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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！2006 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：16小题，每小题 4分，共 24 分.把答案填在题中横线上.（1）11lim_.nnnn（2）设函数()fx在2x 的某邻域内可导,且 efxf x，21f，则 2_.f（3）设函数()fu可微,且 102f,则224z f xy在点(1,2)处的全微分 1,2d_.z（4）设矩阵2112A，E为 2阶单位矩阵，矩阵B满足2BABE，则B.（5）设随机变量X Y与相互独立，且均服从区间 0,3上的均匀分布，则 max,1PXY _.（6）设总
2、体X的概率密度为 121,2xnfxexX XX 为总体X的简单随机样本，其样本方差为2S，则2_.ES二、选择题：7 14 小题，每小题 4分，共 32 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()y fx具有二阶导数，且()0,()0f xf x，x为自变量x在点0 x处的增量，dyy与分别为()fx在点0 x处对应的增量与微分，若0 x，则(A)0dyy.(B)0dyy.(C)d0yy.(D)d0yy.（8）设函数 fx在0 x 处连续，且220lim1hfhh，则(A)000ff 且存在(B)010ff且存在(C)000ff 且存
3、在(D)010ff且存在欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！（9）若级数1nna收敛，则级数(A)1nna收敛.（B）1(1)nnna收敛.(C)11n nnaa收敛.(D)112nnnaa收敛.（10）设非齐次线性微分方程()()y Pxy Q x 有两个不同的解12(),(),y x y xC为任意常数，则该方程的通解是（）12()()C yx y x.（）112()()()yx C yx y x.（）12()()C yx y x.（）112()()()yx C yx y x（11）设(,)(,)fxyxy与均为可微函数，且(,)0
4、yxy，已知00(,)x y是(,)fxy在约束条件(,)0 xy下的一个极值点，下列选项正确的是(A)若00(,)0 xf x y，则00(,)0yf x y.(B)若00(,)0 xf x y，则00(,)0yf x y.(C)若00(,)0 xf x y，则00(,)0yf x y.(D)若00(,)0 xf x y，则00(,)0yf x y.（12）设12,s 均为n维列向量，A为m n矩阵，下列选项正确的是(A)若12,s 线性相关，则12,sAAA线性相关.(B)若12,s 线性相关，则12,sAAA线性无关.(C)若12,s 线性无关，则12,sAAA线性相关.(D)若12,s
5、 线性无关，则12,sAAA线性无关.（13）设A为 3阶矩阵，将A的第 2 行加到第 1 行得B，再将B的第 1列的1倍加到第 2列得C，记110010001P，则（）1CP AP.（）1CPAP.（）TCP AP.（）TCPAP.（14）设随机变量X服从正态分布211(,)N，Y服从正态分布222(,)N，且欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1211P XP Y 则必有(A)12(B)12(C)12(D)12三、解答题：15 23 小题，共 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分 7 分）设 1sin
6、,0,01arctanxyyyfxyxyxyx,求()lim,ygxfxy；()0limxg x.（16）（本题满分 7 分）计算二重积分2d dDyxy xy，其中D是由直线,1,0y xyx所围成的平面区域.（17）（本题满分 10 分）证明：当0ab 时，sin2cossin2cosbbbb aaaa.（18）（本题满分 8 分）在xOy坐标平面上，连续曲线L过点 1,0M，其上任意点,0Pxy x 处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax（常数0a）.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！()求L的方程；()当L与直线y ax所围
7、成平面图形的面积为83时，确定a的值.（19）（本题满分 10 分）求幂级数1211121nnnxn n的收敛域及和函数()sx.（20）（本题满分 13 分）设 4维向量组TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,aaa T44,4,4,4a，问a为何值时1234,线性相关?当1234,线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.（21）（本题满分 13 分）设 3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为 3,向量TT121,2,1,0,1,1是线性方程组0Ax 的两个解.()求A的特征值与特征向量；()求正交矩阵Q和对角矩阵,使得TQ AQ ；（）
8、求A及632AE，其中E为 3 阶单位矩阵.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！（22）（本题满分 13 分）设随机变量X的概率密度为 1,1021,0240,Xxf xx 其他，令 2,Y X F xy为二维随机变量(,)XY的分布函数.()求Y的概率密度 Yf y；()Cov(,)XY；()1,42F.（23）（本题满分 13 分）设总体X的概率密度为,01,;1,12,0,xfxx 其他,其中是未知参数01，12n,.,X XX为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值12,.,nxxx中小于 1的个数.（）求的矩估计；（）求的最大
