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1、精品_精品资料_第一章集合与简易规律集合及其运算一集合的概念、分类：二集合的特点： 确定性三表示方法： 列举法四两种关系： 无序性 互异性描述法 图示法 区间法从属关系：对象五三种运算：、集合.包含关系：集合、集合交集： AB x | x并集： A x | x补集： U A x | xA且xA或x U且xBBBA六运算性质： AA , A 空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集 假设 AB,就 ABA , AB A （ U A）B , A （ U A） U , （UU A ） A （ U A）（ U B） （U AB ）,（ U A ）（ U B） （U AB ）可编辑资料 - - -
2、欢迎下载精品_精品资料_ 集合 a , a ,a , a 的全部子集的个数为2n ,全部真子集的个数为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_123n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n1,全部非空真子集的个数为2n2 ,全部二元子集含有两个元素可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的子集的个数为一规律联结词：C 2 n简易规律可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 命题是可以判定真假的语句的语句,其中判定为正确的称为真命题, 判定为错误的为假命题2. 规律联结词有“或”、“且”、“非”3. 不含有规律联结词的命题, 叫做简洁命题, 由简洁命题再
3、加上一些规律联结词构成的命题叫复合命题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 真值表：pq非 pp 且 qP 或 q真真真真假真假假真假真假真真假假假假二四种命题：1原命题：假设 p 就q逆命题：假设 P 就 q,即交换原命题的条件和结论.否命题：假设 q 就 p,即同时否认原命题的条件和结论.逆否命题：假设 P就 q,即交换原命题的条件和结论,并且同时否认 2四个命题的关系： 原命题为真,它的逆命题不肯定为真. 原命题为真,它的否命题不肯定为真. 原命题为真,它的逆否命题肯定为真 三充分条件与必要条件1. “假设 p 就q ”是真命题,记做 pq , “假设 p 就q ”为假命
4、题,记做 pq,2. 假设 pq ,就称 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件3假设pq ,且pq,就称p 是q 的充分非必要条件.假设pq ,且pq ,就称p 是q 的必要非充分条件.假设pq ,且pq ,就称p 是q 的充要条件.假设pq ,且pq ,就称p是 q 的既不充分也不必要条件4假设p 的充分条件是q,就 qp .假设p 的必要条件是q,就 pq 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一分数指数幂与根式：其次章函数指数与对数运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n假如 xa ,就称 x 是a 的
5、n 次方根, 0 的n 次方根为 0,假设 a0,就当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 为奇数时, a 的 n 次方根有 1 个,记做 n a .当 n 为偶数时,负数没有 n 次方根,正数 a 的n 次方根有 2 个,其中正的 n 次方根记做 n a 负的 n 次方根记做n a 1. 负数没有偶次方根.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 两个关系式： n a na . nanan为奇数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| a | n为偶数m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、正数的正分数指数幂的意义：正数的负分数指数幂的意义：
6、a nn am .ma n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、分数指数幂的运算性质：n am可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m n amanam n . amanam n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ aa mn . a b mambm .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a01 ,其中 m、 n 均为有理数, a , b 均为正整数二对数及其运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 定义：假设 ab2. 两个对数：N a0 ,且 a1 , N0 ,就 blog a N 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
7、_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 常用对数： a10 , blog 10 Nlg N .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 自然对数： ae 3三条性质：2.71828, blog e Nln N 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1 的对数是 0,即 log a 10 . 底数的对数是 1,即 log a a1 . 负数和零没有对数4. 四条运算法就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ log MN logMlogN . logMlogMlogN .可编辑资料 - - -
8、欢迎下载精品_精品资料_aaaaaaN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n logMn logM .nlogM1logM 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aaaan5. 其他运算性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 对数恒等式：alog a bb.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 换底公式：log a blog c a .log c b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ log a blog b clog a c . lo
9、g a blog b a1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n log am bn logb ma函数的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一映射：设 A、B 两个集合,假如依据某中对应法就f ,对于集合 A 中的任意一个元素,在集合 B 中都有唯独的一个元素与之对应,这样的对应就称为从集合 A 到集合 B 的映射二函数：在某种变化过程中的两个变量x 、 y ,对于 x 在某个范畴内的每一个确定的值, 依据某个对应法就, y 都有唯独确定的值和它对应, 就称 y 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 的函数,记做yf x,其中 x 称为自变量,
10、 x 变化的范畴叫做函数的定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_义域,和 x 对应的 y 的值叫做函数值,函数值 y 的变化范畴叫做函数的值域三函数 yf x 是由非空数集 A到非空数集 B 的映射四函数的三要素：解析式.定义域.值域函数的解析式一依据对应法就的意义求函数的解析式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例如：已知 f x1x2x,求函数f x的解析式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二已知函数的解析式一般形式,求函数的解析式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例如：已知f x是一次函数,且f f x4x3 ,函数f x的解析式可
