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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第一篇、复合函数问题一、复合函数定义：设 y=fu的定义域为A,u=gx 的值域为 B,如 AB,就 y 关于 x 函数的 y=f gx 叫做函数 二、复合函数定义域问题：（一）例题剖析：f 与 g 的复合函数, u 叫中间量 .名师归纳总结 1、已知 f x 的定义域,求f g x 的定义域第 1 页,共 12 页思路：设函数f 的定义域为D,即 xD,所以f的作用范畴为D,又 f 对 g x 作用,作用范畴不变,所以gxD,解得 xE ,E为 f g x 的定义域；例 1. 设函数 f u 的定义域为（ 0,1）,就函数flnx 的定义域为
2、 _；解析：函数f u 的定义域为（ 0, 1）即 u0,1 ,所以 f 的作用范畴为（0,1）又 f 对 lnx 作用,作用范畴不变,所以0ln x1解得 x 1,e ,故函数flnx 的定义域为（ 1,e）例 2. 如函数 f x11,就函数 f f x 的定义域为 _；解析：先求f 的作用范畴,由f x11,知 x1即 f 的作用范畴为xR x1,又 f 对 fx作用所以 f x R 且f x 1,即 ff x 中 x 应满意x11f x x1即x111,解得 x1 且x2故函数 ff x 的定义域为xR x1 且x2（2）、已知 f g x 的定义域,求f 的定义域思路：设 f g x
3、 的定义域为D,即 xD ,由此得 g x E,所以 f 的作用范畴为E,又 f 对 x 作用,作用范畴不变,所以xE,E为 f x 的定义域；例 3. 已知 f32x的定义域为 x1,2,就函数f x 的定义域为 _；解析： f32x的定义域为1,2,即 x1,2,由此得 32x1,5所以 f 的作用范畴为1,5,又 f 对 x 作用,作用范畴不变,所以x1,5- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即函数 f 的定义域为1,52例 4. 已知 f x 24 lg 2 x,就函数 f 的定义域为 _；x 82 2解析：先求 f 的作用范畴,由 f x 24
4、 lg 2 x,知 2 x 0x 8 x 8解得 x 24 4 ,f 的作用范畴为 4,又 f 对 x 作用,作用范畴不变,所以x 4,即 f 的定义域为 4,（3）、已知 f g x 的定义域,求 f h x 的定义域思路：设 f g x 的定义域为 D,即 x D ,由此得 g x E, f 的作用范畴为 E,又 f 对 h x 作用,作用范畴不变,所以 h x E,解得 x F ,F 为 f h x 的定义域；例 5. 如函数 f 2 x 的定义域为 1,1,就 f log 2 x 的定义域为 _；解析： f 2 x 的定义域为 1,1,即 x 1,1,由此得 2 x 1,221f 的作
5、用范畴为,22又 f 对 log 2 x 作用,所以 log 2 x 1,2,解得 x 2,42即 f log 2 x 的定义域为 2,4评注：函数定义域是自变量 x 的取值范畴（用集合或区间表示）f 对谁作用,就谁的范围是 f 的作用范畴, f 的作用对象可以变,但f 的作用范畴不会变；利用这种理念求此类定义域问题会有“ 得来全不费功夫” 的感觉,值得大家探讨；（二）同步练习：名师归纳总结 1、 已知函数fx的定义域为0,1,求函数fx2的定义域；第 2 页,共 12 页答案：,11f32x的定义域为3,3,求fx的定义域；2、 已知函数- - - - - - -精选学习资料 - - - -
6、 - - - - - 答案：,39x3、 已知函数yfx2的定义域为,10,求f|2x1|的定义域；x）答案：1,0 ,13224、设fxlg2x,就fxf2的定义域为（2x2x A.4 0,04B. ,41,1 42,C. ,21,1 2D.,422 , 4解：选 C.由2 2x0得,f x 的定义域为x| 2x2；故22,解得x222.x4, 11,4；故fxf2的定义域为4, 11,42x0的定义域；5、已知函数fx的定义域为x1,3,求gxfaxfxa22a解析由已知,有1ax3,1xx3,222a2a1x3 2,a3 2a .2a2（1）当a1时,定义域为x|1x3；22（2）当33
