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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第一章 集合与简易规律集合及其运算一集合的概念、分类：二集合的特点： 确定性 无序性 互异性三表示方法： 列举法 描述法 图示法 区间法四两种关系：从属关系：对象、集合；包含关系：集合、集合五三种运算：交集：ABx xUA 且xB并集：ABx xA 或xB补集：UAx x且xA 六运算性质：AA , A 空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集 假设 A B,就 A B A , A B B A（U A）,A（U A） U ,（UA） A （U A）（U B）UA B）,（U A）（U B）UA B） 集合 a a a 3 , , a n 的
2、全部子集的个数为 2 n ,全部真子集的个数为2 n1,全部非空真子集的个数为 2 n2,全部二元子集含有两个元素的子集的个数为 C 2简易规律一规律联结词：1命题是可以判定真假的语句的语句,其中判定为正确的称为真命题,判定为错误的为假命题2规律联结词有“ 或” 、“ 且” 、“ 非” 3不含有规律联结词的命题, 叫做简洁命题, 由简洁命题再加上一些规律联结词构成的命题叫复合命题名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4真值表：p q 非 p p 且 q P 或 q 真真假真真真假真假真假真假真假假假假二四种命题：1原命
3、题：假设 p 就 q逆命题：假设 P 就 q,即交换原命题的条件和结论；否命题：假设 q 就 p,即同时否认原命题的条件和结论；逆否命题：假设P就 q,即交换原命题的条件和结论,并且同时否认2四个命题的关系： 原命题为真,它的逆命题不肯定为真； 原命题为真,它的否命题不肯定为真； 原命题为真,它的逆否命题肯定为真三充分条件与必要条件名师归纳总结 1“ 假设 p 就 q ” 是真命题,记做pq ,第 2 页,共 29 页“ 假设 p 就 q ” 为假命题,记做pq,2假设 pq ,就称 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件3假设 pq ,且 pq,就称 p 是 q 的充分非必要条件；
4、假设 pq ,且 pq ,就称 p 是 q 的必要非充分条件；假设 pq ,且 pq ,就称 p 是 q 的充要条件；假设 pq ,且 pq ,就称 p是 q 的既不充分也不必要条件4假设 p 的充分条件是 q,就 qp ；假设 p 的必要条件是 q,就 pq - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其次章 函数指数与对数运算一分数指数幂与根式：假如xna ,就称 x 是 a 的 n次方根, 0 的 n 次方根为 0,假设a0,就当 n 次方n 为奇数时, a 的 n 次方根有 1 个,记做n a ；当 n 为偶数时,负数没有根,正数 a 的 n 次方根有
5、2 个,其中正的 n 次方根记做 n a 1负数没有偶次方根；2两个关系式： n ana ；nanam|an 为奇数a|n 为偶数3、正数的正分数指数幂的意义：nnam；amn1m正数的负分数指数幂的意义：na4、分数指数幂的运算性质：amanam n；amanam n；m；amnamn；a b mambn a 负的 n 次方根记做a01,其中 m、 n 均为有理数, a , b 均为正整数二对数及其运算1定义：假设abN a0,且a1,N0,就blog aN 2两个对数： 常用对数：a10,blog10NlgN ；lnN 自然对数：2.71828,blogeNae3三条性质： 1 的对数是
6、0,即 log 10；aa1 底数的对数是 1,即 log 负数和零没有对数4四条运算法就：名师归纳总结 log MNlogaMlogaN ；logaMlogaMlogaN；第 3 页,共 29 页N- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - logaMnnlogaM ；loganM1logaMn5其他运算性质： 对数恒等式：a log a b b； 换底公式：log a b loglog cc ab； log a b log b c log a c ； log a b log b a 1； log a m b n n log a bm函数的概念一映射：设 A、
