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1、中考数学专题：多种函数交叉综合问题中考数学专题：动态几何与函数问题 中考数学专题8动态几何与函数问题 【前言】 在第三讲中我们已经探讨了动态几何问题的一般思路，但是那时候没有对其中夹杂的函数问题绽开来分析。整体说来，代几综合题也许有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数学问来考察。而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。但是这两种侧重也没有很严格的分野，许多题型都很类似。所以相比昨天第七讲的问题，这一讲将重点放在了对函数，方程的应用上。其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。不过从近年中考的趋势上看，要求所构建的函数为很困难的二
2、次函数可能性略小，大多是一个较为简洁的函数式，体现了中考数学的考试说明当中“削减困难性”“增大敏捷性”的主体思想。但是这也不能放松，所以笔者也选择了一些较有代表性的困难计算题仅供参考。 【例1】 如图所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与轴负半轴上.过点B、C作直线.将直线平移，平移后的直线与轴交于点D，与轴交于点E. （1）将直线向右平移，设平移距离CD为（t0），直角梯形OABC被直线扫过的面积（图中阴影部份）为，关于的函数图象如图所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，且NQ平行于x轴，N点横坐标为4，求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积. （2）当时，求
3、S关于的函数解析式. 【思路分析】本题虽然不难，但是特别考验考生对于函数图像的理解。许多考生看到图二的函数图像没有数学感觉，反应不上来那个M点是何含义，于是无从下手。其实M点就表示当平移距离为2的时候整个阴影部分面积为8，相对的，N点表示移动距离超过4之后阴影部分面积就不动了。脑中模拟一下就能想到阴影面积固定就是当D移动过了0点的时候.所以依据这么几种状况去作答就可以了。其次问建立函数式则须要看出当时，阴影部分面积就是整个梯形面积减去ODE的面积，于是依据这个构造函数式即可。动态几何连带函数的问题往往须要找出图形的移动与函数的改变之间的对应关系，然后利用对应关系去分段求解。 【解】 （1）由图
4、（2）知，点的坐标是（2，8） 由此推断：； 点的横坐标是4，是平行于轴的射线， 直角梯形的面积为：.(3分) （2）当时， 阴影部分的面积=直角梯形的面积的面积(基本上实际考试中遇到这种求怪异图形面积的都要先想是不是和题中所给特别图形有割补关系) . . 【例2】 已知：在矩形中，分别以所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系是边上的一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点 （1）求证：与的面积相等； （2）记，求当为何值时，有最大值，最大值为多少？ （3）请探究：是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 【思路分析】本题
5、看似几何问题，但是事实上AOE和FOB这两个直角三角形的底边和高恰好就是E,F点的横坐标和纵坐标，而这个乘积恰好就是反比例函数的系数K。所以干脆设点即可轻松证出结果。其次问有些同学可能依旧纠结这个EOF的面积该怎么算，事实上从第一问的结果就可以发觉这个矩形中的三个RT面积都是异样好求的。于是利用矩形面积减去三个小RT面积即可，经过一系列化简即可求得表达式，利用对称轴求出最大值。第三问的思路就是假设这个点存在，看看能不能证明出来。因为是翻折问题，翻折之后大量相等的角和边,所以自然去利用三角形相像去求解，于是变成一道比较典型的几何题目，做垂线就OK. 【解析】 （1）证明：设，与的面积分别为， 由
6、题意得， ， ，即与的面积相等 （2）由题意知：两点坐标分别为，(想不到这样设点也可以干脆用X去代入,麻烦一点而已) ， 当时，有最大值 （3）解：设存在这样的点，将沿对折后，点恰好落在边上的点，过点作，垂足为 由题意得：， ， 又， (将已知和所求的量放在这一对有关联的三角形当中) ， ，解得 存在符合条件的点，它的坐标为 【例3】 如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，C90，BC16，DC12，AD21。动点P从点D动身，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C动身，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时动身，当点Q运动到点B时，点P随
7、之停止运动。设运动的时间为t（秒）。 （1）设BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式； （2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？ （3）是否存在时刻t，使得PQBD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。 【思路分析】本题是一道和一元二次方程结合较为紧密的代几综合题，大量时间都在计算上。第三讲的时候我们已经探讨过解决动点问题的思路就是看运动过程中哪些量发生了改变，哪些量没有改变。对于该题来说，当P,Q运动时，BPQ的高的长度始终不变，即为CD长，所以只需关注改变的底边BQ即可，于是列出函数式。其次问则要分类探讨，牢牢把握住高不变这个条件，通过勾股定理建立方程去求