7、a,即0a1时,有1a,2a22 a2定义域为x|ax3a ；22（3）当33a,即a1时,有1a,2a22a2定义域为x|1x3. 2a2 a故当a1时,定义域为x|1x3；2a2a当0a1时,定义域为x|ax3a .22点评对于含有参数的函数,母的方法；三、复合函数单调性问题求其定义域, 必需对字母进行争论,要留意摸索争论字名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）引理证明函数已知函数yfgx. 如ugx在区间a,b）上是减函数,其值域为c ,d ,又yfua,b）上在区间 c,d 上是减函数,那么,原复合函数y
8、fgx在区间是增函数 . u2证明：在区间a,b）内任取两个数x 1, x 2,使ax 1x2bu 1gx 1, 由于ug x 在区间a,b）上是减函数,所以gx 1g x2, 记gx2即u 1u2,且u 1,u 2c ,df由于函数yfu在区间 c,d上是减函数,所以f u 1fu 2, 即gx 1fgx2,故函数yfgx 在区间a,b）上是增函数 . （2）复合函数单调性的判定复合函数的单调性是由两个函数共同打算；为了记忆便利, 我们把它们总结成一个图表：y f u 增 减 u g x 增 减 增 减 y f g x 增 减 减 增 以上规律仍可总结为： “ 同向得增,异向得减” 或“ 同
9、增异减”. （3）、复合函数 y f g x 的单调性判定步骤： 确定函数的定义域； 将复合函数分解成两个简洁函数：y f u 与 u g x ； 分别确定分解成的两个函数的单调性； 如两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数,或都是减函数）,就复合后的函数 y f g x 为增函数；如两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数,而另一个是减函数）,就复合后的函数 y f g x 为减函数；（4）例题演练例 1、 求函数ylog1x22x3 的单调区间,并用单调定义赐予证明2名师归纳总结 解：定义域x22x30x3 或x1第 4 页,共 12 页- - - - - - -精选学
10、习资料 - - - - - - - - - 单调减区间是3 ,设x 1,x 2,3且x 1x 2就y 1log1x 122x 13 y2log1x222x 23f x log a 3 x 22 x1为增22x 122x 13 x 222 x 23=x2x 1x2x 12 x 2x 13x 2x 10x 2x 120x 122x 13 2 x 22 x 23 又底数0112y2y 10即y 2y 1 y 在,3上是减函数同理可证：y 在,1 上是增函数例 2、争论函数fx loga 3 x22 x1的单调性 . 解由3x22x10得函数的定义域为x|x,1或x1 . 3就当a1时,如x1,u3
11、x22x1为增函数, 函数 . f如x1,u3x 22x1为减函数 . 1, 就3fx loga 3 x 22 x1为减函数；当0a1时 , 如x1, 就fx lo g a 3 x22x1为 减 函 数 , 如x3x lo g 3 x 22 x1为增函数 . 例 3、. 已知 y=log 2-x a 在 0, 1上是 x 的减函数,求a 的取值范畴 . 解： a0 且 a 1 当 a1 时,函数 t=2-x a 0 是减函数y=log t 是增函数,a由 y=log 2-aax在 0,1上 x 的减函数,知a1 由 x0, 1时, 2-ax2-a 0, 得 a 2, 1a2 当 0a0 是增函
12、数y=log t 是减函数,由 y=log 2-ax在 0,1上 x 的减函数,知0a1由 x0, 1时, 2-ax2-1 0, 0a1 综上述, 0a1 或 1 a2名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 4 、 已 知 函 数fx2 ax2a3 xa2（ a 为 负 整 数 ） 的 图 象 经 过 点m2, 0 ,mR,设gxffx,Fx pgxfx.问是否存在实数p p0使得Fx 在区间,f2上是减函数,且在区间 f2,0上是减函数？并证明你的结论；解析由已知fm20,得am 2a3 ma20,其中mR,a0.
