《2022年高一数学函数知识总结及例题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高一数学函数知识总结及例题.docx（19页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品_精品资料_第一篇、复合函数问题一、复合函数定义：设 y=fu的定义域为 A, u=gx 的值域为 B,如 AB,就 y 关于 x 函数的 y=f gx 叫做函数 f 与 g 的复合函数, u 叫中间量 .二、复合函数定义域问题：（一）例题剖析：1 、已知 f x 的定义域,求 fg x的定义域思路：设函数 f x 的定义域为 D,即 xD ,所以 f 的作用范畴为 D,又 f 对 g x 作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用,作用范畴不变,所以g xD ,解得 xE , E 为 f g x 的定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -
2、欢迎下载精品_精品资料_例 1. 设函数 fu 的定义域为（ 0,1）,就函数 flnx 的定义域为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：函数 f u 的定义域为（ 0, 1）即 u0, 1 ,所以 f 的作用范畴为（ 0 ,1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 f 对 lnx 作用,作用范畴不变,所以0ln x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 x1, e ,故函数 f1ln x 的定义域为（ 1, e）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2. 如函数 f x,就函数 ff
3、x1x 的定义域为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：先求 f 的作用范畴,由f x1,知 x1 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 f 的作用范畴为xR|x1 ,又 f 对 fx 作用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 fxR且fx1 ,即 ffx 中 x 应满意x1f x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1即1,解得 x1x11且x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故函数 ff x 的定义域为xR|x1且
4、x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）、已知 fg x 的定义域,求 f x 的定义域思路： 设 fg x的定义域为 D,即 xD ,由此得 g xE ,所以 f 的作用范畴为 E,又 f 对 x 作用,作用范畴不变,所以xE, E 为 f x 的定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3. 已知 f32 x 的定义域为 x1, 2,就函数 f x 的定义域为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： f 32x的定义域为1, 2,即 x1, 2,由此得 32 x1, 5可编辑资料 - -
5、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 f 的作用范畴为1, 5,又 f 对 x 作用,作用范畴不变,所以x1, 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即函数 f x 的定义域为1, 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4. 已知 f x24lgx 2x 28,就函数 f x 的定义域为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：先求 f 的作用范畴,由f x 24lgx,知2x 28x 2x 280可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 x 244
6、 , f 的作用范畴为 4 , ,又 f 对 x 作用,作用范畴不变,所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x4 , ,即 f x 的定义域为 4,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）、已知 fg x 的定义域,求 f h x 的定义域思路：设 fgx 的定义域为 D,即 xD ,由此得 g xE , f 的作用范畴为 E,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 f 对 h x 作用,作用范畴不变,所以h xE ,解得 xF , F 为 f h x 的定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5. 如函数 f2 x 的定义域为1,
7、1,就 flog 2x 的定义域为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： f2 x 的定义域为1, 1,即 x1,1,由此得 21 , 2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1f 的作用范畴为, 2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 f 对 log 2 x 作用,所以 log 2x1 , 22,解得 x2 , 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 f log 2 x 的定义域为2, 4评注：函数定义域是自变量x 的取值范畴（用集合或区间表示）f 对谁作用,就谁的范畴是 f 的作用范畴, f 的作用对象可以变,但f 的作用范畴
8、不会变.利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉,值得大家探讨.（二）同步练习：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、 已知函数f x 的定义域为0,1 ,求函数f x 2 的定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： 1, 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、 已知函数f 32x 的定义域为 3, 3 ,求f x 的定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： 3,9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料
9、_3、 已知函数 y1f x2 的定义域为3 1,0) ,求f | 2x1| 的定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案：, 021,22xx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、设 fxlg,就 ff的定义域为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.4,00,4B.4, 11,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C.2, 11,2D.4, 22,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：选 C.由 2x2x0 得,f x 的定义域为x |2x2 .故2x2,2
10、222.x,解得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x4, 1U 1,4 .故 fx2f2的定义域为4,1 x1 3U 1,4x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、已知函数f x 的定义域为 x, ,求2 2g xf axf a a0) 的定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析由已知,有1 ax3 ,221x3 ,2 a21x3 ,2a2aax3 a.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）当 a1 时,定义域为1 x |x23 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资