9、似然估计欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！2006 年考研数学（三）真题解析一、填空题：16 小题，每小题 4 分，共 24 分.把答案填在题中横线上.（1）11lim1.nnnn【分析】将其对数恒等化lneNN求解.【详解】(1)111lnlim(1)ln1limlimeennnnnnnnnnnn，而数列(1)n有界，1limln0nnn，所以1lim(1)ln0nnnn.故101lime1nnnn.（2）设函数()fx在2x 的某邻域内可导,且 efxf x，21f，则 322e.f 【分析】利用复合函数求导即可.【详解】由题设知
10、，efxf x，两边对x求导得 2e()efxfxf xf x，两边再对x求导得23()2e()2efxfxf xf x，又 21f，故323(2)2e2eff .（3）设函数()fu可微,且 102f,则224z f xy在点(1,2)处的全微分 1,2d4d2d.zxy【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算.【详解】方法一：因为22(1,2)(1,2)(4)84zf xyxx，22(1,2)(1,2)(4)22zf xyyy ，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！所以 1,21,21,2ddd4d2dzzzxyxyxy
11、.方法二：对224z f xy微分得222222d(4)d(4)(4)8 d2 dz f xyxyf xyx xyy，故 1,2d(0)8d2d4d2dzfxyxy.（4）设矩阵2112A，E为 2 阶单位矩阵，矩阵B满足2B ABE，则B2.【分析】将矩阵方程改写为AX BXA BAXBC或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有()2BA EE于是有4BA E，而11211A E，所以2B.（5）设随机变量X Y与相互独立，且均服从区间 0,3上的均匀分布，则 max,1PXY 19.【分析】利用X Y与的独立性及分布计算.【详解】由题设知，X Y与具有相同的概率
12、密度1,3()30,xfx 0其他.则 max,11,1PXYP XY 11P XPY2120111d39P Xx.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！【评注】本题属几何概型，也可如下计算，如下图：则1max,11,19SPXYP XYS阴.（6）设总体X的概率密度为 121,2xnfxexX XX 为总体X的简单随机样本，其样本方差为2S，则22.ES【分析】利用样本方差的性质2ESDX即可.【详解】因为()ded02xxEXxfxxx，22222000()dede de2e d2xxxxxEXx fxxxxxxxx 0002 e2e
13、 d2e2xxxxx ，所以 22202DX EXEX ，又因2S是DX的无偏估计量，所以22ES DX.二、选择题：7 14小题，每小题 4 分，共 32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()y fx具有二阶导数，且()0,()0f xf x，x为自变量x在点0 x处的增量，dyy与分别为()fx在点0 x处对应的增量与微分，若0 x，则(A)0dyy.(B)0dyy.(C)d0yy.(D)d0yy.【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】由()0,()0f xf x知，函数()fx单调增加，曲线欢迎您阅读并下载本
14、文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！()y fx凹向，作函数()y fx的图形如右图所示，显然当0 x 时，00d()d()0yy fx x fxx ，故应选().（8）设函数 fx在0 x 处连续，且220lim1hfhh，则(A)000ff 且存在(B)010ff且存在(C)000ff 且存在(D)010ff且存在C【分析】从220lim1hfhh入手计算(0)f，利用导数的左右导数定义判定(0),(0)ff的存在性.【详解】由220lim1hfhh知，20lim0hfh.又因为 fx在0 x 处连续，则200(0)lim()lim0 xhffxfh
15、.令2t h，则 2200(0)1limlim(0)htfhftffht.所以(0)f存在，故本题选（C）.（9）若级数1nna收敛，则级数(A)1nna收敛.（B）1(1)nnna收敛.(C)11n nnaa收敛.(D)112nnnaa收敛.【分析】可以通过举反例及级数的性质来判定.【详解】由1nna收敛知11nna收敛，所以级数112nnnaa收敛，故应选().或利用排除法：取1(1)nnan，则可排除选项（），（）；欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！取1(1)nnan，则可排除选项（）.故（）项正确.（10）设非齐次线性微分方程
16、()()y Pxy Q x 有两个不同的解12(),(),y x y xC为任意常数，则该方程的通解是（）12()()C yx y x.（）112()()()yx C yx y x.（）12()()C yx y x.（）112()()()yx C yx y x【分析】利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.【详解】由于12()()yxy x是对应齐次线性微分方程()0y Pxy 的非零解，所以它的通解是12()()Y C yx y x，故原方程的通解为1112()()()()y yx Y yx C yx y x，故应选().【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：*y yY
17、.其中*y是所给一阶线性微分方程的特解，Y是对应齐次微分方程的通解.（11）设(,)(,)fxyxy与均为可微函数，且(,)0yxy，已知00(,)x y是(,)fxy在约束条件(,)0 xy下的一个极值点，下列选项正确的是(A)若00(,)0 xf x y，则00(,)0yf x y.(B)若00(,)0 xf x y，则00(,)0yf x y.(C)若00(,)0 xf x y，则00(,)0yf x y.(D)若00(,)0 xf x y，则00(,)0yf x y.【分析】利用拉格朗日函数(,)(,)(,)F xyfxyxy在000(,)x y（0是对应00,x y的参数的值）取到极