11、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三由函数f x的图像受制约的条件,进而求函数的定义域f x的解析式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一依据给出函数的解析式求定义域： 整式： xR 分式：分母不等于 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 偶次根式：被开方数大于或等于0 含 0 次幂、负指数幂：底数不等于0 对数：底数大于 0,且不等于 1,真数大于 0二依据对应法就的意义求函数的定义域：例如：已知 yf x 定义域为 2,5 ,求 yf 3x2 定义域.已知 yf 3 x2 定义域为 2,5 ,求 yf x
12、 定义域.三实际问题中,依据自变量的实际意义打算的定义域函数的值域一基本函数的值域问题：名称解析式值域一次函数ykxbRa0 时, c4ac4ab2,二次函数yax2bxa0 时, ,4ac4ab 2反比例函数y指数函数ykx ax y | yR ,且 y0 y | y0对数函数ylog a xR三角函数yyysin xcosxtan x y |1y1R二求函数值域最值的常用方法：函数的值域打算于函数的解析式和定义域,因此求函数值域的方法往往取决于函数解析式的结构特点,常用解法有：观看法、配方法、换元法代数换元与三角换元、常数别离法、单调性法、不等式法、 * 反函数法、 * 判别式法、 * 几
13、何构造法和 * 导数法等反函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一反函数：设函数yf xxA的值域是 C ,依据这个函数中 x , y 的关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_系,用 y 把 x 表示出,得到 x y假设对于 C 中的每一 y 值,通过可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x y ,都有唯独的一个 x 与之对应, 那么,x y 就表示 y 是自变量,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 是 自 变 量 y 的 函 数 , 这 样 的 函 数 x y yC叫 做 函 数可编辑资料 -
14、 - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x xA 的反函数,记作x f 1 y ,习惯上改写成y f 1 x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二函数f x存在反函数的条件是： x 、 y 一一对应可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三求函数f x的反函数的方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 求原函数的值域,即反函数的定义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 反解,用 y 表示 x ,得 xf
15、1 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 交换 x 、 y ,得 yf 1 x 结论,说明定义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四函数yf x 与其反函数 yf1x 的关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 函数yf x 与 yf1x 的定义域与值域互换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 假设yf x 图像上存在点 a, b ,就 yf1 x 的图像上必有点 b, a ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即假设f ab ,就 f1ba 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_
16、精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 函数yf x 与 yfx 的图像关于直线 yx 对称1函数的奇偶性：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一定义：对于函数f x 定义域中的任意一个 x ,假如满意 f xf x ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_称函数f x为奇函数.假如满意f xf x,就称函数f x为偶函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二判定函数 f x 奇偶性的步骤：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.
17、判定函数不对称.f x的定义域是否关于原点对称,假如对称可进一步验证,假如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 验证f x 与 f x 的关系,假设满意f xf x ,就为奇函数,假设满可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_足 f xf x ,就为偶函数,否就既不是奇函数,也不是偶函数二奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三已知f x 、g x分别是定义在区间 M 、 N MN 上的奇偶函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数,分别依据条件判定以下函数的奇偶性f xg xf x奇奇奇奇偶偶奇偶
18、1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf xg xf xgxf xg x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_奇奇 偶奇奇可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_偶偶偶偶偶可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_五假设奇函数f x的定义域包含 0 ,就f 00 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_六一次函数 ykxb k0 是奇函数的充要条件是 b0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二次函数yax2bxc a0 是偶函数的充要条件是 b0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精
19、品_精品资料_一定义：对于函数函数的周期性：f x ,假如存在一个非零常数 T ,使得当 x 取定义域内的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_每一个值时,都有一个周期f xT f x ,就f x为周期函数, T 为这个函数的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2假如函数f x全部的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_做 f x的最小正周期假如函数f x的最小正周期为 T ,就函数f ax 的可编辑资料 - - - 欢迎
20、下载精品_精品资料_最小正周期为T| a |函数的单调性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一定义：一般的,对于给定区间上的函数f x ,假如对于属于此区间上的任可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_意两个自变量的值x1 , x2 ,当 x1x2 时满意：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f x1 f x1f x2 ,就称函数 f x2 ,就称函数f x 在该区间上是增函数. f x 在该区间上是减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二判定函数单调性的常用方法：1定义法： 取值. 作差、变形.
