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1、考点30用样本估计总体【题组一茎叶图中的特征数】1.如图是某学生在七次周考测试中某学科所得分数的茎叶图，那么这组数据的众数和中位数分别为（）A. 84, 86B. 84, 84C. 83, 86D, 83, 84【答案】D【解析】【分析】由茎叶图得所有数据，出现次数最多的为众数，按从小到大顺序排列后中 间的那个数为中位数.【详解】由茎叶图可得，这几个数据分别是79, 83, 83, 84, 86, 87, 93；故众数 为83,中位数为84；应选：D.【点睛】此题考查茎叶图，考查众数和中位数的概念，此题属于基础题.2.如图，茎叶图记录了某数学兴趣小组五名学生在一次数学竞赛测试中的成绩（单位：分
2、），假设这组数据的众数是12,那么x的值为（）92x47J，A. 2B.3C.4D. 5【答案】A【解析】【分析】由众数的概念可得结果.【详解】因为众数是出现次最多的数，且这组数据的众数为12 所以工的值为2应选：A【点睛】此题考查的是众数的概念和茎叶图，属于基础题.频率上 旃0.06 1（1）求频率分布直方图中加、的值；（2）求该班级这次月考语文作文分数的平均数和中位数.（每组数据用该组区间中 点值作为代表）【答案】（1）m= 0.04,九=0.02； （2）平均数为36.25,中位数为35.【解析】【分析】（1）利用矩形面积之和等于1,解方程组即可求解.（2）利用矩形面积乘以矩形底边中点横
3、坐标之和可得平均数；从左到右求出面积 和为0.5的分界线横坐标的值，即为中位数.【详解】（1）由频率分布直方图，m = 2n得，（0.01 + 0.03 + 0.06 + m + 0.03 + + 0.01） x 5 = 1解得解得m = 0.04n = 0.02 ；(2)该班级这次月考语文作文分数的平均数为22.5 x 0.05 + 27.5 x 0.15 + 32.5 x 0.3 + 37.5 x 0.2 442.5x0.15 + 47.5 x0.1+52.5x 0.05 = 36.25，因为（0.01 + 0.03 + 0.06） x 5 = 0.5 ,所以该班级这次月考语文作文分数的中
4、位数为35 .【点睛】此题考查了频率分布直方图估计样本数据特征，考查了基本运算求解能 力，属于基础题.14.某网站举行“卫生防疫”的知识竞赛网上答题，共有120000人通过该网站参加 了这次竞赛，为了解竞赛成绩情况，从中抽取了 100人的成绩进行统计，其中成绩分组区间为50,60), 60,70), 70,80), 80,90), 90,100,其频率分布直方图如下图，请你解答以下问题:（1）求加的值；（2）成绩不低于90分的人就能获得积分奖励，求所有参赛者中获得奖励的人数；（3）根据频率分布直方图，估计这次知识竞赛成绩的平均分（用组中值代替各组 数据的平均值）.【答案】（1） m = 0.0
5、3 （2） 6000 人（3） 76 分【解析】【分析】（1）由频率分布直方图所有频率之和为1可求得? ；（2）由频率分布直方图得成绩在90,100之间的频率，由频率可得频数；（3）用每组数据中间点作为这组数据的估计值结合频率可得总均分.【详解】（1）由频率分布直方图的性质，可得10 x （0.005 + 0.02 + 0.04 + m+0.005） = 1,解得 m = 0.03.（2）由频率分布直方图，可得成绩在90,100之间的频率为10x0.005 = 0.05,所以可估计所有参赛者中获得奖励的人数约为120000x 0.05 = 6000人.（3）根据频率分布直方图的平均数的计算公式
6、，可得平均分的估计值为 55x0.05 + 65x0.2+75x0.4+85x0.3+95x0.05 = 76 分.【点睛】此题考查频率分布直方图，考查由频率分布直方图求均值，频数，考查了 学生的数据处理能力，运算求解能力，属于基础题.【题组三综合运用】15.演讲比赛共有10位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从10个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到8个有效评分.8个有效评分与10个原始评分相比，不变的数字特征是（）.A.中位数B.平均数C.方差D.极差【答案】A【解析】【分析】根据平均数、中位数、方差、极差的概念来进行求解，得到答案.【详解】设10位评委评分按从小到