7、B 两个集合,假如依据某中对应法就f ,对于集合 A 中的任意一个元素,在集合 B 中都有唯独的一个元素与之对应,这样的对应就称为从集合 A 到集合 B 的映射二函数：在某种变化过程中的两个变量x 、 y ,对于 x 在某个范畴内的每一个确定的值, 依据某个对应法就, y 都有唯独确定的值和它对应, 就称 y 是x的函数,记做yf x ,其中 x 称为自变量, x 变化的范畴叫做函数的定义域,和 x 对应的 y 的值叫做函数值,函数值 域y 的变化范畴叫做函数的值三函数yf x 是由非空数集 A到非空数集 B 的映射四函数的三要素：解析式；定义域；值域函数的解析式 一依据对应法就的意义求函数的
8、解析式；例如：已知fx1 x2x,求函数fx 的解析式二已知函数的解析式一般形式,求函数的解析式；例如：已知f x 是一次函数,且ff x 4x3,函数fx的解析式三由函数fx 的图像受制约的条件,进而求fx的解析式函数的定义域 一依据给出函数的解析式求定义域：名师归纳总结 整式： xR0 第 4 页,共 29 页 分式：分母不等于- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 偶次根式：被开方数大于或等于 0 含 0 次幂、负指数幂：底数不等于 0 对数：底数大于 0,且不等于 1,真数大于 0 二依据对应法就的意义求函数的定义域：例如：已知yf x 定义域为,2
9、 5 ,求yf3x2定义域；已知yf2 5,求yf x 定义域；3x2定义域为三实际问题中,依据自变量的实际意义打算的定义域函数的值域一基本函数的值域问题：名称y解析式ca值域,2一次函数ykxbR0时,4 acab24二次函数ax2bxba0时,4 ac反比例函数yk x4ay|yR ,且y0指数函数yaxy y0对数函数Rylog ax三角函数ysinxy| 1y1ycosxytanxR二求函数值域最值的常用方法：函数的值域打算于函数的解析式和定义域,因此求函数值域的方法往往取决于函数解析式的结构特点,常用解法有：观看法、配方法、换元法代数换元与三角换元、常数别离法、单调性法、不等式法、
10、* 反函数法、 * 判别式法、 *几何构造法和 * 导数法等反函数名师归纳总结 - - - - - - -一反函数：设函数yf x xA 的值域是 C ,依据这个函数中x , y 的关系,用 y 把 x 表示出,得到x y 假设对于 C 中的每一y 值,通过x y ,都有唯独的一个x与之对应,那么,x y 就表示 y 是自变量,x 是 自 变 量 y 的 函 数 , 这 样 的 函 数x yC叫 做 函 数第 5 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - yf x xA 的反函数,记作xf1 y ,习惯上改写成yf1 x 二函数 f x 存在反函数的条件是：x 、 y
11、一一对应三求函数 f x 的反函数的方法： 求原函数的值域,即反函数的定义域 反解,用 y 表示 x,得xf1 交换 x 、 y ,得yf1 结论,说明定义域四函数yf x 与其反函数yf1 x 的关系： 函数yf x 与yf1 x 的定义域与值域互换 假设yf x 图像上存在点 , a b ,就yf1 x 的图像上必有点 , b a ,即假设f a b,就f1 a 函数yf x 与yf1 x 的图像关于直线yx 对称函数的奇偶性：一定义：对于函数 f x 定义域中的任意一个 x ,假如满意 f x f x ,就称函数 f x 为奇函数；假如满意 f x f x ,就称函数 f x 为偶函数二
12、判定函数 f x 奇偶性的步骤：1判定函数 f x 的定义域是否关于原点对称,假如对称可进一步验证,假如不对称；2验证 f x 与 f x 的关系,假设满意 f x f x ,就为奇函数,假设满足 f x f x ,就为偶函数,否就既不是奇函数,也不是偶函数二奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称三已知 f x 、g x 分别是定义在区间 M 、 N M N 上的奇偶函数,分别依据条件判定以下函数的奇偶性名师归纳总结 f x g x f x 1f x g x f x g x f g x 第 6 页,共 29 页f x 奇奇奇奇奇偶奇偶奇偶奇偶奇- - - - - - -精选学习
13、资料 - - - - - - - - - 偶偶偶偶偶五假设奇函数f x 的定义域包含 0 ,就f00；0六一次函数 ykxb k0是奇函数的充要条件是b0b二次函数yax2bxc a0是偶函数的充要条件是函数的周期性：一定义：对于函数 f x ,假如存在一个非零常数 T ,使得当x取定义域内的每一个值时,都有 f x T f x ,就 f x 为周期函数, T 为这个函数的一个周期2假如函数 f x 全部的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f x 的最小正周期假如函数 f x 的最小正周期为 T ,就函数 f ax 的最小正周期为 T| a |函数的单调性一定义：一般的,对于给