8、解。第三问许多同学画出图形以后就不知如何下手，此时不要遗忘这个题目中贯穿始终的不动量高，过Q做出垂线以后就发觉利用角度互余关系就可以证明PEQ和BCD是相像的，于是建立两个直角三角形直角边的比例关系，而这之中只有PE是未知的，于是得解。这道题放在这里是想让各位体会一下那个不动量高的作用，每一小问都和它休戚相关，利用这个不变的高区建立函数，建立方程组乃至比例关系才能拿到全分。 【解析】 解：（1）如图1，过点P作PMBC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形。 PMDC12 QB16t，S12(16t)96t （2）由图可知：CMPD2t，CQt。热以B、P、Q三点 为顶点的三角形是等腰三角形，可以
9、分三种状况。 若PQBQ。在RtPMQ中，由PQ2BQ2 得，解得t； 若BPBQ。在RtPMB中，。由BP2BQ2得： 即。 由于7040 无解，PBBQ 若PBPQ。由PB2PQ2，得 整理，得。解得（舍）（想想看为什么要舍？函数自变量的取值范围是多少？） 综合上面的探讨可知：当t秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形。 （3）设存在时刻t，使得PQBD。如图2，过点Q作QEADS，垂足为E。由RtBDCRtQPE， 得，即。解得t9 所以，当t9秒时，PQBD。 【例4】 在RtABC中，C=90，AC=3，AB=5点P从点C动身沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达
10、点A后立即以原来的速度沿AC返回；点Q从点A动身沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E点P、Q同时动身，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止设点P、Q运动的时间是t秒（t0） （1）当t=2时，AP=，点Q到AC的距离是； （2）在点P从C向A运动的过程中，求APQ的面积S与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围） （3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成 为直角梯形？若能，求t的值若不能，请说明理由； （4）当DE经过点C时，请干脆写出t的值 【思路分析】依旧是一道放在几何图形当中的
11、函数题。但是本题略有不同的是动点有一个折返的动作，所以加大了思索的难度,但是这个条件基本不影响做题,不须要太专注于其上。首先应当留意到的是在运动过程中DE保持垂直平分PQ这一条件，然后推断t可能的范围.因为给出了AC和CB的长度,据此估计出运动可能呈现的状态.第一问简洁不用多说,其次问做出垂线利用三角形内的比例关系做出函数.第三问尤其留意直角梯形在本题中有两种呈现方式.DE/QB和PQ/BC都要分状况探讨.最终一问则可以干脆利用勾股定理或者AQ,BQ的等量关系去求解. 解：（1）1，； （2）作QFAC于点F，如图3，AQ=CP=t， 由AQFABC， 得 ， 即 （3）能 当DEQB时，如图
12、4 DEPQ，PQQB，四边形QBED是直角梯形 此时AQP=90 由APQABC，得， 即解得 如图5，当PQBC时，DEBC，四边形QBED是直角梯形 此时APQ=90 由AQPABC，得， 即解得 （4）或 【注：点P由C向A运动，DE经过点C 方法一、连接QC，作QGBC于点G，如图6 ， 由，得，解得 方法二、由，得，进而可得 ，得， 点P由A向C运动，DE经过点C，如图7 ， 【例5】 如图，在中，分别是边的中点，点从点动身沿方向运动，过点作于，过点作交于 ，当点与点重合时，点停止运动设， （1）求点到的距离的长； （2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）是
13、否存在点，使为等腰三角形？若存在，恳求出全部满意要求的的值；若不存在，请说明理由 【思路分析】本题也是一道较为典型的题。第一问其实就是重要示意，算DH的长度事实上就是后面PQ的长度，在构建等腰三角形中发挥重要作用。算DH的方法许多，不用累述。其次问列函数式，最重要的是找到y(QR)和x(BQ)要通过哪些量练联系在一起.我们发觉RQ和QC所在的QRC和BAC是相像的,于是建立起比例关系得出结果.第三问依旧是要分类探讨,但凡看到构成特别图形的状况都要去探讨一下.不同类之间的解法也有所不同,须要留意一下. 解：（1）， 点为中点， ， ， ， （2）， ， ， 即关于的函数关系式为： （3）存在，分
14、三种状况： 当时，过点作于，则 ， ， ， 当时， 当时，则为中垂线上的点， 于是点为的中点， ， ， 综上所述，当为或6或时，为等腰三角形 【总结】通过以上的例题，大家心里也许都有了底。整体来说这类函数型动态几何题是偏难的，不光对几何图形的分析有肯定要求，而且还很考验考生的方程、函数的计算实力。解决这类问题须要留意这么几个点：首先和纯动态几何题一样，始终把握在改变中不动的量将函数的变量放在同一组关系中建立联系,尤其是找出题中是否有可以将这些条件联系起来的相像三角形组来构造比例关系。其次要留意特别图形如等腰三角形，直角梯形等的分类探讨。第三要留意函数自变量的取值范围，合理筛选出可能的状况。最终