13、0 即3a22a90,解得127a127.33 a 为负整数,a1.fx2x4x3x221,即fxx21.gx ffx x21 21x42x2,Fx pgxfxpx42p1x 21.假设存在实数p p0,使得Fx 满意条件,设x 1x 2,Fx 1Fx2x 1 2x 2 2px 1 2x 2 22p1 .f23,当x 1 x 2,3 时,Fx 为减函数,Fx 1Fx20,x 1 2x 2 2,0px 1 2x2 22p10.x 1,3x 23,x 1 2x 2 218, px 1 2x 2 22p116p1, 16p10.当x 1 x 2,30 时,Fx 增函数 ,Fx 1Fx 20.x 1
14、2x2 20,px 1 2x 2 22p116p1, 16p10. 由、可知p1,故存在p1.1616（5）同步练习：1函数 ylog1（x 2 3x2）的单调递减区间是（）2A（, 1）B（2,）C（,3 ）2解析： 先求函数定义域为（在（, 1）上单调递减,在（D（3 ,）2o,1）（ 2,）,令t（x）x 23x2,函数 t（ x）2,）上单调递增,依据复合函数同增异减的原就,函数 ylog1（x 23x2）在（ 2,）上单调递减2答案： B 名师归纳总结 2 找出以下函数的单调区间. 第 6 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （
15、1）yax23 x2 a1；（2）y 2 x 2 2 x 3 .答案： 1在 , 3 上是增函数,在 3, 上是减函数；2 2（2）单调增区间是 1,1,减区间是 3,1 ；3、争论 y log a a x1 , a 0 , 且 a 0 的单调性；答案：a 1 , 时 0 , 为增函数,1 a 0 时, , 0 为增函数；4求函数 ylog （ x 25x4）的定义域、值域和单调区间3解：由（x）x 25x40,解得 x4 或 x1,所以 x（, 1）（ 4,）,当 x（, 1）（ 4,）,x 25x4 R,所以函数的值域是 R因为函数 ylog （ x 25x4）是由 ylog 1（x）与（
16、 x） x 25x4 复合而成,函3 3数 ylog 1（ x）在其定义域上是单调递减的,函数（x） x 25x4 在（,5 ）3 2上为减函数, 在5 ,上为增函数 考虑到函数的定义域及复合函数单调性,ylog 12 3（x 2 5x4）的增区间是定义域内使 ylog 1（x）为减函数、（x） x 25x4 也3为减函数的区间,即（, 1）；ylog （x 25x4）的减区间是定义域内使ylog1（x）为减函数、33（x） x 25x 4 为增函数的区间,即（4,）变式练习一、挑选题1函数 f（x）log1x1 的定义域是（）2名师归纳总结 A（1,）B（ 2,）0,第 7 页,共 12 页
17、C（, 2）D ,解析： 要保证真数大于0,仍要保证偶次根式下的式子大于等于- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以x100解得 1x2log1x1 2答案： D 2函数 ylog1（x 2 3x2）的单调递减区间是（）2A（, 1）B（ 2,）C（,3 ）2D（3 ,）2解析： 先求函数定义域为（在（, 1）上单调递减,在（o,1）（ 2,）,令 t（ x） x 23x2,函数 t（ x）2,）上单调递增,依据复合函数同增异减的原就,函数 ylog1（x 23x2）在（ 2,）上单调递减2答案： B 3如 2 lg （x2y） lg x lg y,就y
18、 的值为（x）yA4 B1 或14C 1 或 4 D14错解： 由 2 lg （x2y） lg x lg y,得（x2y）2xy,解得 x4y 或 xy,就有x1 或 4x 1y答案： 选 B 正解： 上述解法忽视了真数大于0 这个条件,即x2y0,所以 x2y所以 x y 舍掉只有 x4y答案： D 名师归纳总结 4如定义在区间（1,0）内的函数f（x）log2a（x 1）满意 f（x） 0,就 a第 8 页,共 12 页的取值范畴为（）A（0,1 ）2B（ 0,1 ）2C（1 ,）2D（ 0,）解析： 由于 x（ 1,0）,所以 x1（ 0, 1）当 f（x） 0 时,依据图象只有0- -