14、定区间上的函数f x ,假如对于属于此区间上的任意两个自变量的值 1x ,2x ,当 x 1 x 时满意： f x 1 f x 2 ,就称函数 f x 在该区间上是增函数； f x 1 f x 2 ,就称函数 f x 在该区间上是减函数二判定函数单调性的常用方法：1定义法： 取值； 作差、变形； 判定： 定论：*2导数法： 求函数 fx的导数 f x ； 解不等式 f 0,所得 x 的范畴就是递增区间； 解不等式 f 0,所得 x 的范畴就是递减区间3复合函数的单调性：名师归纳总结 对于复合函数yyf g x ,设ug x ,就yf u ,可依据它们的单调性第 7 页,共 29 页确定复合函数
15、yf g x ,详细判定如下表：减减f u 增增- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ug x 增减增减yf g x 增减减增4奇函数在对称区间上的单调性相反；偶函数在对称区间上的单调性相同函数的图像一基本函数的图像二图像变换：yf x yf x kk 个单h 个单将yf x 图像上每一点向上k0或向下 k0平移 |位,可得yf x k 的图像yf x yf xh将yf x 图像上每一点向左h0或向右 h0平移 |a1位,可得yf xh 的图像yf x yaf x 将yf x 图像上的每一点横坐标保持不变,纵坐标拉伸或压缩 0a1为原先的 a 倍,可得ya
16、f x 的图像yf x yf ax将yf x 图像上的每一点纵横坐标保持不变,横坐标压缩a1或拉伸 0a1为原先的1 a,可得yf ax 的图像yf x yfx 关于 y 轴对称yf x yf 关于 x 轴对称名师归纳总结 yf yf|x|第 8 页,共 29 页将yf x 位于 y 轴左侧的图像去掉, 再将 y 轴右侧的图像沿 y 轴对称到左侧,可得yf|x|的图像yf y|f x |- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 将yf x 位 于 x 轴 下 方 的 部 分 沿 x 轴 对 称 到 上 方 , 可 得y|f x |的图像三函数图像自身的对称关系
17、图像特点f x fx 关于 y 轴对称f x fx关于原点对称关于 y 轴对称f ax f xaf axf ax关于直线 xa 对称f x f ax关于直线xa轴对称2f ax f bx关于直线xa2b对称f x fxa周期函数,周期为 a四两个函数图像的对称名师归纳总结 yy关系fxx 图像特点第 9 页,共 29 页f x 与y关于 y 轴对称yf x 关于 x 轴对称f x 与yyf x 与yfx关于原点对称关于直线 yx 对称yf x 与yf1 yf xa 与yf a关于直线 xa 对称f ax 与f ax关于 y 轴对称- - - - - - -精选学习资料 - - - - - -
18、- - - 第三章 数列数列的基本概念一数列是依据肯定的次序排列的一列数,数列中的每一个数都叫做这个数列 的项二假如数列 an中的第 n 项a 与项数 n 之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公事,它实质是定义在正整数集或其 有限子集的函数解析式三数列的分类：按项的特点可分为递增数列、递减数列、常数列、摇摆数列 按项数可分为有穷数列和无穷数列四数列的前 n 项和：S na 1a 2a3an1a na 与它的前一项a n1或S 与a 的关系：a nS nS 11n1S nn2五假如已知数列 a n的第 1 项或前几项 ,且任一项前几项 间的关系可以用一个公式来表示,
19、那么这个公式就叫做这个数列的 递推公式 递推公式也是给出数列的一种方法如：在数列 an中,a 11,an1a n11,其中an1a n11即为数列 an22的递推公式,依据数列的递推公式可以求出数列中的每一项,同时可依据数列的前几项推断出数列an的通项公式,至于推测的合理性,可利用数学归纳法进行证明a 5如上述数列 a n,依据递推公式可以得到：a23,a 37,a 415,24831,进一步可推测an2nn11621等差数列一定义：假如一个数列从第2 项起,每一项与前一项的差是同一个常数,那么这个数列就叫做 等差数列 ,这个常数叫做等差数列的公差, 通常用字母 d名师归纳总结 - - - -