15、就是在计算环节仔细细心，做好每一步。 其次部分发散思索 【思索1】 如图所示，菱形的边长为6厘米，从初始时刻起先，点、同时从点动身，点以1厘米/秒的速度沿的方向运动，点以2厘米/秒的速度沿的方向运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，设、运动的时间为秒时，与重叠部分的面积为平方厘米（这里规定：点和线段是面积为的三角形），解答下列问题： （1）点、从动身到相遇所用时间是秒； （2）点、从起先运动到停止的过程中，当是等边三角形时的值是秒； （3）求与之间的函数关系式 【思路分析】此题一二问不用多说，第三问是比较少见的分段函数。须要将x运动分成三个阶段,第一个阶段是0X3，到3时刚好Q到B.其次阶
16、段是3X6，Q从B返回来.第三阶段则是再折回去.依据各个分段运动过程中图形性质的不同分别列出函数式即可. 【思索2】 已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P,Q分别从A,C同时动身，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒. (1)填空：菱形ABCD的边长是、面积是、高BE的长是； (2)探究下列问题： 若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时，求APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值； 若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中,
17、任何时刻都有相应的k值，使得APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值. 【思路分析】依旧是面积和时间的函数关系，依旧是先做垂线，然后利用三角形的比例关系去列函数式。留意这里这个函数式的自变量取值范围是要去求的，然后在范围中去求得S的最大值。最终一问翻折后若要构成菱形，则需三角形APQ为等腰三角形即可，于是接着分状况去探讨就行了。 【思索3】 已知：等边三角形的边长为4厘米，长为1厘米的线段在的边上沿方向以1厘米/秒的速度向点运动（运动起先时，点与点重合，点到达点时运动终止），过点分别作边的垂线，与的其它边交于两点，线段运动的时间为秒 （
18、1）线段在运动的过程中，为何值时，四边形恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）线段在运动的过程中，四边形的面积为，运动的时间为求四边形的面积随运动时间改变的函数关系式，并写出自变量的取值范围 【思路分析】第一问就是看运动到特别图形那一瞬间的静止状态，当成正常的几何题去求解。因为要成为矩形只有一种状况就是PM=QN，所以此时MN刚好被三角形的高线垂直平分，不难。其次问也是较为明显的分段函数问题。首先是N过AB中点之前，其次是N过中点之后同时M没有过中点，最终是M,N都过了中点，根据这三种状况去分解题目探讨。须要留意的就是四边形始终是个梯形，且高MN是不变的，所以PM和QN的长度就成为了求面积S中
19、改变的部分。 这一类题目计算繁琐，思路多样，所以希望大家细致琢磨这8个经典题型就可以了，中考中总逃不出这些题型的。只要探讨透了，面对它们的时候思路上来的就快，做题自然不在话下了。 第三部分思索题解析 【思索1解析】 解：（1）6 （2）8 （3）当0时， 当3时， = 当时，设与交于点 (解法一) 过作则为等边三角形 （解法二） 如右图，过点作于点，于点 过点作交延长线于点 【思索2解析】 解：（1）5,24, （2）由题意，得AP=t，AQ=10-2t. 如图1,过点Q作QGAD，垂足为G，由QGBE得 AQGABE, QG=,1分 (t5). 1分 (t5).（这个自变量的范围很重要） 当
20、t=时，S最大值为6. 要使APQ沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组 成的四边形为菱形，依据轴对称的性质，只需APQ为等腰三角形即可. 当t=4秒时，点P的速度为每秒1个单位，AP=. 以下分两种状况探讨: 第一种状况：当点Q在CB上时,PQBEPA，只存在点Q1,使Q1A=Q1P. 如图2,过点Q1作Q1MAP，垂足为点M，Q1M交AC于点 F,则AM=.由AMFAODCQ1F,得 , . CQ1=.则,. 其次种状况：当点Q在BA上时,存在两点Q2,Q3, 分别使AP=AQ2,PA=PQ3. 若AP=AQ2，如图3,CB+BQ2=10-4=6. 则,. 若PA=PQ3，如图4,过点P作
21、PNAB，垂足为N， 由ANPAEB,得. AE=,AN. AQ3=2AN=,BC+BQ3=10- 则. 综上所述，当t=4秒，以所得的等腰三角形APQ 沿底边翻折，翻折后得到菱形的k值为或或. 【思索3解析】 过点作垂足为点， 在中， 若不小于， 则 即 踏板离地面的高度至少等于3.5cm 26（10分） （1）过点作，垂足为 则， 当运动到被垂直平分时，四边形是矩形， 即时，四边形是矩形， 秒时，四边形是矩形 ， （2）当时， 中考数学专题：动态几何问题 中考数学专题3动态几何问题 第一部分真题精讲 【例1】如图，在梯形中，梯形的高为动点从点动身沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动
