《第7讲 解析几何（2022年高考真题）（解析版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第7讲 解析几何（2022年高考真题）（解析版）.docx（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第7讲解析几何一、单项选择题1. （2022全国高考真题（理）双曲线。的两个焦点为。鸟，以C的实轴为直径的圆记为3D,过作。的切线与C的两支交于M, N两点，且cosN那么C的离心率为（）A.立B. -C.巫D.叵2222【答案】C【解析】【分析】 依题意不妨设双曲线焦点在“轴，设过6作圆。的切线切点为G,可判断N在双曲线的右 支，设NFEN = 0 ,即可求出sina, sin/，cos,在6耳修中由 sin4；EN = sin（a + /）求出sinNKN,再由正弦定理求出|N|,加周，最后根据双曲线 的定义得到乃=3a,即可得解：【详解】 解：依题意不妨设双曲线焦点在工轴，设过片作圆。的
2、切线切点为G,3所以OG_LN”,因为cosNNg=m。，所以N在双曲线的右支,所以|凶=% 耳| = c, |GK| = b, FNF,=a, /用耳N = ,由 cos/6N居=3, BP cos a =-, 那么 sina=, sin = , cos P =, 555cc在 aF【FN 中，sin Z.FF2N = sn(7ra= sin(a+/?), 万 .n 4 b 3 a 3a + 4b =sin a cos p + cos asinp= x + x =5 c 5 c 5c由正弦定理得急二篇:sin界;N5c2所以|附（sin/%N = ,x笠竺二2卢，|n周哼sin,吾吟乂.|-
3、|N正中 T =中所以双曲线的离心率e =433当切线为/时，因为乜/所以设方程为尸丁+3)。到/的距离535解得”“所以，的方程为k-尹+ “当切线为?时，设直线方程为匕+)- =0,其中 0，攵0)的渐近线为y = ,即x土(U0)的离心率为e,写出满足 a b条件直线)，=2x与C无公共点”的e的一个值.【答案】2 (满足le有皆可)【解析】【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线y = 2%中00力0),所以。的渐近线方程为丁 = 2二 a b-a结合渐近线的特点，只需0gw2,即5,可满足条件“直线y = 2x与。无公共点”所以 e = = J1 + 与 l,所以le4有，故答案为：2
4、 (满足leK6皆可)13. (2022全国高考真题(文)设点M在直线2x+y-l = 0匕点(3,0)和(0,1)均在0M上,那么OM的方程为.【答案】(x-l)2+(y + l)2=5【解析】【分析】设出点M的坐标，利用(3.0)和(0,1)均在OM I-.,求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详解】解：点M在直线2x+yl=0上，设点M为(。,1 -2a),又因为点(3,0)和(0,1)均在0M上，:.点M到两点的距离相等且为半径R,:.- 3)2 + (I 24)2 =击2 + (一2幻2 = R ,，一6。+ 9 + 4/-4。+ 1=52,解得。=1,A A/(l,-l), R =
5、BOM 的方程为(x-l)2+(y+l)2=5.故答案为：(x-l)2+(y + l)2=514. (2022全国高考真题(文)过四点(0,0),(4,0),(T,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为【答案】(x2+(y-3)2=13 或(工一2)2+()，-1)2=5或.)+()，？)=竺或 +(y-l)2 =5；F = 0假设过(0,0),(4,2), (TJ),贝1 + 1-D+E+尸=016 + 4 + 4O + 2E+产=0，解得314E =3Q 1 4所以圆的方程为), =(),厂 16 r =5D 5E = -21 + 1-O+E+尸=0假设过)，(4,0),(4,2),那么
