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1、2021考 研 数 学(三)真 题 及 答 案 解 析【完 整 版】2021考 研 数 学 真 题 及 答 案 解 析 数 学(三)一、选 择 题(本 题 共 10小 题，每 小 题 5 分，共 5 0分.每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 个 选 项 是 符 合 题 目 要 求，把 所 选 选 项 前 的 字 母 填 在 答 题 卡 指 定 位 置 上.)(1)当 x-0时，。(/一 1 0 是/的(A)低 阶 无 穷 小.(B)等 价 无 穷 小.(C)高 阶 无 穷 小.(D)同 阶 但 非 等 价 无 穷 小.【答 案】C.【解 析】因 为 当 X T O时,=2(
2、Z-l)2x7,所 以 是 F 高 阶 无 穷 小,正 确 答 案 为 C.ex 1(2)函 数/(x)=x，在 x=0 处 l,x=O(A)连 续 且 取 极 大 值.(B)连 续 且 取 极 小 值.(C)可 导 且 导 数 为 0.(D)可 导 且 导 数 不 为 0.【答 案】D.【解 析】因 为-=1=/(0).故/(x)在 x=0 处 连 续：x-*0 x-0 xex-t因 为 一 0)-lim=lim，=L,故/，()=!正 确 答 案 为 D.x-0 f x-0 i x2 2 2(3)设 函 数/(x)=ax-/lnx(o 0)有 两 个 零 点，则 2 的 取 值 范 围 是
3、(A)(e,+oo).(B)(O,e).(C)(O,i).(D)(-,-KO).e e【答 案】A.【解 析】令/(x)=ar-blnx=O.fx)=a-,令/(x)=0 有 驻 点 x=2,/f-l=a-6ln-,可 得 2 e,正 确 答 案 为 A.a a(4)设 函 数/(x,y)可 微,/(x+1,e)=x(x+l):/(x,x2)=2x:ln.r,则=(A)dx+dy.(B)dx-dy.(C)dy.(D)-dy.【答 案】C.【解 析】工+1,/)+夕(+1,6*)=(、+1)2+2(4+1)/(x,x2)+2.x/*(x,x2)=4xlnx+2x 分 别 将=带 入(DO)式 有
4、 b=o b=i川 1)+A U)=l,而,1)+2(U)=2联 立 可 得 而,1)=0,4(U)=L*(1,1)=曲,1心+加,1 9=力,故 正 确 答 案 为 C.(5)二 次 型/(3,毛,a)=a+X j+(毛+/)2-(玉 一 王 尸 的 正 惯 性 指 数 与 负 惯 性 指 数 依 次 为(A)2,0.(B)l,l(C)2,l.(D)l,2.【答 案】B 解 析/(X,x?,&)=(x,+x2)2+(x2+x3)2-(x3-x,)2=2x,2+2X1X2+2x,xs+2xlx3o r所 以/=1 2 1,故 特 征 多 项 式 为 J 1 0,|A E-J|=(A+1XZ-3
5、)A令 上 式 等 丁 零,故 特 征 值 为-I,3,0,故 该：次 型 的 正 惯 性 指 数 为 I,负 惯 性 指 数 为 I.故 应 选 B.则 线 性 方 程 组 Bx=P 的 通 解 x=(A)%+%+%+A%(C)%+%+a4+ka、.(B)%+%+4+&%(D)a1+a2+ay+ka4.【答 案】D.【解 析】因 为/=(,%,%,4)为 4阶 正 交 矩 阵，所 以 向 属 组 多,4,6,q 是 组 标 准 正 交 向 量(叫 组，则 r(B)=3,乂 6a4=a j 久=0,所 以 齐 次 线 性 方 程 组=0 的 通 解 为 A q.而 1?,k=+a：+a、+ka
6、、,其 中 k 为 任 意 常 数.故 应 选 D.I o-r(7)已 知 矩 阵 工 二 2-i 1，若 下 三 角 可 逆 矩 阵 P 和 上 三 角 可 逆 矩 阵。，使 为 对 角、-1 2-5,矩 阵，则 尸，。可 以 分 别 取 2 10、00 0、1 00 1 o ro 1 3、o o i,(B)12-32-30-I20、0II000I0r3(D)0I0I30 0、-1 02 L)0、0.1 b(0000002-I00、0【答 案】C.【解 析】,（4）=2-10-12000I00、0I000-12-13-61-210100、0L(0、000-1 1-3 20-30-120、0=