22、点同时从点动身沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动设运动的时间为（秒） （1）当时，求的值； （2）摸索究：为何值时，为等腰三角形 【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有肯定难度，题目中出现了两个动点，许多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是改变的。但是我们发觉，和这些动态的条件亲密相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN/AB时，就变成了一个静止问题。由此，从
23、这些条件动身，列出方程，自然得出结果。 【解析】 解：（1）由题意知，当、运动到秒时，如图，过作交于点，则四边形是平行四边形 ， （依据第一讲我们说梯形内协助线的常用做法，胜利将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） 解得 【思路分析2】其次问失分也是最严峻的，许多同学看到等腰三角形，天经地义以为是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种状况。在中考中假如在动态问题当中碰见等腰三角形，肯定不要遗忘分类探讨的思想，两腰一底一个都不能少。详细分类以后，就成为了较为简洁的解三角形问题，于是可以轻松求解 【解析】 （2）分
24、三种状况探讨： 当时，如图作交于，则有即（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质） ， 当时，如图，过作于H 则， 当时， 则 综上所述，当、或时，为等腰三角形 【例2】在ABC中，ACB=45点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF （1）假如AB=AC如图，且点D在线段BC上运动试推断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论 （2）假如ABAC，如图，且点D在线段BC上运动（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC，CD=，求线段CP的长（用含的式子表示） 【思路分析
25、1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以须要我们去分析由D运动产生的改变图形当中，什么条件是不动的。由题我们发觉，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。 【解析】： （1）结论：CF与BD位置关系是垂直； 证明如下：AB=AC，ACB=45，ABC=45 由正方形ADEF得AD=AF，DAF=BAC=90， DAB=FAC，DABFAC，ACF=ABD BCF=ACB+ACF=90即CFBD 【思路分析2】这一问是典型的从特别到一般的问法，那么思路很简洁，就是从一般中构筑一个特别的条件就行，于是我们和上
26、题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。 （2）CFBD(1)中结论成立 理由是：过点A作AGAC交BC于点G，AC=AG 可证：GADCAFACF=AGD=45 BCF=ACB+ACF=90即CFBD 【思路分析3】这一问有点麻烦，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就须要分状况去考虑究竟是4+X还是4-X。分类探讨之后利用相像三角形的比例关系即可求出CP. （3）过点A作AQBC交CB的延长线于点Q， 点D在线段BC上运动时， BCA=45，可求出AQ=CQ=4DQ=4-x， 易证AQDDCP， 点D在线段BC延长线上运动时， BC
27、A=45，可求出AQ=CQ=4，DQ=4+x 过A作交CB延长线于点G，则CFBD， AQDDCP， 【例3】已知如图，在梯形中，点是的中点，是等边三角形 （1）求证：梯形是等腰梯形； （2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变设求与的函数关系式； （3）在（2）中，当取最小值时，推断的形态，并说明理由 【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。其次问和例1一样是双动点问题，所以就须要探讨在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定MPQ=60，这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个
28、等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相像三角形找比例关系.怎么证相像三角形呢?当然是利用角度咯.于是就有了思路. 【解析】 （1）证明：是等边三角形 是中点 （2）解：在等边中， (这个角度传递特别重要,大家要细致揣摩) (设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子) 【思路分析2】第三问的条件又回来了当动点静止时的问题。由其次问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=2，求PQC形态”的问题了。由已知的BC=4，自然看出P是中点，于是问题轻松求解。 （3）解：为直角三角形 当取最小值时， 是的中点