7、大排列为x,x2x3x4.x8x9x10, 那么原始中位数为去掉最低分毛，最高分西0,后剩余x2 x3 %4 - x8 x9,中位数仍为,A正确.- 1原始平均数%=而（ +X2+X3+Z+/+%9+%0），后来平均数y = 1（x2+x3+x4. + x8+x9）,平均数受极端值影响较大，O厂工与/不一定相同，B不正确；由易知，C不正确.原极差=为（）-%，后来极差二%-%可能相等可能变小，D不正确.应选：A.【点睛】此题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.属于较易 题.16 .高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大创造”，为评估共享单 车的使用情况，选了几座城市
8、作实验基地，这座城市共享单车的使用量（单位： 人次/天）分别为七，4,，,下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是（）A. X,乙，%的标准差c.冉，巧，.，X的最大值B. 4，Z的平均数D.为，巧，.，4的中位数【答案】A【解析】【分析】根据方差、标准差估计样本数据的稳定程度即可得出选项.【详解】表示一组数据的稳定程度是方差或标准差，标准差越小，数据越稳定.应选：A【点睛】此题考查了用样本估计总体，考查了考生对基本知识的理解，属于基础 题.17 .某公司10位员工的月工资（单位：元）为毛，巧，玉,其均值和方差分别为天和假设从下月起每位员工的月工资增加100元，那么这10位员工
9、下月工资 的均值和方差分别为A. x , s2 +1002B. x + 100, s2 +1002C. x, s1D. x + 100, s1【答案】D【解析】1010【详解】试题分析：均值为xl+lxl=f+100； 方差为l+100)-(+100)f +100)-fe4-100)J +_+。+100卜(+100打=，应选D.考点：数据样本的均值与方差.18.现对A8有如下观测数据A34567B1615131417记本次测试中，两组数据的平均成绩分别为4,与，两班学生成绩的方差分别为S：,S3那么（）A. xA xRS2 V2C. xAxB ,S； = SB【答案】c【解析】【分析】根据均值
10、公式，方差公式计算后可得.【详解】乙=3+4+5+6+716 + 15 + 13 + 14 + 17 =15 ,SA =(3 - 5)2 +(4-5)2 + (5-5)2 +(6-5)2 +(7-5)2 个=2 ,sl =(16 15)2+(15 15)2+(13 15)2+(14 15产+(17 - 15下s； = s应选：C.【点睛】此题考查均值与方差，掌握均值与方差的计算公式是解题关键、19. 一组数据的平均数为加，方差为及，将这组数据的每个数都乘以。（。0）得到一组新数据，那么以下说法正确的选项是（A.这组新数据的平均数为加A.这组新数据的平均数为加B.这组新数据的平均数为 +加C.这
11、组新数据的方差为由C.这组新数据的方差为由D.这组新数据的标准差为【答案】D【解析】【分析】 设原数据为小，分别列出原数据的平均数、方差和新数据的平均数、方差, 逐一分析选项，即可得答案.X, + , + X,）【详解】设原数据为小与，共个，那么平均数m=L,方差n =（须-m）2 + （x2 - m）2 hf （x - m）2 Pax. + ax, HF axn a（x + x7 HFxn）对于选项A、B：新数据的平均数为=!=匚=晒,PP故A、5错误；对于选项C：新数据的方差为（1。根）2 + （内2 -加）2 + cix -amf 二 P。2 x （%1 -77?）2 +（工2 -m）2
12、 1F（X - w）2 = a2n ,故 C 错误；P一对于选项。：新数据的标准差为而=6份，故。正确.应选：D【点睛】此题考查一组数据的平均数、方差、标准差的定义与性质，考查分析理 解，推理计算的能力，属基础题.420.在一组样本数据中，1, 2, 3, 4出现的频率分别为1，2，3，4，且Zp, =1， i=那么下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A. P 4 =。. 1, P? =，3 =。.4B. P 4 =。.4, P? 3 01C. P = P4 = 0.2, p? P3 = 0.3D. P = P4 =。.3, p? P3 = 02【答案】B【解析】【分析】计算出四个
13、选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一 组.【详解】对于A选项，该组数据的平均数为元= （l+4）x（M +（2+3）x0.4 = 2.5,方差为2.5x0.1 + （2-x 0.4+（3-义 0.4+（4-x 0.1 = 0.65；对于B选项，该组数据的平均数为E = （1 + 4）x0.4+（2 + 3）x0.1 = 2.5,方差为 =（1-25）2 x0.4 +（2-2.5）2 x（M +（3-2.5）2 x0.1 +（4-2.5）2x0.4 = 1.85； 对于C选项，该组数据的平均数为京= 0+4）xO.2 +（2 + 3）xO.3 = 2.5, 方差为4=（1-2.
