（舍去），d2。故an2n27。(2）令Sna1a4a7a3n2.由（1）知a3n26n31,故a3n2是首项为 25，公差为6 的等差数列 从而Sn2n(a1a3n2)2n(6n56）3n228n。18 （1)证明：BC1平面A1CD；12(2)设AA1ACCB2，AB2 2，求三棱锥CA1DE的体积 解：（1）连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点 又D是AB中点，连结DF，则BC1DF。因为DF平面A1CD，
16、BC1平面A1CD,所以BC1平面A1CD。(2)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以AA1CD.由已知ACCB，D为AB的中点，所以CDAB。又AA1ABA，于是CD平面ABB1A1.由AA1ACCB2，2 2AB 得ACB90，2CD，16AD，3DE，A1E3，故A1D2DE2A1E2，即DEA1D.所以VCA1DE11632321.19 解:(1）当X100，130）时，T500X300（130X)800X39 000。当X130，150时，T50013065 000.所以80039000,100130,65000,130150.XXTX(2)由（1)知利润T不少于 57 000 元
17、当且仅当 120X150。由直方图知需求量X120,150的频率为 0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于 57 000元的概率的估计值为 0.7。20 解：（1)设P(x，y),圆P的半径为r.由题设y22r2，x23r2.从而y22x23。故P点的轨迹方程为y2x21。(2）设P(x0，y0)由已知得00|222xy。又P点在双曲线y2x21 上，从而得002210|1,1.xyyx 13 由0022001,1xyyx得000,1.xy 此时，圆P的半径r错误!.由0022001,1xyyx 得000,1.xy 此时，圆P的半径3r.故圆P的方程为x2（y1）23 或x2(y1）23.
18、21 解：(1）f(x)的定义域为（，），f（x)exx(x2）当x(，0)或x(2，)时，f（x)0；当x（0,2）时，f(x)0。所以f（x)在（,0），(2，）单调递减，在(0,2)单调递增 故当x0 时,f(x)取得极小值，极小值为f（0)0；当x2 时，f(x)取得极大值，极大值为f（2）4e2.(2）设切点为（t，f(t)，则l的方程为yf（t）（xt)f(t)所以l在x轴上的截距为m（t)()223()22f tttttfttt 。由已知和得t(，0）(2,)令h(x）2xx（x0）,则当x(0，)时，h（x)的取值范围为2 2,)；当x(，2)时，h(x）的取值范围是(，3)所
19、以当t(,0）(2，)时,m（t）的取值范围是（，0）2 23，）综上，l在x轴上的截距的取值范围是（，0）2 23，）请从下面所给的 22、23、24 三题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分 22 解：(1)因为CD为ABC外接圆的切线,所以DCBA。14 由题设知BCDCFAEA，故CDBAEF，所以DBCEFA。因为B，E，F，C四点共圆，所以CFEDBC,故EFACFE90.所以CBA90，因此CA是ABC外接圆的直径（2)连结CE，因为CBE90，所以过B,E,F，C四点的圆的
20、直径为CE，由DBBE，有CEDC,又BC2DBBA2DB2,所以CA24DB2BC26DB2.而DC2DBDA3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值为12。23 解：(1）依题意有P(2cos，2sin），Q（2cos 2，2sin 2），因此M(cos cos 2，sin sin 2）M的轨迹的参数方程为coscos2,sinsin2,xy（为参数，02)(2)M点到坐标原点的距离 d2222cosxy（02）当 时,d0,故M的轨迹过坐标原点 24 解：(1)由a2b22ab,b2c22bc，c2a22ca,得a2b2c2abbcca.由题设得（abc）21,即a2b2c22ab2bc2ca1。所以 3(abbcca）1，即abbcca13。(2）因为22abab，22bcbc，22caca，故222()abcabcbca2（abc），即222abcbcaabc.15 所以222abcbca1。