11、料_（ 2）当 33 a ,即 0a1a1 时,有,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a22a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义域为a x |2x3 a .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）当 33 a ,即 a1时,有1a ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义域为2a2 x |1x3 .2a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故当 a2a1 时,定义域为2a x |1 2ax3 .2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 0a1时,定义域为a x |2x3 a.2可编辑资料 - - -
12、欢迎下载精品_精品资料_点评对于含有参数的函数,求其定义域, 必需对字母进行争论,要留意摸索争论字母的方法.三、复合函数单调性问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）引理证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知函数 yf gx . 如 ug x 在区间a, b）上是减函数,其值域为c , d ,又可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 yf u 在区间 c,d上是减函数,那么,原复合函数yf gx 在区间 a,b ）上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精
13、品_精品资料_是增函数 .证明：在区间a,b ）内任取两个数x1, x2 ,使 ax1x2b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 ugx 在区间a,b ）上是减函数,所以g x1 g x2 , 记 u1g x1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_u 2gx2 即 u1u 2, 且u1 , u2c, d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于函数 yf u 在区间 c,d上是减函数,所以f u1 f u2 ,
14、即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f g x1f g x2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故函数 yf g x 在区间a,b ）上是增函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）复合函数单调性的判定复合函数的单调性是由两个函数共同打算.为了记忆便利, 我们把它们总结成一个图表：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf u增 减 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ugx增 减 增 减 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
15、_精品资料_yf g x增 减 减 增 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以上规律仍可总结为： “同向得增,异向得减”或“同增异减”.（ 3）、复合函数 yf g x 的单调性判定步骤： 确定函数的定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 将复合函数分解成两个简洁函数：yf u 与 ug x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 分别确定分解成的两个函数的单调性. 如两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数,或都是减函数）,就复合后的函数 yf gx 为增函数.如两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
16、_精品资料_增函数,而另一个是减函数）,就复合后的函数yf gx 为减函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）例题演练例 1、 求函数 y1logx222x3 的单调区间,并用单调定义赐予证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：定义域x 22 x30x3或x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_单调减区间是3,设 x1, x23,且x1x2 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2y1log
17、 1 x122x13y2log1 x222x23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x12 x1322x22x23= x2x1 x2x12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x2x13 x2x10x2x120可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x12 x13 x 22x23又底数 0112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 y2y10即y2y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
18、 y 在 3, 上是减函数同理可证： y 在 , 1 上是增函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2、争论函数f xlog a3x22x1 的单调性 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解由3x22x110 得函数的定义域为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x | x1,或x.a3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就当 a函数 .1 时,如 x1 , u3x22x1为增函数, f xlog 3x22x1 为增可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1如 x, u33x22x1为减函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_
19、精品资料_a f xlog 3x22x1 为减函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a当 0a1 时 , 如 x1 , 就f xlog3x22x1为 减 函 数 , 如 x1 , 就3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xlog 3x22x1 为增函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3、. 已知 y= log a 2-解： a 0 且 a 1当 a1 时,函数 t=2-axa 在 0, 1上是 x 的减函数,求a 的取值范畴 .aa x 0 是
20、减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 y= log a a 12-a x 在 0, 1上 x 的减函数,知y= logt 是增函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 x0, 1时, 2- a x 1 a 22-a 0, 得 a 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a当 0a0 是增函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 y= log a 0a12-a x 在 0, 1上 x 的减函数,知y= logt 是减函数,可编辑资料 - -