14、5）2 x0.2 +（2-2.5）2 x0.3 +（3-2.5）2 x0.3 +（4-2.5）2 x0.2 = 1.05 ；对于D选项，该组数据的平均数为京= （1 + 4）x0.3 +（2+3）x0.2 = 2.5, 方差为器=（1 2.5）2 x0.3 +（2 2.5x0.2 +（3-2.5）2 x0.2 +（4 2.5）2 *0.3 = 1.45. 因此，B选项这一组的标准差最大.应选：B.【点睛】此题考查标准差的大小比拟，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于 基础题.3.在2014-2015赛季中，某篮球运发动前10场比赛得分的茎叶图如下图，那么该运发动这10场比赛得分的众数是（）1
15、246225666A. 12A. 12B.22C. 26D. 33【答案】C【解析】【分析】找出茎叶图中出现次数最多的数，即可得答案.【详解】由茎叶图数据可得：26出现3次，次数最多，众数为26.应选：C.【点睛】此题考查众数的概念，考查数据处理能力，属于基础题.4 .在某技能测试中，甲乙两人的成绩（单位：分）记录在如下的茎叶图中，其中 甲的某次成绩不清晰，用字母。代替.甲乙成绩的平均数相等，那么甲乙成绩 的中位数分别为（）甲8 8 68 4a甲8 8 68 4a乙1 -S-820 0 4 8A. 2020A. 2020B. 2120C. 2021D. 2121【答案】B【解析】【分析】先由题
16、中数据，根据题意，求出 =4,将甲乙的成绩都从小到大排序，即可得出中位数.【详解】由题中数据可得：甲的平均数为X =18 + 18 + 16 + 20 + 24 + 28十124 十 = ，乙的平均数为=乙的平均数为=18 + 18 + 20 + 20 + 24 + 28 _ 128二 =二 ,因为甲乙成绩的平均数相等，所以6124 + q 128，解得：。二4,i o I oj所以甲的成绩为：16,18,18,24,24,28,其中位数为三兰=21,2乙的成绩为：18,18,20,20,24,28,其中位数为型土卫= 20.2应选：B.【点睛】此题主要考查由茎叶图计算中位数，属于基础题型.5
17、 .甲、乙两组数据的茎叶图如下图，那么甲组数据的众数与乙组数据的中位数 分别是2 2,83 3 3456786 16 42A. 52, 65B.52, 66C. 73, 65D. 73, 662【答案】C【解析】【分析】由茎叶图中的数据，再结合众数、中位数的概念，即可求解.【详解】解：根据茎叶图中的数据知：甲组数据的众数是73；乙组数据的中位数是：(66 + 64) = 65.应选：C【点睛】此题考查了茎叶图、众数、中位数的应用问题，考查理解辨析能力.6.甲乙两组数据的茎叶图如下图，假设甲的众数与乙的中位数相等，那么图中X的值为(),P乙A. 2B. 3C4D. 6【答案】C【解析】【分析】根
18、据茎叶图求出甲的众数和乙的中位数，列出方程，求得X的值，得到答案.【详解】根据茎叶图可知，甲的众数为23,乙的中位数为x =4（22 + 20 + %） =（42 + x）,22因为甲的众数与乙的中位数相等，即;（42 + %） = 23,解得x = 4.应选：C【点睛】此题主要考查了根据茎叶图求众数和中位数及其应用，其中解答中熟记众 数和中位数的概念与求法是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.7.设样本数据玉,斗，九5的平均数和方差分别为1和4,假设（。为非零常数，= 1,2,5）,那么%,%，%的平均数和方差分别为（）A. 1, 4B.l + a, 4+a C. 1 + a , 4