18、值的必要条件即可.【详解】作拉格朗日函数(,)(,)(,)F xyfxyxy，并记对应00,x y的参数的值为0，则000000(,)0(,)0 xyF x yF x y，即0000000000(,)(,)0(,)(,)0 xxyyf x yx yf x yx y .欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！消去0，得00000000(,)(,)(,)(,)0 xyyxf x yx yf x yx y,整理得000000001(,)(,)(,)(,)xyxyf x yf x yx yx y.（因为(,)0yxy），若00(,)0 xf x y
19、，则00(,)0yf x y.故选（）.（12）设12,s 均为n维列向量，A为m n矩阵，下列选项正确的是(C)若12,s 线性相关，则12,sAAA线性相关.(D)若12,s 线性相关，则12,sAAA线性无关.(C)若12,s 线性无关，则12,sAAA线性相关.(D)若12,s 线性无关，则12,sAAA线性无关.A【分析】本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】记12(,)sB，则12(,)sAAAAB.所以，若向量组12,s 线性相关，则()rBs，从而()()rAB rBs，向量组12,sAAA也线性相关，故应选().（13）设A为 3 阶矩阵，将A的第
20、2 行加到第 1 行得B，再将B的第 1 列的1倍加到第 2 列得C，记110010001P，则（）1CP AP.（）1CPAP.（）TCP AP.（）TCPAP.【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得110110110110010,010010010001001001001BAC BA ，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！而1110010001P，则有1CPAP.故应选（）.（14）设随机变量X服从正态分布211(,)N，Y服从正态分布222(,)N，且 1211P XP Y 则必有(B
21、)12(B)12(C)12(D)12 A【分析】利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解】由题设可得12112211XYPP，则12112121 ，即1211 .其中()x是标准正态分布的分布函数.又()x是单调不减函数，则1211，即12.故选(A).三、解答题：15 23小题，共 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分 7分）设 1sin,0,01arctanxyyyfxyxyxyx,求()lim,ygxfxy；()0limxg x.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！【分析】第()问求极限时注意
22、将x作为常量求解，此问中含,0型未定式极限；第()问需利用第()问的结果，含 未定式极限.【详解】()1sinlim,lim1arctanyyxyyygxfxyxyxsin11111lim1arctanarctanyxyxyxxxxy.()200011arctanlimlimlimarctanarctanxxxxx xxgxxxxx（通分）22222000112arctan2(1)1limlimlim22xxxxx xxxxxxxxx （16）（本题满分 7分）计算二重积分2d dDyxy xy，其中D是由直线,1,0y xyx所围成的平面区域.【分析】画出积分域，将二重积分化为累次积分即可.
23、【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于x的一次函数，“先x后y”积分较容易，所以12200d dddyDyxy xyyyxy x 3112220002122dd339yyxyyy yy（17）（本题满分 10 分）证明：当0ab 时，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！sin2cossin2cosbbbb aaaa.【分析】利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.【详解】令()sin2cossin2cos,0fxxxxx aaaaa x b ，则()sincos2sincossinf xx xxxxxx ，且()
24、0f.又()cossincossin0f xx xxxxx，（0,sin0 xxx 时），故当0a x b 时，()fx单调减少，即()()0f xf，则()fx单调增加，于是()()0fbfa，即sin2cossin2cosbbbb aaaa.（18）（本题满分 8 分）在xOy坐标平面上，连续曲线L过点 1,0M，其上任意点,0Pxy x 处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax（常数0a）.()求L的方程；()当L与直线y ax所围成平面图形的面积为83时，确定a的值.【分析】()利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；()利用定积分计算平面图形的面积，确定参数.【详解】()设曲线L的方
25、程为()y fx，则由题设可得yyaxx ，这是一阶线性微分方程，其中1(),()PxQxaxx，代入通解公式得11dd2eedxxxxyaxx CxaxCax Cx，又(1)0f，所以Ca.故曲线L的方程为2y ax ax(0)x.()L与直线y ax（0a）所围成平面图形如右图所示.所以220dDaxax ax x欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！220482d33ax xxa，故2a.（19）（本题满分 10 分）求幂级数1211121nnnxnn的收敛域及和函数()sx.【分析】因为幂级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算；利
26、用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数.【详解】记121(1)()(21)nnnxu xnn，则2321121(1)()(1)(21)limlim(1)()(21)nnnnnnnnxuxnnxxu xnn.所以当21,1xx即时，所给幂级数收敛；当1x 时，所给幂级数发散；当1x 时，所给幂级数为1(1)(1),(21)(21)nnnnnn，均收敛，故所给幂级数的收敛域为 1,1在 1,1内，12112111(1)(1)()22()(21)(21)2nnnnnnxxsxxxs xnnnn，而12112211211(1)1(),()(1)211nnnnnnxs xs xxnx，所