21、 判定： 定论：*2 导数法： 求函数 fx的导数 f x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解不等式 解不等式f x0 ,所得 x 的范畴就是递增区间.f x0 ,所得 x 的范畴就是递减区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 复合函数的单调性：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于复合函数yf g x ,设 ug x ,就yf u,可依据它们的单调性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_确定复合函数 yf gx ,详细判定如下表：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf u增增减减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_
22、精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ug x yf g x增减增减增减减增可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 奇函数在对称区间上的单调性相反.偶函数在对称区间上的单调性相同函数的图像一基本函数的图像二图像变换：yf xyf xk将 y位,可得yf x 图像上每一点向上f xk 的图像 k0 或向下 k0 平移 | k | 个单yf xyf xh将 y位,可得yf x 图像上每一点向左f xh 的图像 h0 或向右 h0 平移 | h | 个单yf xyaf x将 yf x 图像上的每一点横坐标保持不变,纵坐标拉伸 a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
23、_精品资料_或压缩 0a1 为原先的 a 倍,可得yaf x 的图像可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf xyf ax将 yf x 图像上的每一点纵横坐标保持不变,横坐标压缩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a1 或拉伸 0a1 为原先的 1a,可得yf ax 的图像可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf xyf x关于 y 轴对称yf xyf x关于 x 轴对称yf xyf | x |将 yf x 位于 y 轴左侧的图像去掉, 再将 y 轴右侧的图像沿 y 轴对称到左侧,可得 yf | x | 的图像可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料
24、_yf xy| fx |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将 yf x 位于 x 轴下 方 的部 分沿 x 轴 对称 到上 方 , 可得y| f x | 的图像三函数图像自身的对称关系图像特点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf x关于 y 轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf x关于原点对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f axf xa关于 y 轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -
25、 欢迎下载精品_精品资料_f axf ax关于直线 xa 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf ax关于直线 xa 轴对称2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f axf bx关于直线 xab 对称2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf xa周期函数,周期为 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四两个函数图像的对称关系图像特点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x 与yf x关于 y 轴对称可编辑资料 - - -
26、 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x 与yf x关于 x 轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x 与yf x关于原点对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x 与 yf1 x关于直线 yx 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf xa 与yf ax关于直线 xa 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精
27、品_精品资料_yf ax 与f ax关于 y 轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第三章数列数列的基本概念一数列是依据肯定的次序排列的一列数,数列中的每一个数都叫做这个数列的项二假如数列 an 中的第 n 项 an 与项数 n 之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公事,它实质是定义在正整数集或其有限子集的函数解析式三数列的分类：按项的特点可分为递增数列、递减数列、常数列、摇摆数列按项数可分为有穷数列和无穷数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四数列的前 n 项和： Sna1a2S1a3an 1ann1可编辑资料 - - - 欢迎下载精
28、品_精品资料_Sn 与 an 的关系： anSnSn 1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_五假如已知数列 an 的第 1 项或前几项 ,且任一项an 与它的前一项an 1或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_前几项间的关系可以用一个公式来表示, 那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 递推公式也是给出数列的一种方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：在数列 an 中, a11 ,a1ann121,其中1aann 121 即为数列 an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的递推公式,依据数列的递推公式可以求出数列中的每一项,同时可依据数列可
29、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的前几项推断出数列 an进行证明的通项公式,至于推测的合理性,可利用数学归纳法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如上述数列 an ,依据递推公式可以得到：n3a2, a3 27, a4415 ,8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5na31 ,进一步可推测 a21 162 n 1等差数列一定义：假如一个数列从第 2 项起,每一项与前一项的差是同一个常数,那 么这个数列就叫做 等差数列 ,这个常数叫做等差数列的公差, 通常用字母 d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资
30、料_表示 二通项公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设已知a1 、d ,就 ana1n1d .假设已知am 、d ,就anamnmd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三前 n 项和公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设已知a ,a ,就 Sa1ann .假设已知a 、d ,就 Snan n1) d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1nn21n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2注： 前 n 项和公式 Sn 的推导使用的是倒序相加法的方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 在数列 an中,通项公式a
31、n ,前 n 项和公式Sn 均是关于项数 n 的函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在等差数列 an 通项公式 an 是关于 n 的一次函数关系, 前 n 项和公式 Sn是关于 n 的没有常数项的二次函数关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 在等差数列中包含a1、 d 、 n 、 an 、Sn 这五个基本量,上述的公式中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_均含有 4 基本量, 因此在数列运算中, 只需知道其中任意 3 个,可以求出其余基本量四假如 a 、 b 、 c 成等差数列,就称 b 为a 与c 的等差中项,且 bac 2五证明数列 an 是等
32、差数列的方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 利用定义证明： anan 1d n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 利用等差中项证明：3. 利用通项公式证明：b ac 2ananb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n4. 利用前 n 项和公式证明： San2bn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_六性质：在等差数列 an 中,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 假设某几项的项数成等差数列,就对应的项也成等差数列,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即：假设 假设 mn2k ,就 aman2ak 可
33、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 假设两项的项数之和与另两项的项数之和相等,就对应项的和也相等,即： 假设 mnkl ,就 amanakal 3. 依次相邻每 k 项的和仍成等差数列,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即： Sk , S2kSk ,S3 kS2k 成等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. an , an1 , an2 ,a2 , a1 仍成等差数列,其公差为d 三等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一定义：假如一个数列从第 2 项起,每一项与前一项的比都是同一个常数, 那么这个数列就叫做 等比数列 ,这个常数叫做等比数列的公比,通常用宇母 q q0 表示二通项公式：可编辑资料 -