19、 D. 1, 4+a【答案】C【解析】【分析】利用平均数、方差的计算公式计算即可.【详解】由题得均值二_ X + 必+%+，一+乂0 _ （% +。） + （尤2 +） + （%3+。）+-.+（玉0+）V 101010 + 10(2 I= l + a10y - y)2 +(X - yj+(y 一 + + 屈 y)2ibL-12+(Xo + a) - (1 + a)22(%+) (1 + Q) +(M+a)-(1 + a) +10_ (xi - Q +(x2 -1)2+- - -+(%10 - iy _ 40 _101010 应选：C.【点睛】此题考查统计数据平均数、方差的计算，比拟简单，公式
20、运用是关键.8如果数据%,%2，,，凡的平均数为x，方差为82,贝！5%+2,5%2 + 2,，5%+2的平均数和方差分别为（）A. ,82B. 5x+2,82 C. 5x + 2,25x82D. x,25x82【答案】c【解析】【分析】利用平均数和方差的性质，直接计算，即可求解.【详解】由题意，数据为,%,X的平均数为最，方差为82, 根据平均数和方差的性质，可得数据5%+2,5% + 2,.,5%+2的平均数工+ 2，方差为25x8?.应选：C.【点睛】此题主要考查了平均数、方差的求法，其中解答中熟记数据的平均数和方 差的性质是解答的关键，属于基础题.9.某地有两个国家AAAA级旅游景区甲
21、景区和乙景区.相关部门统计了这两个景区2019年1月至6月的月客流量（单位：百人），得到如下图的茎叶图,关于2019年1月至6月这两个景区的月客流量，以下结论错误的选项是（） 甲景区42 456 511121314乙景区4 562A.甲景区月客流量的中位数为12950人B.乙景区月客流量的中位数为12450人C.甲景区月客流量的极差为3200人D.乙景区月客流量的极差为3100人【答案】D【解析】【分析】分别计算甲乙景区流量的中位数和极差得到答案.【详解】根据茎叶图的数据：甲景区月客流量的中位数为12950人，乙景区月客流量的中位数为12450人.甲景区月客流量的极差为3200人，乙景区月客流
22、量的极差为3000人.应选：D【点睛】此题考查了茎叶图中位数和极差的计算，意在考查学生的应用能力.10.数据%,工2，工3,%的方差是8,那么数据jXI -2,5工2-3,，5七? 一2乙乙乙乙的方差是（）A. 8B.4C. 2D. 1【答案】C【解析】【分析】设%1，%，%3,，%”的平均数为了，写出和2,须，毛的方差的计算公式，然 后计算出新数据的均值计算新数据的方差，变形后可用方差计算.【详解】设不看，3,”的平均数为那么无=+=+: n因为数据石，%2，3，,，凡的方差是8,所以（% 一无）” +（入2 天）2 +（1 无）2 +（% 一无） = 8.设;玉2,1%2,；七2,L2的平
23、均数为了，方差为$2那么1- X2 + x9 2 + 22）+. + x 212 1 Z c+x2+x3 + -+xn）-2n=-x-221_丫.c_.-x-2-y + -x2-2-y + - 2-y（1 。_-x-2-y2 fl/、2-Xi XU 1 2 J2 （ 1 _?+ XryXU 2 2 J1 （% -_x） + （玉-x） + , +-x）=Xx8 = 2所以数据xl 2,x2 2,x3 2,L ,xn2 的方差是 2.I应选：c.【点睛】此题考查方差的概念，掌握方差的计算公式是解题基础.数据%1 ,%2, %3,乙的均值为最方差是/ ,那么新数据axx+b,ax2+b,-,axn
24、+b的均值为ax+b 方差为一方,【题组二 频率直方图中的特征数】11.秉持“绿水青山就是金山银山”的生态文明开展理念，为推动新能源汽车产业迅 速开展，有必要调查研究新能源汽车市场的生产与销售.以下图是我国某地区2016年 至2019年新能源汽车的销量（单位：万台）按季度（一年四个季度）统计制成的 频率分布直方图.（1）求直方图中。的值，并估计销量的中位数；（2）请根据频率分布直方图估计新能源汽车平均每个季度的销售量（同一组数据 用该组中间值代表），并以此预计2020年的销售量.【答案】（1） 0 = 0.1125,中位数为16； （2）新能源汽车平均每个季度的销售量为17 万台，以此预计20