27、以1112001()(0)()ddarctan1xxs x ss tttxt，又1(0)0s，于是1()arctans xx.同理11100()(0)()darctan dxxsx ssttt t 20201arctandarctanln 112xxttttxxxt，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！又1(0)0s，所以 211()arctanln 12sxxxx.故 22()2arctanln 1sxxx xx.1,1x .由于所给幂级数在1x 处都收敛，且 22()2arctanln 1sxxx xx在1x 处都连续，所以()sx
28、在1x 成立，即 22()2arctanln 1sxxx xx，1,1x.（20）（本题满分 13 分）设 4 维向量组TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,aaa T44,4,4,4a，问a为何值时1234,线性相关?当1234,线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同，所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数a；用初等变换求极大线性无关组.【详解】记以1234,为列向量的矩阵为A，则312341234(10)12341234aaAa aaa.于是当0,010Aaa 即或时，1234
29、,线性相关.当0a 时，显然1是一个极大线性无关组，且2131412,3,4 ；当10a 时，12349234183412741236A，由于此时A有三阶非零行列式9231834000127，所以123,为极大线性无关组，且123441230 ，即.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！（21）（本题满分 13 分）设 3 阶实对称矩阵A的各行元素之和均为 3,向量TT121,2,1,0,1,1是线性方程组0Ax 的两个解.()求A的特征值与特征向量；()求正交矩阵Q和对角矩阵,使得TQ AQ ；（）求A及632AE，其中E为 3 阶单位
30、矩阵.【分析】由矩阵A的各行元素之和均为 3 及矩阵乘法可得矩阵A的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组0Ax 有非零解可知A必有零特征值，其非零解是 0 特征值所对应的特征向量.将A的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q；由TQ AQ 可得到A和632AE.【详解】()因为矩阵A的各行元素之和均为 3，所以131133 1131A ，则由特征值和特征向量的定义知，3是矩阵A的特征值，T(1,1,1)是对应的特征向量.对应3的全部特征向量为k，其中k为不为零的常数.又由题设知120,0AA，即11220,0AA ，而且12,线性无关，所以0是矩阵A的二重特征值，12,是其对应的特征向
31、量，对应0的全部特征向量为1122kk，其中12,kk为不全为零的常数.()因为A是实对称矩阵，所以与12,正交，所以只需将12,正交.取11，21221111012,3120,61112 .再将12,单位化，得欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！121231211136212,036111236，令123,Q，则1TQQ，由A是实对称矩阵必可相似对角化，得T300Q AQ.（）由()知T300Q AQ，所以T11111136233331 1 112121001 1 13666601 1 111111036222A Q Q.666TTT
32、333222QAE QQAE QQ AQE6666633223333022203322E ，则666T333222AEQEQE .（22）（本题满分 13 分）设随机变量X的概率密度为欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1,1021,0240,Xxf xx 其他，令 2,Y X F xy为二维随机变量(,)XY的分布函数.()求Y的概率密度 Yf y；()Cov(,)XY；()1,42F.【分析】求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或利用公式计算.【详解】（I）设Y的分布函数为()YF y，即2()()()
33、YF yPYyP Xy，则1)当0y 时，()0YF y；2)当01y 时，2()()YF yPXyPy Xy00113dd244yyxxy.3)当14y 时，2()()1YF yPXyPXy0101111dd2442yxxy.4)当4y，()1YF y.所以3,0181()(),1480,YYyyf yF yyy 其他.（II）22232Cov(,)Cov(,)()()XYX XEX EX XEXEX EXEX，而02101dd244xxEXxx，22022105dd246xxEXxx，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！330231
34、07dd248xxEXxx，所以71 52Cov(,)84 63XY .()1,42F211,4,422P XYP XX11,22222P XXPX 12111d24x.（23）（本题满分 13 分）设总体X的概率密度为,01,;1,12,0,xfxx 其他,其中是未知参数01，12n,.,X XX为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值12,.,nxxx中小于 1 的个数.（）求的矩估计；（）求的最大似然估计【分析】利用矩估计法和最大似然估计法计算.【详解】（）因为 12013(;)dd1d2EXxf xxx xxx，令32X，可得的矩估计为32X.（）记似然函数为()L，则 ()111(1)Nn NNn NL 个个.两边取对数得ln()ln()ln(1)LNnN，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！令dln()0d1LNnN，解得Nn为的最大似然估计.