20、 - - -第 10 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 表示二通项公式：假设已知1a 、d ,就ana 1n1 d ；假设已知a 、d ,就anamnm d三前n项和公式：假设已知 1a ,n a ,就 S n a 1 a n n ；假设已知 a 、d ,就 S n na 1 n n 1 d2 2注： 前 n 项和公式 S 的推导使用的是倒序相加法的方法 在数列 a n 中,通项公式 a ,前 n 项和公式 S 均是关于项数 n 的函数,在等差数列 a n 通项公式 a 是关于 n 的一次函数关系, 前 n项和公式 S n是关于 n 的没有常数项的二次函数关系
21、在等差数列中包含 a 、 d 、 n 、a 、S 这五个基本量,上述的公式中均含有 4 基本量, 因此在数列运算中, 只需知道其中任意 3 个,可以求出其余基本量四假如 a 、 b 、 c 成等差数列,就称 b 为 a 与 c 的等差中项,且ba2c五证明数列 an是等差数列的方法：1利用定义证明：anan1d n22利用等差中项证明：ba2c3利用通项公式证明：a nanb4利用前 n 项和公式证明：S nan2bn六性质：在等差数列an中,1假设某几项的项数成等差数列,就对应的项也成等差数列,即：假设 假设mn2k ,就a man2 a 2假设两项的项数之和与另两项的项数之和相等,就对应项
22、的和也相等,即：假设 mnkl ,就a mana ka 3依次相邻每 k 项的和仍成等差数列,4即：S ,S 2knS ,S 3kS 成等差数列d a ,an1,a2, ,a ,a 仍成等差数列,其公差为三等比数列名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一定义：假如一个数列从第2 项起,每一项与前一项的比都是同一个常数,那么这个数列就叫做 等比数列 ,这个常数叫做等比数列的公比,通常用宇母 q q0表示二通项公式：假设已知1a 、 q ,就ana q 1n1；假设已知a 、 q,就ana q mnm三前 n 项和公式：
23、当公比q1时,S nna 1a 、a 、 q,就S na 1a q当公比q1时,假设已知1q假设已知1a 、 q 、 n ,就S na 11qn1q注： 等比数列前 n 项和公式S 的推导使用的是错位相减的方法 在等比数列中包含 1a 、q 、 n 、a 、S 这五个基本量,上述的公式中均 含有 4 基本量, 因此在数列运算中, 只需知道其中任意 3 个,可以求出 其余基本量四假设 a 、 b 、 c 成等比数列,就称 b 为 a 与 c 的等比中项,且a、 b 、 c满足关系式 bac 五证明数列 an是等比数列的方法：1利用定义证明：an1qn2an2利用等比中项证明：2 bac3利用通项
24、公式证明：a naqn六性质：在等比数列an中,1假设某几项的项数成等差数列,就对应的项成等比数列,即：假设mn2k ,就amanak22假设两项的项数之和与另两项的项数之和相等,就对应项的积相等,名师归纳总结 即：假设 mnkl ,就a ma naka l第 12 页,共 29 页3假设数列公比q1,就依次相邻每 k 项的和仍成等比数列,即S ,S 2kS ,S 3kS 2k成等比数列；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4a ,an1,an2, ,a ,1a 仍成等比数列,其公比为1q数列求和1常见数列的前 n 项和： 自然数数列： 1,2,3, ,
25、 n,2 n ,S nn n1n12 奇数列： 1, 3,5, , 2 n1,S n2 n1 偶数列： 2, 4,6, , 2n ,S nn n 自然数平方数列：2 1 ,2 2 ,2 3 , ,S nn n1262等差、等比数列：利用等差、等比数列的求和公式3数列 nc满意：c nanb ,其中a 、nb 为等差或者等比数列方法：拆项,转化成两个等差或等比各项的和差4数列 nc满意：c nanb ,其中 a n是公差为 d 的等差数列； b n是公比为q 的等比数列方法：错位相减5假设数列 a n满意：a nkna1bb ,其中 k 、 a、 b 均为常数a kn方法：裂项法,设a nkn1
26、p1a1b,其中 p 为可确 knknkn定的参数第四章 三角函数一角度与弧度制名师归纳总结 1弧度与角度的互化：180第 13 页,共 29 页2终边相同角：与角有相同终边的角的集合可以表示为：|2k,kZ- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3特别角的集合： 各个象限的角的集合第一象限角： | 2 k2k22 k,kZZ其次象限角： |22 k,k第三象限角：|2k32k,kkZ2|3 2第四象限角：2 k2k,Z 2 角的终边在各个坐标轴上的角的集合终边在 x 轴的角： |k,k,ZZkk,kkZ终边在 y 轴的角： |2kkZ 2,k终边在坐标轴上