25、20年的销售量约为17万台.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有矩形面积之和为1可计算出。的值，利用中位数左 边的矩形面积之和为。5可求得销量的中位数的值；（2）利用每个矩形底边的中点值乘以相应矩形的面积，相加可得出销量的平均数，由此可预计2020年的销售量.【详解】（1）由于频率分布直方图的所有矩形面积之和为1,那么（0.0125 + 4 + 0.075 + 0.025 x 2）x4 = 1,解得“ = 0.1125,由于（0.0125 + 0.1125）x4 = 0.5,因此，销量的中位数为16；（2）由频率分布直方图可知，新能源汽车平均每个季度的销售量为10 x 0.05+14
26、x 0.45 + 18 x 0.3 + 22x 0.1+26 x 0.1 = 17 （万台。由此预测2020年的销售量为17万台.【点睛】此题考查利用频率分布直方图求参数、中位数以及平均数的计算，考查计 算能力，属于基础题.12.某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的物理成绩（均为整 数）分成六段：40,50）, 50,60）, 60,70）,，90,100后得到如图频率分布直 方图.频率a 0.0250.0150.0100.0050 40 5Q 60 70 90 90 100（1）根据频率分布直方图，估计众数和中位数；（2）用分层抽样的方法从40,60）的学生中抽取一个容量为5
27、的样本，从这五人中任选两人参加补考，求这两人的分数至少一人落在50,60）的概率.9【答案】（1）众数为75,中位数为73.33； （2）.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图可求得。= 0.030；面积最大值的矩形底边中点横坐 标为众数；利用矩形面积之和为0.5可求中位数.（2）利用分层抽样可得40,50）中抽到2人，50,60）中抽取3人，再利用组合数 以及古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】（1）由频率分布直方图得：(0.010+0.015 + 0.015 + a + 0,025 + 0.005) x 10 = 1,解得OSO,由i”人将以70 + 80所以众数为： -二75, 2
28、40,70）的频率为（0.01 + 0.015 + 0.015） x 10 = 0.4 ,70,80）的频率为0.03xl0 = 0.3 ,05-04中位数为：70+X10-73.33.0.3（2）用分层抽样的方法从40,60）的学生中抽取一个容量为5的样本，40,50）的频率为0.1, 50,60）的频率为0.15,.,.40,5。）中抽至lJ5x里 =2人，50,60）中抽取5x些 =3人，0.250.25从这五人中任选两人参加补考，基本领件总数 = C；=10,这两人的分数至少一人落在50,60）包含的基本领件个数m = CC + Cl=9,w 9所以这两人的分数至少一人落在50,60）的概率P = = n 10【点睛】此题考查了利用频率分布直方图估计样本数据、组合数、古典概型的概率计算公式，属于基础题.13.某班主任利用周末时间对该班级2019年最后一次月考的语文作文分数进行统计，发现分数都位于20 55之间，现将所有分数情况分为20,25）、25,30）、30,35）、35,40）、40,45）、45,50）、50,55共七组,其频率分布直方图如下图，根= 2.