7、(F,P)JMZ00、0010010-r-3000L12-30-12-100I0w0100100、0;0、003则。=0、010I、3.故 应 选 c.(8)设/.8 为 随 机 事 件，且 0P(8)P(/),则 P(J|回)尸(彳)(C)若 P(A B)P(AB)，则 P(AB)P(A).(D)若 P(4|/U6)尸(彳 M U 8),则 P(/)P(8).【答 案】D.【解 析】P（“MUB）=端 祟 p(mP(A)+P(B)-P(AB)P(1(4 U8)_ P 3 B)PAAJB)=P(AJB)P(AJB)P(A)+P(B)-P(AB)因 为。（川 力 1）8）2（彳|/1）8）,固
8、有 尸（力）。（8）-尸（力 8）,故 正 确 答 案 为 D.（9）设（X 3）,（%2,K）,（天 上）为 来 自 总 体（必,外；52,。；;夕）的 简 单 随 机 样 本，令 9_ 1 _ i A _ _必 一 出，x=yixi.e=一 F 则 n 1=1 n i=ln3(B)E=e,.间=+丐、2的%.n(C)(0)*6.=n(D)(0)w6.0(击=5.+仃-2 叫 n【答 案】B【解 析】因 为 x,y 是 二 维 正 态 分 布，所 以 又 与 也 服 从 二 维 正 态 分 布，则 T-1 也 服 从 二 维 正 态 分 布，即(。)=(又 一 1)=(又)一(力=必 一 任
9、=0,2 2)D(0)=D(X-Y=D(X)+D(Y)-eoy(X,Y=%+.-30r.i 故 正 确 答 案 为 B.n(10)设 总 体 X 的 概 率 分 布 为 PX=1=1,PX=2=PX=3=.利 用 来 自 总 体 2 4的 样 本 值 1,3,2,2,1,3,I,2,可 得。的 最 大 似 然 估 计 值 为 1 3 J 5(A)-.(B)-.(O-.(D)【答 案】A.1 _ n 1 1 n【解 析】似 然 函 数 6)=(二)(上？)2 4取 对 数 In(0)=3 ln()+5 ln()：2 4求 导 也 处=-3一+2=0,得 6=1.故 正 确 答 案 为 A.d0
10、0-0 4二、填 空 题(本 题 共 6 小 题，每 小 题 5 分，共 30 分.请 将 答 案 写 在 答 题 纸 指 定 位 置 上.)(11)若 y=cos,则 sin-【答 案】2e.1sin-_ e2e 解 析 B m+J；/产 抑 H C=6.(13)设 平 面 区 域。由 曲 线)，=4-sin;rx(0MxSl)与 x 轴 雨 成，则。绕 x 轴 旋 转 所 成 旋 转 体 的 体 积 为.t答 案】44【解 析】V-s*nx)2dx=j s in2xdx=J tx-t J0*sin2tdl=(14)差 分 方 程 A)，,=/的 通 解 为.1答 案】=y+y=V-l/+c
11、,c 为 任 意 常 数._ I I I【解 析】y=C t y=(at+b).(，+l)(0(，+l)+b)-a/+1)=f 2at+a+b=t.a=,b=”y+还 1/-5+C.C 为 任 意 常 数.i2x 2x122X(15)多 项 式/(x)=中 x3项 的 系 数 为 x1 X【答 案】-5.【解 析】/W=x x1 X2 12-1所 以 展 开 式 中 含 F 项 的 有-4 x 即 F 项 的 系 数 为-5.(16)甲 乙 两 个 盒 子 中 各 装 有 2 个 红 球 和 2 个 白 球，先 从 甲 盒 中 任 取 一 球,观 察 颜 色 后 放 入 乙 盒 中.再 从 乙
12、 盒 中 任 取 一 球.令 分 别 表 示 从 甲 盒 和 乙 盒 中 取 到 的 红 球 个 数，则 X 与 丫 的 相 关 系 数【答 案】|cov(X,r)=,DX=-20 4【解 答】联 合 分 布 率(x,y)三、解 答 题(本 题 共 6 小 题，共 7 0分.请 将 解 答 写 在 答 题 纸 指 定 位 置 上，解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.)(I7X本 小 题 满 分 10分)1.已 知 linj aarctan+(1+W)”存 在，求 a 的 值 1 笞 案】a=L(1-e).n e【解 析】.要 想 极 限 存 在，则 左 右