27、的角：|k终边在第一三象限角平分线上：|4终边在其次四象限角平分线上：|3,Z44弧长公式和扇形面积公式设扇形的半径为 r ,圆心角为,就1l r1 | 2|r2扇形的面积 S弧长 l| r ,2任意角三角函数的定义：一定义：以角 顶点为原点 O ,始边为 x轴的非负半轴建立直角坐标系；在角 的终边上任取不同于原点 O 的一点 P x y ,设 P 点与原点 O 的距离为r r 0,就 | PO | r x 2y ,就角 2 的六个三角函数依次为：名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - siny,cosx,tanyrr
28、xcscr,secr,cotxyxy二三角函数的定义域与值域：sin|定义域,kZ值域R 1,1 1,1cosR tanR 2k三三角函数值的符号：sincostan四三角函数线正弦线、余弦线 正切线以 角 的 终 边与单位圆的公共点 P 作x 轴 的 垂 线 PM x轴,垂足为 M ,就sin MPcos OM过点 A 1,0 作 x轴的垂线交 的终边或终边的延长线于 T点,就：tan AT同角三角函数基本关系式：倒数关系： sincsc21、 cossec1、 tancot1商数关系：tansin、cotcoscossin平方关系：sin2cos1正弦、余弦的诱导公式：名师归纳总结 - -
29、 - - - - -第 15 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2ksin2ksin；cos2kcossin sin；cos cossin sin；cos cos2 sin2 sin；cos2 cossin sin；cos cossin cos；cos sin2 2 2sin cos；cos sin2 2 23sin 3 cos；cos 3 sin2 2 23sin 3 cos；cos 3 sin2 2 2诱导公式可简洁的概括为：“奇变偶不变,符号看象限”,其中“奇变偶不变” 的含义为：当 k 为奇数时,k 的三角函数值为 的余函数,当 k 为2偶数时,k 的三
30、角函数值为 的原函数；“ 符号看象限”的含义为在 的2三角函数前加上一个把 看作锐角时原三角函数值的符号 .两角和与差的三角函数：一基本公式：名师归纳总结 sinsincoscossin第 16 页,共 29 页sinsincoscossincoscoscossinsin- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - coscoscossinsintan1tantantan1tantantantantantan二常见关系：1帮助角公式：asinxbcosx42 ab2sinxx2 sin64如： sincos2 sin； sincossin3 cos2sin3； c
31、osx3sin2sin2两角和与差的正切公式的变形：tantantan 1tantantantantan 1tantan二倍角公式一基本公式：sin 22sin2cos22cos2112sin2cos2cos2sintan 22 tan1tan二常见关系式：11sin 21sin2cos21sin 21sin2cos221cos 22sin1cos22coscos 2cos22cos2sin22三角函数的图像：一正弦、余弦、正切函数的图像：名师归纳总结 1正弦函数ysinx第 17 页,共 29 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2余弦函数ycosx
32、2正切函数ytanx二三角函数的图象变换：振幅变换1y sin x y A sin x：将 y sin x 图象上各点横坐标保持不变,纵坐标拉伸 A 1 或压缩 0 A 1 为原先的 A 倍得到周期变换2y sin x y sin x：将 y sin x 图象上各点纵坐标保持不变,横坐标压缩 1 或拉伸 0 1 为原先的1倍得到3y sin x 相位变换y sin x ： 将 y sin x 的 图 象 向 右 0 或 向 左 0 平移 | | 个单位得到4函数 y A sin x A , 0, A 1 的图象可以看作是由函数 y sin x 的图象分别经过下面的两种方法得到：名师归纳总结 ysinx相位变换yysinxx第 18 页,共 29 页周期变换sin