6、16 + 4Q+F = 0,解得，16 + 4 + 4D + 2E+F = 0所以圆的方程为f+丁一9-2y弋=0,即65 .=或9故答案为：(1_2+()，3)2=3或。=2)2+()，_)2=5或卜_目 .卜一8 x5J四、解答题15. (2022.全国.高考真题)双曲线C J-g = l(a0)的右焦点为尸(2,0),渐近线方程为5 = 石1. (I)求C的方程;过产的直线与C的两条渐近线分别交于A, B两点，点P(N，y),Q(0%)在。上，且-v,x2 0, X 0.过P且斜率为G的直线与过Q且斜率为8的直线交于点M.从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立：M在A4 上；PQ/A
7、B.|M4|=|M8|.注：假设选择不同的组合分别解答，那么按第个解答计分.【答案】/工=13(2)见解析【解析】【分析】(1)利用焦点坐标求得，的值，利用渐近线方程求得/的关系，进而利用“仇c的平方关 系求得入。的值，得到双曲线的方程；(2)先分析得到直线AB的斜率存在且不为零,设直线A8的斜率为&.办由等价分析得到% + 6o=由直线9和。加的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程,两点间距离公式得到直线PQ的斜率?=也，由PQ/A8等价转化为0 =3/，由”在 y()直线月3上等价于口0= %2(%-2),然后选择两个作为条件一个作为结论，进行证明即可.（1）右焦点为尸（2,0）, c =
8、2,渐近线方程为），= VL,，=6, =岛， c2 = a2 + b2 = 4a2 = 4, /. a = 1 , /. b = & .C的方程为：/_ = ；3（2）由得直线PQ的斜率存在且不为零，直线A8的斜率不为零，假设选由推或选由推：由成立可知直线A8的斜率存在旦不为零；假设选推，那么M为线段43的中点，假假设直线A8的斜率不存在，那么由双曲线的对称性 可知M在x轴上，即为焦点此时由对称性可知/、Q关于4轴对称，与从而=天，已 知不符；总之，直线A8的斜率存在且不为零.设直线AB的斜率为h直线A3方程为y =忆-2）、那么条件也在A4上，等价于%=女（与一2）。心0=公（不）一2）;
9、两渐近线的方程合并为3/ _ / = 0联立消去y并化简整理得：（公-3卜2-4k2x+4k2 =0设A（孙丹），氏生乂），线段中点为N（4,%）,那么4 =幺手=恐,2）= 岛，设例（九，%）.那么条件I AM| =忸凹等价于（% 七）2 + （ No - /=（% -兀+ （ % - 乂 ）2 ,移项并利用平方差公式整理得：（巧一七）2% - （七 + w）+ （ % - ”） 2 % - （8 + 乂 ） = 0 ,2x0-（x3+x4） +-（g +），4） = 0,即 + M为 _ 券,）=0,巧一入4Hn , 8k2即天+ 。=3一7；k -3由题意知直线尸M的斜率为-石，直线QM
10、的斜率为6，由 y -% = -6（% -%），% -% =石（W一%），y -2 =（% + W -2%）,所以直线PQ的斜率机=二匹=,X）-x,x -x2直线 PM :y = -/5（x-x0） + y0,BP y = %+6%）-Gx，代入双曲线的方程3/ ），2一3 = 0,即（岛+），）（岛一），）=3中,得：（为+品）2氐-屈+瓜0）=3,条件PQ/AB等价于m = ko ky0= 3x0,综上所述：条件用在人B上，等价于处。=A2（天2）；条件如/瓜夕等价于竹小？与；条件|= |8M|等价于X。+砥=黑 ；选推：0 7,2由解得：/=+ ky= 4/ = 万一-，成立;选推：由