19、 - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2al,解得 0a1 （依据本节思维过程中第四条提到的性质）2答案： A 5函数 y lg （2 1x1）的图象关于（）ylg1x或 ylg1xAy 轴对称Bx 轴对称C原点对称D直线 yx 对称解析： y lg （2x1）lg1x,所以为奇函数形如11x1x1x的函数都为奇函数答案： C 二、填空题已知 ylog （2ax）在 0,1上是 x 的减函数,就 a 的取值范畴是 _解析： a0 且 a 1（x） 2ax 是减函数,要使 ylog （2ax）是减函数,就 a1,又 2ax0 a2 （0x1）a2,所以 a（ 1,
20、2）3答案： a（ 1,2）7函数 f（x）的图象与 g（x）（1 ）x 的图象关于直线 yx 对称,就 f（2xx2）3的单调递减区间为 _解析： 由于 f（x）与 g（x）互为反函数,所以 f（x）log x3就 f（ 2xx 2）log （2xx 2）,令（x） 2x x 20,解得 0x23（x） 2xx 2在（ 0,1）上单调递增,就f（x）在（ 0,1）上单调递减；（x） 2xx 2在（ 1,2）上单调递减,就f（x）在 1,2）上单调递增所以 f（2xx 2）的单调递减区间为（0,1）答案：（0,1）8已知定义域为R 的偶函数 f（x）在 0,上是增函数,且f（1 ） 0,2就不
21、等式 f（log4x）的解集是 _名师归纳总结 解析： 由于 f（x）是偶函数,所以f（1 ） f（21 ） 0又 f（ x）在 0,2第 9 页,共 12 页上是增函数, 所以 f（x）在（, 0）上是减函数 所以 f（ log4x）0log4x1 或 log4x 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1 2解得 x2 或 0x1 2答案： x2 或 0x1 2三、解答题9求函数 ylog （ x 25x4）的定义域、值域和单调区间3解： 由（x） x25x40,解得 x4 或 x1,所以 x（, 1）（ 4,）,当 x（, 1）（ 4,）,x 25x
22、4 R,所以函数的值域是 R由于函数 ylog （x 25x 4）是由 ylog 1（x）与（ x）x 25x 4 复合而成,3 3函数 ylog 1（ x）在其定义域上是单调递减的,函数（x）x 25x 4 在（,5 ）3 2上为减函数, 在5 ,上为增函数 考虑到函数的定义域及复合函数单调性,ylog 12 3（x 2 5x4）的增区间是定义域内使 ylog 1（x）为减函数、（x） x 25x4 也3为减函数的区间,即（, 1）；ylog （x 25x4）的减区间是定义域内使ylog133（x）为减函数、（x） x 25x 4 为增函数的区间,即（4,）10设函数 f（x）323lg 3
23、2x,x52x（1）求函数 f（x）的定义域；（2）判定函数 f（x）的单调性,并给出证明；（3）已知函数f（x）的反函数f1（x）,问函数 yf1（ x）的图象与x 轴有交点吗 .如有,求出交点坐标；如无交点,说明理由名师归纳总结 解：（1）由 3x5 0 且32x 0,解得 x 5 且33 x23 取交集得23 x 2第 10 页,共 12 页32x3 2（2）令（x） 3x5,随着 x 增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数；32x 16x随着 x 增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数32x32- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又 ylgx