29、，而 以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特别条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。假如没有特别条件，那么就须要探讨在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些详细的图形时，思路是不是一样呢?接下来我们看另外两道题. 【例4】已知正方形中，为对角线上一点，过点作交于，连接，为中点，连接 （1）干脆写出线段与的数量关系； （2）将图1中绕点逆时针旋转，如图2所示，取中点，连接， 你在（1）中得到的结论是否发生改变？写出你的猜想并加以证明 （3）将图1中绕点旋转随意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍旧成立？（不
30、要求证明） 【思路分析1】这一题是一道典型的从特别到一般的图形旋转题。从旋转45到旋转随意角度，要求考生探讨其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。其次问将BEF旋转45之后，许多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE，我们会发觉这是一个梯形，于是依据我们在第一讲专题中所探讨的方法，自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。 （1） （2）（1）中结论没有发生改变，即 证明：连接，
31、过点作于，与的延长线交于点 在与中， ， 在与中， ， 在矩形中， 在与中， ， 【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎全部人都会答出仍旧成立。但是我们不应当止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此缘由，假如BEF随意旋转，哪些量在改变，哪些量不变呢？假如题目要求证明，应当如何思索。建议有余力的同学自己探讨一下，笔者在这里供应一个思路供参考：在BEF的旋转过程中，始终不变的依旧是G点是FD的中点。可以延长一倍EG到H，从而构造一个和EFG全等的三角形，利用BE=EF这一条件将全等过渡。要想方法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就须要证明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角
32、度变换关系就可以得证了。 （3）（1）中的结论仍旧成立 【例5】已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F，将ABE沿直线AE翻折，点B落在点B处 （1）当=1时，CF=_cm， （2）当=2时，求sinDAB的值； （3）当=x时（点C与点E不重合），请写出ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式，（只要写出结论，不要解题过程） 【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热点。这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为1，其次问比例为2，第三问比例随意，所以也是一道很明显的从一般到特别的递进式题目。同
33、学们须要细致把握翻折过程中哪些条件发生了改变，哪些条件没有发生改变。一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相像关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其留意的是，本题中给定的比例都是有两重状况的，E在BC上和E在延长线上都是可能的，所以须要大家分类探讨，不要遗漏。 【解析】 （1）CF=6cm；（延长之后一眼看出，EAZY） （2）如图1，当点E在BC上时，延长AB交DC于点M， ABCF，ABEFCE， =2，CF=3 ABCF，BAE=F 又BAE=BAE，BAE=FMA=MF 设MA=MF=k，则MC=k-3，DM=9-k 在RtADM中，由勾股定
34、理得： k2=(9-k)2+62，解得k=MA=DM=（设元求解是这类题型中比较重要的方法） sinDAB=； 如图2，当点E在BC延长线上时，延长AD交BE于点N， 同可得NA=NE 设NA=NE=m，则BN=12-m 在RtABN中，由勾股定理，得 m2=(12-m)2+62，解得m=AN=BN= sinDAB= （3）当点E在BC上时，y=； （所求ABE的面积即为ABE的面积，再由相像表示出边长） 当点E在BC延长线上时，y= 【总结】通过以上五道例题，我们探讨了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出,所以难度不言而喻,但是希望考生