11、解得：/=等，领=史，60=3%, .成立；选推：机=5（3-2）,，成立.16. （2022全国高考真题）点42,1）在双曲线0：二一_二=1（。1）上，直线/交C于 cr a-P，。两点，直线AP，A。的斜率之和为0.求/的斜率；（2）假设tan/PAQ = 2&,求尸42的面积.【答案】（1）1;竽.【解析】【分析】（1 ）由点42,1）在双曲线上可求出a ,易知直.线/的斜率存在，设/:），=丘+ /，以牛）。（毛,），再根据3P+原户=。，即可解出/的斜率：（2）根据直线AP,AQ的斜率之和为。可知直线AP,AQ的倾斜角互补，再根据tan ZPAQ = 2应即可求出直线AP, AQ的
12、斜率，再分别联立直线AQ与双曲线方程求出 点RQ的坐标，即可得到直线PQ的方程以及PQ的长，由点到直线的距离公式求出点A到 直线P。的距离，即可得出丛口的面积.（1）丫2V*41因为点A（2J）在双曲线C:当一一二=1（1）上，所以r一厂一 二1，解得6=2,即双曲cr a- -a a-线 C:三-y2 =i2易知直线/的斜率存在，设/:，= +?，尸（看,旦卜。（孙先），联立y = kx + m2厂 2 iT-v =可得，（I - 2k1）X2 - 4/7v - 2m2 -2 = 0所以，x1 + x2 =-4tnk 后If_2nr+2 2k2 = 16nrk2 +4（2w2 + 2）（2公
13、一 1） 0n P -1 + 2/ 0 .所以由左” + %种=。可得， + M = ，X2 2 Aj - Z即（芭-2）（Ax2 +nz-l）+（x, -2）（例+?-1） = 0,即 2咫度 +（?一1一24）（内 4-j）4（m-l）=0,所以2人次二 +（12&“一诟口卜4（-1） = 0,化简得,8&2+钦一4 + 46（& + 1） = 0,即仕+ 1）（22-1+加）=0,所以左=-1或m=1一2匕当7 = 1-2后时，直线/：），=+?= （工-2） + 1过点4（2,1）,与题意不符，舍去, 故=T.（2）不妨设直线P4P8的倾斜角为a/（av/?）,因为心产+女护=。，所以
14、夕+夕=兀,因为 tan/R4Q = 2&,所以 tan(7? - a) = 2应，即 tan 2a =-20， 即 y/2 tan2 a - tan a - V2 = 0 解得 tan (X = /2，于是，直线PA:y = &(x-2) + l,直线尸丛 y = &(x2)+l,尹+ 2(1-2&b+104& = 0,y = /2(x-2)+联立/可得,“、.2 一 i因为方程有一个根为2,所以J-4二,） =逑20, 33r=ixHi7TT4g10 +4/_ _425同理可得，玄=,% =-033所以PQ：x+* = 0,归。邛, JJ点A到直线PQ的距离d = I 3| = 242 ,
15、V2 故PAQ的面积为22 =3底. 2 33917. （2022全国高考真题（理）设抛物线。:），2 = 2由0）的焦点为凡点。（,0）,过尸的直线交C于M, N两点.当直线M。垂直于x轴时，|Mr| = 3.求C的方程；设直线MRN。与C的另一个交点分别为4, B,记直线MMA8的倾斜角分别为点夕.当取得最大值时，求直线A8的方程.【答案】V=4x；（2）AB:x = 42y + 4.【解析】【分析】（1）由抛物线的定义可得阿叩 + g 即可得解；（2）设点的坐标及直线MN:x = ,世+ 1,由韦达定理及斜率公式可得金川=238,再由差角的正切公式及基本不等式可得38=正，设直线A8：4
16、 = 0y + ，结合韦达定理可解. fD 2（1）抛物线的准线为工=-日，当MO与x轴垂直时，点用的横坐标为p,止匕时|MF|= + 曰 = 3,所以 =2,所以抛物线。的方程为丁 =4x；（2）/ 2（2，A .，为，B .，居，直线MN:x = /,y + l ,x = my +1由0 ,可得）2-4m/一4 = ，A0,y,y2=-4, y =4xk Jf 4J-北4由斜率公式可得3一_及_凹+ %，八L_.一乃+北，4444直线V。: x = 士心 y + 2 ,代入抛物线方程可得）3 /GT），-8 = 0 ,XY，,为二-8,所以为=2乃，同理可得典=2片,.44 k“z所以 k