13、极 限 相 等：又 由 于 lim a arctan 1+。+,产=na+e,5I ini arctan+(1 4-lxh,=-a+3 x 1 1 2 ea I-r-It 7 C 1 nrt 1.1.从 血 一 a+e=a+-.即 a=(-e).2 2 e n e(18X本 小 题 满 分 12分)求 函 数/(x J)=2 In kl+色 二 岁 工 的 极 值.【答 案】(-1,0)处 取 极 小 值 2；(“)处 取 极 小 吗-21n2.【解 析】得 驻 点(-1,0),(5,0)._(4x+l)x-3(2x2+x-l-y2)Jxx-(3)驻 点(一 1,0)处，A=3,B=0,C=l
14、,A C-B2=30,A0故/(xj)在(TO)处 取 极 小 值 2：驻 点 处，A=24.B=0.C=4.A C-B2=3 0.A0故/(x,y)在(g,0)处 取 极 小 值;-2ln2.(19X本 小 题 满 分 12分)设 有 界 区 域。是 F+V=l和 直 线 y=x 以 及 x 轴 在 第 一 象 限 闱 城 的 部 分，计 算 二 重 枳 分 e y x2-yz)dxdy.Dt答 案】-e:-e+l.8 4 8旷 川(x2-y2 Mb=Ijjcos2喇：J i m 2r2dr2=cos2喇:广 i f dr，=欣 os2 砌 丁 zi5/旧%”而 念 而 W s e x-.W
15、+s i新(cos 6+sin 8)tedt_J J _J tu*!：_|(cos 0+sin 8)2_(8 se+sin6),6上 式 与 需 普 流 黑 琮 酢-“-2其 中 乂 一 九=M-；e+（,原 式 号 一 卜%T(20X本 小 题 满 分 12分)设 为 正 整 数，)，=乂(幻 是 微 分 方 程 勺，-5+1=0 满 足 条 件=一!的 解.(+1)求”(x)：(2)求 级 数 北(x)的 收 敛 域 及 和 函 数.1.f(l-x)ln(l-x)+x,x e(-l,l)1 答 案】(l)y(x)=:x;(2)收 敛 域-1,1,S(x)=4,.(+1)(l,x=l(1)户
16、*.将 乂(1)=带 入，有 C=X 71(/1+1)(+1)*1 Z x”的 收 敛 域 为 蒲 5+1)设 S(x)=!=-=(l-x)ln(l-x)+x,x e(-lj)乂 因 为 S(x)在-1,1 连 续,所 以 S(l)=lim S(x)=l,x-r所 以 S(x)(D 加(D+e l T l)l,x=1（21X本 小 题 满 分 12分）2 1 0、设 矩 阵/=1 2 0 仅 有 两 个 不 同 的 特 征 值.若/相 似 于 对 角 矩 阵，求 a,6 的 值,并 求 可 J a 比 逆 矩 阵 P,使 P A P为 对 角 矩 阵.A-2-1【解 析】由,E-H=-I 4-
17、2-1-a00=(A-6)(X-3 X A-l)=0A-b当 6=3 时，由 力 相 似 对 角 化 可 知.二 小 根 所 对 应 特 征 值 至 少 存 在 两 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量,则 1 T 0、(3E A)1 1 0 知，a=1、-1-a 0,71 p此 时，4=4=3 所 对 应 特 征 向 量 为%=1,%=o,C、4=1 所 对 应 的 特 征 向 量 为 4=1,则 产/尸=3J J I I当 6=1时.由/相 似 对 角 化 可 知，二 重 根 所 对 应 特 征 值 至 少 存 在 两 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量，则 f-I 0、(E-4)=
18、-1-1 0,知=1,、-1-a 0,f-l 1此 时，4=4=1所 对 应 特 征 向 量 为 自=，夕 2=o，、。1 u J否=3 所 对 应 的 特 征 向 量 为 4=1,则 产/P=I(22X本 小 题 满 分 12分)在 区 间(0,2)上 随 机 取 一 点，将 该 区 间 分 成 两 段，较 短 的 一 段 长 度 记 为 X,较 长 的 一 段 长 度 记 为 V丫，令 Z=jJi(1)求 X 的 概 率 密 度：(2)求 Z 的 概 率 密 度.求 朝.【答 案】(I)=(2)/,(=)=(/(;)=(r+l):，：-1.(3)-l+21n2.1 共 他 0,其 他【解 析】(I)由 题 知：x/(x)=(2)由 y=2 x,R P Z=y-,先 求 Z 的 分 布 函 数：与(z)=P Z A=p宁 一 卜 唱-当？1 时，%(二)=0：当 二 21时，修 加 尸 柠-=i 收 刍 卜-向 小”方：l,0 xl0,其 他 力(二)=(5(N)=仁+1)20,其 他 8 伊 卜 占 卜 之 k/r=-l+21n2.9