35、拿到题以后不要惊慌,因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在改变过程中那些不变的量。只要条分缕析,一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很轻松了.为更好的帮助考生,笔者总结这种问题的一般思路如下： 第一、细致读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。针对运动的量，要分析它是如何运动的，运动过程是否须要分段考虑，分类探讨。针对不动的量，要分析它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。 其次、画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。假如没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来探讨。 第三、做题过程中时刻留意
36、分类探讨，不同的状况下题目是否有不同的表现，许多同学丢分就丢在没有探讨，只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外的方式，如本讲例5当中的比例关系意味着两种不一样的状况，是否能想到就成了关键。 其次部分发散思索 【思索1】已知：如图（1），射线射线，是它们的公垂线，点、分别在、上运动（点与点不重合、点与点不重合），是边上的动点（点与、不重合），在运动过程中始终保持，且 （1）求证：； （2）如图（2），当点为边的中点时，求证：； （3）设，请探究：的周长是否与值有关？若有关，请用含有的代数式表示的周长；若无关，请说明理由 【思路分析】本题动点较多，并且是以和的形式给出长度。思索较为
37、不易，但是图中有多个直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长，要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中，看是否为定值，假如是关于M的函数，那么就是有关，假如是一个定值，那么就无关，于是就可以得出结论了。 【思索2】ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，若PBC180， 且PBC平分线上的一点D满意DB=DA， （1）当BP与BA重合时（如图1），BPD=； （2）当BP在ABC的内部时（如图2），求BPD的度数； （3）当BP在ABC的外部时，请你干脆写出BPD的度数，并画出相应的图形 【思路分析】本题中，和动点P相关的动量有PBC，以及D点
38、的位置，但是不动的量就是BD是平分线并且DB=DA，从这几条动身，可以利用角度相等来找出相像、全等三角形。事实上，P点的轨迹就是以B为圆心，BA为半径的一个圆，那D点是什么呢？留给大家思索一下 【思索3】如图：已知，四边形ABCD中，AD/BC，DCBC，已知AB=5，BC=6，cosB= 点O为BC边上的一个动点，连结OD，以O为圆心，BO为半径的O分别交边AB于点P，交线段OD于点M，交射线BC于点N，连结MN （1）当BO=AD时，求BP的长； （2）点O运动的过程中，是否存在BP=MN的状况？若存在，恳求出当BO为多长时BP=MN；若不存在，请说明理由； （3）在点O运动的过程中，以点
39、C为圆心，CN为半径作C，请干脆写出当C存在时，O与C的位置关系，以及相应的C半径CN的取值范围。 【思路分析】这道题和其他题目不同点在于本题牵扯到了有关圆的动点问题。在和圆有关的问题当中，时刻不要遗忘的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件。本题第一问比较简洁，等腰梯形中的计算问题。其次问则须要用设元的方法表示出MN和BP，从而探讨他们的数量关系。第三问的猜想肯定要记得分类分状况探讨。 【思索4】在中，过点C作CECD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转得到线段EF(如图1) （1）在图1中画图探究： 当P为射线CD上随意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转得到线段EC
40、1.推断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明； 当P2为线段DC的延长线上随意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E逆时针旋转得到线段EC2.推断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并干脆写出你的结论. （2）若AD=6,tanB=,AE=1,在的条件下，设CP1=，S=，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围. 【思路分析】本题是去年中考原题，虽不是压轴，但动点动线一起考出来，难倒了不少同学。事实上就在于如何把握这个旋转90的条件。旋转90自然就是垂直关系，于是又出现了一堆直角三角形，于是证角，证线就手到擒来了。其次问一样是利用平行关系建立函数式，但是实际过程中许多同学依旧遗忘分类探讨的思想，漏掉了许多种状况，失分特别惋惜。建议大家细致探讨这道中考原题，根据上面总结的一般思路去拆分条件，步步为营的去解答。 第三部分思索题解析 【思索1解析】 （1）证明：， 又， （2）证明：如图，过点作，交于点， 是的中点，简单证明 在中， （3）