17、,、B = -7- = T77r =%” 2（x+%）2又因为直线例M A6的倾斜角分别为冬夕，rriu ,“ Kn tana所以砥8 = tan夕=寸=亍，假设要使。一月最大，那么e（0,1/tan a-tan/?k _ G，贝ij1a11一夕）=下/羡而=下出=了匚7_第= = 7， 当且仅当! = 2左即左=交时，等号成立， k2所以当二一夕最大时，k、B =专,设直线4B:x=/i），+ ，代入抛物线方程可得V -4夜），-4 = 0, 0,内必=-4 = 4）1%=-16,所以九=4,所以直线AB:x = Oy + 4.【点睛】关键点点睛：解决此题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简
18、，利用韦达定理得出坐标间 的关系.18. （2022全国高考真题（文）椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且 过 A（0,-2）,B（|,-l）两点.（I）求七的方程:设过点尸（1，-2）的直线交石于忆N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T, 点”满足加=用.证明：直线HN过定点.【答案】卜上(2) (0,-2)【解析】 【分析】（I）将给定点代入设出的方程求解即可: （2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.解：设椭圆E的方程为尔2+=1,过A（0,-2）,8不一1 ,4n = 19-解得旭=!， =： ? + = 1344所以椭圆月的方程为
19、：+ = 1. 43（2）394（0,-2）,（-,-1）,所以 A8:y + 2 = -x, 23假设过点P（L-2）的直线斜率不存在，直线工=1.代入工+工=1, 34可得M（l,平），N（l,手），代入AB方程y = gx 2,可得 T（V6 + 3,半），由疝=而得至U ”（2+ 5,半）.求得HN方程: ），=（2-孚-2,过点3-2）.假设过点次”2）的直线斜率存在,设依=），-伏+ 2） = 0,M（xp%）,N,力）.kx-y-(k + 2) = 0联立X2 y2，得(322 + 4)X2 - 6女(2 + k)x + 3k(k + 4) = 0,+ = 134可得_6(2 +
20、 () “2 - 3+43-4 +),+)2一8(2 + 口3A2+4-24 A：且切2+占）1咫（*）2. （2022.全国高考真题（理）椭圆=1（方0）的左顶点为A,点P,。均在C上，且关于y轴对称.假设直线AP，AQ的斜率之积为9，那么C的离心率为（）A.且B.也C. yD. 12223【答案】A【解析】【分析】设尸（2），那么。（-），根据斜率公式结合题意可得y2=再根据 +算=1,将戈用阳表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】解：A（a,0）,设P(4,y),那么Q(f,y),故 k.p , k,、Q唔+%” 5中,联立2 ，可得 +6-&*).y=-x-22I 3可求得此时
21、“N:y-h=/T*(x_%2),3y +6-X1 -x2将(0,-2),代入整理得2a +再)-6(y + 丫2)+ 百必+/司 -3yly2 12 = 0 , 将(水)代入，得24 +12公 + 96 + 484-2软-48-48& + 24公一36/ -48 = 0, 显然成立，综上，可得直线”N过定点(0,-2).【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.所以椭圆C的离心率e = 5 =/J =理应选：A.3. （2022全国高考真题（文）设尸为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在。