21、 - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 x0, 1时, 2- a x2-1 0, 0a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上述, 0a1 或 1 a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4 、 已 知 函 数f x2ax2a3 xa2 （ a 为 负 整 数 ） 的 图 象 经 过 点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ m2,0, mR ,设g xf fx, F xpg xf x .问是否存在实数p p0 使得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可
22、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F x 在区间 , f 2 上是减函数,且在区间 f 2,0 上是减函数？并证明你的结论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析由已知f m20 ,得am2a3ma20 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 mR, a0.0 即 3a22a90 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 1273a127 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a
23、为负整数, a1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 f x2x4x3 x221 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 f xx21.g xf f x x21 21x42 x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ F xpg xf xpx42 p1 x21.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设存在实数p p0 ,使得F x 满意条件,设x1x2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资
24、料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ F x1 F x2 x2x2 p x2x2 2 p1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1212 f 23 ,当x1, x2, 3 时,F x 为减函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ F x1 F x2 0 , 220,p x2x2 2 p10.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx12212 x13, x23 ,2218 ,可编辑资料 - - - 欢
25、迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx112p x2 16px2 2 p 10.116 p1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x1 , x2 3,0 时, F x增函数 ,F x1 F x2 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 x 220 ,p x 2x2 2 p116 p1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x122 16 p10.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由、可知 p11,故存在 p. 1616可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
26、_精品资料_A（, 1）B（2,）3 ）C（,2解析： 先求函数定义域为（D（ 3 ,）o,1）（ 2,）,令 t（ x） x23 x 2,函数t（ x）在（, 1）上单调递减,在（ 2,）上单调递增,依据复合函数同增异减的原就,函数 y log 1 （x2 3x 2）在（ 2,）上单调递减2答案： B2 找出以下函数的单调区间.（ 5）同步练习：1. 函数 y log 1 （ x2 3x 2）的单调递减区间是（）22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） ya x23x 2 a1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资
27、料_（ 2） y2x 22x 3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： 1在 , 3 上是增函数,在2 3 ,2 上是减函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）单调增区间是1,1 ,减区间是1,3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、争论 yloga x1, a0,且a0 的单调性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a答案： a1,时
28、 0, 为增函数, 1a0 时, ,0 为增函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4求函数 y log 1 （ x2 5x 4）的定义域、值域和单调区间3解： 由 （ x） x2 5x 4 0,解得 x4 或 x 1,所以 x（, 1 ）（ 4,）,当 x（, 1）（ 4,）, x25 x 4 R ,所以函数的值域是R 因为函数 y log 1 （ x2 5x 4）是由3y log 13（ x）与（ x） x25 x 4 复合而成,函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数 y5log1（ x）在其定义域上是单调递减的,函数（ x） x2 5x 4 在（,）32可编辑
29、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上为减函数, 在5, 上为增函数 考虑到函数的定义域及复合函数单调性,y log 123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（x2 5x 4）的增区间是定义域内使y log 1（ x）为减函数、（ x） x2 5x 4也3为减函数的区间, 即（, 1）.ylog 1（x25x 4）的减区间是定义域内使y log 133（x） 为减函数、（x） x2 5x 4 为增函数的区间,即（4,）变式练习可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、挑选题1. 函数 f（ x）log 1 x12的定
30、义域是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A（1,）B（ 2,）C（, 2）D 1,2解析： 要保证真数大于 0,仍要保证偶次根式下的式子大于等于0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x10所以 log 1 x120 解得 1x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： D2. 函数 y log 1 （ x2 3x 2）的单调递减区间是（）2A（, 1）B（ 2,）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C（,3 ）D（23 ,）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 先求函数定义域为（ o,1）（ 2,）,令 t（ x）
31、 x23 x 2,函数 t（ x） 在（, 1）上单调递减,在（ 2,）上单调递增,依据复合函数同增异减的原就,函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数 ylog 12（x2 3x 2）在（ 2,）上单调递减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： B3. 如 2 lg （ x2y） lg x lg y,就y 的值为（）x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A4B 1 或 14C 1 或 4D 14错解： 由 2 lg （ x 2y） lg x lg y,得（ x2y）2 xy,解得 x4y 或 xy,就有 yx1x或 14y答案： 选 B正解： 上述解法忽视了真数大于0 这个条件,即x2y0,所以 x 2y所以 x y 舍掉只有 x 4y答案： D可编辑资料 - - -