24、 在定义域内是增函数,依据复合单调性可知,y3lg 32x是减函数,所以f2x（x）323lg 32x是减函数x52x（3）由于直接求 f（x）的反函数特别复杂且不易求出,于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解设函数 f（x）的反函数 f1（x）与工轴的交点为（x0,0）依据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知,f（x）与 y 轴的交点是（ 0,x0）,将（ 0,x0）代入 f（ x）,解得 x02 所以函数 y f1（x）的图象与 x 轴有交点,交点为（2 ,0）；5 5一 指数函数与对数函数同底的指数函数yx a 与对数函数ylog ax互为反函数；（二）主要方法：1解决与对数
25、函数有关的问题,要特殊重视定义域；名师归纳总结 2指数函数、对数函数的单调性打算于底数大于1 仍是小于 1,要留意对底数的争论；第 11 页,共 12 页3比较几个数的大小的常用方法有：以0 和1为桥梁；利用函数的单调性；作差（三）例题分析：例 1（1）如a2ybza1,就 log bb, logb a , log a b 从小到大依次为；a（2）如 2x35,且 x,y ,z 都是正数,就 2x ,3y ,5z 从小到大依次为（3）设x0,且axbx1（aa0,b0）,就 a 与 b 的大小关系是（ C ） 1 b a（ D ）1（b）（ A ）ba1（ B ）b1a解：（1）由a2ba1得
26、b aa,故 log bblog b a1log a b a（ 2）令 2x3y5zt ,就t1,xlgt,ylgt,zlgt,lg 2lg 3lg52x3y2lgt3lgtlgtlg9lg80, 2x3y ；lg 2lg3lg 2 lg3同理可得： 2x5z0, 2x5z , 3y2x5 z （3）取x1,知选（ B ）例 2已知函数fx x axf x 在 1,2a1,f x 0没有负数根1求证：（1）函数 上为增函数； （ 2）方程证明：（1）设1x 1x ,就f x 1f x2ax 1x 12ax 2x 22x 11x 21ax 1ax 2x 12x 22ax 1ax 23x 1x21
27、,x 11x21x 11x 21x 1x ,x 110,x 210,x 1x 20,3x 1x210；x 11x 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1x 1x ,且a1,ax 1ax 2,ax 1ax 20,f x 1f x 20,即f x 1f x 2,函数f x 在 1,2 上为增函数；ax 01,（2）假设0x 是方程f x 0的负数根,且x 01,就ax 0x 020,x 01即ax 020x03x 01x 0311,而由a1知x1x0111,x 0313,x0311当1x 00时,0x 0式不成立；当 x 0 1 时,x 0 1 0,30,
28、31 1,而 a x 00,x 0 1 x 0 1式不成立综上所述,方程 f x 0 没有负数根例 3已知函数 f log a a x 1（a 0 且 a 1）（高考 A 方案考点 15,例 4）求证：（1）函数 f x 的图象在 y 轴的一侧；（2）函数 f x 图象上任意两点连线的斜率都大于 0 x x证明：（1）由 a 1 0 得：a 1,当 a 1 时,x 0,即函数 f x 的定义域为 0, ,此时函数 f x 的图象在 y 轴的右侧；当 0 a 1 时,x 0,即函数 f x 的定义域为 ,0 ,此时函数 f x 的图象在 y 轴的左侧名师归纳总结 函数f x 的图象在y 轴的一侧
29、；x ,2x 11,第 12 页,共 12 页（2）设A x 1,y 1、B x 2,y 2是函数f x 图象上任意两点,且x 1就直线AB的斜率ky 1y2,y 1y2log ax 11log ax 21logaaax 21x 1x2当a1时,由（ 1）知0x 1x ,21ax 1ax 2,0ax 11ax 21,0ax 1111,y 1y 20,又x 1x 20,k0；x 1x 2a1当 0x 1x 20,ax 1ax 21,a1ax210,a时,由（ 1）知ax 111,y 1 y 2 0,又 x 1 x 21f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0,k0ax 20 函数- - - - - - -