22、上，点8（3,0）,假设|AF| = |四,那么圈=()C. 3A. 2【答案】B【解析】【分析】 根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得点A坐标, 即可得到答案.【详解】 由题意得,F（l,0）,那么|A尸|=忸尸| = 2,即点A到准线x = -1的距离为2,所以点A的横坐标为T + 2 = 1,不妨设点A在“轴上方，代入得，A（l,2）,所以|A8| =+（0-2）2 = 2/2 .应选：B4. （2022全国高考真题（文）椭圆 =的离心率为:，4,4分别a b3为C的左、右顶点，8为。的上顶点.假设瓯砒 = -1，那么C的方程为（）A. + - = 1B
23、. i- = 1C. F - = 1D. + y = 118 169 8322 -【答案】B【解析】【分析】根据离心率及瓯魏=-1,解得关于的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率e = = Jl-乂 =L 解得4=：, b =大0： a V a2 3 a，99A，A?分别为c的左右顶点，那么A （-。,0）,4 （o）,B为上顶点,所以B(O,b).所以瓯= (a,b)，M = (a,b),因为瓯 M =-lQ所以_/+=_,将从=1/代入，解得片=9,从=8,故椭圆的方程为+=1.应选:B.二、多项选择题5. (2022全国高考真题)己知O为坐标原点，过抛物线。：/=2工(0)焦点尸
24、的直线与。交于A, 8两点，其中4在第一象限，点M(p,0),假设IAFRAMI,那么()A.直线A4的斜率为26B. OB=OFC. AB4OFD. NQ4M + NO8MV180。【答案】ACD【解析】【分析】由|A可=|AM|及抛物线方程求得A(子，警)，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线48的方程.，联立抛物线求得以匕-血)，即可求出|。可判断B选项；由抛物线的定义求出|A8|=著即可判断C选项；由丽.而0, M4.血()求得N4O8, 为钝角即可判断D选项.【详解】对手A,易得吗,0),由|A目= |AM|可得点A在产M的垂直平分线上，那么A点横坐标为+ /? q2 / _ 3p
25、,24限p代入抛物线可得尸=2-半=12,那么a（2,圆）,那么直线48的斜率为小=2424242A正确；1 p对于B,由斜率为2#可得直线A8的方程为X =束）+彳，联立抛物线方程得 设8（0,），那么在+y=，那么）=-显，代入抛物线得（_华=2f,解得凡春那么鸣一字,对于C,由抛物线定义知：|AB卜子 + + =等2 = 4|OF|, C正确；对于D,冰而=（平，华Y，一华）=弓+华.，华一学0,那么ZA03为4233432（3）4钝角， 又丽丽=（冬）.（号，一争=一升留卜季卜率卜竽0）上，过 点3。-1）的直线交C于P, Q两点，那么（）A. C的准线为y = -1B.直线AB与。相
26、切C. |OP| |OQ|OAD. I3P BQBAl【答案】BCD【解析】【分析】求出抛物线方程可判断A,联立A8与抛物线的方程求交点可判断B,利用距离公式及弦长 公式可判断c、D.【详解】将点A的代入抛物线方程得l = 2p,所以抛物线方程为工2 =），,故准线方程为）=-!，A错4误；心8=宅 = 2,所以直线/W的方程为） =2”一1, 1-0y = 2x - 1联立 2，可得f_2x+l=0,解得x = l,故B正确；x = y设过的直线为/,假设直线/与y轴重合，那么直线/与抛物线c只有一个交点，所以，直线/的斜率存在，设其方程为丁二米-1,尸即凹）,。（芍2），联立 o ，得X?
27、-收+1=0，x- = yA = &2-4（）所以.x+x2=k ,所以%2或&一2,月力=（中2）2 = 1，xx2 = 1又 | O尸 |= Jx； + 4=Jy +）,； ,=瓜+，所以I OP | IOQ |=血丁2（1 +凹）0 +旨2）=8I X优=|段 2 =| 04，故C正确；因为|BP|= J1+&2 |xj, |4Q|= J1+22 区|,所以|在卜|8。|=（1 + 22）|不5=1+公5,而|班=5,故D正确.应选：BCD三、填空题V2 V27.（2022.全国.高考真题汨知椭圆。:+二=1（0）（的上顶点为4,两个焦点为， a- b外,离心率为过K且垂直于A鸟的直线与
28、C交于。，E两点,1。臼=6,那么“U%的周长是.【答案】13【解析】【分析】利用离心率得到椭圆的方程为二+三二1,即3/+4V-12c? =0,根据离心率得到直线 4r 3c的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线。石的斜率，写出直线的方程：X = Gy-C,代入椭圆方程B.d+dyLQ=。，整理化简得到：13y2-6/5c），-9c2=0,利用弦1313长公式求得。=?,得 = 2c = ；,根据对称性将fADE的周长转化为巴力石的周长，利 84用椭圆的定义得到周长为4 = 13.【详解】,椭圆的离心率为e = =:，二- 02=3。2,.椭圆的方程为 a 2二 十二=1,即3/+4），2_
29、122=0,不妨设左焦点为尸I，右焦点为尸2，如下图，:4cL 3cAF2=a,。6=c, a = 2c,乙460 二 （, J八46名为正三角形，二过大且垂直于AFt的直线与C交于。，E两点,。石为线段八用的垂直平分线，.直线。的斜率为正，斜率倒 3数为G，直线DE的方程：X = G-C,代入椭圆方程犷+4），2-1*=0,整理化简得到：13y2-6 辰），-%2=0,判另IJ式A=（6百c）2+4xl3x9c2 =62xI6xc，2 ,，|C* J（百） Ef | = 2x* = 2x6x4q=6,1313， 俗 4 = 2。=-，84TOE为线段AK的垂直平分线，根据对称性，AD = D
30、% =的周长等于 死。：的周长，利用椭圆的定义得到鸟。七周长为DF2 + EF2+DE =|DF21+| EF21+|。用+|E用=|叫+| DF2+明+| EF = 2a + 2a = 4a = 3.故答案为：13.8. （2022全国高考真题）设点4-2,3）,8（0,），假设直线A3关于），=。对称的直线与圆（X + 3）2 + （y + 2）2 = 1有公共点，那么的取值范围是.【答案】层【解析】【分析】首先求出点A关于）=4对称点A的坐标，即可得到直线/的方程，根据圆心到直线的距离 小于等于半径得到不等式，解得即可；【详解】解：A（-2,3）关于y = a对称的点的坐标为4（-22/
31、-3）, 8（0,）在直线=。上，所以所在直线即为直线/,所以直线/为y =+ %即（a-3）x+2y-2a = 0；一2圆C:(x+3y+(y+2)2=l,圆心C(3,-2),半径r = l,依题意圆心到直线/的距离d =卜3卜/-3)-4-247(-3)2+221即（5-5aW（a-3）2+22,解得:工：，即aw-1 3故答案为： J 49. （2022全国高考真题）直线/与椭圆+=1在第一象限交于A, B两点,，与x轴, 63y轴分别交于M, N两点，且|MAHNB|,|MN|=2x/L那么/的方程为.【答案】工+友），-20 = 0【解析】【分析】 令A8的中点为E,设人与可），*孙
32、必），利用点差法得到镰4=-；,设直线AB-.y = kx + m, k（）,求出M、N的坐标，再根据|冽求出攵、?，即可得解;【详解】解：令A8的中点为E,因为|M4|=|N,所以|M|=|NE）,设A(%,y),8&,乃)，那么式 + = 1，立+迂=1, 6363所以r即（）产明（）一文。所以 9+即%/38=一1，设直线 48:y = + /，k(),(X7J(X+X2)22令4 = ()得y = /，令,=0得工=_7，即M k40 , n(0m),所以 -招 J2 k ，/m即，-=-，解得也或公交(舍去)， 212222k又|MN|=2G,即|MN|=J?2+(&=2尻,解得m=2或6=一2 (舍去),所以直线48:)，= 一等x + 2,即x +夜)，-20 =。；10. (2022全国高考真题)写出与圆f + y2=l和(x-3)2 + (y-4)2=16都相切的一条直线的 方程.3 S 725【答案】尸-r+3或y=3目或片-1【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆/+ ,2 = 1的圆心为。(0,0),半径为1,圆*-3)2+(-4-=16的圆心储为(3,4),半径为4,两圆圆心距为库方 = 5,等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，